Об одном свойстве функционалов Маасса и Шинтани Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 3.

УДК 511.334+511.335 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-40-45

Об одном свойстве функционалов Маасса и Шинтани1

Быковский Виктор Алексеевич — доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск. e-mail: vab@iam.khv.ru

Аннотация

Функционалы Маасса и Шинтани играют фундаментальную роль при изучении классических задач аналитической теории чисел: задачи Линника о распределении целых точек на гиперболоидах и задачи о среднем значении функции числа делителей квадратичных полиномов.

В работе доказывается, что эти функционалы на пространствах, состоящих из нечетных функций (нечетных относительно оператора отражения, а для голоморфных форм веса, который не делится на 4) равны нулю.

Ключевые слова: автоморфные формы, функционалы Маасса и Шинтани, спектральная теория автоморфных функций.

Библиография: 5 названий. Для цитирования:

В. А. Быковский. Об одном свойстве функционалов Маасса и Шинтани // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 40-45.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 3.

UDC 511.334+511.335 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-40-45

On one property of the Maass and Shintani functional^

Bykovsky Victor Alekseevich — doctor of physical and mathematical Sciences, Professor, corresponing member of RAS, Pacific national University, Khabarovsk. e-mail: vab@iam.khv.ru

Abstract

Functionals of Maass and Shintani play a fundamental role in the study of classical problems of analytic number theory: the Linnik problem on the distribution of integer points on hyperboloids and the problem of the mean value of the function of the number of divisors of quadratic polynomials.

In the paper it is proved that these functionals on spaces consisting of odd functions (odd with respect to the reflection operator, and for holomorphic forms of weight, which is not 4

Keywords: automorphic forms, Maass and Shintani functionals, spectral theory of automor-phic functions.

Bibliography: 5 titles.

1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 18-41-05001).

2The study was performed by a grant of Russian scientific Foundation (project No. 18-41-05001).

Еог citation:

V. А. Вукоувкп, 2018, "Оп опе ргорейу о£ the \Iaass апё БЫ^аш functionals" , СкеЬувкеувкп яЬогтк, уо1. 19, по. 3, рр. 40-45.

Посвящается 100-летию Ю. В. Линника.

1. Введение

В работе [1] Маасс определил функционалы на пространствах автоморфных функций, ассоциированные с дискриминантами целочисленных бинарных квадратичных форм. В работе [2] Шинтани определил подобного рода функционалы на пространствах голоморфных параболических форм четного веса. В настоящей работе доказывается, что эти функционалы на пространствах, состоящих из нечетных функций (нечетных относительно оператора отражения, а для голоморфных форм веса, который не делится на 4) равны нулю.

2. Определения и вспомогательные сведения

Мультипликативная группа БЬ2(Ъ), состоящая из матриц

М = (т, п,1,Н е ёе1(М) = 1)

действует слева на верхней полуплоскости

Н = [х = х + гу | х,у е М; у > 0}

посредством дробно-линейных преобразований

„ „.. . тх + п М (г) = ---.

Так как М(г) = (-М)(г), то М и — М обычно отождествляют и вместо БЬ2(Ъ) работают с факторгруппой

Г = РвЬ2(Ъ) = БЬ2(Ъ)^± (0 1 На пространстве автоморфных относительно Г фикций / : Н ^ С, для которых

/(М(г)) = /(г) УМ е Г, действует оператор отражения (инволюция)

Т/ (г) = / (—г).

Автоморфная функция / называется четной (относительно Т), если Т/ = /, и нечетной, если Т/ = — /. Любую / можно записать в виде

/ = /+ + 1-,

где

/+ = 2(/ + ), /- = \и — ),

соответственно, четная и нечетная функции.

Пусть

Q(X, Y) = аХ2 + bXY + cY2

— невырожденная бинарная квадратичная форма с целыми коэффициентами и дискриминантом

d = b2 - 4ас = 0,1 (mod 4).

Положим для d > 0

Kz(d) = {( а, b, с) е Z3 | Ь2 - 4ас = d},

а для d < 0

Kz(d) = {(а, b, с) е Z3 | Ь2 - 4ас = d;a> 0,с> 0}. Во втором случае квадратичные формы положительно определены.

d

квадрата.

Группа действует слева на Kz(d) по правилу

М • (а Ь/2\ (а Ь/2)м< = (а(М) Ь(М )/2) М : VЬ/2 с ^ \Ь/2 с J м \Ь(М)/2 с(М) ) '

X Y

Q(X, Y) = аХ2 + bXY + cY2 ^ (MQ)(X, Y) = Q(mX + IY, nX + hY) = а(М)X2 + b(M)XY + с(М)Y2.

Для d > 0 сопоставим каждой точке (а, b, с) е Kz(d) ориентированную полуокружность

{ze H | а - bRez + ф|2 = 0}

с параметрическим представлением

L(p) = Та(а, b, с)(р) = Ce(L) + Ra(L) exp(sign(c)fр) (0 < p < к),

где

Ce(L) = 2-c, Ra(L) = ^.

Она начинается из точки х\ = Ce(L) +Ra(L) и кончается в^2 = Ce(L) - Ra(L) — корнях квадратного уравнения а - Ьх - сх2 = 0. Преобразование (а, Ь, с) ^ (-а, - Ь, - с) меняет ориентацию элементов множества

H z(d) = Vd(Kz( d))

d < 0

b Vd

(а,Ь, С) ^ - + —

определяет биекцию

Vd : Kz(d) ^ H = Hz(d)

с обратной к ней

T>-1(л =(V0 М!. МRez V0 'd (Z)={ 2 • Imz, V |d| Imz, 2 ^ Imz ^Т

При этом для любого элемента М из Г диаграмма

Kz(d) Kz(d)

vd

Vd

Нъ(а)—цг Нж(^)

коммутативна. Стабилизатор Г^ любого элемента Ь из Н (а) — бесконечная циклическая группа. Ее образующую М^ выберем так, чтобы переход от точки г по дуге Ь к М^(г) соответствовал ориентации Ь. При этом для любой точки г из Ь в качестве можно выбрать дугу (г, Мь(г)).

а

определим линейный функционал

д(Л = 2(1/2 £ /

^ ' ь&\Нг{<1) Гь\Ь

Г

2 _ dx2 + dy2 d<> _ ,,2 '

У2

Н

зывается параболической формой веса 2к, если для любого элемента М из Г

( / 12кМ )(г) = (1 г + к)-2к} (М (г)) = }(г)

и автоморфная функция ук |/(г)1 ограничена на Н. Обозначим через 5*2к линейное пространство всех параболических форм веса 2к со скалярным произведением Петерсона

< f, 9hk _ Jf f(z)g(z)y2k-2dxdy.

Г\Н

Оно конечномерно и

|[к/6], если fc ^ 1 (mod 6) dimS2fc _ <

I [k/6] — 1, если к = 1 (mod 6).

В частности, S2k пусто для к _ 1, 2, 3, 4, 5, 7 и одномерно для к = 6, 8, 9,10,11,13. Функционалы Шинтани (см. [2]) определяются по формуле

-к-2

V ' г,(= г\ Й,,

>; I 9L(z)dz

Ler\Hz(d) pl\l

с инвариантной относительно Г^ дифференциальной формой

gL(z) dz _ (a(L) — b(L)z + c(L)z2)k-1 f(z) dz,

где ( a(L), b(L), c(L)) _ V-1(L). Для d < 0

л_ (^4 ( E fTn/«

v 7 Wr\Hz (d) 1 *1

3. Основной результат

Теорема. Пусть d — любой дискриминант,, от,личный от, квадрата. Тогда,

Ы f) = 0;

2) Для любого нечетного к и любой функции f <Е S2k

f) = 0.

Доказательство. На Kz(d) действует инволюция

( а, Ь, с) — (а, — Ь, с).

Ей соответсвует инволюция

z —У —~z

на верхней полуплоскости H, которая индуцируется биекцией Vd. Принимая во внимание коммутативную диаграмму из предыдущего параграфа, отсюда находим что

nd( f) = —Qd( f).

Действуя точно также в случае 2) и принимая во внимание то, что инволюция z — —~z меняет ориентацию на противоположную, получим

f) = —ПТЧ Л = 0.

4. Заключение

Функционалы Маасса и Шинтани играют фундаментальную роль при изучении классических задач аналитической теории чисел: задачи Линника о распределении целых точек на гиперболоидах и задачи о среднем значении функции числа делителей квадратичных полиномов. По этому поводу см. работы [3-5].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Maass Н. Uber die räumliche Verteilung der Punkte in Gittern mit indefiniter Metrik. Math. Ann., 138, 1959. P. 287-315.

2. Shintani T. On construction of holomorphic cusp forms of half-integral weight, Nagova Math. J. V. 58, 1975. P. 83-126.

3. Быковский В.А. Спектральные разложения некоторых автоморфных функций и их теоретико-числовые приложения. В кн.: Записки научных семинаров. ЛОМИ. Л.: "Наука", 1984, С. 15-33.

4. Duke W. Hyperbolic distribution problems and half-integral weight, Invent. Math., 92, 1988. P. 73-90.

5. Liu S. and Masri R. The average of the divisor function over values of quadratic polynomial, Proc. Amer. Math. Soc., 143, 2015. P. 4143-4160.

REFERENCES

1. Maass Н, 1959, "Uber die räumliche Verteilung der Punkte in Gittern mit indefiniter Metrik" , Math. Ann., 138. P. 287-315.

2. Shintani T, 1975, "On construction of holomorphic cusp forms of half-integral weight" , Nagova Math. J. V. 58, pp. 83-126.

3. Bvkovskij V. A., 1984, "Spektral'nve razlozheniva nekotorvh avtomorfnvh funkcij i ih teoretiko-chislovve prilozheniva" , V kn.: Zapiski nauchnyh seminarov. LOMI. L.: "Nauka", pp. 15-33.

4. Duke W., 1984, "Hyperbolic distribution problems and half-integral weight" , Invent. Math., 92, X pp. 73-90.

5. Liu S. and Masri R., 2015, "The average of the divisor function over values of quadratic polynomial" , Proc. Am,er. Math. Soc., 143, pp. 4143-4160.

Получено 17.09.2018 Принято к печати 10.10.2018