CC BY
0
УДК 519.65:519.85:512.563 DOI 10.24147/2222-8772.2024.1.5-17
ОБ ОДНОМ ПРИВЕДЕНИИ СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ УРАВНЕНИЙ К ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Д.Н. Баротов1
старший преподаватель, e-mail: DNBarotov@fa.ru Р.Н. Баротов2 докторант, e-mail: ruzmet.tj@mail.ru
1 Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва, Россия 2Худжандский государственный университет имени академика Б. Гафурова, Худжанд,
Таджикистан
Аннотация. В данной работе исследуется задача конструирования специального продолжения булевой функции на всё пространство Мп, благодаря которому без добавления каких-либо ограничений система т булевых уравнений преобразуется в эквивалентную систему т полиномиальных уравнений. В результате исследования для любой булевой функции Д(х \,х2,..., хп) конструируется соответствующая бесконечно дифференцируемая рациональная функция (х\, Х2,..., хп) такая, что
{(Х1,Х2, ...,Хп \fb(xi,X2, ...,'.
It ^ fn , 1 , , I V~1> " •, Хп) € {0, 1}
fs(X1,X2,...,Xn) € {0, , 1 )—ff )
Xn) — Js(X1, X2, Xn)
Благодаря конструированной функции fs(x1, x2, ..., Xn), во-первых, без добавления каких-либо ограничений произвольная система т булевых уравнений преобразуется в эквивалентную систему т рациональных уравнений, во-вторых, решение преобразованной эквивалентной системы рациональных уравнений сводится к задаче численной минимизации некоторой бесконечно-дифференцируемой целевой функции, решаемой методами оптимизации, и к эквивалентной системе полиномиальных уравнений, решаемой и анализируемой алгоритмом F4.
Ключевые слова: продолжение булевой функции, система булевых уравнений, глобальная оптимизация, алгоритм F4, SAT.
Введение
Система булевых уравнений была важной темой исследований на протяжении почти двух столетий, и её значимость и сегодня трудно переоценить. Решение булевых уравнений проникает во многие области современной науки, такие как логическое проектирование, биология, грамматика, химия, право, медицина, спектроскопия и теория графов [1]. Многие важные задачи исследования операций можно
свести к задаче решения системы булевых уравнений. Ярким примером является задача коалиционной игры п лиц с отношением доминирования между различными стратегиями [2]. Решения булевых уравнений также служат важным инструментом при обработке псевдобулевых уравнений и неравенств и связанных с ними задач целочисленного линейного программирования [2]. В последние годы ещё одной важной и перспективной областью, в которой применяется решение системы булевых уравнений, является алгебраический криптоанализ. Для конкретного шифра алгебраический криптоанализ состоит из двух этапов: преобразовать шифр в систему полиномиальных уравнений (обычно над булевым кольцом) и решить полученную систему полиномиальных уравнений [3]. Одно из первых успешных применений решение системы булевых уравнений было продемонстрировано в работе [4]. Поэтому, с одной стороны, совершенствуются существующие методы и алгоритмы, с другой стороны, разрабатывается и адаптируется множество новых направлений и алгоритмов решения систем булевых уравнений [5-11]. Одним из таких направлений является преобразование системы булевых уравнений в систему уравнений над полем действительных чисел, поскольку в этой области известно множество методов и алгоритмов решения систем. Суть этого направления состоит в том, что система булевых уравнений преобразуется в систему уравнений над полем действительных чисел и решение ищется на множестве действительных чисел. В свою очередь преобразованная система может быть сведена к задаче численной оптимизации, что позволяет применять, анализировать и комбинировать такие методы, как алгоритм наискорейшего спуска, метод Ньютона и алгоритм координатного спуска [11-20]. Существует множество способов преобразования системы булевых уравнений в систему уравнений над полем действительных чисел [11-22]. Но одна из основных проблем, возникающих при применении этих методов, заключается в том, что преобразованная система уравнений на множестве действительных чисел может иметь множество посторонних решений, что усложняет их практическое использование [16,18].
В настоящей работе немного уточняется результат, приведённый в [19], а именно конструируется «подходящее» продолжение (определение будет дано ниже) произвольной булевой функции на всё пространство Кга, благодаря которому доказывается, что без добавления каких-либо ограничений система т булевых уравнений и преобразованная система т рациональных уравнений на множестве действительных чисел будут эквивалентны, т. е. проблема посторонних решений полностью решается. Также доказывается, что на основе предъявленного подходящего продолжения булевой функции f (х\,х2, ...,хп) можно конструировать новую функцию, которая также является подходящим продолжением на Кга функции f (х\,х2, ...,хп).
1. Используемые определения и обозначения
Пусть Вга = {(Ь\,Ь2,... ,Ьп) : Ъ\,Ь2,... ,Ьп Е {0,1}} - множество всевозможных двоичных слов (булевых векторов) длины п.
Определение 1. Функцию вида ¡ь : Вга ^ В назовём булевой функцией.
Пусть зирр^ъ) = {{Ь\, Ь2,..., Ьп) Е Вга : ¡ь(Ь\, Ь2,..., Ьп) = 1} - носитель булевой
функции ¡ъ(х1,х2, ...,хп), т. е. множество всех булевых векторов, на которых булева функция ¡ъ(х1,х2, ...,хп) принимает значение 1.
Пусть апс1ь(Ь 1, Ь2,..., Ьп) = Ь\ Л Ь2 Л ... Л Ьп - логическое произведение булевых переменных Ь1, Ь2,..., Ьп.
Пусть хогъ(&ь Ь2,..., Ьп) = Ь1фЬ2@...@Ьп-логическая сумма (суммапо модулю 2) булевых переменных Ь1, Ь2,..., Ьп.
Определение 2. Функцию вида ¡г : Ега ^ Е назовём продолжением на Ега булевой функции ¡ъ(х1,х2, ...,хп), если
Л (Ь1, Ь2,..., ьп) = Л( Ь1, Ь2,..., Ьп) У( Ь1, Ь2,..., Ьп) Е Вга
Определение 3. Функцию вида ¡3 : Е ^ Е назовём подходящим продолжением на Е булевой функции /ь(х1,х2, ...,хп), если /3(х1,х2, ...,хп) Е С^(Шп) и
,, N ^ ГЛ Т1 „ \(Х1,Х2,...,Хп) е{0, 1}п
Л(Х1,Х2,...,Хп) Е {0, 1}^< .
[1ь(Х1,Х2, ...,Хп) = }3(Х1,Х2, ...,Хп)
2. Конструирование подходящих продолжений булевых функций
В этом разделе мы сначала построим подходящее продолжение для элементарных функций ап(!ь(Ь1, Ь2,..., Ьп) и хогь(Ь 1, Ь2,..., Ьп), а затем на его основе построим продолжение для произвольной булевой функции. С этой целью обоснуем справедливость следующих двух лемм.
Лемма 1. Для булевой функции ап¿ъ(Ь1, Ь2,..., Ьп) функция вида
п 2 1 п ( 2 )2
апй3 (х1,х2,... ,хп) = П—5-----—-—-к (1)
5 ( 2, , п) - 2хк + 1 п (2x1 - 2хк + 1)2
является подходящим продолжением на Ега.
Доказательство. Действительно, предъявленная функция ап¿3 (х1,х2,... ,хп) является подходящим продолжением на Ега, для этого достаточно проверить справедливость следующих свойств:
(а) 0 ^ ап(13 (х1,х2,... ,хп) ^ 1, V(х1,х2,... ,хп) Е Ега.
(b) Если (х1,х2,..., хп) Е Вга, то апй3 (х1,х2,..., хп) Е В = {0,1} .
(c) ап(13 (х1,х2,... ,хп) = 0 ^^ (х1,х2,... ,хп) Е Вга\{(1,1,..., 1)}. ((!) ап(13 (х1,х2,... ,хп) = 1 ^^ (х1,х2,... ,хп) = (1,1,..., 1).
( а) Первое неравенство, которое находится слева, очевидно, так как
Х2- > 0 -(Хк - Хк)-2 > 0, Vxк Е Е и Vk Е {1, 2,... ,п}
2х- - 2х- + 1 (2x1 - 2х- + 1)
и, следовательно,
2 1 п (2 )2 апй3 (хьх2,... ,хп) = ТТ —о----+ - • У^--- -о ^ 0.
8 ^ ^ 2 ' п' 11 2 х2 — 2 х, +1 п (0™2 г, I 1\2
2х- - 2х- + 1 п (2х- - 2х- + 1)2
Теперь докажем второе неравенство, которое находится справа. Для этого в процессе пользуемся в том числе неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим.
2 2 2 гу** /у*-1 /у*-1
^ ( ) 1 2 п +
ап 8 (Xl, х2,хп) = 2х2 - 2х1 + 1 • 2х2 - 2х2 + 1 ^ ... ^ 2хп - 2хп + 1 +
п I
г-
+ 1 _ ^ (х- - х-)
п (2х- - 2х- + 1)2
2 2 2
2
^2 ^п | +
2х1 - 2х1 + 1 2х2 - 2х2 + 1 2хп - 2хп + 1 +1. ^ (хк- х-)2 ^
)
к=1 (2х- - 2х- + 1)2
< ^ _х1_+_х2_+ +_хк_^У +
уп V2х2 - 2х1 + 1 2х2 - 2х2 + 1 "' 2хп - 2хп + 1 //
п
1 (хк- х-)2
+ п ^ £ (2х- - 2х- + 1)2
2 2 2
_х__|__х__I +__хп_1 +
\2х1 - 2х1 + 1 2х2 - 2х2 + 1 ... 2хп - 2хп + 1 /
+1 у^ (хк- х-)2 =1 ^ хк +1 ^ ~'
п • ¿1 (2х- - 2х- + 1)2 п • к=1 2хк - 2хк + 1 п • к=1 (2х-
х- • (2х- — 2х- + 1) 1 ^^ х| • (2х- — 2х- + 1) — х-^ 1 2хк + 1 п
п
£ -
1 х- • (2х- — 2х- + 1) 1 ^^ х- • (2х- — 2х- + 1) — х-п • (2х- - 2х- + 1)2 + п ^ (2х- - 2х- + 1)2
1 ^ 2 •х- (2х2 - 2х- + 1) - х- 1
п (2х- - 2х- + 1)2 п
А 2 • х- (2х- - 2х- + 1) - х- - (2х| - 2х- + 1)2 1 (2х- - 2х- + 1)2 + п^
V (2х- - 2х- + 1)2 = -1 • V (х- - 2х- + 1)22 + п ^ 1, V (х1,х2,...,хп) е Е -=1 (2х- - 2х- + 1)2 п ¿1 (2х- - 2х- + 1)2 п , ( , , , )
(6) Если (х1, х2,..., хп) е Вп, то х- е В, V/;; е {1, 2,..., п}. Отсюда
22 /у*-1 гу*-1 гу
х- - х- - х- =х- е В,
2х- - 2х- + 1 2х- • (х- - 1) + 1 0 + 1
( х2- - х-)2
(х-(х- - 1))2
(2х- - 2х- + 1)2 Следовательно,
(2х-(х- - 1) + 1)2 (0 + 1)2
= 0 е В, М е {1, 2,..., п}
П
х
п 2 2
+ 1 _ у^ (х- — х-)
. . О I / о = «пй8 (х1,х2,. . . , хп) € В.
2х- - 2х- + 1 п -=1 (2х- - 2х- + 1)2 8 ( 1, 2, , п)
( ) Действительно,
ап4 (х1,х2,... ,хп) =
х2 -
-=1
2 х2- - 2 х- + 1
+1-Е
п
( х2- - х-)
2
П
-=1
п п
2х1-2хк + 1 и
(хк -хк )2 _
-=1 (2х| - 2х- + 1) 0
2
-=1 (2хк-2хк+1)
х1 х2 . . . хп = 0 х12 - х1 = 0 х22 - х2 = 0
п
х2--=1
п 2
Е (х-- х-) = 0 -=1
(хьх2,...,хп) е Вп\ {(1,1,..., 1)}.
хп - хп = 0
(б?) Действительно, в силу ( а)
ап(¿8 (х1, х2,
, хп )
) = П
х
1
-=1
2 х- - 2 х- + 1
п
( х- - х-)2
-=1 (2х- - 2х- + 1)2
(хк-2хк+1)2 _ 0
-Е
- п
-=1 (2хк-2хк+1)2
п
+ П
2хк-2хк + ^ 2хк-2хк + 1 -=1 к -=1 к
(х- - 2х- + 1)2 = 0, V Л; е {1, 2,.
о о
V,;/' е {1,2,
2х,2-2х;+1
2х2-2Х^ + 1 :
0
п} . , п}
(х1 ,х2, . . . ,хп) = (1, 1,
1).
Лемма подробно доказана.
■
Замечание 1. Нет свойства единственности подходящего продолжения на Еп булевой функции апс4(Ь 1, Ь2,..., Ьп), поскольку, например, если апб?8 (х1, х2,..., хп) подходящее продолжение булевой функции ап<4(61, Ь2,..., Ьп), то (ап^8(х1, х2,..., хп))2 также является подходящим продолжением на Мп функции апйъ(Ь1, Ь2,..., Ьп).
2
0
0
2
х
к
0
1
2
х
к
Лемма 2. Для булевой функции хогь(Ьь Ь2,..., Ьп) функция вида
- ^х„...,х.) = \ - 1 ■ П Т+НЬ (2)
2 2 к=11 + (1 - -Хк) является подходящим продолжением на Кга.
Доказательство. Действительно, представленная функция хог3 (х1,х2,... ,хп) является подходящим продолжением на Кга, для этого достаточно показать справедливость следующих свойств:
(а) 0 ^ хог3 (х1,х2,... ,хп) ^ 1, V (х1,х2,... ,хп) € Кга. (Ь) хог3 (х1,х2,... ,хп) € В ^^ (х1,х2,... ,хп) € В™. (с) хога (х1,х2,..., хп) = 0 ^^ (х1,х2,..., хп) € В™ и (х1+х2+.. .+хп) - чётно. (¿) хог'а (х-\_,х2,... ,хп) = 1 ^^ (х1,х2,... ,хп) € В™ и (х1+х2+...+хп) -нечётно.
(a) Действительно, так как очевидно, что (—2хк)2 ^ 0 и (2 — 2хк)2 ^ 0, Vхk€ К. Из этих неравенств следует
2 — 4хк
— 1 ^-^ ^ 1, Vхk€ К.
1 + (1 — 2хк )2 ,
Теперь легко заметить, что из последнего неравенства следует, что
— 1 ^ 2 — 4х1 2--2 — 4х2 2 ■...--2 — 4хп 2 ^ 1, V (х1 ,х,,...,хп) € .
1 + (1 — 2х1)2 1 + (1 — 2х,)2 1 + (1 — 2хп)2 ' 1 ' ' ' '
Отсюда в силу (2) получим
0 ^ хог'а (х1,х2,..., хп) ^ 1, V (х1 ,х2,. . . , хп) € К™.
(b) Сначала докажем в одну сторону, если (х1,х2,..., хп) € Вга, то
-2 — 4Хк 2 €{ — 1,1} , Vk €{1, 2,...,п}
1 + (1 — 2хк)2 { , }, { , , , }
и, следовательно,
1 2 — 4х1 2 — 4х2 2 — 4хп 11
{—а-
2 1 + (1 — 2х1)2 1 + (1 — 2х,)2 1 + (1 — 2хп)2 { 22 Отсюда в силу (2) получим
хог-а (х1,х2,... ,хп) € В = {0,1} , V (х1,х2,... ,хп) € Вга. Теперь докажем в обратную сторону, еслихог, (х1,х2,..., хп) € {0,1}, то в силу (2) 2 — 4х1 2 — 4х2 2 — 4хп
1 + (1 — 2х1)2 1 + (1 — 2х,)2 1 + (1 — 2хп)
€{ — 1,1}.
Переходя к модулям, получим
2 - 4xi
2 - 4x2
2-
1 + (1 - 2xi)2 1 + (1 - 2x2)2
1 + (1 - 2xra)2
Отсюда
2- 4x
k
1, Vk G {1, 2,...,и} .
1 + (1 - 2х-)2 Заметим, что из последнего равенства следует
х- е {0,1}, Ме{1,2,..., п}
и, следовательно,
(х1,х2,... ,хп) е Вп.
(с) Сначала докажем в одну сторону, если хог8(х1, х2,..., хп) = 0, то из пункта (6) следует, что (х1, х2,..., хп) е Вп. Заметим, что если (х1, х2,..., хп) е Вп, то
2- 4x.
k
2- 4x
k
1 + (1 - 2xk)2 1 + (±1)2
1 - 2xk = (-1)^, V k G {1, 2,..., и}
и, следовательно,
0 = 1-1.
2 - 4xi
2 - 4x2
2 2 1 + (1 - 2xi)2 1 + (1 - 2x2)2 1 1 2 - 4xi 2 - 4x2
1 + (1 - 2xra)2
2 4xn
1 + (±1)2
2 2 1 + (±1)2 1 + (±1)2 ' = 1 - 2 ■ (1 - 2xi) ■ (1 - 2x2) ■ ... ■ (1 - 2xra) =
= 1 - 1 . (-1)Ж1 ■ (-1)Ж2 ■ . . . ■ (-1)Ж" = 1 - 1 ■ (-1)ж1+ж2+...+Ж„ .
Отсюда получим, что (xi + x2 + ... + xra) - чётно.
Теперь докажем в обратную сторону, если (xi, x2,..., xra) G Bra и (xi + x2 + ■ ■ ■ + xra) - чётно, то
0 = 1 - 1 . (-1)^1+^2+...= 1 - 1 . (-1)^1 ■ (-1)^2 ..... (-1)Ж" = = 2 - 1 ■ (1 - 2xi) ■ (1 - 2x2) ■ ... ■ (1 - 2xra) =
1 1 2 - 4xi 2 - 4x2
2 2 1 + (±1)2 1 + (±1)2 "' 1 + (±1)2 11 2 - 4xi 2 - 4x2 2 - 4xra
2 2 1 + (1 - 2xi)2 1 + (1 - 2x2)2
1 + (1 - 2xra)2
xor8 (xi,x2, . . . ,xn)
( ) Справедливость этого пункта следует из пунктов ( ) и ( ). Лемма подробно доказана. ■
Замечание 2. Нет свойства единственности подходящего продолжения на Еп булевой функции хог^ (Ь1, Ь2,..., Ьп). Обоснование этого аналогично обоснованию замечания 1.
1
3. Конструирование подходящего продолжения произвольной булевой функции
В этом разделе на основе (1) и (2) построим подходящее продолжение для произвольной булевой функции ¡ь(Ьь, Ъъ,..., Ьп).
Теорема 1. Для произвольной булевой функции ¡ь(Ьь, Ъъ,..., Ьп) функция вида
¡'8(хг,Х2, ...,Хп) =
= 1 _ 1 д 2 - 4 ■ а п (Ла ( /ь( Ьь, Ьъ,..., Ьп),х\1 ,х\2 ,...,хП) (3)
2 2 (ь1,ь2,...,ь„)ев™ 1 + (! _ 2 •аЫа^ьО) ъ Ьъ^.^ Ьп),х\1 ,х22 ,...,ХПп)) является подходящим продолжением на Еп, где хь£ = (2Ьь — 1) ■ хь + 1 — Ьк.
Доказательство. Легко заметить, что предъявленная функция /а(хь,хъ, ...,хп) Е С^ (Еп). В силу теоремы 2 из [21] и формы СДНФ справедливо следующее вспомогательное тождество:
¡ь(хг,хъ,...,х,п) = 0 /ь(Ь ь, Ьъ,..., Ьп) Ах1? Л х\2 Л ... Лх^. (4) (ььь2,...,ь„ )ев"
Остаётся доказать, что
УЬ Е {0,1}, 1а(хг,хъ, ...,хп) = ь ^^ (хг,хъ,...,хп) Е Вп и /ь(хь,хъ, ...,х,п) = Ь.
Сначала докажем в одну сторону, пусть ¡а (хь,хъ,...) хп) = Ь Е {0,1}. Тогда в силу леммы 2 имеем апс1а (/ь(Ьь, Ьъ,..., Ьп),хьг1 ,хьъ2, ...,х^) Е {0,1}, У(Ьь, Ьъ,..., Ьп) Е Вп. Тогда в силу леммы 1 имеем ( /ь(Ь ь, Ьъ,..., Ьп),х1)ь1 ,хьъ2 ,...,хЕ Вп+ь, У(Ьь, Ьъ,..., Ьп) Е Вп. Отсюда следует, что (хь,хъ, ...,хп) Е Вп. В таком случае
апАа (/ь(Ьь, Ьъ,..., Ьп),х\1 ,...,х= = мЬь, Ьъ,..., Ьп) ■ ((2Ьь _ 1) ■хь + 1 _ Ьь) ■ ((2Ьъ — 1) ■ хъ + 1 — Ьъ)■
п
■... ■ ((2 Ьп — 1) ■хп + 1 — Ьп) = и (Ьь, Ьъ,..., Ьп) ■ П (Ьь ■хь + (1 — Ьь) ■ (1 — хь)) =
п )
ь=ь
п
= МЬ ь, Ьъ,..., Ьп)ЛД (Ьь ■хь + Ьь ■ хь) = МЬ ь, Ьъ,..., Ьп)л[\х\к, У(Ь ь, Ьъ,..., Ьп) Е Вп ь=ь ь=ь
и, следовательно,
2 — 4 ■ ап ¿а (/ь(Ь ь, Ьъ,..., Ъп),х\1 ,хЪъ2 ,...,хьп) = 1 + (1 — 2 ■ ап йа (Iь(Ь ь, Ьъ,..., Ь,п),хЬь1 ,хЬъ2 ,...,хьп>))2
= 2 — 4 ■ а п ¿а (/ь( Ьь, Ьъ,..., Ъп),хь11 ,хЪъ2,..., хь-) = = 1 + (±1)ъ =
1 - 2- (Д(&1, &2,..., ,42 ,...,хПп) =
1 - 2. /ь(Ь 1, 62,..., in) Л До* = (-1)/b(b 1,b 2-b
fc=1
Отсюда
11^- , Jb(bi,b2,...,Ь„)ЛЛ V
1 1 "Г".- J b(b1,b2,..., bn)
Л(^1,ж2,...,жп) = ^- 2' 11 (-1) fc=1
(b1, b2,..., b„)eB^
fc
1 1 E /ь(b1,b2,...,Ьп)л л icfc =____ (—1)(b1,b2,...,b„)ei" fc=1 =
n \
^ /b(& 1, ,..., &n) Л Д4* I mod 2 = jb1,b2,...,b„)eB" fc=1 у
= 0 Л(&1, &2,..., bn) ЛХ11 лж22 Л... ЛжПп.
(b1, b2,..., bn)ei" В силу тождества (4) справедливо
0 /b(& 1 ,&2,..., 6n) Л^1 Л Ж^2 Л ... ЛЖ^ = /(жьж2,...,жП) = 6. (b 1, b2,..., b„)eB"
Теперь докажем в другую сторону, пусть (жьж2, ...,жп) € Bn и /(ж1,ж, ...,жп) = 6. Тогда
6 =/(жьж2, ...,жп) = 0 /b (61,62,..., bn) Л Ж"1 Л ж^2 Л ... Л ж:
(b1, b2,...,b n)ei"
Л(& 1,62,..., bn) лДж^ I mod 2= 2 - 2-
,(bbb2,...,b„)eB" fc=1
" b n
E .b(bbb2,...,bn)^ ®fcfc 1 1 /b(b1,b2,...,Ьп)Л Л 4fc
(-1)(b1,b2,...,bn)ein fc=1 =л - 1 . TT (-1)/b( 1, 2,, n) fc=1 fc
2 2 (b1,b2,...,bn)eBn
2 - 2' П (1 - 2-/b(b 1Л,..., bn) Л ДжН =
(b1,b2,...,bn)ein V fc=1 J
_1_1 т Г 2 - 4 ■ arnk (/b(61,62,..., bn),^11 ,ж^2,...,жПл)
= 2 2' 11 1 + (±1)2 " (b 1, b2,..., bn)ein 1 + (±1)
1 1 n 2 - 4-and, (/b(&1, 62,..., 6П),Ж11,Ж22,...,ЖПл)
П
2 2 (b1, b2,^^,l)ein 1+ (1 - 2-and,(/b(61, 62,..., 6n ),Ж11 ,Ж22 ,...,жПл)) 2
В силу (3) справедливо
1 1
п
■ ^ 2 - 4 - ап4 (/,(6 1, &2,..., 6п), ж?1,42,..., аПп)
2 2 (&1,&2.....Ьп)ев- 1+ (1 - 2-апйв(/ь(61, ^2,),ж11 ,ж22 ,...,аПп))2
= Л(Ж1,Ж2 ,...,жга) = 6.
Теорема доказана.
■
Замечание 3. Нет свойства единственности подходящего продолжения на Кп булевой функции /Ь(6 1, Ь2,..., Ьп). Обоснование этого аналогично обоснованию замечания 1, т. е. благодаря одному конструированному подходящему предложению можно построить бесконечное количество новых подходящих предложений.
Рассмотрим произвольную систему булевых уравнений вида
Р1(Ж1,Ж2, ...,Ж„) = 0 Р2(Ж1,Ж2, ...,Ж„) = 0 Р3(Ж1,Ж2, ...,Ж„) = 0
Рт,(аа1, а2, ап) 0
(5)
Трансформируем систему (5) в соответствующую систему подходящих уравнений вида
Жп) =
Р«3(а1, ап) =
2- П
(&1,..., ь„)еВ"
п
)ев
2- П
(,..., ь„)ев"
1 _ 1 2 2
п
2—Фдаг^а ( Р1(Ь 1,...,( ь2 ъ2 ,... ,ъПп)
2—( (р1(Ь 1,... Р2(Ь 1,...,( , Ьп),®!1 'п),®!1, юс- ^ ю ю о,. 2
1+(1-2-ап<2в 2—( (р2(Ь 1,... Рз(Ь 1,...,< , Ьп),^1 'п),ж11 , [О о~ « [О [О о~ ,. 2
(рз(Ь 1,... , Ьп),ж11 ь2 ,ъ2 ,.■ ..,хПп))2
2—4-а,П(1г1 (Рт( 2>1,.. 1 ™Ь2 ,ъ2 , ...,ъПп )
1+(Ч—2^ап<4 .., Ьп),ъ Ь1 ъЬ2 1 ,ъ2 ,...,ъПп ))
0 0 0
В свою очередь, для системы (6) построим целевую функцию вида
(6)
й=1
(7)
Теперь установим связь между (5), (6) и (7) в виде утверждения и приведём соответствующее доказательство.
Утверждение 1. В Еп системы (5) и (6) эквивалентны, причём (ж1,ж2, ...,ап) будет решением систем (5) и (6) тогда и только тогда, когда £/«(ж1,ж2, ...,ап) = 0.
п
0
2
п
Доказательство. В одну сторону очевидно, так как функция раь(хь,хъ, ...,хп) является одним из продолжений булевой функции рь (хь,хъ, ...,хп), У к Е {1, 2, ...,т} и, следовательно, множество решений системы (5) является подмножеством множества решений системы (6).
В другую сторону, пусть (гь, гъ,..., гп) Е Еп произвольное решение системы (6). Тогда в силу лемм 1, 2итеоремы 1 (гь, гъ,..., гп) Е Вп и, следовательно, (гь, гъ,..., гп) является решением системы (5), так как раь(гь, гъ,..., гп) = рь(гь, гъ,..., гп), Ук Е {1, 2, ...,т}. Следовательно, множество решений системы (6) в Мп является подмножеством множества решений системы (5).
В силу лемм 1, 2 и теоремы 1 справедливо неравенство
0 ^ раь (хь,хъ,...,хп) ^ 1, Ук Е {1, 2,...,т} и У(хь,хъ, ...,хп) Е Еп
и, следовательно, (хь,хъ, ...,хп) будет решением систем (5) и (6) ^^ Ьf а(хь,хъ, ...,хп) = 0. Утверждение доказано. ■
Замечание 4. Система рациональных уравнений (6) путём умножения на общий знаменатель элементарно может быть сведена к эквивалентной системе полиномиальных уравнений вида
/
кь(хь,хъ, ...,хп) = 0
Ьъ(хь,хъ,..., х,п) = 0 < Ы(хь,хъ, ...,хп) = 0 , (8)
^ ^т(хь , хъ, ..., хп) = 0
где многочлен кь(хь,хъ, ...,хп) равен числителю несократимой дроби, равной раь(хь,хъ, ...,хп), Ук Е {1, 2, ...,т}. В свою очередь, система (8) может быть проанализирована и решена алгоритмом Б4 [8,9].
Заключение
В результате исследования построено /а(хь,хъ, ...,хп) - подходящее, т. е. специальное бесконечно дифференцируемое рациональное продолжение на всё пространство Еп произвольной булевой функции /ь(хь,хъ,..., хп), имеющее следующее важное свойство
г, N ГА П I (хь,хъ, ...,хп) Е {0, 1}п
¡а (хь,хъ,...,хп) Е {0, \ г ,
[1ь(хь,хъ, ...,хп) = 1а(хь,хъ, ...,хп)
Благодаря этому аргументировано, что система т булевых уравнений без добавления каких-либо ограничений может быть трансформирована в эквивалентную систему т рациональных уравнений, т. е. для таких задач проблема посторонних решений, возникающих при трансформации систем, полностью решена. Также доказано, что на основе предъявленного подходящего продолжения булевой функции ¡ь(хь,хъ,...,хп) можно конструировать новую функцию, которая также является подходящим продолжением наЕп функции ¡ь(хь,хъ, ...,хп).
Полученный результат также может быть применён при решении систем уравнений, заданных одновременно как математическими, так и логическими операциями.
Литература
1. Brown F.M. Boolean Reasoning: The logic of Boolean Equations. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1990.
2. Hammer P.L., Rudeanu S. Boolean Methods in Operations Research and Related Areas. Berlin: Springer Verlag, 1968.
3. Bard G.V. Algorithms for Solving Linear and Polynomial Systems of Equations over Finite Fields, with Applications to Cryptanalysis.College Park, MD, USA: University of Maryland, 2007.
4. Faugere J.C., Joux A. Algebraic cryptanalysis of hidden field equation (HFE) cryptosystems using Grobner bases // Annual International Cryptology Conference. Berlin; Heidelberg: Springer, 2003. P. 44-60.
5. Armknecht F. Improving Fast Algebraic Attacks // International Workshop on Fast Software Encryption. Berlin; Heidelberg, Germany: Springer, 2004. P. 65-82.
6. Bardet M., Faugere J.-C., Salvy B., Spaenlehauer P.-J. On the complexity of solving quadratic boolean systems //J. Complex. 2013. Vol. 29. P. 53-75. DOI: 10.1016/j.jco.2012.07.001.
7. Courtois N. Fast Algebraic Attacks on Stream Ciphers with Linear Feedback // CRYPTO 2003 / Ed. D. Boneh. Berlin; Heidelberg, Germany: Springer, 2003. P. 176-174. (Lecture Notes in Computer Science, vol. 2729.)
8. Faugere J.C. A new efficient algorithm for computing Grobner bases (F4) // J. Pure Appl. Algebra. 1999. Vol. 139. P. 61-88. DOI: 10.1016/S0022-4049(99)00005-5.
9. Faugere J.C. A new efficient algorithm for computing Grobner bases without reduction to zero (F5) // Proceedings of the 2002 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Lille, France, 7-10 July 2002. P. 75-83.
10. Liu M., Lin, D., Pei D. Fast algebraic attacks and decomposition of symmetric Boolean functions // IEEE Trans. Inf. Theory. 2011. Vol. 57. P. 4817-4821. DOI: 10.1109/TIT.2011. 2145690.
11. Abdel-Gawad A.H., Atiya A.F., Darwish N.M. Solution of systems of Boolean equations via the integer domain // Inform. Sci. 2010. Vol. 180. P. 288-300. DOI: 10.1016/j.ins.2009. 09.010.
12. Gu J. How to Solve Very Large-Scale Satisfiability (VLSS) Problems: Technical Report UCECETR-90-002. Calgary, AB, Canada: University of Calgary, 1990.
13. Gu J. On optimizing a search problem // Artificial Intelligence Methods and Applications / Ed. N.G. Bourbakis. Singapore: World Scientific Publishers, 1992.
14. Gu J. Global optimization for satisfiability (SAT) problem // IEEE Trans. Knowl. Data Eng. 1994. Vol. 6. P. 361-381. DOI: 10.1109/69.334864.
15. Gu J., Gu Q., Du D. On optimizing the satisfiability (SAT) problem // J. Comput. Sci. Technol. 1999. Vol. 14. P. 1-17. DOI: 10.1007/BF02952482.
16. Баротов Д.Н., Музафаров Д.З., Баротов Р.Н. Об одном методе решения систем булевых алгебраических уравнений // Современная математика и концепции инновационного математического образования. 2021. Т. 8, № 1. С. 17-23.
17. BarotovD., OsipovA., KorchaginS.,PleshakovaE., MuzafarovD., BarotovR., SerdechnyyD. Transformation Method for Solving System of Boolean Algebraic Equations // Mathematics. 2021. Vol. 9. Art. 3299. DOI: 10.3390/math9243299.
18. Barotov D.N., Barotov, R.N. Polylinear Transformation Method for Solving Systems of Logical Equations // Mathematics. 2022. Vol. 10. Art. 918. DOI: 10.3390/math10060918.
19. Barotov D.N., Barotov R.N., Soloviev V., Feklin V., Muzafarov D., Ergashboev T., Egamov K. The Development of Suitable Inequalities and Their Application to Systems of Logical Equations//Mathematics. 2022. Vol. 10. Art. 1851. DOI: 10.3390/math10111851.
20. Barotov D.N. Target Function without Local Minimum for Systems of Logical Equations with a Unique Solution // Mathematics. 2022. Vol. 10. Art. 2097. DOI: 10.3390/math10122097.
21. Баротов Д.Н., Баротов Р.Н. Полилинейные продолжения некоторых дискретных функций и алгоритм их нахождения // Вычислительные методы и программирование. 2023. № 24. С. 10-23. DOI: 10.26089/NumMet.v24r102.
22. Баротов Д.Н. Выпуклое продолжение булевой функции и его приложения // Дискретный анализ и исследование операций. 2024. Т. 31, № 1. С. 5-21. (Принята в печать)
ON THE REDUCTION OF A SYSTEM OF BOOLEAN EQUATIONS TO AN EQUIVALENT SYSTEM OF POLYNOMIAL EQUATIONS
D.N. Barotov1
Assistant Professor, e-mail: DNBarotov@fa.ru
R.N. Barotov2 Doctoral Student, e-mail: ruzmet.tj@mail.ru
1Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow, Russia 2Khujand State University named after Academician Bobojon Gafurov, Khujand, Tajikistan
Abstract. In this paper, we study the problem of constructing a special continuation of a Boolean function to the entire space 1", thanks to which, without adding any restrictions, a system of m Boolean equations is transformed into an equivalent system of m polynomial equations. As a result of the study, for any Boolean function fb(x i, x2,..., xn), a corresponding infinitely differentiable rational function fs(xi,x2,...,xn) is constructed such that
fs{Xi,X2,...,Xn) € I0, 1}^< .
yjb(xi,x2, ...,xn) = Js(Xl,X2, ...,Xn)
Thanks to the constructed function fs(xi,x2,...,xn), firstly, without adding any restrictions, an arbitrary system of m Boolean equations is transformed into an equivalent system of m rational equations, and secondly, the solution of the transformed an equivalent system of rational equations is reduced to the problem of numerical minimization of some infinitely differentiable target function, solved by optimization methods, and to an equivalent system of polynomial equations, solved and analyzed by the F4 algorithm.
Keywords: continuation of a Boolean function, system of Boolean equations, global optimization, F4 algorithm, SAT.
Дата поступления в редакцию: 16.11.2023
