Об одном подходе к сравнению нечетких чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.816

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К СРАВНЕНИЮ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ

В.И. Ухоботов, П.В. Щичко

AN APPROACH TO RANKINKG FUZZY NUMBERS

V.I. Ukhobotov, P. V. Shchichko

В статье предложен метод сравнения двух нечетких чисел, основанный на сравнении их множеств уровня.

Ключевые слова: нечеткие множества, сравнение нечетких чисел.

In the article has been proposed a method for ranking fuzzy numbers. The method is based on comparison of a-cuts.

Keywords: fuzzy sets, ranking fuzzy numbers.

Введение

При решении задач принятия решения в условиях нечеткой информации довольно часто возникает потребность в сравнении нечетких чисел. Следующая задача иллюстрирует данную необходимость.

Вкладчик, имея валюту в объеме N, выбирает один из двух валютных вкладов с ki процентной ставкой, i = 1, 2. Курс i-й валюты по отношению к базовой на момент вклада равен Ti. На момент окончания вклада он будет равен Ri, точное значение которого не известно. По окончанию срока вклада в базовой валюте вкладчик получит сумму

Ri

Xi = (1 + ki)yN, y = —, i = 1, 2.

Ti

C помощью экспертной оценки построен прогноз значения отношения — в виде нечетко-

r i

го множества [1]. Это значит, что построены функции Vi : R ^ [0,1], значение Vi(y) каждого

из которых для числа y € R задают меру того, что отношение — = у.

r i

Таким образом, сумма, которая будет на счету у вкладчика, характеризуется функцией №i(x) = Vi(N). Величина fa(x) задает меру того, что на счету у вкладчика будет сумма X. Вкладчик, выбирая вид валютного вклада, имеет цель сделать сумму X, как можно больше. Следовательно, для решения задачи нам необходимо произвести сравнение нечетких чисел ^i(x).

Нечетким числом называется нечеткое множество [1], универсальным множеством которого является множество действительных чисел R. Нечеткое число X однозначно определяется своей функцией принадлежности у : R ^ [0,1]. Для конкретного действительного числа x € R значение у(х) задает степень принадлежности x нечеткому множеству X.

Зафиксируем число 0 < а < 1. Пусть лицо принимающее решение игнорирует появление тех значений x € R критерия, для которых y(x) < а. Тогда он принимает во внимание только возможные значения x € X(а), где

X(а) = {x € R : y(x) > а}. (1)

Множества (1) называются множествами уровня нечеткого числа X.

Будем рассматривать нечеткие числа, у которых множества уровня являются отрезками

X(a) = ([g<a)-G<a) пр" 0 <а — f - 1 , 0 <f < 1. (2)

10 при f < а < 1

Это выполнено, например, для LR-нечетких чисел [2].

В работе [3] дается обзор различных подходов к сравнению нечетких чисел. В работе [4] для каждого нечеткого числа X, у которого f = 1, строится оценка

1

f (д(а) + G(a))p(a)da

Val(X) = 10--------1--------------. (3)

f p(a)da

о

По этим оценкам сравниваются нечеткие числа.

1. Описание метода

Рассмотрим два нечетких числа Xi, множества уровня Xi(a) которых задаются формулой (2). Относительно функций gi(a) < Gi(a) предположим, что они удовлетворяют условиям:

0 < ai < a2 < fi =^ gi(ai) < gi(a2), Gi(ai) < Gi(a2), (4)

inf gi(a) = ai > —to, sup Gi(a) = ei < +to. (5)

0<a<fi о <a<fi

Как отмечалось во введении, если лицо, принимающее решение игнорирует те значения х, для которых ^i(x) < a, i = 1,2, то он должен сравнивать отрезки (2). Естественно считать, что при выборе отрезка [gi(a), Gi(a)] ожидаемое среднее значение х критерия равно середине отрезка, а отклонение возможной реализации критерия от этого среднего можно оценивать длинной этого отрезка. Чтобы уменьшить риск большого отклонения возможной реализации критерия от середины отрезка применим критерий математического ожидания

- дисперсии [5]

<Pi(a) = gi(a) + Gi(a) - X(Gi(a) - gi(a)) ^ max, i = 1, 2. (6)

i

Здесь число Л > 0 характеризует субъективное отношение лица, принимающего решение к риску.

Доопределим, что ^i(a) = -то при fi < a < 1, i = 1, 2. Обозначим

Jik = {a € (0,1] : ifi(a) > ipk(a)} , fik = min(fi, fk). (7)

Задана функция p : [0,1] ^ [0,1], которая характеризует меру важности степени уровня a € (0,1] с точки зрения лица принимающего решение.

Определение 1. Будем, говорить, что нечеткое число Xi не хуже нечеткого числа Xk, если

{f p(a)da, если Jik = 0

Jik (8)

Pik = 0, если Jik = 0.

Существование интеграла в (8) предполагаем.

2. Случай трапецеидальных нечетких чисел

График функции принадлежности трапецеидального нечеткого числа [6] приведен на рис. 1.

Очевидно, что условия (2), (4), (5) выполнены. Далее,

/ч Ь — а . е — с

#(а) = а—/—, ь(а) = е — а——, при 0 < а < /,

поэтому при Л > 0 функция (6) примет вид

, ч п , п (1 + Л)(Ь — а) — (1 — Л)(е — с)

^>(а) = (1 + Л)а + (1 — Л)е +----------------------------, 0 < а < /.

/

Обозначим:

/1 I \\ / Ьг аг Ьк ак \ , . / ег сг ек ск

£гк = (1 + Л) ----------------------- ------------------- -------- — (1 — Л) '

/г

/г

$гк = (1 + Л)(аг — ак) + (1 — Л)(ег — ек)-

Из формул (10) и (7) следуют равенства:

£гк = —£kг, $гк = —^kг, /гк = /кг-

Формула (7) принимает вид:

]гк = {а € (0, /гк] : Ьгк + аегк > 0} и (/к, 1].

Обозначим:

1

Р = J р(г)^г.

0

Предложение 1. Пусть заданы числа а, Ь € (0;1]. Тогда

(0, ш1п(а, Ь)] и (Ь, 1] верно равенство

(9)

У р(г)^г = шт ( Р; Р — ^ р(г)^г

(10)

(11)

(12)

(13)

множества ■] =

(14)

Доказательство. Пусть a < b < 1. Тогда J = (0, a] U (b, 1]. Следовательно:

ь I v '

Jp(r)dr = P - Jp(r)dr = min I P; P - Jp(r)dr

Пусть b < a < 1. Тогда J = (0, b] U (b, 1] = (0,1]. Следовательно:

Jp(r)dr = P = min ( P; P + Jp(r)dr J = min I P; P - Jp(r)dr

□

Вычислим значения чисел Pik и Pki (8) при разных значениях чисел eik и Sik.

1. Пусть Sik = 0 и £ik = 0. Тогда, согласно равенствам (11), Ski = 0 и eki = 0. Из формулы (12) получим, что Jik = (0, fik] U (fk, 1], Jki = (0, fk] U (f, 1]. Отсюда, используя равенство fik = fki = min(fi; fk) и утверждения 1, получим, что

Pik = min Следовательно:

I fk \ / fi

P; P - Jp(r)dr I , Pki = min P; P - Jp(r)dr

fk

(15)

^ fi

Pik = P, Pki = P - / p(r)dr, при fk < fi;

fk

fk

Pik = P - / p(r)dr, Pki = P, при fi < fk.

fi

(16)

2. Пусть Sik =0 и eik > 0. Тогда Ski = 0 и eki < 0. Из формулы (12) следует, что: Jik = (0, fi] U (fk, 1] и Jki = (fi, 1]. Следовательно, Pik задается первой формулой из fi

(15), а Pki, = P - Jp(r)dr. Стало быть,

fi

Pik = P, Pki = P - /p(r)dr, при fk < fi;

о

fk fi

Pik = P - / p(r)dr, Pki = P - j p(r)dr, при fi < fk.

fi о

(17)

3. Пусть Sik = 0 и eik < 0. Тогда Ski = 0 и eki > 0. Согласно предыдущему пункту

ffk ffi

Pik = P - / p(r)dr, Pki = P ^ p(r)dr, при fk < fi;

о fk

ffk

Pki = P - / p(r)dr, Pki = P, при fi < fk.

о

(18)

4. Пусть Sik > 0 и Sik + fikeik > 0. Тогда Jik = (0, fik]U(fk, 1], Jki = (fi, 1]. Из предложения 1 получим, что:

/

Pik = min

fk

\

P; P - У p(r)dr , Pki = Jp(r)dr.

fi fi

Раскрывая первую формулу, получим

ffi

Pik = P, Pki = P - /p(r)dr, при fk < fi;

0

ffk ffi

Pik = P - / p(r)dr, Pki = P - /p(r)dr, при fi <

fi 0

(19)

5. Пусть Sik > 0 и Sik + fik eik < 0. В этом случае

Jik = I 0, - ^

eik

U (fk, 1], Jki =

- — ,fk

eik

U (fi, 1].

Раскрывая последнюю формулу, получим /

^ik

fik

i fk i

Pik = / p(r)dr + / p(r)dr, Pki = / p(r)dr + / p(r)dr, при fk < fi;

0 fk _ fi

fik

_

fik 1 1

Pik = / p(r)dr + / p(r)dr, Pki = / p(r)dr, при fi < fk.

0 fk _ Ml

fik

(20)

6. Пусть Sik < 0 и Sik + fik eik > 0. Тогда Ski > 0 и Ski + fkieki < 0. Согласно формулам (20)

1 £ik 1

Pik = / p(r)dr, Pki = / p(r)dr + /p(r)dr, при fk < fi;

_ hk 0 fi

fik

_ fik

fi 1 fik 1

Pik = / p(r)dr + / p(r)dr, Pki = / p(r)dr + / p(r)dr, при fi < fk.

(21)

fk

0

fi

fik

7. Пусть Sik < 0 и Sik + fik eik < 0. Тогда Ski > 0 и Ski + fkieki > 0. Тогда из формулы (19) получим, что

ffk ffi

Pik = P - / p(r)dr, Pki = P - / p(r)dr, при fk < fi;

0 fk

ffk

Pik = P - / p(r)dr, Pki = P, при fi < fk.

0

(22)

Полученные формулы (16) - (22) для случаев 0 < f2 < fi и 0 < f2 = fi приведены в таблицах 1 и 2.

i

ik

ik

Таблица 1

Результаты сравнения при /2 < /1

0 < /2 < /1 $12 < 0 $12 = 0 $12 > 0

$12 + /2^12 < 0 Р21 < Р12 f2 /1 / р(г)^г < / р(г)^г 0 /2 Р21 < Р12 //2 //1 / р(г)^г < / р(г)^г 0 /2 Р21 < Р12 //2 / р(г)^г < 512 £12 512 £12 / р(г)^г + 0 //1 / р(г)^г /2

$12 + /2^12 = 0 Р21 < Р12 /2 /1 / р(г)^г < / р(г)^г 0 /2 Р21 < Р12 /1 / р(г)^г > 0 /2 Р21 < Р12 /1 / р(г)^г > 0 0

$12 + /2^12 > 0 Р21 < Р12 _ £12 £12 / р(г)^г < 0 //1 / р(г)^г _ ^12. £12 Р21 < Р12 //1 / р(г)^г > 0 0 Р21 < Р12 //1 / р(г)^г > 0 0

Таблица 2

Результаты сравнения при /2 = /1 = /

/2 = /1 = / $12 < 0 $12 = 0 $12 > 0

$12 + /^12 < 0 Р21 > Р12 Р21 > Р12 Р21 < Р12 _ ^12 £12 2 / р(г)^г > 0 // / р(г)^г 0

$12 + /^12 = 0 Р21 > Р12 Р21 = Р12 Р21 < Р12

$12 + /^12 > 0 Р21 < Р12 ^12 £12 2 / р(г)^Г < 0 // / р(г)^г 0 Р21 < Р12 Р21 < Р12

Возьмем р(г) = тгт 1, т > 1. Тогда таблицы 1 и 2 примут вид таблиц 3 и 4.

Таблица 3

Результаты сравнения при /2 < /1, р(г) = тгт-1

0 < /2 < /1 $12 < 0 $12 = 0 $12 > 0

$12 + /2^12 < 0 Р21 < Р12 2/2т < /1т Р21 < Р12 2/2т < /1т Р21 < Р12 2/2т — 2( — Й)т < /1т

$12 + /2^12 = 0 Р21 < Р12 2/2т < /1т Р21 < Р12 Р21 < Р12

$12 + /2^12 > 0 Р21 < Р12 2( — и)т / Р21 < Р12 Р21 < Р12

Таблица 4

Результаты сравнения при /2 = /1 = /, р(г) = тгт 1

/2 = /1 = / $12 < 0 $12 = 0 $12 > 0

$12 + /^12 < 0 Р21 > Р12 Р21 > Р12 Р21 < Р12 2(—й* )т > /т

$12 + /^12 = 0 Р21 > Р12 Р21 = Р12 Р21 < Р12

$12 + /£12 > 0 Р21 < Р12 2(—й)т</т Р21 < Р12 Р21 < Р12

Рассмотрим случай, когда эксперт хочет учитывать только значения а близкие к 1, то есть случай т ^ то. Этот случай отображен в таблице 5. Отметим, что в случае /2 < /1 нечеткое число с меньшей высотой будет всегда меньше нечеткого числа с большей высотой.

Таблица 5

Результаты сравнения при /2 = /1 = /, р(г) = тгт-1, т ^ то

/ /1 =/2 $12 < 0 $12 = 0 $12 > 0

$12 + /£12 < 0 Р21 > Р12 Р21 > Р12 Р21 < Р12

$12 + /^12 = 0 Р21 > Р12 Р21 = Р12 Р21 < Р12

$12 + /£12 > 0 Р21 < Р12 Р21 < Р12 Р21 < Р12

Обозначим в = 1+х • Тогда имеем

$12 = (1 + А)(а1 - Й2 + в(е1 — Є2)),

/1 , \\/Ь1 — °1 Ь2 — а2 -3Є1 — Сі Є2 — с2

^12 = (1 + А) ----- --------- -------------------в 7-+ в

/1 /2 /1 /2

Для А = 0 получим

/ ^1 — Й1 ^2 — Й2 Є1 — С1 Є2 — С2

^12 = ;---------------------;-------------;-------------+

/1 /2 /1 /2

$12 = (&1 — &2 + Є1 — Є2).

В соответствии с этим, мы можем переписать условия для сравнений. Они приведены в таблицах 6 и 7.

Таблица 6

Результаты сравнения при /2 < /1, p(r) = mrm-1, m ^ то, A = 0

о < /2 < /1 0-1 + e1 <0-2 + e2 01 + e1 = 02 + e2 01 + e1 >02 + e2

(1 - /т) (fl1 + e1) + 0 (b1 +C1) < b2 + C2 P21 < P12 P21 < P12 P21 < P12

(1 - /1) (а1 + e1) + 0 (b1 + C1) < b2 + C2 P21 < P12 P21 < P12 P21 < P12

(1 - /1) (°1 + e1) + / (b1 + C1) < b2 + C2 P21 < P12 P21 < P12 P21 < P12

Таблица 7

Результаты сравнения при /2 = /1 = /, p(r) = mrm-1, m ^ то, A = 0

/ /1 =/2 01 + e1 <02 + e2 01 + e1 = 02 + e2 01 + e1 >02 + e2

b1 + C1 < b2 + C2 P21 > P12 P21 > P12 P21 > P12

b1 + C1 = b2 + C2 P21 > P12 2 cC 21 P21 < P12

b1 + C1 > b2 + C2 P21 < P12 P21 < P12 P21 < P12

Из таблицы 7 видно, что в случае равенства высот, сначала нужно провести сравнение X по ядру coreXi = [bi, Ci]. Затем, в случае равенства, сравнение нужно провести по носителю suppXj = [ai,ei]. Другими словами, необходимо найти оптимальное в лексикографическом смысле решение двухкритериальной задачи

bi + ci ^ max, ai + ei ^ max, i = 1,2.

Литература

1. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. Заде. - М.: Мир, 1976.

2. Дюбуа, Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад. - М.: Радио и связь, 1990.

3. Chen, S. Fuzzy multiple attribute decision making methods and applications / S. Chen,

C. Hwang. - N. Y.: Springer, 1992.

4. Yager, R.R. On ranking fuzzy numbers using valuations / R. R. Yager, D. Filev // International J. of Intelligent Systems. - 1999. - V. 14, №. 12. - P. 1249 - 1268.

5. Ухоботов, В.И. Математика. Экономико-математические методы и модели / В.И. Ухо-ботов, А.Н. Тырсин, С.А. Никитина. - Челябинск: Изд-во Челяб. гос. ун-та, 2010.

6. Ухоботов, В.И. Введение в теорию нечетких множеств и ее приложения / В. Ухоботов.

- Челябинск: УрСЭИ АТ и СО, 2005.

References

1. Zade L. Linguistic variable and its appliance in theory of approximate solutions [Ponyatie lingvisticheskoy peremennoy i ego primenenie k prinyatiyu priblizhennykh resheniy]. Moscow, Mir, 1976.

2. Dyubua D. and Prad A. Possibility theory. Appliances to representation knowledge in informatics [Teoriya vozmozhnostey. Prilozheniya k predstavleniyu znaniy v informatike]. Moscow, Radio i svyaz’, 1990.

3. Chen S. and Hwang C. Fuzzy multiple attribute decision making methods and applications. N. Y., Springer, 1992.

4. Yager R.R. and Filev D. On ranking fuzzy numbers using valuations. International J. of Intelligent Systems. 1999, vol. 14, no. 12., pp. 1249 - 1268.

5. Ukhobotov V.I., Tyrsin A.N, and Nikitina S.A. Mathematics. Economic and mathematical methods and models [Matematika. Ekonomiko-matematicheskie metody i modeli]. Chelyabinsk, Izd-vo Chelyab. gos. un-ta, 2010.

6. Ukhobotov V.I. Introduction into fuzzy set theory and its appliances [Vvedenie v teoriyu nechetkikh mnozhestv i ee prilozheniya]. Chelyabinsk, UrSEI AT i SO, 2005.

Виктор Иванович Ухоботов, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Теория управления и оптимизация>,Челябинский государственный университет (Россия, г. Челябинск), ukh@csu.ru.

Viktor Ivanovich Ukhobotov, Doctor of Physico-mathematical Sciences, Full Pofessor, Department «Control Theory and Optimization^ Chelyabinsk State University (Russia, Chelyabinsk), ukh@csu.ru.

Павел Владимирович Щичко, аспирант, кафедра «Теория управления и оптимизация^ Челябинский государственный университет (Россия, г. Челябинск), pancho@csu.ru.

Pavel Vladimirovich Shchichko, Postgraduate Student, Department «Control Theory and Optimization^ Chelyabinsk State University (Russia, Chelyabinsk), pancho@csu.ru.

Поступила в редакцию 15 июля 2011 г.