Об одном случае вогнутости функции расстояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. Б. Коноплев

УДК 517.972

ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ВОГНУТОСТИ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ

Пусть X, Y конечномерные нормированные пространства над R. Рассмотрим многозначное отображение F : X —> 2Г, действующее из X в Y, т. е. отображение, значениями которого являются подмножества пространства Y.

Введем обозначения, которые будут использованы при изложении результата статьи. Множества

domF = {xeX\F(x)*0}, grF = {(x,y)e XxY\y&F(x)} называются соответственно эффективной областью и графиком многозначного отображения F.

Определение. Многозначное отображение называется выпуклым, если его график является выпуклым множеством в X х Y.

Хорошо известен [1, с. 101] следующий факт.

ЛЕММА. Многозначное отображение F(x) является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется следующее включение:

F (а ху + (1 - а) х2 ) з а ) + (1 - а )F(:с2 ), для всех хь х2 е X и а е [0,l}

Для любых точек х е dorn F и у е Y определим функцию расстояния следующим образом:

^(z) = inf{||^-v|| V6F(*)1 Z = (x,y).

Эта функция используется в негладком анализе для исследования топологических и дифференциальных свойств многозначных отображений и маргинальных функций [2].

ТЕОРЕМА. Пусть DczX xY - выпуклое, замкнутое множество, обладающее непустой внутренностью, а отображение F удовлетворяет условиям

dornF = prxD, grf = domF xY\D. (1)

Тогда функция расстояния dF{z) вогнута на множестве D, то есть для любых 2x,z2eD выполняется неравенство

dF(cLzl+{\-a)z1)>adF{z{) + (\-a)dF(z2), ае[0,1].

Доказательство. Обозначим

G{x) = {yeY\dF{x,y)> 0}, G{x,v) = {yeY\ \\у-v\\<dF{x,v)). Из условий (1) следует, что F(x) = {yeY \ dF(x,y) = 0} для всех JcedomF. По определению G(x) это означает, что F(x) = Y \ G(x) для всех х е dorn/7.

55

Выпуклость G(x) следует непосредственно из определения многозначного отображения G(x), условий (1) и свойств выпуклых множеств (см., например, [3, гл. 2]).

1. Покажем, что

G(x,v)cG(x) (2)

для всех хе dorn F, veY:

а) если v£G(x), т. е. dF{x,v) = 0, то G(x,v) = 0 и (2) очевидно выполняется;

б) пусть теперь veG(x), т.е. по определению G(x), dF(x,v)> 0. Возьмем произвольно у е G(x, v). Это означает, что

dF(x,v)>$p-)\bO. (3)

Очевидно, что достаточно рассмотреть случай, когда у Ф v. Предположим противное. Пусть yiG(x), т.е. dF{jc,v) = 0. Тогда yeF(x), что означает справедливость неравенства

||v - у\\ >mf|v-w||| w € F(x)}= dF(x,v).

w

Это противоречит (3).

2. Возьмем произвольно точки zl = (xltyi), z2 = (х2,у2): z,,z2eD. По лемме и в силу доказанного в пункте 1 имеем

G(axl+(l-a)x2)=>aG(zl) + (l-a)G(z2), ае[0,1]. (4)

Рассмотрим множество точек, удовлетворяющих неравенству Цос^ + (1 - а)у2 - у\\ < а dF (г,) + (1 - a)dF (z2), а е [0,1].

Множество всех таких точек образует в пространстве Y открытый шар с центром в точке tx j^j + (1 - си)у2 и радиусом

a.dF{zl) + (1 -a)dF(z2). Обозначим его S.

Покажем, что шар S будет принадлежать выпуклой комбинации G(zt), G(z2). Построим точки

v ae[o'i]'/=1'2-

adF^zl) + {y-a)dF{z2)

По построению видно, что у, е С(хпу,), у = ау1 + (1 - a)j>2. Таким образом, любая точка шара S может быть представлена как выпуклая комбинация точек из G(Z[), G(z2). Объединяя этот факт с включением (4), получим

S с G(а х1 + (1 - а)х2), а е [0,1]. (5)

3. Заметим, что включение (5) равносильно следующему

F \ S з У \ G(axi + (1 - a)jc2), ае[0,1].

А это означает, что справедливо неравенство

inf{||a^ + (l-a)^2-v||| veS}<

V

<inf + (1 - a)y2 - v|| | v e F(ccxx + (1 - a)x2)}=

= dF(azl +(l-a)z2), ае[0,1]. Значение левой части неравенства совпадает с радиусом шара S, откуда и следует утверждение теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М., 1980.

2. Митенко Л. И., Борисенко О. Ф., Грицай С. П. Многозначный анализ и возмущенные задачи нелинейного программирования. Минск, 1993.

3. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., 1973.

УДК 513.88

В. В. Корнев, А. П. Хромов

ТЕОРЕМА О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРЕМЕННЫМ ПРЕДЕЛОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ*

В пространстве ¿2[0,1] рассмотрим интегральный оператор

Af=]XA(\-x,t)f(t)dt, (1)

о

где А(х,() п раз непрерывно дифференцируема по х и один раз по t при

0<t<х<1и dj

~—A(x,t) = ö„_u (5„_l y - символ Кронекера, j = 0,...,и).

Имеет место следующая теорема равносходимости. ТЕОРЕМА 1. Для любой /(х) е ¿[0,1]

lim шах |5г(/,л:)-ст-(/,д:)| = 0,

г—>оо0 <6^x^1-5 '

где Sr(f,x) - частичная сумма ряда Фурье по собственным и присоединенным функциям оператора (1) для тех характеристических чисел, для ко-

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.