CC BY
1
Math-Net.Ru
К. Б. Сабитов, Об одном способе суммирования многомерных рядов, Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2023, номер 4, 745-752
001: 10.14498^^2069
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 109.252.33.182
29 сентября 2024 г., 12:18:00
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 27, № 4. С. 745-752
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) EDN: UMYSET
УДК 517.521.7
Об одном способе суммирования многомерных рядов
К. Б. Сабитов
d https://doi.org/10.14498/vsgtu2069
Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологии, Россия, 453103, Стерлитамак, пр. Ленина, 49.
Аннотация
Известно, что в курсах анализа кратные ряды рассматриваются лишь на понятийном уровне, приводятся их простейшие свойства. Широко распространены два способа суммирования кратных рядов Фурье — сферический и прямоугольный. В данной работе предлагается новый способ обоснования сходимости многомерных рядов путем их сведения к одномерному ряду, что позволяет применить известные утверждения для одномерных рядов к многомерным. В качестве иллюстрации указанного способа суммирования приведены примеры обоснования сходимости числовых и функциональных рядов.
Ключевые слова: многомерный числовой ряд, многомерный функциональный ряд, сведение к одномерному ряду, сходимость, равномерная сходимость, примеры.
Получение: 15 декабря 2023 г. / Исправление: 20 декабря 2023 г. / Принятие: 25 декабря 2023 г. / Публикация онлайн: 27 декабря 2023 г.
1. Рассмотрим положительный числовой ряд
те
il,i2,...,i„ = 1
где i1, г2, • • •, in G N, n ^ 2, aixi2...in — неотрицательные действительные числа.
Как известно, теория одномерных числовых и функциональных рядов достаточно полно изложена в курсах по математическому анализу. Однако кратные ряды в них рассматриваются на понятийном уровне (см. например, [1, с. 359-376], [2, с. 59-66], [3, с. 665-671], [4, §9.15] и др. авторов)
Дифференциальные уравнения и математическая физика Краткое сообщение
© Коллектив авторов, 2023 © СамГТУ, 2023 (составление, дизайн, макет)
3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования
Сабитов К. Б. Об одном способе суммирования многомерных рядов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2023. Т. 27, № 4. С. 745-752. EDN: UMYSET. DOI: 10.14498/vsgtu2069. Сведения об авторе
Камиль Басирович Сабитов А https://orcid.org/0000-0001-9516-2704 доктор физико-математических наук, профессор; главный научный сотрудник; сектор фундаментальных научных исследований; e-mail: [email protected]
СабитовК. Б.
и приводятся лишь их простейшие свойства. В монографиях [5,6] предприняты попытки систематического изложения теории двойных числовых рядов и некоторых важных классов функциональных рядов.
При изучении краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа и других в многомерных областях, например, прямоугольном параллелепипеде, цилиндре, эллипсоиде, возникают многомерные ряды по системе собственных функций соответствующей задачи на собственные значения. Решение таких краевых задач и определяется с помощью таких рядов с малыми знаменателями [7—11]. В связи с этим возникают вопросы по обоснованию сходимости многомерных числовых и функциональных рядов.
В данной работе предлагается новый способ обоснования сходимости положительного ряда (1) путем его сведения к одномерному ряду.
Для числа ai1i2.,,in через М определим максимум конечного набора натуральных чисел {i1,i2,... ,in}'-
М = max{i1, i2,..., in} = max {u}.
ЫМ/п
Лемма 1. Число членов (ц^...^ ряда (1), у которых хотя бы один из индексов ik, к = 1,п, равен М, определяется по формуле
Мп - (М - 1)п. (2)
Доказательство. При заданном натуральном М ^ 1 число всех членов аг1г2ряда (1), где индексы г^ не превосходят М, т.е. ги ^ М, к = 1,п, равно Мп и их для наглядности можно изобразить изолированными точками (целочисленными индексами) многомерного куба, расположенного в первом поликвадранте 1 ^ х^, к = 1,п, системы координат х\, х2, ..., хп. Тогда все точки такого куба с заданными М, т.е. хотя бы один из индексов ,
к = 1,п, равен М, лежат только на гранях Хк = М, к = 1, п. Внутри куба 1 ^ %к ^ М — 1, к = 1, п, не содержится ни одна такая точка. Следовательно, чтобы найти число членов ряда (1) с заданным М, надо из числа Мп вычесть число (М — 1)п. □
Лемма 2. При любом N е N справедливо равенство1
N N
0>^2..лп У ] 0>^2..лп . (3)
г!,г2,...,гп = 1 М=1
Доказательство. В левой части соотношения (3) всего членов. Найдем число членов из правой части (3), используя формулу (2):
N
Е
м=1
(Мп - (М - 1)п) = 1 + 2п - (2 - 1)га + 3п - (3 - 1)га + ■ ■ ■ +
+ (Ж — 1)га — (Ж — 2)п + — (И — 1)п = Это означает, что соотношение (3) является верным равенством. □
1 Отметим, что в правой части равенства (3) и далее по тексту работы суммирование ведется по новому индексу М и эту часть следует понимать как сумму членов ряда (1), у которых хотя бы один из индексов равен М.
Теорема 1. Пусть при больших М коэффициенты ряда (1) имеют оценку аг1г2..лп = 0(М-р), р = п + И, 0 < И < 1. Тогда ряд (1) сходится.
Доказательство. В силу формулы (2) число членов ряда (1) с заданным М имеет порядок Мп-1. Тогда ряд (1) мажорируется сходящимся рядом
те те те 1
аг1г2...гп = ^ ..Лп ^ С\ ^ <
г!,г2,...,гп = 1 М=1 М=1
где С. — здесь и далее положительные постоянные, не зависящие от п. □ В качестве использования теоремы 1 рассмотрим следующие примеры. Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
те1
V Т--:-г-—, а> 0. (4)
. .А' , (г 1 + г2 + ••• + 1п)а
Для этого общий член ряда (4) оценим следующим образом:
1 1 _ 1 1 1
паМ <* < (г 1 + ¿2 + ■ ■ ■ + гп)а = М (М + М + + М Г . (5)
Тогда ряд (4) оценивается рядом
те 1 те 1
. л (г 1 + г2 + ■ ■ ■ + in)a = ^ (i 1 + i2 + ••• + in)- <
гг ,12..лп = 1 М=1
те П/ГП— 1
<
мn-1 „ ^ i
мм^ = Е
М- 2 М-+1-n'
М=1 М=1
который сходится при а > п. С другой стороны, в силу (5) ряд (4) снизу оценивается рядом
1 „А 1
У Т^-—--Т" >СзУ
(l + 1 г, + . . . + 1 Л-
. . . . (г 1 + i2 + ■ ■ ■ + in)- ^ м--n+1'
гг ,12..лп = 1 М=1
Последний ряд при а ^ п расходится. Следовательно, ряд (4) сходится только при а > п.
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
те
_1_ (6)
iuJbn = 1 (г I1 + ^ + + ^ )- ' ( )
где а > 0, ßi > 0, i = 1, п.
Если все ßi = ß > 0, то ряд (6) сходится только при aß > п. Если не все ßi равны между собой, то ряд (6) сходится при aßm > п и расходится, когда aßM ^ п; здесь ßm = min {ßi}, ßu = max {ßi}.
Сабитов К. Б.
2. В этом пункте рассмотрим многомерный функциональный ряд
те
Е иг1г2..Лп(х), х е D с Rm, (7)
il,t2,...,i„ = 1
где п ^ 2, т ^ 1, ^ — ограниченная область.
В указанной выше литературе по математическому анализу и других публикациях отсутствует теория обоснования поточечной, или равномерной, сходимости ряда (7) в области D.
На основании леммы 2 рассмотрим N-ю частичную сумму ряда (7):
N
SN(х) = Y^ игц2..лп{х). (8)
М=1
Будем называть ряд (7) сходящимся в точке х е D, если в этой точке существует конечный предел последовательности частичных сумм (8):
3 lim SN (х). (9)
N ^те
Будем называть ряд (7) сходящимся поточечно в области D, если он сходится в каждой точке этой области в смысле сформулированного определения (9).
Будем называть ряд (7) сходящимся равномерно в области D, если последовательность частичных сумм Sn (%) сходится равномерно в области D.
Для последовательности Sn (%) справедливы все известные критерии и достаточные признаки равномерной сходимости.
В качестве применения указанного способа рассмотрим разложение непрерывной функции f (х, у) в прямоугольнике D = {(х, у) : 0 < х < р, 0 < у < q} в тригонометрический ряд Фурье по синусам:
Vmn(x, У) =
где р и q — заданные положительные числа. Этот ряд имеет вид
те
f (*,У)=Е fmnVmn(x,y), (11)
т,п=1
где
fmn — JJ f(x,y)v тп
D
при этом справедливо неравенство Бесселя
те
Е f2n < н/iiw (12)
m,ra=1
2 . тжх . nny
Sin-Sin ■
pq p q
(10)
Если ¡(х, у) е С2(Б) и /(0, у) = ¡(р, у) = 0, 0 < у < д, /(х, 0) = = /(х, д) = 0, 0 < х < р, то аналогично [12, с. 370-377], [2, с. 335-336] можно показать справедливость представления
1 = [|/тП^1 + 2| /тп^1 + /тп)] р + д )
■(V + П)-2 Е 1^1, (
т + ^-2 > цт;П'1 (13) г+з=2
где ¡тПг — коэффициенты Фурье производных при 9 по системе про-
изводных функций (10).
При этом аналогично (12) справедливы неравенства
V ц^р < (г6^»У«, = 2 . (14
т Ч? дхгду! ) У 66хг66у3 Ь2 (И) У
Пусть d = тах{р, д}. Тогда
1 ¿2 d2 1 < Т^^. (15)
(т + п)2 (+ Iп(т + п)2'
С учетом оценки (15) из (13) в силу неравенства аЬ < 1 (а2 + Ь2) имеем ¿\2 1
|/тп| < О (т + п)2 Е ^^
г+з=2
<
< (1 )2Нот+ ( хт**)) <
г+з=2
< 1 (1 )Хот+4£ ^. (16)
г+з=2
Тогда в силу оценок (16) и (14) ряд (11) мажорируется сходящимся числовым рядом
|2 <
те / те ^ +те \
С4 Е |/тп|Е отот+4 Е Е |^|2)
т,п=1 ^т,п=1 т,п=1
г+.=2
/ +те 1 +те ч
5: м1з + 4 £ Еий?|»).
ЧМ =1 0<г.<2, т,п=1 7
г+.=2
Сабитов К. Б.
так как в силу леммы 1 в ряде ^
(т+п)
1
4 число членов с заданным М
т,п=1
= max{m,n} имеет порядок 1, поэтому
Следовательно, ряд (11) при указанных выше условиях относительно функции f (х,у) сходится равномерно на D.
Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление
окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною
одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Библиографический список
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Физматлит, Лаборатория Знаний, 2003. 863 с.
2. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Т. 2. М.: МГУ, 1987. 358 с.
3. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. М.: Высш. шк., 1981. 584 с.
4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Дрофа, 2005. 509 с. EDN: QJPBXF.
5. Челидзе В. Г. Некоторые методы суммирования двойных рядов и двойных интегралов. Тбилиси: Тбилисский ун-т, 1977. 399 с.
6. Янушаускас А. И. Двойные ряды. Новосибирск: Наука, 1980. 224 с.
7. Сабитов К. Б. Начально-граничная задача для трехмерного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Современные проблемы математики и механики: Материалы международной научной конференции, посвященной 80-летию академика РАН В. А. Садовничего. М.: МАКС Пресс, 2019. С. 369-372.
8. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для двумерного волнового уравнения / Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной памяти академика А. А. Самарского, к 100-летию со дня рождения. М.: МГУ, 2019. С. 58-59.
9. Сабитов К. Б., Сидоров С. Н. Начально-граничная задача для трехмерного уравнения параболо-гиперболического типа// Диффер. уравн., 2021. Т. 58, №8. С. 1071-1080. EDN: LSLNUR. DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064121080082.
10. Sabitov K. B., Sidorov S. N. Initial-boundary problem for a three-dimensional inhomoge-neous equation of parabolic-hyperbolic type// Lobachevskii J. Math., 2020. vol.41, no. 11. pp. 2257-2268. EDN: GBAUPE. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220110190.
11. Сабитов К. Б. Начально-граничные задачи для уравнения колебаний прямоугольной пластины// Изв. вузов. Матем., 2021. №10. С. 60-70. EDN: RZSSHV. DOI: https://doi. org/10.26907/0021-3446-2021-10-60-70.
12. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II. М.: Физматлит, 2001. 453 с. EDN: UGLQPL.
Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2023, vol. 27, no. 4, pp. 745-752
d https://doi.org/10.14498/vsgtu2069
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)
MSC: 65B10
One way of summing multidimensional series K. B. Sabitov
Sterlitamak Branch of the Ufa University of Science and Technology, 49, Lenin Ave., Sterlitamak, 453103, Russian Federation.
Abstract
It is known that in analysis courses, multiple series are considered only at a conceptual level, and their simplest properties are provided. Two widely used methods for summing multiple Fourier series are the spherical and rectangular methods. The present study is devoted to a new method of proving the convergence of multidimensional series by reducing them to a one-dimensional series, allowing applicating known statements for one-dimensional series to multidimensional ones. Examples of justifying the convergence of numerical and functional series are provided as an illustration of this summing method.
Keywords: multidimensional number series, multidimensional functional series, reduction to a one-dimensional series, convergence, uniform convergence, examples.
Received: 15th December, 2023 / Revised: 20th December, 2023 / Accepted: 25th December, 2023 / First online: 27th December, 2023
Competing interests. I have no competing interests.
Author's Responsibilities. I take full responsibility for submitting the final version of the manuscript for printing. The final version of the manuscript has been approved by me.
Funding. The study was carried out without funding.
Differential Equations and Mathematical Physics Short Communication
© Authors, 2023
© Samara State Technical University, 2023 (Compilation, Design, and Layout) Q ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:
S ab i t ov K. B. One way of summing multidimensional series, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2023, vol. 27, no. 4, pp. 745-752. EDN: UMYSET. DOI: 10.14498/vsgtu2069 (In Russian). Authors' Details:
Kamil B. Sabitov & © https://orcid.org/0000-0001-9516-2704
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Senior Researcher; Sector of Basic Scientific Research; e-mail: [email protected]
Sabitov K. B.
References
1. Fichtenholz G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniia [Course of Differential and Integral Calculus], vol.1. Moscow, Fizmatlit, Laboratoriia Znanii, 2003, 863 pp. (In Russian)
2. Il'in V. A., Sadovnichii V. A., Sendov Bl. Kh. Matematicheskii analiz [Mathematical Analysis], vol. 2. Moscow, Moscow State Univ., 1987, 358 pp.
3. Kudryavtsev L. D. Kurs matematicheskogo analiza [A Course of Mathematical Analysis], vol. 1. Moscow, Vyssh. shk., 1981, 584 pp. (In Russian)
4. Bugrov Ya. S., Nikol'skii S. M. Vysshaia matematika. Differentsial'noe i integral'noe is-chislenie [Higher Mathematics. Differential and Integral Calculus]. Moscow, Drofa, 2005, 509 pp. (In Russian). EDN: QJPBXF.
5. Chelidze V. G. Nekotorye metody summirovaniia dvoinykh riadov i dvoinykh integralov [Some Methods of Summation of Double Series and Double Integrals]. Tbilisi, Tbilisi Univ., 1977, 399 pp. (In Russian)
6. Yanushauskas A. I. Dvoinye riady [Double Series]. Novosibirsk, Nauka, 1980, 224 pp. (In Russian)
7. Sabitov K. B. Initial-boundary problem for a three-dimensional equation of mixed parabolic-hyperbolic type, In: Modern Problems of Mathematics and Mechanics. Moscow, MAKS Press, 2019, pp. 369-372 (In Russian).
8. Sabitov K. B. Dirichlet problem for a two-dimensional wave equation, In: Modern Problems of Computational Mathematics and Mathematical Physics. Moscow, Moscow State Univ., 2019, pp. 58-59 (In Russian).
9. Sabitov K. B., Sidorov S. N. Initial-boundary value problem for a three-dimensional equation of the parabolic-hyperbolic type, Differ. Equat., 2021, vol.57, no. 8, pp. 1042-1052. EDN: OOAAGT. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266121080085.
10. Sabitov K. B., Sidorov S. N. Initial-boundary problem for a three-dimensional inhomoge-neous equation of parabolic-hyperbolic type, Lobachevskii J. Math., 2020, vol.41, no. 11, pp. 2257-2268. EDN: GBAUPE. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220110190.
11. Sabitov K. B. Initial-boundary value problems for equation of oscillations of a rectangular plate, Russian Math. (Iz. VUZ), 2021, vol. 65, no. 10, pp. 52-62. EDN: FCMYHQ. DOI: https:// doi.org/10.3103/S1066369X21100054.
12. Il'in V. A., Pozniak E. G. Osnovy matematicheskogo analiza [Fundamentals of Mathematical Analysis] Part II. Moscow, Fizmatlit, 2001, 453 pp. (In Russian). EDN: UGLQPL.
