CC BY
2Труды МАИ. Выпуск №84 www.mai.rU/science/trudy/_
УДК 519.71
Об одном семействе критериев качества в задаче стабилизации движения в окрестности коллинеарной точки либрации
Шмыров А.С.*, Шмыров В.А.**
Санкт-Петербургский государственный университет, Университетская наб., 7/9, Санкт-Петербург, 199034, Россия *e-mail: a.shmyrov@spbu.ru **e-mail: v.shmyrov@spbu.ru
Аннтотация
В этой работе рассматривается управляемое орбитальное движение в окрестности первой коллинеарной точки либрации L1 системы Солнце -Земля. Эта точка либрации является неустойчивой и для длительного пребывания космического аппарата в этой области пространства требуется
реализация управляющего воздействия. Орбитальное движение моделируется с помощью уравнений круговой ограниченной задачи трех тел. При этом используется нелинейная аппроксимация этих уравнений, т.н. уравнения Хилла или хилловское приближение, а также линеаризованные уравнения. Для решения задачи стабилизации движения используется модель линейно-квадратичной оптимизации, которая предлагает стандартный подход для построения стабилизирующих управлений по линейному приближению. В этой работе представлено оригинальное семейство квадратичных функционалов, построенных с помощью специальной линейной функции фазовых переменных - "функции опасности". Рост модуля этой функции означает уход космического аппарата из окрестности точки либрации, а уменьшение этой величины соответствует стабилизация движения. Для представленного семейства функционалов построена функция Беллмана и показано, что управление демпфирует квадрат функции опасности. Численное моделирование управляемого орбитального движения с полученными управлениями реализуется в нелинейной модели уравнений
Хилла, а также в модели круговой задачи трех тел.
Ключевые слова: управление, стабилизация, достаточные условия оптимальности, ограниченная задача трех тел.
Введение
Полеты в окрестности коллинеарных точек либрации реализуются с 1978 года, когда в окрестность L1 был запущен аппарат ISEE-3. Многие из этих аппаратов широко известны, в частности, станция слежения Солнца SOHO. При разработке траекторий полета в окрестность точки либрации и дальнейшего пребывания там космического аппарата обычно используется подход построения орбит (т.н. галоорбит), на которых космический аппарат будет находится несколько десятков суток без управляющего воздействия с последующей коррекцией орбиты с помощью импульсного воздействия. Все это требуется из-за неустойчивость коллинеарных точек либрации [1]. В данной работе мы исследуем локальное движение в окрестности точки либрации без условия нахождения на заданной галоорбите [2]-[3]. Такая постановка вполне реалистична, например в случае, когда космический
аппарат в аварийном режиме сошел с разработанной траектории, но остался в окрестности L1.
Точка либрации является модельным понятием задачи трех тел и ее модификаций, и поэтому попадание в точку либрации не является целью таких исследований. Определенным подходом для определения удаленности космического аппарата от точки либрации послужила специальная функция фазовых переменных - "функция опасности" [4]-[6]. При малых значениях модуля этой функции космический аппарат не уходит быстро из окрестности точки либрации. При нулевом значении этой функции космический аппарата остается в окрестности точки либрации в рамках линейного приближения.
Из-за неустойчивости точки либрации L1 требуется решать задачу стабилизации движения и стандартные методы, применяемые в модели линейно-квадратичной оптимизации часто успешно используются для таких задач. В рамках этой широко исследованной модели предложено специальное семейство функционалов, для которых с помощью достаточных условий оптимальности был получен явный аналитический вид
стабилизирующих управлений.
Исходной моделью для линейной системы является специальная аппроксимация уравнений круговой задачи трех тел - уравнения Хилла или хилловское приближение, описывающая движение космического аппарата в окрестности точки либрации, а также и сама модель задачи трех тел. При этом предполагается, что управляющее воздействие реализуется параллельно линии Солнце-Земля.
Уравнения движения
В качестве математической модели используется уравнения Хилла (или хилловское приближение) для круговой задачи трех тел в виде [2]
3х,
х = у + х2, У\ = --1-г+2х1 + у2 + и
3
(х | I х 2 I х 2 )
х2= У2 - Х1, У2 = --—-Г - Х2 - У{; (!)
(х | I 2 I 2 ) 3х
хз = уз, Уз 3— хз,
(^х | I ^х 2 I х ^ )
где х = (^, х2, х3) - положение КА во вращающейся геоцентрической системе координат ; у = (у1, у2, у3) - импульсы, а и - управление.
Единица расстояния в принятой модели порядка 0,01 а.е., что составляет примерно 1,5 млн км, 2ж единиц времени составляет год.
Единица скорости равна 303,14 —, а единица ускорения равна 5,93 • 10 5 —
с с
[2], [5].
Неуправляемая система является гамильтоновой с функцией Гамильтона
н(х,У) = 11| У ||2 — ^ — 3х21 ^ I х2У! — ху2. (2)
Гамильтонов вид уравнений движения можно использовать при оценках области управляемости в специальном случае, когда управляемая система сохраняет гамильтоновость уравнений движения [7]-[8].
Точка либрации L1 во вращающейся системе координат имеет следующие координаты
л* =(1,0,0), у * = (0,1,0). (3)
Линеаризированные уравнения системы (1)
*г = ■ + у^ у =8( ■ -1) +(у 2 -1) + и( ■ у); ■ = + У2, Уг= -4х2 - Уи (4)
■э = y3, У 3 4 Л3.
имеют следующий набор собственных значений (при и = 0)
Л = л/Т+^/7, Л2 = -Л1 + 2Л/7, Лэ = /Л/2Л/7 -1 Л = /2Л/7 -1, Л = 2/, Л = -2/.
Отсюда из-за положительной определенности собственного числа Л следует
неустойчивость движения. Также следует отметить, что пространственные
переменные (■ , у ) в линейном случае не связаны с переменными
(хх, х2, у , у2 ), описывающими движение в плоскости эклиптики. Перейдем к изучению линейной системы
г = Аг + Ъи, А =
( 0 1 10^ —10 0 1 8 0 0 1
ч 0 — 4 —10 У
ъ =
( 0 ^ 0 1
V 0 У
(5)
где (г = х!, г2 = х2, г3 = у, г4 = у2). Вид вектора Ъ соответствует задаче управления по линии, коллинеарной прямой Земля-Солнце. Обозначим за ^ собственную вектор-строку матрицы А [4]-[5], т.е.
^А = ,
Собственная вектор-строка ^ определяется с точностью до множителя, для определенности будем считать что
К, Ъ) = 1.
(6)
Построим линейную функцию ^ (г) по формуле
1Х (г) =
Дифференцируя ^ (г) по времени имеем (в неуправляемой системе)
А = М
откуда
1,(1) = ^уР* "0)
и следовательно модуль функции ^ ^) возрастает экспоненциально при отсутствии управления.
Построение критериев качества
Как было отмечено во введении, в этой работе мы решаем задачу попадания КА на инвариантное многообразие ^ (г) = 0. В рамках такой постановки за "меру расстояния" до многообразия ^ (г) = 0 берем функцию /?(г), которую можно использовать при формировании квадратичного критерия качества. В итоге квадратичный функционал в такой постановке задачи линейно-квадратичной оптимизации можно записать в виде
Л КО) = {к А2 (X, y) + U2 ]dt ^ min. (7)
где ^ - весовой коэффициент. Бесконечный промежуток управления берем из-за отсутствия жестких лимитов на время достижения многообразия ^ (г) = 0. Построим оптимальное управление, применяя достаточные условия оптимальности [9]. Обозначим через Ж функцию Беллмана и запишем уравнение Беллмана
min №>z + z) + u2 ) = 0.
Исследуемая линейная система является стационарной и в этом случае функция Беллмана представляет из себя квадратичную форму с постоянной матрицей, подлежащей определению [9]. Исходя из этих соображений, будем искать решение уравнения Беллмана в виде
W( z) = W(k( z)) = Vi2( z), (8)
so
0
где s0 - коэффициент. Далее, с учетом свойств функции опасности ^ (z) имеем
min (2s0 АА2 (z) + 2s0/1 (z)d1bu + sf/f (z) + u2) =0, откуда управление с учетом (6) имеет вид
u = -Vi( z)- (9)
Численное моделирование движения
На рисунках 1 и 2 приведены результаты численного моделирования с управлением (9) в пространстве положений в рамках моделей хилловском приближении и задачи трех тел соответственно при s0 =4 и с начальными данными
*i(0) = 1.04, *2(0) = 0, *з(0) = 0.03, Ji(0) = 0, У2(0) = 0.96, Уз(0) = 0. на отрезке времени порядка 2 лет
хз
XI
Рис. 2
На рисунках 3 и 4 приведены результаты численного моделирования с управлением (9) в пространстве скоростей в рамках моделей хилловском приближении и задачи трех тел соответственно при тех же данных, что и на рисунках 1 и 2
УЗ
VI
Рис. 3
УЗ
Рис. 4
Из рисунков 1, 2, 3 и 4 видно, что при переходе от модели хилловского приближения к более адекватной модели ограниченной задачи трех тел, качественный характер управляемого движения космического аппарата на рассматриваемом промежутке времени интегрирования в окрестности Ь1 не меняется.
Работа выполнена при поддержке грантов СПбГУ 9.38.673.2013 и
9.37.345.2015.
Библиографический список
1. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. - М.: Наука, 1978. - 312 с.
2. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения
космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации А // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 193-199.
3. Шмыров А.С., Шмыров В.А. Об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. Прикладная математика. Информатика, Процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 250-257.
4. Шмыров А.С., Шмыров В.А. Синтез оптимального управления орбитальным движением в окрестности коллинеарной точки либрации // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. Математика. Механика. Астрономия. 2012. Вып. 4. С. 139-146.
5. Shmyrov A.S., Shmyrov V.A., Controllable orbital motion in a neighborhood of collinear libration point, Applied Mathematical Sciences, vol. 8 (9-12), 2014. pp. 487-492.
6. Shmyrov A.S., Shmyrov V.A., Shymanchuk D. Prospects for the use of space robots in the neighborhood of the libration points, Applied Mathematical Sciences, 2014, vol. 50, pp. 2465-2471.
7. Shmyrov A.S., Shmyrov V.A. Method of Lyapunov functions for controllable Hamiltonian systems // 20th International W-orkshop on Beam Dynamics and Optimization, June 30 2014-July 4 2014, pp. 156.
8. Shmyrov A.A., Shmyrov V. A. The estimation of controllability area in the problem of controllable movement in a neighborhood of collinear libration point, // International Conference on Mechanics - Seventh Polyakhov's Reading, 26 Feb. 2015. pp.1-3.
9. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. - М.: Высшая школа, 2003. - 614 с.
