Об одном подходе к синтезу структур гибридных фильтров Калмана-Бъюси Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.57

Д.Г. Чибизов

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К СИНТЕЗУ СТРУКТУР ГИБРИДНЫХ ФИЛЬТРОВ

КАЛМАНА-БЪЮСИ

Построение адаптивных систем автоматического управления объектами в критических режимах предполагает создание наблюдателей функционирующих в реальном масштабе времени. Как показано в работе [1], основой функционирования таких устройств являются процедуры калмановской фильтрации. В [2] была показана целесообразность создания фильтров Калмана - Бьюси (ФКБ) на базе концепции гибридных аналоговых схем с цифровым управлением, когда обработка информации производится аналоговым способом, а задачу формирования закона изменения варьируемых параметров гибридной схемы решает экономичный контроллер. Современные активные микромощные элементы (операционные усилители (ОУ)), позволяющие создать экономичные наблюдатели, имеют невысокие частотные свойства, следовательно, при создании на их основе гибридных ФКБ необходимо минимизировать влияние их параметров на процесс формирования вектора оценок состояния объекта управления. Отметим, что в рассматриваемом случае аналоговая часть ФКБ представляет собой нестационарную ЛЯС-цепь.

Предварительные исследования показывают, что основные положения и выводы известной теории синтеза ЛЯС-схем с расширенным частотным и динамическим диапазоном [3], при использовании метода замороженных коэффициентов (делается предположение, что на малом интервале времени коэффициенты ЛЯС-цепи изменяются медленно), можно перенести на класс нестационарных задач. Суть рассматриваемой методики синтеза заключается в определении доминирующих активных элементов (операционных усилителей (ОУ)) и введении в схему по определенным правилам дополнительных компенсирующих контуров обратных связей (ОС), обеспечивающих уменьшение активной составляющей функции чувствительности стационарной передаточной функции проектируемой цепи, для фиксированного интервала времени. Указанный интервал выбирается, как наихудший, с точки зрения отклонений в частотной области реальных характеристик схемы от идеальных, случай и определяется путем анализа интегральной оценки, характеризующей изменение параметров мнимой и вещественной составляющих функций чувствительности стационарной цепи. Отмеченное позволяет синтезировать нестационарную ЛЯС-схему с минимально возможным отклонением во временной области реальных характеристик схемы от идеальных.

Приведенные в [3] соотношения и выводы позволяют в достаточной степени формализовать процедуру синтеза гибридных ФКБ с расширенным частотным и динамическим диапазоном. Следует отметить, что последняя требует трудоемких вычислений, количество которых несоизмеримо возрастает с ростом порядка синтезируемой схемы. Для облегчения труда проектировщика можно использовать подход к алгоритмизации основной части проектных процедур, предложенный в [4].

Системе матрично-векторных уравнений, описывающих дискретно-

непрерывный ФКБ [1], могут быть поставлены в соответствие соотношения, характеризующие при фиксированных параметрах ковариационной матрицы и времени цикла 1ц, набор идеализированных передаточных функций необходимых для реализации фильтра

,-1

Ф 1у( Р) = в

рп + Е р

п-1 р ~~| і 1( п-і)

і=0

п

п-у-1 р

ЕР (п - і-1) М(і +У+1)

Р (і+^+1)

і=0

п

д=1

(1)

д

где п - порядок ФКБ, V = 0, п-1 - номер выхода ФКБ совпадающий с порядком производной оцениваемой переменной, Р^а = Р1к (в) = ккКГ. - элементы первого столбца

ковариационной матрицы, в е [0, 1] - относительное безразмерное время цикла, Ка -коэффициент передачи г -го базисного усилителя, кк - коэффициент передачи к -го базисного умножающего цифро-аналогового преобразователя (ЦАП), ~ = т^кк ,

т - постоянная времени q-го базисного интегратора, Vv = 1, п -1, в0 = 1,

V

в=П ~ - масштабный коэффициент.

q=1

В [3] показано, что активная составляющая чувствительности определяет влияние параметров ОУ на верхний и нижний уровни динамического диапазона схемы, а так же на достижимый ею частотный диапазон и может быть представлена следующим образом

^( р ) = р И ( р) / р )

л

(2)

1+—ръ ( р )

V

п

фу( Р)

У

где И](р) - передаточная функция идеальной системы с неинвертирующего входа ./-го ОУ к нагрузке (при подключении источника сигнала непосредственно к входу ОУ), Г^(р) - передаточная функция идеальной системы с ее входа (от источника) на выход /-го ОУ, Р^( р) - передаточная функция идеальной системы с неинверти-

Т ГЛЛТ Vі Р Н)( р) ^/( р)

рующего входа у-го ОУ на его выход, ФДр) = Ф 7Др) - ^------------------/ -

у=1пу 1 + р/ г;(р)

пе-

редаточная функция реального ФКБ, N - количество ОУ, необходимых для реализации ФКБ.

Процедуру структурного синтеза целесообразно разделить на ряд самостоятельных этапов.

д

2

На первом этапе по заданному порядку аппроксимации фильтра п, посредством коммутации соответствующих базисных структур [3] синтезируется принципиальная схема устройства, воспроизводящая передаточные функции (1). По методике изложенной в [3], с учетом особенностей отмеченных в [4], определяются наборы локальных передач Ф1 (р), И/ (р), ¥/ (р) и / (р) (здесь и далее индекс V для краткости опускается, приводимые рассуждения справедливы для всех выходов схемы).

На втором этапе синтеза, с целью выбора предпочтительного варианта реализации компенсирующих контуров обратных связей (ОС), необходимо определить доминирующие ОУ, параметры которых наибольшим образом оказывают влияние на достижимый частотный и динамический диапазон схемы. Для этого наиболее целесообразно произвести исследование наборов модулей функций (2) на поиск максимума. Для этого, прежде всего, необходимо определить область изменения параметров схемы, соответствующую “наихудшему случаю”, когда отклонение реализуемых функций амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) от идеальных в полосе рабочих частот схемы окажется максимальным

тах |Ф7 (jо)\ - |Ф(]а)\ | при условии 0 < кк < к^, 0 < о < й)гр (3)

Таким образом, важно не только определить значение экстремума функций (3), но и найти координаты указанного глобального экстремума. Значение оценки верхней границы частотного диапазона для п < 6 можно определить по формуле

огр « (2...5) ^тах(в)/tц . Далее находится решение следующей экстремальной задачи с соответствующей системой ограничений

__ИШЛ

$/ =тах

£Ф ( ]'о)

'П /

а0 < (кк ) <а1 при условии \ , (4)

о0 < о < о1

где а и <о1 определяются из решений задачи (3).

Выражение (4) является интегральной оценкой, позволяющей произвести качественный анализ влияния площади усиления /-го ОУ на частотные свойства передаточных функций ФКБ.

Традиционные методы решения оптимизационных задач требуют выполнения различных условий, накладываемых на исследуемую функцию, например, условий дифференцируемости включая старшие производные, одноэкстремальности, выпуклости или вогнутости на интервале исследования и т.п. В виду сложности аналитических выражений функций входящих в (3) и (4) достаточно трудно доказать выполнение этих условий даже для схем низких порядков. Накладываемые на функцию ограничения существенно усложняют рассматриваемую задачу. Последняя может быть решена с применением метода Т - преобразования [5]. В отличие от известных алгоритмов указанный метод позволяет не только найти значение глобального экстремума функции при заданной системе ограничений, но и определить его координаты, при этом к исследуемой функции не предъявляется практически значимых дополнительных требований [5]. Для визуальной оценки степени влияния параметров каждого ОУ, по результатам проведенных исследований (4) строится

набор диаграмм по каждому из выходов ФКБ, из которых можно определить доминирующий активный элемент

I max (

max { Sj f

v J

Задача третьего этапа связана с введением в схему дополнительных компенсирующих контуров обратной связи по изложенным в [3] принципам с учетом особенностей, отмеченных в [4], и носит итерационный характер.

Первые два этапа синтеза легко алгоритмизируются и могут быть реализованы в виде стандартного модуля схемотехнической САПР. Задача третьего этапа синтеза, к сожалению, не может быть полностью формализована - выбор предпочтительного варианта реализации остается за проектировщиком, однако она может быть алгоритмизирована в виде некоторой экспертной системы, исходными данными для которой служат полный набор передаточных функций в символьном виде, полученных на первом этапе и наборы оценок (4) из второго этапа синтеза.

Таким образом, в результате решения задачи рассмотренных этапов проектирования возможно получить схемные решения, позволяющие создать схему с собственной компенсацией влияния частотных свойств активных элементов на ее параметры.

В качестве демонстрации вышеизложенных принципов приведем результаты

синтеза схемы фильтра Калмана-Бьюси второго порядка. Интервалы изменения элементов ковариационной матрицы и их граничные значения определены по методике [1] и при фиксированном времени цикла t„ = 14.45 • 10-6с лежат

0<P12 <З.5.

Рис.1

в диапазоне 2.4 < Р11 < 4,

С учетом того, что время цикла фиксировано и интеграторы могут быть не

управляемыми, была синтезирована принципиальная схема ФКБ (рис.1). В изначальном варианте связи и элементы, показанные на схеме пунктиром, отсутствуют, номиналы сопротивлений Я10 и Я13 равны соответственно 40кОм и ЮкОм. В качестве активных элементов используются отечественные дифференциальные ОУ

1 ^

К140У7, для которых / = 0.8МГц и л = 30 • 10 . На первом этапе синтеза были получены в символьном виде наборы функций локальных передач входящих в (2) для обоих выходов схемы. На втором этапе была решена экстремальная задача (3), определена область изменения параметров схемы соответствующих наихудшему

случаю (15кГц < f < 60кГц, 0.3 <6 < 0.65 - k1, k2 являются функциями от параметра 6 и могут быть определены заранее [1]) и вычислены оценки функций чувствительности (4) для всех активных элементов схемы. Результаты второго этапа синтеза представлены на диаграмме (рис.2), где S11 - оценки (4) для канала производной

(x), а S21 - аналогичные оценки для канала измеряемой величины (x). Как видно из представленной диаграммы наибольший вклад в качественную оценку показателей схемы вносит площадь усиления ОУ А5. На третьем этапе в исходную схему были введены компенсирующие контура обратных связей, показанных на схеме пунктиром, причем для достижения качественного результата в исходной схеме была произведена параметрическая оптимизация с целью перераспределения значений функций чувствительности, в результате которой были изменены номиналы сопротивлений резисторов Ю0и R13 на 130КОм и 55КОм соответственно. Оценки функций чувствительности для этого варианта схемы приведены на рис.2, где S12 - оценки (4) для канала производной (x), а S22 - аналогичные оценки для канала измеряемой величины (x). Численное моделирование схемы, проведенное помощью пакета программ MicroCapV, показало, что частотный диапазон работы схемы удалось расширить до 100кГц, а погрешности АЧХ фильтра по каналу производной и измеряемой величины уменьшить соответственно в 7.07 и 14.53 раза. Отмеченное позволило во временной области максимально приблизить характеристики реальной схемы к идеальной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский А.А. Адаптивный оптимальный регулятор с переменными порядком наблюдателя и временем экстраполяции // АиТ. 1994. №11.

2. Крутчинский С.Г., Чибизов Д.Г. Синтез высокопроизводительных наблюдателей систем автоматического управления. // «Электроника и связь». Тематический сборник по материалам международной конференции №2. Киев, 1997.

3. Крутчинский С.Г. Синтез структур перестраиваемых ARC схем с расширенным частотным и динамическим диапазоном // Избирательные системы с обратной связью. Междуведомственный тематический сборник № 7. Таганрог 1991.

4. Чибизов Д.Г. Алгоритмизация проектных процедур синтеза структур перестраиваемых электронных схем. // Известия ТРТУ №3.-Таганрог 1998.

5. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. М.: Наука, 1983.

4,5-|

1

П

11

J

J

0,5- 0- II

ПИШИ

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

□ S11 0,27 0,28 0,28 0,43 1,2 0,14 0,27 0,014

□ S21 0,3 0,028 0,32 0,05 1,2 0,014 0,3 0,14

■ S12 0,22 0,22 0,24 0,37 3,1 0,11 0,23 0,016

□ S22 0,38 0,034 0,38 0,058 4,1 0,016 0,38 0,16

Рис.2