CC BY
21
УДК 517.968
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТРЕХЭЛЕМЕНТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА КАРЛЕМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
О.А. Титов
В работе получен алгоритм решения второй основной трехэлементной краевой задачи типа Карлемана в классах кусочно-бианалитических функций, линией скачков которой является простая гладкая кривая. Указаны условия, при которых решение задачи может быть получено конструктивно и явно в интегралах типа Коши. Исследована картина разрешимости задачи и установлена ее нетеровость.
1. Постановка задачи. Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости переменного z = x + iy, ограниченная простым замкнутым контуром LeC^, а Т~ = С \ (г+ и ij. Для определённости будем предполагать, что точка 2 = 0 принадлежит области Т+ .
В дальнейшем, в основном будем пользоваться терминами и обозначениями, принятыми в [1]. Рассмотрим следующую краевую задачу (см. также [1], с. 287): найти все бианалитические
функции F(z) класса А2(Т+)Г\ H^(L), удовлетворяющие на L краевым условиям:
F+[a(t)] = Gu(t)F+(t) + Опфу) + gj(0, (1)
M=G2l(i)^)_Ga(0^(0+ig2(0, (2)
дп+ дп+ дп+
где д _ производная по внутренней нормали к L, a Gkj(t), gk (t) (k = 1,2; j = 1,2) - заданные дп+
на L функции класса H(2~k>(L) (Гёлъдера), a(t) - прямой или обратный сдвиг контура L, удовлетворяющий условию Карлемана
a[a(t)] = t, (3)
и такой, что a'(t) Ф 0, cc'(t) е H(L). Здесь в краевом условии (2) множитель (-1) при G22 (I) и мнимая единица i при g2 (0 введены для удобства в дальнейших обозначениях.
Следуя [1], в дальнейшем задачу (1), (2) будем называть второй основной трёхэлементной краевой задачей типа Карлемана в классах бианалитических функций или короче - задачей
GK32, а соответствующую ей однородную задачу (g[ (t) = g2 (t) = 0) - задачей GK®2 ■
В данной работе при некоторых ограничениях на коэффициенты краевых условий (1), (2) получен конструктивный алгоритм решения задачи СЖ32.
2. Об эквивалентности GK32 двухэлементной краевой задаче типа Карлемана
Известно [1], [2], что всякую бианалитическую в области Т+ функцию F(z) можно представить в виде
F(z) = <p0(z) + z<p1(z), (4)
где <р0 (z), <р{ {£) - аналитические в Т+ функции, называемые соответственно нулевой и первой аналитическими компонентами функции F(z).
Решение задачи (Ж32 будем искать в виде (4). Поскольку выполняется условие (3), то из краевых условий (1), (2) можно получить следующие равенства:
F+(t) = Gu [а(0]^+[а(0] + [«(О]^+ИО] + gi [а(0] > (5)
а^+(0 _ г /ліаг+[а(0] ^ г ,„дР*[а{0] . г /м ^
—-^ = с2і[а(()]-^к п - в22[а{ґ)}—+ ^2[ог(0]. (6)
оп+ дп+ дп+
Далее, переходя в соотношениях (1), (2) к комплексно сопряжённым значениям, получим:
Р+[а(рЗ = в^)Г\Т) + С^+ (0 + ІЛ0, (7)
^Х0] тг-тгЖИ) тг-^а^(0
= ^"21(0 л --ig.it)• (8)
Эя+ ди+ дп
Наконец, подставляя в (5) и (6) вместо ^+[ог(01——и іг+[сї(/)],—————
ч ^ их зна-
дп+ дп+
чения из (1), (2) и (7), (8) соответственно, будем иметь:
4(0^40 = ВД^+(0+#і(0, (9)
„ /ч^+(0 п/я^+(0 .гг,ч
А (0 = ~52 (0-7-12+*#2 (0 > (Ю)
ди. стг
где
Л (0 = 1 - ^41 [« (0К*И (0 “ С*2 [«(0К**2 (0> 0 1а)
вк(0 = оыИ0]с?и(0 + с?и[а(0]ё^(0, (116)
^*(0 = С'*1[а(0к*(0 + ^*2[«(0к*(0 + Я*[а(0], * = 1,2. (Пв)
Равенства (9), (10) представляют собой краевые условия двухэлементной задачи типа Карле-мана в классах бианалитических функций.
Таким образом, при выполнении условий (3) трехэлементная краевая задача (Ж32 приводится к эквивалентной двухэлементной задаче вида (9), (10).
Из структуры равенств (9) и (10) вытекает, что далее целесообразно различать следующие четыре случая:
1) либо выполняются условия:
Ак (0 Ф 0, Вк (0 Ф 0, Нк (0 ф 0, Г е 1, к = 1,2; (12а)
2) либо выполняются условия:
[А, (/) Ф 0,ВМ) Ф О, НМ) Ф 0,/ е Ь,
{ 1 1 1 (126) [4(0 э о,д2(о з о,я2(о з о,1 е ц
3) либо выполняются условия:
Ц(0 = 0, Д (0 з 0,Я,(0 г 0,* е £,
^ (12в)
[А2 (?) Ф 0, В2 (?) ^ 0, Н2 (0 ФО^еЬ;
4) либо выполняются условия:
Ак (0 = 0, Я* (0 = 0,Я, (0 = 0,* е 4* = 1,2. (12г)
3. О решении задачи ОК$2. В данной заметке ограничимся рассмотрением случая 2), т. е.
всюду в дальнейшем будем предполагать, что выполняются условия (126).
Заметим, что если перейти в формуле (9) к комплексно сопряжённым значениям, то получим:
а^)7^) = ЩГ)р+(0+7ЦГ). аз)
Далее, исключая из равенств (9), (13) выражение ^+(0, будем иметь:
$4 «|2 -| Д «|2 )• Г1 (0=Щн,«)+В, (ОВД, (М)
Так как выполняются условия (126), вместо соотношения (10) будем пользоваться краевым условием (2). Учитывая формулу (см., например, [2], с. 304)
дп. I 3? 3^,
(15)
а также представление (4), равенства (2), (14) можно переписать в виде:
(л, (?)|2 - \вх (ОҐІ<рі (0 + ~І(РІ (0)= 4(0#, (О + в, (оя, (0,
(16)
ссуу
- <^21 (0
ґ еі<рІ(а{ґ))
ж
+ а{і)
#Г(«( 0)
Ґ
\ V
&
Ж
(0
+
(17)
+ С22 (?)
V V
СІІ
СІІ
+ £2(0,
В силу равенства (16) нетрудно заметить, что если |4(0|= |-®і(0|»
но
4(?)Я1(?) + В\(ґ)Ні(і) Ф 0, І е I, то, очевидно, задача СА%2 будет неразрешима. Поэтому при дальнейшем исследовании задачи СК^ следует отдельно рассматривать следующие два подслучая:
а)Ц(0НД(0|> <18а)
б) и,(?)| = |Д(0|, А1(і)Ні(і) + В](і)Н1(і) = 0, /ЄІ. (186)
3.1. Пусть выполняются условия (18а). Тогда из (16) будем иметь:
<Po(t) + t<PЇ(t) = q(t),
где
я( 0 =
Ах{щ^)+вхт^)
(19)
(19а)
|4(0Г-|я,(0Г
Поскольку ищутся решения задачи класса А2(Т+)Г\ Н(2\Ь) и, кроме того,
ц(/) € Я(1)(1), то, дифференцируя по ? из (19) получаем:
ММ+?ММ+£_^(0 = М).
Л сії і Ж
Подставив в (20) а(0 вместо /, перепишем соотношение (20) в виде
сі<рц(а(і)) -—-сі(рх(а(і)) а\0?
■ + яг(?)
+ •
-^Г(«(0) =
Ж йі а'(0?; '1 4 4 " ^
Кроме того, находя из (20) комплексно сопряженные значения, получим:
(її
• + /
<іі
+ гт^Г(0
dq{t)
Ж
Наконец, подставляя в равенство (17) вместо
(0 (0 («(0)
Л ей
найденные по формулам (20), (21) и (22) соответственно, имеем:
Л
(20)
(21)
(22)
их значения,
где
<р; (а( 0) = О, (/М+ (0 + о2 (0< (0 + *(0,
-,с2(0
а ли
1 /У VА]
#(0 =
(23)
е,(о = 2^,с2(о = £%^,
а (0 а (г)
1 аЩ^фИО) 1 ^2^21 (О Ф(0
(24)
2 а'(0 & 2 а'( ?)
1(?22(0Ф(0 1 1 ^(0
(к
2 а'({) Ж 2 а'^У Соотношение (24) представляет собой краевое условие обобщенной задачи типа Карлемана относительно аналитической в области Т+ функции <рх (г) . Решая указанную задачу, например, методом, изложенным в [4], получаем (в случае ее разрешимости) аналитическую функцию
Далее, подставляем в (19) вместо (рх (?) граничное значение найденной функции (р] (г) . Соотношение (19) будет представлять собой краевое условие задачи об аналитическом продолжении относительно аналитической в области Т+ функции <р0(г). Решая ее, находим функцию
<Ръ(2)-
Тогда решение искомой задачи (Ж32 (в рассматриваемом случае) можно получить по формуле
Р(?) = Фъ{?) + яр\(.г)> (25)
где <Ро(г) - решение задачи об аналитическом продолжении, а <рх{г) - решение обобщенной задачи типа Карлемана (23).
Итак, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Если на контуре Ь выполняются условия (126) и (18а), то решение задачи сводится к последовательному решению обобщенной задачи типа Карлемана (23) относительно аналитической в Т+ функции (рх (г) и задачи об аналитическом продолжении (19) относительно аналитической в Т+ функции <р$ (г), причем исходная задача ОК^ разрешима тогда и
только тогда, когда разрешимы обе эти задачи.
3.2. Предположим теперь, что выполняются условия (186). Тогда с учётом формул (4) и (15), краевые условия (2) и (9) перепишутся в виде:
<Ро (0 + *<р1 (0 = -Г7Т (к (0 + !(Р\
вх(0
аУУ
МО
4(0
Гс/<р0+(а(0) , —с?<рх+(а(0)Л
(о)+
я,(0
МО
(26)
дх
■ + ог(0-
&
( /#о(0 + -^Г(04
г
V V
Ж
&
*’(рх (0
У
+
(27)
+ с22 (О
Вводя обозначения:
Г / I'
й<Ро(0 | ~<М+(0
ш ж
-*К(0
+ &2(0>
4(0
краевое условие (26) можно записать так:
4(0
М!
4(0
(28)
(р+0 (?) = <70(*)Ро+ (0 + £о(0 ■ (29)
Нетрудно проверить, ЧТО В силу условий (186) ДЛЯ функций Сго(О,:0о(О на контуре I вы-
полняются следующие соотношения:
(О^о (0 = Ь^оСОбоСО + бо(0 3 о ■ (3°)
Следовательно, если временно предположить, что ^о(0 ~ известная функция, то равенство
(29) представляет собой краевое условие задачи Гильберта относительно аналитической в области Т+ функции (?) (см., например, [3], с. 174). Кроме того, при выполнении первого из соотношений (30) индекс Коши функции в0(Г) является четным числом, т. е.
1
!Co=ZT-{a^Go(0}L=2m0
in
(31)
Известно (см., например, [1], с. 167 или [3], с. 188), что решение задачи Гильберта (29) при
Л"о — 0 можно задавать формулой:
2т IT-z
(32)
Г 1 'у 1
где Х0(2) = 2т° ехр<--------|--------с1т > - каноническая функция задачи (29), /Л0(?) - решение
[2т I т — г \
интегрального уравнения Фредгольма вида
1 r2 (<r)
t-t г-t
fiG(t)dz
gp(0
(33)
^0
a %(z) = X0- общее решение соответствующей (29) однородной задачи Гильбер-
І=0
та.
Если же Kq < 0, то при выполнении следующих — лг0 — 1 условий разрешимости
1ш_1_ fM^jr = o, Re— =
J r?+1 J r'+1
(34)
2т •’ тч+> ' 2т * т]
I £
д = 0,1,...,-/я0 -1; у = 1,2,...,-т0 -1, решение задачи (29) также задаётся формулой (32), где в выражении для %(2) вместо
X (2) НУЖН0 подставить постоянную 8{) = -11е| —0 — с1т 1.
)=0 12л1' I т )
Так как однородное уравнение Фредгольма (2/и0)(1) = 0 имеет лишь нулевое решение (см., например, [3], с. 176), то неоднородное уравнение (33) будет иметь единственное решение. Пусть
//о(/) = £Ш+ Гд
Х0(?) I Х0(т)
■dr
(35)
есть решение уравнения (33), где R0(t,г) - резольвента ядра
1 1 т2 (а)
2т т-t т-t
(36)
Подставляя в правую часть равенства (32) вместо функции /4)(0 её значение из формулы (35), получим (см. также [1], с. 169):
ї'о(2)'
(37)
где
2яг'*Х0(г) т-г ь
2 та I г, - г
Далее, переходя к пределу при г -> / е X , из (37) (с учётом обозначения (28)) будем иметь:
(38)
(pl (О = -tip* (О + |А (и (j)dr + fE0 (t, т)ф[ (r)dT + М0 (t),
где
D0(t, т) = -
Хо(0
ґ -
2m
Xo(r) Х0(0
1
т-t Xq (г)
2лг 4(0
X0(r) Xo(0 r-f
1 .+гВД)М)Ді((,г),
(38a)
r-r 4(0 x0(r)
#1(0 ^Xq(0 г Щ(т) dr
^0(о=ад+—+
ow 0 24(0 2лг zJ4(r)X0(r)r
f
^ + X0(Oj«1«,r)-7^rr*. -f г Л,(т)Хп(т)
£ 4№о(т)
Замечание 1. Важно заметить, что поскольку £еС2, а Оу(1)^х({)еН®(Ь), ядра
В0(?,г),£0(?,г)€^(1x1), а функция М0(Ое#^(£)-
Теперь, дифференцируя по /, из (38) (с учетом замечания 1) получаем:
^0=_^^0_^1+(0+ (Г, г)^+ (г)Л г +]*£, (?, г)^+ (г>/г + , (39)
dt
где
А(,,т)=ам;£)і£і(<!г) = 3£0(^)
a? ' э*
Подставив в (39) a(t) всюду вместо t будем иметь:
dtp о (от (О) J" +
dt
(39а)
_«(t) ММ01 _ (а (0) +
а'(0^ + |і)1(а(/1), «(г))^^ (<2(г))а'(г)й?г +
і
+ [^(«(О, ог(г))^1+(а(г))а,(^)<^^ + —
І ^
Кроме того, переходя в (39) к комплексно сопряжённым значениям, имеем:
(40)
d^f)=_tdM)j +w+ w(,>t.)^(r)rfr+j£;((,r)^(r)*+^M), (4i)
dt dt t r , dt
где
A* (*, 7) = Д (/, r)r'2 (cr), £* (/, r) = £, (/, r)r'2 (o-) .
(41a)
Наконец, подставив в равенство (27) вместо О ? ^ ^их значения, най-
Ж (к ’ (И денные соответственно по формулам (39), (40), (41), получим:
<Р\ («(0) + С2 (0^1+ (0 + К2 (0(/) + |£>2 (/, Г )^+ («(г ))аТ +
__________ 1 _______ (42)
+ \Е2(*,т)$ (а(т))4 т + \оъЦ,т)(р^ {т)(1т +\еъ^,т)$ (т)с1г = 02(О,
где
0,(0=-Шк2m=о = - .
а (0 or (/) 2a (r)t
E2(t, r) = -
2а'(0^
А(^г) + (42a)
2а (f)/ х >
£3(/,r) = 2^w(G2lWi:i(/’r) + G22(0A*(r,r))!
1 '
Ш0 = :
(0^(0+G (0^М> _ (/)
at at
2a\t)t'
Соотношение (42) представляет собой условие обобщенной краевой задачи типа Карлемана. Решив ее, можно найти аналитическую функцию (рх (z). Далее, подставляя граничное значение <px(t) найденной функции (px{z) в свободный член Q0(t) обычной задачи типа Карлемана (29), а затем, решая последнюю (в случае её разрешимости), находим аналитическую функцию (р§ (г).
Тогда решение искомой задачи GK^ (в рассматриваемом случае) можно получить по формуле
F{z) = (pQ(z) + z(pl(z), (48)
где <Pq (z) и (рх (z) - решения задач (29) и (42) соответственно.
Таким образом, установили следующий результат.
Теорема 2. Если на контуре L выполняются условия (126) и (186), то решение задачи GK32 сводится к последовательному решению обобщенной задачи типа Карлемана (42) относительно аналитической в Т+ функции (px{z) и обычной задачи типа Карлемана (29) относительно аналитической в Т+ функции фо (z), причем исходная задача GK32 разрешима тогда и только тогда, когда разрешимы обе эти задачи.
Литература
1. Расулов, К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / К.М. Расулов. - Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. - 343 с.
2. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. - М.: Наука, 1977. - 640 с.
3. Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. - М.: Наука, 1977. - 448 с.
4. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. - М.: Наука, 1970.-379 с.
5. Примачук, Л.П. О краевой задаче с сопряжением / Л.П. Примачук // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1967. - Т. 4. - С. 59-62.
6. Голузин, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. -М.-Л., 1952.-540 с.
Поступила в редакцию 20 ноября 2006 г.
