Об одном способе описания возмущенного движения спутника Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И То м V 197 4

№. 6

УДК 521.31

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ОПИСАНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА

М. Ю. Беляев

Получены аналитические соотношения для расчета возмущенного движения спутника в поле сжатого сфероида. Движение спутника рассматривается в плоскости, неподвижной относительно системы координат, вращающейся с постоянной скоростью. Расчет движения спутника по найденным соотношениям оказывается точнее, чем в случае использования более сложных формул в оскулирующих элементах. Приводятся результаты расчетов на ЭЦВМ, иллюстрирующие это обстоятельство.

Вследствие влияния различных возмущающих факторов движение спутника всегда отличается от кеплерова. Реальная траектория спутника представляет некоторую сложную пространственную кривую.

Для широкого класса задач, в том числе и при решении навигационной задачи на борту КА, важно иметь простые конечные соотношения, позволяющие точнее определять положение спутника на орбите при ограниченном времени на вычисления.

Существует несколько способов описания возмущенного движения спутника. В работах [1, 2] рассмотрено использование для этой цели вращающейся системы координат (ВСК). Показано, что введение ВСК позволяет получить конечные соотношения, не уступающие по простоте соотношениям, полученным на базе уравнений в оскулирующих элементах (УОЭ) и вместе с тем более точные, В настоящей статье показано, что для орбит с эксцентриситетом е < 0,01 можно существенно упростить полученные в [2] соотношения.

Поместим в центре масс планеты начало инерциальной декартовой системы координат O^'0У0Z0 (см. фигуру). Введем систему координат ОХ'У'Е', которая вращается вокруг оси OZ0 с некоторой постоянной скоростью. Значение этой скорости будет определено ниже.

Попытаемся найти такое движение спутника, которое происходит в плоскости, неподвижной относительно системы координат ОХ'У'Х'. На возможность построения такого Движения указано, например, в [3], где рассмотрено движение спутника в поле сжатого сфероида.

Решение уравнений возмущенного движения спутника в [3] было найдено в предположении, что искомые функции могут быть разложены в степенные ряды относительно некоторого малого параметра. Оказывается, что с точностью до членов первого порядка относительно эксцентриситета орбиты е элементы, определяющие положение орбитальной плоскости в пространстве не испытывают возмущений относительно системы координат ОХ'У Е' [3]. По аналогии с [3[ будем искать возмущенное решение с точностью до членов первого порядка относительно е.

Положение ВСК OXYZ относительно опорной системы координат ОХ0У0г0 задается углами Эйлера [1]. При этом

'лоскость

зкіатора

Фиг.

-«■ Э'Ш (']> + V) ;

№

X

?=■

ХУ

■С08(ф + V);

(1>

где /? — расстояние от начала координат до спутника;

V — угол между осью ОХ и радиус-вектором спутника;

Ъху, Аг — параметры, определяющие закрутку ВСК.

Введение новой переменной и = <1’ + \' позволяет уменьшить количество уравнений (1) на одно:

& =

дт81п а;

ср

ху

СО ЭМ.

(2)

9? бШ <

Связь переменной V со временем t дается соотношением [1]:

(¿V _ Ь

где Ь — кинетический момент спутника в ВСК.

Соответствующее уравнение для переменной и имеет вид:

іы ЧІ ''

Аху

Л3 вігі &

созосоэ а

(3>

В качестве возмущения по аналогии с [2] будем учитывать влияние второй гармоники в разложении геопотенциала в ряд по

4—Ученые записки ЦАГИ № 6

сферическим функциям, что является достаточным для ряда практически важных задач. Начальные значения параметров кх,„ \г выбираются таким образом, чтобы траектория спутника в ВСК была замкнутой кривой [2]. Считаем, что спутник движется по орбите с эксцентриситетом, не превышающем 0,01.

Соотношение (3) с достаточной степенью точности можно заменить следующим:

- к. (4)

(И

так как величина отношения (к2 + <р сое &)/£ практически для всех орбит на три порядка меньще единицы.

Переход в уравнениях (2) к независимой переменной и дает с последующим интегрированием

А -

sin 28 eos 2и -f о (е)

?0

ец

eos 0

и I sin 2и

(5)

где г и ^ — параметры в разложении геопотенциала [4]. В соотношениях (5) члены, содержащие эксцентриситет, опущены.

Полученные соотношения (5) определяют положение плоскости ХОУ в пространстве. Согласно (5) плоскость ХОУ при наличии возмущающей силы совершает сложное пространственное движение. Однако, как было отмечено выше, в рамках принятой точности можно построить такое движение спутника, которое происходит в плоскости, имеющей постоянный наклон к экватору. Ясно, что при малых возмущающих силах эта плоскость будет близка к плоскости ХОУ.

Выразим положение этой плоскости в пространстве через элементы ВСК. Пусть искомая плоскость имеет наклон & к плоскости Х0ОУ0 и положение спутника в ней определяется углом и, отсчитываемым от Х0ОУ0.

Радиус-вектор спутника одновременно принадлежит обеим плоскостям (плоскости ХОУ и искомой плоскости). Поэтому можно записать:

sin б = -р- = sin и sin [8 (и)] = sin и sin '

(6)

где 8 — широта спутника, 8 (и) берется согласно (5). Тождество (6) справедливо для любого момента, в том числе и когда

sin 0 = sin (6max). (7)

Обозначим

(и) = sin и sin &,

Ф2 (и) = sin и sin [8 (и)].

Функция <¡>¡(u) достигает максимума при и = 90°. Можно показать, что функция Ф2(и) также имеет максимум при значении и, равном 90°. Поэтому, принимая во внимание (6) и (7), можно записать

sin8|íT=90° = sinl&(w)]|„=90“,

откуда

(В)

где &0—значение 8 при « — О,

У = -^4 Э1П 2&,

(9)

Значение у практически для всех случаев не превышает величины 0,4-Ю-3.

Полагая, что в найденной плоскости и = и-\-Ь, где 8 — малая величина, найдем, используя (5), (6),

т. е. прецессия линии узлов найденной плоскости происходит с постоянной скоростью.

Таким образом, показано, что относительно системы координат ОХ'У Я, вращающейся вокруг оси OZ0 со скоростью, определяемой выражением (10), можно, в рамках принятых допущений, рассматривать движение спутника в неподвижной плоскости.

•Использование для расчета движения спутника соотношений (8)—(10) либо формул (5) дает одинаковый результат с точностью до величины порядка р. В этом нетрудно убедиться простой подстановкой тех и других соотношений в известные формулы, определяющие координаты спутника в опорной системе координат [4].

Интересно отметить, что и для случая уравнений в оскулирую-щих элементах можно получить соотношения, аналогичные (8) — (10). Однако, несмотря на то, что структура формул (8) -(10) и аналогичных соотношений, получаемых с помощью уравнений в оску-лирующих элементах, будет одинакова, плоскости, определяемые этими формулами в инерциальном пространстве, не будут совпадать. Это обстоятельство обусловлено тем, что вследствие специального выбора вращения неинерциальной системы координат элементы ВСК, входящие в формулы (8) — (10), будут отличны от соответствующих оскулирующих элементов.

Оценим точность полученных формул. Соотношения (8) — (10) будем сравнивать формулами, полученными на базе уравнений в оскулирующих элементах [5]. Это вызвано двумя обстоятельствами. Во-первых, уравнения в оскулирующих элементах наиболее широко освещены в литературе [4, 5]. Во-вторых, отмеченная в [1,2] аналогия между элементами ВСК и оскулирующими элементами облегчает и делает подобное сравнение более наглядным.

За меру точности определения положения спутника примем величину

8 = — у с1§^ 00 з!п 2и.

Далее, полагая, что 8<р = 8ср— д (см. фигуру) из сферического треугольника ЛВС, получим:

Д =— -тгтх соэ 80 вт 2и,

(10)

Д# = |#ЭТ — /?ан |,

(П)

где — рассчитывается с помощью аналитических формул,

а значение R3r получается с помощью численного интегрирования точных уравнений движения.

Для определения расстояния от начала координат до спутника будем пользоваться формулой (4):

1 +ЙС05Г(И-С0В) ’

где р, е, ши — параметр, эксцентриситет и угловое расстояние перицентра эллипса в ВСК соответственно.

Отметим, что вследствие специального вращения ВСК скорости спутника в ней и в инерциальной системе координат не совпадают и, следовательно, эллипс в ВСК будет отличен от соответствующего оскулирующего эллипса.

Вывод уравнений для е, ши аналогичен выводу уравнений для соответствующих оскулирующих элементов [5]. Так как в ВСК на спутник действует только центральная сила, в дифференциальных уравнениях для е и <*>„ отсутствуют бинормальная и нормальная составляющие возмущающей силы:

-g=-f (5 + ^)sin(«-coa);

4г = - -Z7 (5 +*)'с08 (« - + Ф ’

где

(3 sin2 8 sin2« — 1),

¿X, + Х*).

Соотношение (14) представим в виде

А-----

где

а= х*у + х*

R1

(13)

(14)

2 L\z '

Оказывается, что для любых орбит величина а на три порядка меньше единицы. Поэтому в дальнейшем полагаем

(15)

Так как рассматриваются орбиты с малыми эксцентриситетами, элементы е и шй целесообразно заменить следующими:

r¡ = е sin 0)в и \ — е COS С0в.

Дифференциальные уравнения для них запишутся следующим образом:

%--JrlS + X)co'u + H-, |

//£ I Ич)

(S+ *) sin и-)

Решение последних уравнений ищем в виде

Т) = '»¡О + Ч 5 = 50 + 8^>

где т]0, £0— значения рассматриваемых элементов в начальной 52

точке « = и0; 8| — возмущения этих элементов при дальнейшем

движении спутника по орбите.

Интегрирование (16) с учетом (4) и (15) дает

8t¡:

4-Л - 14-чо f 1

"f

12

24

-So

л) + й(1-

0

23

24

sin M -f

sin 3« +

1

+’lo--g-écos2 и—^¿cos4«

+ -L k sin 4« + (2 —%-k\u

48

-------k) Sin2tó -i~

6

+ ^0

- k sin 5й (Eo -- 40) + ~k--------------eos 311 —

— ■24 k COs 5m + (k — l)«sinM

(17)

81 =

ÜÍL

67

_13_

24

A

COS U -f

+

Í2~

12

48

~2~ k — 2 ) íí -f-

-f (-¡V*---------------¿-J sin 2и -j- -jíg-A: sin4tt

eos 3« 4- y¡0 ------k eos 2и+ k eos 4h

+

+ с os 5w (So — 4o) + 40 (1 — k) и sin и + -/Jo ?0 iy-j-k---|-)sina +

+ l"I7 “ Ж sin Зи + ik k sin 5и

(18)

тде k — sin2 d0.

Объединяя (8), (10), (17), (18), запишем формулы расчета движения спутника, причем в соотношениях (17), (18), как и прежде, яе будем учитывать члены порядка эксцентриситета:

»“»о + 2/;

ер

?о — jrcos »0 и;

ÜÍL

L*

Ч±

L*

т*-

1) sin и+ -jg- k sin Зи

5 \ 1

COS и + -J2 k cos Зи

+ О (в)

+ о(е)

(19)

Если вместо переменной и использовать переменную V, необходимо дополнительное уравнение для <|>. Точность расчета движения спутника по конечным формулам при использовании переменных V и « отличается незначительно.

Для сравнения точности полученных соотношений и известных формул [5] были проведены расчеты с помощью ЭЦВМ для вариантов орбит, приведенных в табл. 1.

В табл. 1: е, г,/>, ш, Й — общепринятые оскулирующие элементы; л0—начальное значение аргумента широты спутника.

В табл. 2 и 3 приведены максимальные значения АД [м] для •случая использования А) приведенных выше соотношений (19) и В)

неупрощенных формул, полученных с помощью уравнений в оску-лирующих элементах [5]. В табл. 2 даны максимальные значения А/? на первом витке полета спутника, в табл. 3 —на витке, рассматриваемом после двух суток полета.

Таблица 1

Номера орбит е і р, км о) Q ы0

I 0,0018 51,51° 6634 50° 0 0

II 0,01 51,51° 6634 СЛ О о 0 0

III 0,005 63,43° 664 СЛ О о 0 0

IV 0,0018 1° 6634 СЛ о о 0 0

Таблица 2 Таблица 3

Номера орбит Системы Номера орбит Системы

А) ВСК В) УОЭ А) ВСК В) УОЭ

I 40 90 I 1107 2843

II 100 90 II 1102 2907

III 61 91 III 640 2864

IV 30 186 IV 136 7626

Из приведенных результатов следует, что полученные в работе простые соотношения оказываются значительно точнее более сложных неупрощенных формул в оскулирующих элементах [5]. Это обусловлено тем, что вследствие специального выбора начальной скорости вращения неинерциальной системы координат промежуточная орбита спутника в ВСК, используемая в соотношениях (19> в качестве нулевого приближения, оказывается существенно ближе к истинной траектории спутника по сравнению с кеплеровым эллипсом [4, 5]. Поэтому точность аналитических формул во вращающейся системе координат выше точности соотношений, полученных на базе уравнений в оскулирующих элементах [2]. Увеличение точности оказывается настолько значительным, что даже несмотря на принятые при выводе соотношений (19) упрощения точность полученных формул осталась выше точности соотношений [5].

Автор благодарит В. П. Семенко и Ю. Н. Зыбина за полезные обсуждения и советы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Семенко В. П. О движении спутника в неинерциальной системе координат. Труды вторых чтений, посвященных разработке научного наследия Ф. А. Цандера. М., 1973.

2. С е м е н к о В. П. Анализ движения спутника сфероидальной планеты во вращающейся системе координат. Космические исследования, 12, № 4, 1974.

3. Roberson R. Journal of the Franklin Institute, 264, № 3, 4, 1957.

4. Эльясберг П. E. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М., „Наука“, 1965.

5. Тихон равов М. К., Я цу некий И. М., Максимов Г. Ю., Б а ж и н о в И. К., Гурко О. В. Основы теории полета и элементы проектирования искусственных спутников Земли. М., „Машиностроение“, 1967.

Рукопись поступила 21 /IX 1973 г.