CC BY
2
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 67
Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science
Научная статья УДК 519.233.22 doi: 10.17223/19988605/67/7
Об одном способе выбора компромисса в семействе условно оптимальных оценок
Константин Викторович Гаврилов1, Евгения Леонидовна Веретельнинкова2
12Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия
1 aenigma 77@mail. ru 2 janever@mail. ru
Аннотация. Работа посвящена развитию теории устойчивого оценивания А.М. Шурыгина в части локально устойчивого подхода, основанного на анализе показателя неустойчивости оценки (¿2-нормы функции влияния). В рамках данного подхода рассмотрено семейство условно оптимальных оценок, которое может определяться как оптимизирующее асимптотическую дисперсию при ограничении на неустойчивость. На практике нередко возникает вопрос обоснованного выбора одной оценки из семейства, обеспечивающей компромисс между определяющими семейство критериями. Для решения проблемы предлагается сформировать функционал, представляющий собой выпуклую линейную комбинацию исходных критериев, которые нормируются таким образом, чтобы центр семейства соответствовал решению максиминной задачи относительно аргументов функционала. Показано, что найденная оценка минимизирует произведение критериев.
Ключевые слова: М-оценки; функция влияния; устойчивые оценки; сниженные оценки; условно оптимальная оценка.
Для цитирования: Гаврилов К.В., Веретельникова Е.Л. Об одном способе выбора компромисса в семействе условно оптимальных оценок // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 67. С. 60-68. doi: 10.17223/19988605/67/7
Original article
doi: 10.17223/19988605/67/7
On one way to choose a compromise in a family of conditionally optimal estimators Konstantin V. Gavrilov1, Evgeniya L. Veretel'nikova2
12 Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russian Federation
1 aenigma77@mail. ru 2 [email protected]
Abstract. The work is devoted to the development of stable estimation theory by A. M. Shurygin in terms of a locally stable approach based on the analysis of the indicator of estimation instability (¿2-norm of the influence function). Within the framework of this approach, a family of conditionally optimal estimators is considered, which can be defined as optimizing the asymptotic dispersion under a constraint on instability. In practice, there may be a question of a reasonable choice of one estimator from a family that provides a compromise between the criteria defining the family. To solve the problem, it is proposed to form a functional, which is a convex linear combination of the initial criteria are normalized in such a way that the center of the family corresponds to the solution of the maximin problem regarding the arguments of the functional. It is shown that the found estimator minimizes the product of the criteria.
Keywords: M-estimators; influence function; stable estimates; redescending estimators; conditionally optimal estimators.
For citation: Gavrilov, K.V., Veretel'nikova, E.L. (2024) On one way to choose a compromise in a family of conditionally optimal estimators. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 67. pp. 60-68. doi: 10.17223/19988605/67/7
© К.В. Гаврилов, Е.Л. Веретельникова, 2024
Введение
Важным аспектом теории робастного оценивания статистических моделей является обеспечение устойчивости оценок к асимметричному засорению наблюдений. Таким свойством обладают сниженные оценки, в которых влияние периферийных наблюдений снижено по сравнению с классическими робастными решениями или равно нулю [1-3]. Однако до недавнего времени большинство известных сниженных оценок было получено, по существу, эвристически. Ситуация изменилась после того, как А.М. Шурыгин [4] предложил модель байесовского точечного засорения, описывающую воздействие асимметричного засорения на набор данных, и локально устойчивый подход, основанный на показателе неустойчивости (¿2-норме функции влияния). С использованием данных концепций стало возможным получать теоретически обоснованные решения, относящиеся к классу сниженных оценок и, как следствие, обеспечивающие устойчивость к асимметричному засорению.
Примером такого решения в рамках второй из перечисленных концепций является семейство условно оптимальных оценок [4-8], которое может определяться как решение задачи оптимизации неустойчивости при ограничении на асимптотическую дисперсию (или, что то же, оптимизации асимптотической дисперсии при ограничении на величину неустойчивости). Эта задача сводится к оптимизации линейной комбинации критериев. Вместе с тем обратим внимание, что критерии асимптотической дисперсии и неустойчивости, на базе которых построено семейство, вообще говоря, несопоставимы, поскольку имеют отличающиеся размерности - обычно квадрата и куба случайной величины соответственно (в случаях оценивания параметра сдвига или масштаба). И подобная ситуация типична для аддитивных критериев [9]. Общепринятым подходом здесь является введение нормирующих коэффициентов, которые согласуют размерности частных критериев и их вклады в сумму. В нашем случае нормирующие коэффициенты уже присутствуют.
Проблема состоит в том, что исследователь не всегда располагает априорной информацией, позволяющей достаточно объективно присвоить нормирующие коэффициенты каждому из критериев, если по смыслу задачи даны лишь сами критерии, и эта проблема хорошо известна [10]. Соответствующая задача относится к классу некорректных, поэтому стандартные приемы решения задач многокритериальной оптимизации в данном случае не подходят. Но, оказывается, некоторые теоретические выводы можно получить даже в условиях полностью неопределенных нормирующих коэффициентов, о чем и пойдет речь ниже.
В настоящее время известен ряд способов выбора одной оценки из условно оптимального семейства оценок, которые являются в большей или меньшей степени эвристическими. Например, в [4] для этого предложена компромиссная оценка, которая минимизирует сумму отношений асимптотической дисперсии и неустойчивости к их минимальным значениям. Также в [8] рассматривается равнооп-тимальная оценка, которая обеспечивает равные значения этих отношений. В данной работе предлагается еще один подход к выбору разумного компромисса в условно оптимальном семействе, основанный на решении оптимизационной задачи и не привязанный к минимальным значениям критериев.
Для этого рассматривается функционал, представляющий собой выпуклую линейную комбинацию нормированных критериев, оптимизация которого приводит к условно оптимальному семейству. При этом нормировка критериев равносильна репараметризации семейства, которая может быть произведена с точностью до произвольного положительного параметра. Произвол в выборе данного параметра можно устранить путем решения максиминной задачи относительно аргументов функционала при наложении дополнительного регуляризирующего условия - чтобы решение указанной задачи соответствовало центру семейства. Построенная таким образом оценка названа равновесной - по аналогии с геометрией, где такая выпуклая комбинация двух точек аффинного пространства определяет центр тяжести отрезка, соединяющего эти точки.
В разд. 1 работы приведены базовые теоретические сведения. В разд. 2 описан метод построения равновесной оценки для условно оптимального семейства. Также показано, что равновесная оценка минимизирует произведение критериев асимптотической дисперсии и неустойчивости. В разд. 3 рас-
смотрен пример построения равновесной оценочной функции для оценки параметра сдвига косинусного распределения.
1. Элементы теории устойчивого оценивания
Пусть xlr..,xm - независимые наблюдения случайной величины распределенной с плотностью f (x, 9), где x е X с R и параметр 8 е 0 с R . М-оценка неизвестного параметра 0 может определяться как решение оценочного уравнения [1-4]
m
£ y( Xi, 9) = 0,
i=1
где y(x,9) - оценочная функция параметра 0. Условие асимптотической несмещенности оценки имеет вид [3, 11]:
E yfe 9) = f y(x, 9) f (x, 9)dx = 0, (1)
X
где E - оператор математического ожидания.
Дифференцируя (1) по 0 и допуская возможность изменения порядка дифференцирования и интегрирования, можно записать следующие равенства [1, 11]:
N(9)=-lim d E yfe t) = -eA yfe 9) = f y(x, 9)^- f(x, 9)dx. (2)
t dt d9 J 59
X
Условия регулярности. Потребуем, чтобы в окрестности истинного значения параметра 0 выполнялось условие асимптотической несмещенности (1), были справедливы равенства (2), функция N (9) была непрерывной и неравной нулю [1, 8]. Более полный набор условий регулярности, обеспе-
чивающий также асимптотическую нормальность и 4m -состоятельность оценок [3, 12, 13], приведен, например, в [14]. Дополнительно будем предполагать, что там, где это необходимо, допустимо внесение операции дифференцирования под знак интеграла, все выписанные ниже характеристики оценочных функций непрерывно зависят от своих параметров, а также f (x, 9) Ф const .
Нормированная асимптотическая дисперсия М-оценки определяется выражением [1-3]
,2/„ nw/„ n\j„ ГТТ72/
FW = iX'9)/(X'Q)dX = E9),
N 2(9)x
где IF(x, 9) = y(x, 9)/ N (9) - функция влияния [1-3].
Рассмотрим локально устойчивый подход А.М. Шурыгина, основанный на показателе неустойчивости [4, 5]
W (у) = —1— f у2( x, 9) dx = f IF2 (x, 9)dx.
N 2(9) 1 I
Минимизация функционала V(у) приводит к оценке максимального правдоподобия (ОМП) [1-3], минимизация W(у) - к оценке максимальной устойчивости (ОМУ) [4]. Соответствующие значения оптимизируемых функционалов обозначим VoMn и WoMy. Эффективностью и устойчивостью оценки называются соответственно относительные характеристики
eff У = VoMn/V (у), stb у = WoMy/ W (у). В рамках данного подхода построено семейство условно оптимальных оценочных функций [4]
f(x,9)
f (x, 9) + X ,
где X > 0 - параметр, задающий семейство, с(9, X) - произвольная непрерывная функция, неравная нулю для всех 9 е ©, функция в(9,X) определяется из условия (1). Значение параметра X = 0 в (3)
у( X, 9) = с(9, X)
д
—ln / ( x, 9) + ß(9, X) д9
(3)
соответствует ОМП, значение X — да - ОМУ. Промежуточные значения параметра X позволяют получить различные условно оптимальные оценки, имеющие минимальную неустойчивость при ограничении сверху на величину асимптотической дисперсии либо, что то же, минимальную асимптотическую дисперсию при ограничении сверху на величину неустойчивости [4-6].
Для выбора единственного решения из условно оптимального семейства в [4] предложена компромиссная оценка, которой соответствует значение X — Г0мп/Womy . Другое решение, называемое равнооптимальной оценкой [8], удовлетворяет условию eff у = stb у . Ниже предлагается еще одно решение.
2. Определение и свойство равновесной оценки
Условно оптимальное семейство (3) при X > 0 может определяться как решение оптимизационной задачи [8]
V(у) + XW(у) ^ min . (4)
у
Произведем нормировку критериев V(у) и W(у), что равносильно репараметризации семейства. Для этого введем новый параметр
к — X/(X + X0) , (5)
где Xo > 0 - неопределенный вспомогательный параметр, который задает способ репараметризации семейства. Нетрудно видеть, что независимо от выбора Xo значение к е[0; 1], т.е. значения 1 — к и k являются коэффициентами выпуклой линейной комбинации, а значение X — Xo соответствует ее центру (значению к —1/2). Также нам понадобится преобразование, обратное к (5): X — Xo к/(1 — к), откуда следует
X' — Xo/(1 — к)2 . (6)
Штрихом здесь и ниже обозначена производная по k.
Таким образом, нормировку критериев в (4) можно выполнить путем деления выражения в левой части (4) на X + Xo. В результате получаем функционал
U(у,к) — [V(у) + XW(у)]/(X + Xo) — (1 — к)Г(у) + кW(у), (7)
где V(у) — V(у)/Xo - нормированный критерий (критерий W(у) не меняется). Очевидно, минимизация функционала (7) по у дает то же решение, что и (4).
Далее нужно разрешить неопределенность в выборе вспомогательного параметра Xo . Его предлагается выбирать из условия, что значение к —1/2 (центр семейства) является решением максимин-ной задачи, которая определяет баланс «интересов» между критериями V (у) и W(у):
min U(у, к) ^ max . (8)
у к
Прежде чем сформулировать результат решения (8), заметим, что множество значений параметра X в выражении (3) можно дополнить отрицательными значениями, такими что X < — max f (x, 0) .
xeX
Соответствующее семейство оценочных функций является решением задачи минимизации неустойчивости W(у) при ограничении-равенстве вида V(у) — V) на асимптотическую дисперсию [6], где Vomn - Vo < Vmax, Vmax - предел (конечный или бесконечный) асимптотической дисперсии оценки при X ^ — max f (x, 0) . Расширение условно оптимального семейства в область отрицательных значе-
xeX
ний X влияет на оптимизационную формулировку (4): в общем случае она должна записываться как
| V(у) + XW(у) | ^ min .
у
Что касается функционала (7), то его запись не меняется, а расширение семейства сводится к расширению диапазона значений параметра k в область к > 1 (до некоторого максимального значения).
Пусть V , V и Ж обозначают значения соответствующих функционалов для членов условно оптимального семейства, которые доставляют минимум по у функционалу (7).
Теорема 1. Если решение (8) существует, оно однозначно определяется условием ^ = V|W .
Доказательство. Найдем максимум по к функции и = (1 - к^ + kW. Для этого воспользуемся теоремой 1 и следствием 2 из нее в [6], согласно которым д (V + XW)/дX = W. Учитывая это свойство и выражение (6), проверим необходимое условие максимума функции 7:
U ' = X'-
d V + XW
Xn
dX X + X.
0
(1 - к)2
W
V + XW
X + X0 (X + X0)2
X0(X0W - V) = W _ V = 0 .
(1 _ к )2(X + X0)2
X
Его можно записать в виде V = W, что отражает баланс «интересов». Осталось показать, что данному условию соответствует не более чем единственное значение к, и оно доставляет максимум функции / . Для этого должно выполняться и" < 0 во всем диапазоне допустимых значений к. Используя следствие 3 из теоремы 1 в [6], согласно которому д V/ дХ = — X дW/ дХ, можно записать
и" = W" — V'/Х0 = Х"(1 + Х/Х0)дW|дХ = W'/(1 — к). Убедимся, что функция Ж убывает по любому из параметров к или X при 0 < к < 1 (или Х > 0) и возрастает при к > 1 (или Х<— шах{Х0,шах/(х,9)}).
хеХ
Опуская для краткости аргументы функций, введем обозначения 5 = / + Х, ф = (д//д9 + в /)/s . Также согласно следствию из теоремы 2 в [8] справедливо представление N¡0 = | ф2 5 ёх. Здесь
функция N определена в (2), с и в - те же, что и в (3). Продифференцируем последнее выражение:
^ ^ = 2 дв
N
dX c
dX
| ф / ёх — | ф2 ёх .
X X
Обратим внимание, что первое слагаемое здесь равно 0 в силу (1). И далее, учитывая (1):
\ 2 „2
„ 2 „ ,ф / ёх + 2 I — I —ёх — 2 — | ф/ ёх -дХ2 с дХ2 I I дХ 5
2II iФ/ + 2 (I) Jfdx _ 211f. _
x l J X X
_ 2дв Г^dx + 2 ГФ-dx = J2(дв f _ ф I dx = 2 Г(дФ I s dx . dX J s J s J s la J JldXj
Воспользуемся теоремой 1 в [6]:
dW _ д2 _c_
~дТ = dX2 N =
А
dX
cI2 N
N J dX c
x
=2( c l3 f_d. NY f c l2 .dl N = N J l dX c J ( N J dX2 c
Учитывая, что — — = - J ф2^х = J—ф s dx, приходим к неравенству Коши-Буняковского:
dX c
X
X
. dX
/ N3 f
1 f N Y dW
2 l c
dX
Y
f—фs dx — |*( —1 s dx Гф25 dx < 0 .
J дХ JldX ) Jy
V x J x V J x
Неравенство здесь строгое, поскольку f Ф const. Нетрудно видеть, что оно остается в силе при s < 0 (т.е. при к > 1 или X < — max{Xo,maxf}). В этом случае в левой части равенства сомножитель
xeX
—с < 0, а dW/dX > 0. При 0 < к < 1 или X > 0 имеем —с > 0, а dW/dX < 0 . В любом случае U "< 0 (включая и точку к = 1, в которой функция непрерывно доопределяется). Теорема доказана.
Итак, поскольку условию к = 12 соответствует X = X0 > 0, уравнение для определения компромисса принимает вид:
X = V/W . (9)
Определение. Оценочная функция из условно оптимального семейства, которая удовлетворяет уравнению (9) при Х > 0 , называется равновесной.
Теорема 2. Равновесная оценочная функция является решением задачи V (у) Ш (у) ^ ш1п .
Доказательство. Заметим, что решение данной задачи принадлежит условно оптимальному семейству. Действительно, его члены доставляют минимум одному из критериев V (у) или Ш (у) при фиксированном значении другого [4, 6], одновременно минимизируется и их произведение.
Определим член семейства, соответствующий решению задачи. Вновь воспользуемся равенством дV|дХ = — XдШ/дХ и запишем необходимое условие минимума функции VW:
д дШ дV дШ
— (Ш) = —V + —Ш = — (V — ХШ) = 0.
дх дх дх дх
При X ^ 0 имеем д(VW)/дХ ~ V дШ/дХ < 0. При достаточно больших X имеем дШ/дХ < 0 и V — X Ш < 0, поэтому д(УW)/дХ > 0, хотя и 11ш д(¥Ш)/дХ = 0 , поскольку каждый из критериев стремится к постоянной величине. Таким образом, условие дШ/ дХ = 0, которому соответствует ОМУ (Х = да), не определяет решение задачи, а условие V — ХШ = 0 равносильно уравнению (9) и доставляет минимум функции при некотором Х > 0 , т.е. определяет решение. Теорема доказана.
3. Пример оценивания параметра сдвига косинусной модели
Рассмотрим задачу оценивания параметра сдвига 0 косинусного распределения [15] с плотностью
п(х — 0)"
г, пч 1 2 п(х — 0) 1
/ (х, 0) =- 008 2 —--- = —
I 21 21
1 + 008 -
/
| х — 0 |< /. (10)
Оценочные функции условно оптимальных оценок, совпадающие с функциями влияния, в модели (10) имеют вид [15]:
, пч / (к + л/к2 — 1) . п (х — 0)
у(х, 0) =-81П-
п / /
п (х — 0)'
к + 008-
/
| х — 0 |< /, (11)
где к = 2 Х/ +1 - параметр, используемый для более лаконичной записи (11). Поскольку модель (10) является финитной, для ее робастного оценивания следует применять подход, при котором допускаются наблюдения вне промежутка | х — 0 |< /, а оценочная функция вне данного промежутка принимается равной нулю [16].
Характеристики асимптотической дисперсии и неустойчивости оценочных функций (11) определяются выражениями [15]
V = ^
п
2 Г I-ТЛ
1 + ^ — 1 V ■к + 1У
21
• Ш = —
? '' о
п2
1 + к
л/к2^!
(12)
2/2 3/2
В частности, VОмn = / / п , ШОМУ = 4/ / п . В [15] также показано, что в семействе (11) компромиссной оценке (ОК) [4] соответствуют параметры Хок = ^оми/Шому = 1(41), кок = 3/2 и характеристики 81Ь уОК = 2/(1 + ^^л/5) « 85,41 %, сЕ уОК = (1 + 1/л/5)—1 « 69,10 % ; равнооптимальной оценке (ОРО) [8] -значения ХОРО = 1(81), коро = 5/4 и характеристики 81Ь уОРО = сЕ уОРО = 75 % .
Для нахождения равновесной оценки (ОРВ) решим уравнение (9). Используя (12), а также условие Х > 0 (или к > 1), можно записать
V ^к2 — 1 +1 — к V4Х2/2 + 4Х/__^= и + X = ^
Ш 21 21
Сократим это уравнение на X и приведем подобные: + 1/(Х/) = 2. Отсюда получаем Хорв = 1/(3/) и корв = 5/3 . Вычислим некоторые характеристики равновесной оценки в модели (10):
9/3 8 3/2 2
Шорв = —2, 81Ь уОРВ = 8 - 88,89 %, ^ = , сЕ УОРВ = - - 66,67 % . 2п2 9 2п2 3
На рис. 1 показаны графики некоторых функций из семейства (11) при / = 1 и 0 = 0.
Рис. 1. Функции влияния некоторых условно оптимальных оценок Fig. 1. Influence functions of some conditionally optimal estimators
Наиболее близкими между собой как визуально, так и по характеристикам оказались функции влияния ОК и ОРВ. Причем похожи и их определения: различие состоит только в том, что в выражении для Хок фигурируют минимальные значения показателей V и Ж, а в уравнении (9) - равновесные. Сходство оценок, с одной стороны, подтверждает разумность соответствующих эвристик, с другой -говорит о том, что компромиссная оценка [4], которая сравнительно просто определяется, в некоторых случаях может использоваться в качестве аппроксимации равновесной оценки.
Заключение
В работе предложен способ обоснованного выбора одной оценки из семейства условно оптимальных оценок [4], которая названа равновесной. Подобные методы выбора компромисса бывают востребованы в тех случаях, когда у исследователя отсутствует априорная информация, позволяющая объективно согласовать критерии, образующие семейство, особенно если критерии имеют несовпадающие размерности. Между тем ввиду некорректности задачи (наличия неустранимой неопределенности [10]) все подобные методы оказываются в большей или меньшей степени эвристическими. Предложенный подход, в отличие от ранее известных, основан на оптимизационном принципе, который не привязан к минимальным значениям критериев (т.е. более универсальный) и позволяет естественным образом регуляризовать задачу. Благодаря этому полученное решение сбалансированно учитывает «интересы» каждого из критериев.
Также показано, что равновесная оценка минимизирует произведение критериев асимптотической дисперсии и неустойчивости.
Изложенные в работе теоретические построения проиллюстрированы на примере задачи оценивания параметра сдвига косинусного распределения [15]. Для данной модели построена равновесная оценка, вычислены ее характеристики, а также приведены графики функций влияния равновесной и некоторых других оценок из условно оптимального семейства.
В частности, рассмотренный пример показал, что предложенная в [4] компромиссная оценка по своим характеристикам и графику функции влияния оказалась довольно близкой к равновесной оценке. Поскольку компромиссная оценка определяется технически проще, она при необходимости может использоваться вместо равновесной оценки.
Список источников
1. Хьюбер П. Робастность в статистике. М. : Мир, 1984. 303 с.
2. Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике: подход на основе функций влияния. М. : Мир,
1989. 512 с.
3. Shulenin V.P. Robust methods of mathematical statistics. Tomsk : Scientific Technology Publishing House, 2020. 260 p.
4. Шурыгин А.М. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз. М. : Финансы и статистика, 2000. 224 с.
5. Shevlyakov G., Morgenthaler S., Shurygin A. Redescending M-estimators // J. Statist. Plann. Inference. 2008. V. 138 (10).
P. 2906-2917.
6. Лисицин Д.В., Гаврилов К.В. О свойствах условно оптимальных оценок // Научный вестник НГТУ. 2015. № 1 (58). С. 76-93.
7. Shevlyakov G.L., Oja H. Robust correlation: theory and applications. Chichester, West Sussex : John Wiley & Sons, 2016. 319 p.
8. Лисицин Д.В., Гаврилов К.В. Об устойчивом оценивании параметров модели при асимметричном засорении данных //
Научный вестник НГТУ. 2008. № 1 (32). С. 33-40.
9. Горбунов В.М., Синюкова Е.А. Практикум по дисциплине «Теория принятия решений» : учеб. пособие. Томск : Изд-во
Том. политехн. ун-та, 2014. 126 с.
10. Подиновский В.В., Потапов М.А. Метод взвешенной суммы критериев в анализе многокритериальных решений: pro et contra // Бизнес-информатика. 2013. № 3 (25). С. 41-48.
11. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания: статистическая обработка неоднородных совокупностей. М. : Статистика, 1980. 210 с.
12. Van der Vaart A.W. Asymptotic statistics. Cambridge : Cambridge University Press, 1998. 443 p.
13. DasGupta A. Asymptotic theory of statistics and probability. New York : Springer, 2008. 722 p.
14. Лисицин Д.В., Гаврилов К.В. Максиминная задача оценивания параметров в условиях байесовского точечного засорения // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 1 (62). С. 56-64.
15. Лисицин Д.В., Гаврилов К.В. Робастное оценивание финитной модели // Сборник научных трудов НГТУ. 2004. № 2 (36). С. 47-56.
16. Лисицин Д.В., Гаврилов К.В. Оценивание параметров финитной модели, устойчивое к нарушению финитности // Сибирский журнал индустриальной математики. 2013. Т. 16, № 2 (54). С. 109-121.
References
1. Huber, P. (1984) Robastnost'v statistike [Robust statistics]. Translated from English. Moscow: Mir.
2. Hampel, F., Ronchetti, E., Rousseeuw, P. & Stahel, W. (1989) Robastnost' v statistike: podkhod na osnove funktsiy vliyaniya
[Robust statistics: The approach based on influence functions]. Translated from English. Moscow: Mir.
3. Shulenin, V.P. (2020) Robust methods of mathematical statistics. Tomsk: Scientific Technology Publishing House.
4. Shurygin, A.M. (2000) Prikladnaya stokhastika: robastnost', otsenivanie, prognoz [Applied stochastics: Robustness, estimation,
forecast]. Moscow: Finansy i statistika.
5. Shevlyakov, G., Morgenthaler, S. & Shurygin, A. (2008) Redescending M-estimators. Journal of Statistical Planning. 138(10).
pp. 2906-2917.
6. Lisitsin, D.V. & Gavrilov, K.V. (2015) O svoystvakh uslovno optimal'nykh otsenok [About properties of conditionally optimal
estimates]. Nauchnyy vestnikNGTU. 58(1). pp. 76-93.
7. Shevlyakov, G.L. & Oja, H. (2016) Robust correlation: theory and applications. Chichester, West Sussex: John Wiley & Sons.
8. Lisitsin, D.V. & Gavrilov, K.V. (2008) Ob ustoychivom otsenivanii parametrov modeli pri asimmetrichnom zasorenii dannykh
[On stable estimation of models parameters in presence of asymmetric data contamination]. Nauchnyy vestnik NGTU. 32(1). pp. 33-40.
9. Gorbunov, V.M. & Sinyukova, E.A. (2014) Praktikum po distsipline "Teoriyaprinyatiya resheniy" [Workshop on the discipline
"Decision making theory"]. Tomsk: Tomsk Polytechnic University.
10. Podinovski, V.V. & Potapov, M.A. (2013) Metod vzveshennoy summy kriteriev v analize mnogokriterial'nykh resheniy: pro et contra [Weighted sum method in the analysis of multicriterial decisions: pro et contra]. Biznes-informatika - Business Informatics. 25(3). pp. 41-48.
11. Smolyak, S.A. & Titarenko, B.P. (1980) Ustoychivye metody otsenivaniya: statisticheskaya obrabotka neodnorodnykh sovokupnostey [Stable Estimation Methods: Statistical Processing of Heterogeneous Aggregates]. Moscow: Statistika.
12. Van der Vaart, A.W. (1998) Asymptotic statistics. Cambridge: Cambridge University Press.
13. DasGupta, A. (2008) Asymptotic Theory of Statistics and Probability. New York: Springer.
14. Lisitsin, D.V. & Gavrilov, K.V. (2023) Maximin problem of parameter estimation in conditions of point Bayesian contamination. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 62(1). pp. 56-64. DOI: 10.17223/19988605/62/6
15. Lisitsin, D.V. & Gavrilov, K.V. (2004) Robastnoe otsenivanie finitnoy modeli [Robust estimation of a finite model]. Sbornik nauchnyh trudov NGTU. 36(2). pp. 47-56.
16. Lisitsin, D.V. & Gavrilov, K.V. (2013) Estimation of the parameters of a compactly-supported model stable under the violation of compact supportedness. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki - Journal of Applied and Industrial Mathematics. 16(2). pp. 109-121.
Информация об авторах:
Гаврилов Константин Викторович - кандидат технических наук, доцент кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, Россия). E-mail: [email protected]
Веретельникова Евгения Леонидовна - доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматики Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, Россия). E-mail: [email protected]
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Gavrilov Konstantin V. (Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the department of Automatics, Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Veretel'nikova Evgeniya L. (Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the department of Automatics, Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 20.12.2023; принята к публикации 03.06.2024 Received 20.12.2023; accepted for publication 03.06.2024
