CC BY
9УДК 517.958
ОБ ОДНОМ ПРИМЕРЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ В СЛУЧАЕ ДВУХ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
Е, Т. Софронов
В статье рассматривается один пример для системы уравнений вида [1]
ж°1 = #1(1 — х\ — Ъх2 — ах%), X = х(1 — ах — X — Ъх%), (1)
х'з = —щ{к — ах — Ъх2 — хз),
где а, Ъ, к — положительные постоянные. Исследуется состояние равновесия с положительными координатами на устойчивость по Ляпу-
аЪк
М(х\,х2,х%) имеет следующие координаты:
х* = ^ (¿=1,2,3), где А = (а — 1)(Ь — 1)(1 + а + 6),
а — Ъ — Ъ — а к — , а — Ъ — а — Ъ к — , Д3 = (а — 1) (Ъ — 1) + (1 — аЪ)(к — 1). С помощью замены
хг — х* + уг (г = 1, 2, 3)
© 2008 Софронов Е. Т.
приведем систему уравнений (1) к виду
У! = {х* + ух)(-уг - Ъу2 - ау3),
У2 = (х* + у2)(-ау1 - у2 - Ъу3), (2)
Уз = (х^ уз)(ау1 + Ъу2 + уз)-Характеристическое уравнение для соответствующей линейной системы уравнений представим в виде
Л3 + ^Л2 + а2\+а3 = 0, (3)
где
а± = х* + х* - х*, а2 = (1 - а,Ъ)х*х* + (а2 - 1 )х*х* + (Ъ2 - 1 )х*х*,
__Д * * *
^ — —¿X х^х2хз-
Для системы уравнений рассмотрим тот случай, когда
к < 1, а1 > 0, аз > 0, а^ - аз = 0.
При таких условиях характеристическое уравнение (3) имеет один отрицательный корень и два чисто мнимых корня. Изучаем данный случай при конкретных значениях параметров системы уравнений (1). Пусть к = Щ-, а = 4, Ъ = Тогда
* _ 10 * _ 20 „ _ £ Ж1"63' Ж2"63' Хз ~ 21 Характеристическое уравнение (3) имеет корни
Л'=4
С помощью замены переменных
5а/7
ж = 2у1 + 2у2 + Зуз, у=-у/7у2--—Уз, ^ = у2 - уз
можно привести систему уравнений (2) к виду
\ 2 \ +
= _7' ,3 =
9а/7 /ЗЗА/7 105 \ 1
2
х = ——х--—ух — -тху Н--г х--х
7 14 V 224 32 ) 2
. „ 15л/7 , 9ч 237 (\ 5л/7 \ ...
у = + ~ ^ + ~64~у2: + V 2У+^2~г)Х' ^
64 45 2 2 57а/7 ( За/7 1 N 2; = — ру--ж Н--(у —г )--уг + -у--г }х.
1У 63 128^ ; 7-64 V 14 2
Чтобы уничтожить выражение — стоящее в третьем уравнении системы (4), сделаем следующую замену переменных:
320а/7 _ 128
у = у + ~бзГх> " =
и опустим черточки у новых переменных у и г . Тогда получим систему уравнений
2 9 а/7 ( 11469А/7 37515 \ , 9 х =--х--уг + -у--г \х + ал х",
7 14 V211'214 32-211
■ д ^ 15^7, 2 2 19297
277131 626685л/7 \ , 9
;У+ он хоо 2 д + (5)
211-422^ 211 -422 45 9 9ч 24837а/7 /67065^7 11949 \ , 9
Для этой системы уравнений ищем интегральную поверхность [3]
х = Г(у,г) = ^Рк(у, г), (6)
к=2
где Гк(У, г) суть однородные многочлены к-го порядка. Если Щу, г) = Ьу2 + Ъ2уг + Ъгг2,
то из уравнения
-1 ^ *) - тг^ + - Шкг)+ ^^г)2
ЪЪЪ
7-135 , -81а/7
Ол = —Ья = --7—, Оо =
8-184' " 2-368
Остальные члены Р3, нам не нужно находить. Теперь найден-
ный интеграл (6) подставляем в систему уравнений (5). Тогда два последние уравнения системы (5) не зависят от х. Для этих двух уравнений ищем функцию Ляпунова [2] У {у, г) в виде
оо
у = у2 + г2 + ^Ук{у, г),
к=3
где Ук(у, г) суть однородные многочлены порядка к. Производная этой функции, взятая в силу данной системы уравнений, будет обладать либо свойством ^ = 0, либо свойством ^ = дв{у2 + -г2)я + • • •, где — сош!;, дв ф 0. В первом случае состояние равновесия А(0,0), лежащее на интегральной поверхности (6) системы уравнений (5), есть центр, а во втором случае — фокус, устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака д3. Найдем последовательно Уз,У4. Пусть
У = С1у3 + с2у2г + с3уг2 + с4г3.
Тогда постоянные с^ находятся из уравнения
(Зс1у2 + 2с2уг + сзг2)[3г + 2у
15а/7 . 9 9ч 19297
(у - г") + — ——yz
^ 128 4 7 64-211
_ Су2 + 2^yz + Zc±z2)py + 2z Отсюда
45 9 9ч 24837а/7
-(у — z") Н--уz
128 ; 448-211
= 0.
—29099а/7 63 27 л/7 71829
С1 = г., > с2 = ТГГ; с3 = ———, С4 =
64-211 " 64 64 ' 320-211
х
теграл [4]
F = уу2 + z2+ y,z) =
z + y,z) = c
s=3
т. е. производная этой функции F(y,z), вычисленная в силу системы уравнений (5) при x = 0, тождественно равна нулю. С учетом этого мы можем найти функцию
V4 = hy4 + U_yZz + l3y2z2 + hyz3 + l5zA
аналогично случаю нахождения Сравнивая коэффициенты при у4,
4 2 2 1 1
г , г у и исключая Ь, ч> получим уравнения
45 15ч 7 277131
рЬ = —09 Н--С9 Н--3с1--61,
128 128 211 '
15\ 7 45 0 11949 ,
Рк =9, + Жс3 + ^Зс4 -
11949 -3-277131, 7-626685 + 67065 892 =-21Г2П-61 + 7-211-211 ^
3- 11949 — 277131,
Н--Ьч.
211-211 ^
Подставляя значения Ъ\, Ъг, Ъз, найдем значение 8^2: оно отрицательно. Таким образом, состояние равновесия А(0,0) — устойчивый фокус.
М
во [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Софронов Е. Т. Исследование на устойчивость одной системы с тремя параметрами // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 82-88.
2. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
3. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977.
4. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.
г. Якутск
10 декабря 2007 г.
