CC BY
12
https://orcid.org/0000-0002-9350-0578
УДК 519.769 Т.З. МЕХТИЕВ*
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПРОГНОЗИРОВАНИЮ ВОЛАТИЛЬНОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА
Институт систем управления Национальной академии наук Азербайджана, г. Баку, Азербайджан
Анотаця. У дамй статт1 пропонуються алгоритм побудови универсуму, що охоплюе ¡сторичю дам часового ряду, метод фазифтацп цих даних 7з застосуванням трапецегдальних функцт при-належност1 7 на гх основ7 неч1тка модель 1-го порядку для прогнозування волатильних часових ряд1в. Судячи з отриманих юнцевих результат1в, пропонований алгоритм побудови неч1тког мо-дел1 1-го порядку забезпечуе быьш точне значення вих1дного часового ряду. Нечгткг множини як критерп оценки величин ¡сторичних даних, а разом 7з ними 7 нечгтю внутргшнг зв'язки (неч1ткг в1дносини у вигляд1 ¡мпл1кат1вних правил) розбит1 на групи, якг в1дображають причинно-насл1дковг зв'язки в середин часового ряду, використан при його прогнозуванм. На основ7 застосування статистичних критерпв оценки МАРЕ 7 MSE було встановлено, що точмсть запропонованог неч1тког модел1, яка враховуе внутршн зв'язки 1-го порядку, ¡стотно полтшуеться при викори-станнг пропонованого алгоритму фазифтацп ¡сторичних даних. Проте, представлена у статт1 модель не претендуе на абсолютну точмсть прогнозування, яка може бути досягнута ¡/або дося-гаеться тшими быьш складними моделями старших порядюв. Мета статт1 - показати, що при-трансформацтних зм1нах простих неч1тких моделей прогнозування 1-го порядку залишае мож-лив1сть для подальшого вдосконалення технологи прогнозування слабоструктурованих часових ряд1в. Результати прогнозування довыьного волатильного тимчасового ряду демонструють, що комбтащя алгоритм1в встановлення универсуму г фазифтацп ¡сторичних даних 7з застосуванням трапецегдальних функцт приналежност1 побудови внутрштх причинно-насл1дкових зв'язюв 1-го порядку 7 методу дефазиф1кацИ виход1в застосовуваног неч1тког модел1 все ще здатна переверши-ти за яюстю прогнозування 7 достов1рност1 прогноз1в не тыьки аналог1чю модел11-го порядку, якг представлен7 у статт1, але також 7 тш1 модел1 быьш високого порядку.
Ключов1 слова: волатильний тимчасовий ряд, неч1тка безл1ч, фазифтащя даних, неч1тка модель тимчасового ряду.
Аннотация. В данной статье предлагаются алгоритм построения универсума, охватывающего исторические данные временного ряда, метод фаззификации этих данных с применением трапецеидальных функций принадлежности и на их основе нечёткая модель 1-го порядка для прогнозирования волатильных временных рядов. Судя по полученным конечным результатам, предлагаемый алгоритм построения нечёткой модели 1-го порядка обеспечивает более точное приближение исходного временного ряда. Нечёткие множества как критерии оценки величин исторических данных, а вместе с ними и нечёткие внутренние связи (нечёткие отношения в виде импликатив-ных правил) разбиты на группы, которые отражают причинно-следственные связи внутри временного ряда, использованы при его прогнозировании. На основе применения статистических критериев оценки МАРЕ и МБЕ было установлено, что точность предлагаемой нечёткой модели, учитывающей внутренние связи 1-го порядка, существенно улучшается при использовании предлагаемого алгоритма фаззификации исторических данных. Тем не менее, представленная в статье модель не претендует на абсолютную точность прогнозирования, которая может быть достигнута и/или достигается другими более сложными моделями старших порядков. Цель статьи -показать, что применение простых нечётких моделей прогнозирования 1-го порядка оставляет возможность для дальнейшего совершенствования технологии прогнозирования слабоструктурированных временных рядов. Результаты прогнозирования произвольного волатильного временного ряда демонстрируют, что комбинация алгоритмов установления универсума и фаззификация исторических данных с применением трапецеидальных функций принадлежности построения внутренних причинно-следственных связей 1-го порядка и метода дефаззификации выходов применяемой нечёткой модели все ещё способна превзойти по качеству прогнозирования и достоверности прогнозов не только аналогичные модели 1-го порядка, которые представлены в статье, но также и другие модели более высокого порядка.
© Мехтиев Т.З., 2020
1028-9763. Математичш машини i системи, 2020, № 1
Ключевые слова: волатильный временной ряд, нечёткое множество, фаззификация данных, нечёткая модель временного ряда.
Abstract. This article proposes an algorithm of a universe constructing that encompasses historical data of еру time series, a fuzzification method of these data using trapezoidal membership functions, and based on them a fuzzy 1st-order model for volatile time series predicting. According to the obtained results, the proposed algorithm for constructing the fuzzy model of the 1st-order provides more accurate value of approximation of the initial time series. Fuzzy sets, as criteria for evaluating historical data values, and fuzzy internal relationships as well (in the form of implicative rules) are divided into groups that reflect cause-effect relationships within the time series and were used to predict it. Based on the application of statistical evaluation criteria MAPE and MSE, it was found that the accuracy of the proposed fuzzy model, taking into account 1st-order internal relationships, is significantly improved using the proposed algorithm of historical data fuzzification. Nevertheless, the model presented in the paper does not pretend to have absolute predicting accuracy, which can be achieved and/or achieved by other more complex higherorder models. The purpose of the article is to show that the use of simple fuzzy prediction models of the 1st-order the opportunity for further improvement of the predicting technology of weakly structured time series. Prediction results of the arbitrary volatile time series demonstrate that the combination of universe establishment algorithms and historical data fuzzification using trapezoidal membership functions, the construction of 1st-order internal cause-effect relationships and the method of defuzzification of outputs of the used fuzzy model can still be superior in quality predicting and prediction reliability not only similar 1st-order models that are presented in the paper, but other models of higher order as well. Keywords: volatile time series, fuzzy set, data fuzzification, fuzzy model of time series.
DOI: 10.34121/1028-9763-2020-1-82-93
1. Введение
Как известно, в рамках построения системы нечёткого вывода под процедурой фаззифика-ции (или введение нечёткости) понимается процесс нахождения значений функций принадлежности нечётких множеств, описывающих термы входных лингвистических переменных. Другими словами, путём фаззификации устанавливаются соответствия между конкретным значением (термом) отдельной входной лингвистической переменной системы нечёткого вывода и значением соответствующей функции принадлежности. При этом различают две группы методов построения функций принадлежности: прямые и косвенные. В частности, эти методы описаны в работах [1-4], где показано, как функции принадлежности могут быть сформированы одним или группой экспертов. Прямые методы характеризуются тем, что построение функций принадлежности непосредственно осуществляется экспертами, располагающими знаниями в предметной области. Примерами прямых методов фаззификации являются непосредственные задания функции принадлежности в табличном, графическом или аналитическом видах. Косвенные методы предполагают выбор значений функции принадлежности, который производится в соответствии с предварительно сформулированными экспертами условиями. К числу таких методов относятся методы построения функций принадлежности на основе попарных сравнений релевантных статистических данных [5], на основе экспертных ранговых оценок и др.
Как не трудно заметить, все методы в той или иной степени опираются на эвристические знания и потому отличаются существенными долями субъективизма, присущими любому экспертному суждению. Исходя из этой предпосылки, становятся очевидными важность и актуальность исследования методов построения функций принадлежности в процессе фаззификации входных данных в рамках нечёткого моделирования и прогнозирования слабоструктурированных временных рядов.
2. Постановка задачи
Объектом изучения является временной ряд {хг.}^1, в котором х( в силу ряда причин является слабоструктурированной исторической данной, которую целесообразно представлять в виде подходящего нечёткого множества At, характеризуемого кортежем [5]
В этой связи необходимо сформировать функцию принадлежности /иА (л",), позволяющую
наиболее адекватно описывать величины в процессе фаззификации исторических данных.
Целью данного исследования является разработка нового способа описания исторических данных посредством нечётких множеств и тем самым содействовать более адекватному нечёткому моделированию слабоструктурированных временных рядов с последующим их прогнозированием.
3. Нечёткое моделирование временных рядов
Существующие подходы к моделированию нечётких временных рядов предполагают выполнение следующих шагов:
1) построение покрытия всей совокупности исторических данных в виде универсального множества (универсума) для нечёткого описания (фаззификации);
2) фаззификация данных временного ряда;
3) установление внутренних связей в виде нечётких отношений и разбиение их на группы;
4) нахождение нечётких выходов применяемой модели (прогнозов) и их дефаззифи-
кация.
В рамках выполнения данной процедуры раскроем суть нашего подхода.
3.1. Построение универсума и фаззификация исторических данных
Для введения нечёткости в первую очередь необходимо определиться с универсумом. В случае временного ряда основанием для этого служит подходящее покрытие диапазона исторических данных. Поэтому для построения такого покрытия воспользуемся следующей пошаговой процедурой, предложенной в [6].
Шаг 1. В целях упрощения вычислений сортировка исторических данных
х^ = \в возрастающую последовательность \Х1,(П), где р - перестановка, которая сортирует значения исторических данных в порядке их возрастания, то есть х ^ < хр(п]).
Шаг 2. Внутри набора данных {хр^)} вычисление средней величины по совокупности всех попарных расстояний di =| х ^ — | между любыми двумя последовательными значениями х ,г) и х (г+по формуле
(1)
и стандартного отклонения по формуле
(2)
Шаг 3. Выявление и устранение аномалий - резко выделяющихся величин, подлежащих выбросу. Здесь используются значения как среднего расстояния А/), так и стандартного отклонения а4Е), установленные на предыдущем шаге. При этом выбросу подлежат величины попарных расстояний, которые не удовлетворяют условию АО-<7^ <^<№+(7^.
Шаг 4. Повторное вычисление среднего расстояния между любыми двумя последовательными значениями по совокупности величин, оставшихся после сортировки с учётом выбросов.
Шаг 5. Установление универсума и. После окончательного нахождения средней величины по совокупности всех попарных расстояний между последовательными значениями АБ универсум устанавливается в виде отрезка
II = Щ„т - АО, 1)тях + АО~\ = [/),, /)2], где !\тп и /)тах - соответственно минимальное и
максимальное значения на всей совокупности данных.
Существуют разные способы для идентификации функций принадлежности, восстанавливающих нечёткие подмножества заданного универсума. В частности, одним из таких способов является построение симметричных трапецеидальных функций принадлежности вида (рис. 1)
/и (*) =
0,
х-а
н
а
к 2
а
ак 4 Х
а
к4
а
0,
х а
к1
к1
> ак1 ^ Х^ак2.
ак2 ^ Х^ак3.
> ак3^ Х^ак 4.
(3)
к3
Х а
к4
с параметрами, удовлетворяющими условиям ак2 - ан — акъ — ак2 — ак4 — акъ, где к = 1 -=- и, п - общее число нечётких множеств Ак , описывающих исторические данные временного ряда, которое, согласно [6], вычисляется по формуле
п =
Д,-Д -АО 2-АО
(4)
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
25,71 27,57 29,43 31,29 33,14
Рисунок 1 - Симметричная трапецеидальная функция принадлежности
В качестве примера выберем волатильный временной ряд (табл. 1 и рис. 2), который рассматривался нами в [7] в контексте решения данной задачи.
Год ИД Год ИД Год ИД Год ИД Год ИД Год ИД
1984 9 1989 60 1994 63 1999 34 2004 21 2009 51
1985 31 1990 49 1995 14 2000 37 2005 44 2010 46
1986 23 1991 31 1996 55 2001 56 2006 31 2011 63
1987 24 1992 27 1997 11 2002 57 2007 12 2012 32
1988 36 1993 37 1998 17 2003 62 2008 18 2013 44
70 60 50 40 30 20 10 0
Рисунок 2 - Волатильный временной ряд
Руководствуясь (1) и (2), для данного временного ряда соответственно имеем АО = 1,8621 и = 1,5023. Отбрасывая ИД х,, не удовлетворяющие условию
0,36»1,8621-1,5023 < х, < 1,8621+1,5023*3,36,
получено окончательное значение средней величины по совокупности всех попарных расстояний между любыми двумя последовательными значениями ИД: АЛ = 1,8571. В этом случае универсумом будем считать отрезок
и = [/)2 - Д] = [9-1,8571; 63 + 1,8571] «[7,14;64,86], а общее число его нечётких подмножеств для описания ИД будет
64,8571-7,1429-1,8571 _
п = —-----= 15,0385«15 .
2-1,8571
Таким образом, отправляясь от этого, для описания ИД рассматриваемого временного ряда в виде нечётких подмножеств универсума С/= [7,14; 64,86] идентифицированы соответствующие 15 симметричных трапецеидальных функций принадлежности (рис. 3), параметры которых сведены в табл. 2.
0,5
0
Рисунок 3
- Функции принадлежности для нечёткого описания ИД
Нечёткое множество Параметры трапецеидальной функции принадлежности Нечёткое множество Параметры трапецеидальной функции принадлежности
он ®к2 ов ®к4 Як1 ®к2 ов ®к4
а1 7,14 9,00 10,86 12,71 а9 36,86 38,71 40,57 42,43
а2 10,86 12,71 14,57 16,43 а10 40,57 42,43 44,29 46,14
аз 14,57 16,43 18,29 20,14 а11 44,29 46,14 48,00 49,86
а4 18,29 20,14 22,00 23,86 а12 48,00 49,86 51,71 53,57
а5 22,00 23,86 25,71 27,57 а13 51,71 53,57 55,43 57,29
аб 25,71 27,57 29,43 31,29 а14 55,43 57,29 59,14 61,00
а7 29,43 31,29 33,14 35,00 а15 59,14 61,00 62,86 64,71
а8 33,14 35,00 36,86 38,71
Теперь следует заняться фаззификацией ИД посредством идентифицированных симметричных трапецеидальных функций принадлежности, то есть построением нечёткого аналога временного ряда по принципу: ИД временного ряда описывается тем нечётким множеством, к которому она принадлежит с наибольшей степенью. В тех случаях, когда ИД попадает в интервал [аи, а^3 ], найти её нечёткий аналог сравнительно легко. В остальных случаях необходимы дополнительные расчёты. В частности, для ИД 31, согласно (3), имеем (31) = ОД 538 и ¡лА (31) = 0,8462 (рис. 4). Следовательно, в качестве нечёткого аналога выбираем нечёткое множество а7.
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
25,71 27,57 29,43 31,29 33,14 35,00
Рисунок 4 - Фрагмент соседних функций принадлежности Таблица 3 - Нечёткий аналог временного ряда
Год ИД НМ Год ИД НМ Год ИД НМ
1984 9 а1 1994 63 а15 2004 21 а4
1985 31 а7 1995 14 а2 2005 44 а10
1986 23 а5 1996 55 а13 2006 31 а7
1987 24 а5 1997 11 а1 2007 12 а2
1988 36 а8 1998 17 а3 2008 18 а3
1989 60 а14 1999 34 а7 2009 51 а12
1990 49 а12 2000 37 а8 2010 46 а11
1991 31 а7 2001 56 а13 2011 63 а15
1992 27 а6 2002 57 а14 2012 32 а7
1993 37 а8 2003 62 а15 2013 44 а10
3.2. Внутренние связи 1-го и 2-го порядков
Внутренние связи, определяющие причинно-следственные связи между ИД, бывают разного порядка. В рамках нечёткого временного ряда выявлены связи 1-го и 2-го порядков, демонстрирующие нечёткие отношения в импликативной форме вида «Если..., то...». Например, внутренние нечёткие связи (или отношения) 1-го порядка сгруппированы по принципу: если нечёткое множество связано, например, последовательно сА\з, Аи и Ais, тогда относительно него локализуется группа 1-го порядка: А8^>А13, А14, А15 (группа G8). Разбивка по группам связи 1-го и 2-го порядков представлена, соответственно, в табл. 4 и 5.
Таблица 4 - Внутренние связи 1-го порядка, разбитые по группам
Группа Связь Группа Связь Группа Связь
G1 ai=>a3, a7 G6 a6=>a8 G11 an=>ai5
G2 А2=>А3,А13 G7 А7^А2, AS, Аб, As, a10 G12 A12=>A7,AU
G3 a3=>a7, a12 G8 a^ai3, a14, a15 G13 ai^ai, a14
G4 А4=>А10 G9 G14 Au=>Ai2, AIS
G5 AS=>AS,AS G10 A10^A7 G15 Ais^A7
Таблица 5 - Внутренние связи 1-го порядка, разбитые по группам
Группа Связь Группа Связь Группа Связь Группа Связь
G1 ai, a3=a G8 a5, a5=>a8 G15 a8, ai^ai4 G22 a13, a1=>a3
G2 a1, a7=>a5 G9 a5, a^ai4 G16 a8, am=>aU G23 А\з, am=>a^
G3 a2, a3=>ai2 G10 a6, a^ai5 G17 a8, ai5=>a2 G24 A14, au=>a7
G4 a2, ai3=>ai G11 a7, a^a3 G18 a10, a^a2 G25 A14, a 15^4
G5 a3, a7=>a8 G12 a7, a5^>a5 G19 a11, ai5^>a7 G26 Ais, a^a13
G6 a3, ai^aii G13 a7, a6=>a8 G20 a12, A7=>A6 G27 Ais, A^Aw
G7 a4, Aio^>A7 G14 a7, a^ai3 G21 a12, ai^ai5 G28 Ais, a7=>aw
В частности, обозначая через г значение ИД на текущий / -ый год, а через хг+1 -значение ИД на следующий (/ + 1)-ый год, нечёткую связь 1-го порядка А4 А]Г1 можно интерпретировать в виде нечёткого импликативного правила:
«Если х± есть А4, то хм есть Д0».
Или, скажем, нечёткую связь 1-го порядка вида А3 => А13, Аи, А15 можно интерпретировать как нечёткое импликативное правило:
«Если хг есть А8, то х1+1 есть А13 или хг+1 есть А14 или хг+1 есть А15у>.
Соответственно, нечёткую связь 2-го порядка, например, А15, Аг можно ин-
терпретировать в виде нечёткого импликативного правила:
«Если х{ есть А15 и х{ есть А2, то хм есть А13». 3.3. Нечёткие выходы применённой модели и их дефаззификация
Для определения нечётких прогнозов и их дефаззификации применяются различные модели. В качестве одной из таковых выбрана модель [8, 9], суть которой состоит в следующем. Если ИД х описана в виде нечёткого множества А ., которое внутри совокупности ИД формирует только одну связь, скажем, отношение А/ => Ак, тогда прогнозом на следующий (/ +1) -ый год будет нечёткое множество Ак. В случае, когда имеет место группа отношений, например,
Ак2,Ак2,... ,Акр,
тогда объединение Ак1 ^->Ак2 и... ^Акр является нечётким прогнозом на (/ + 1)-ый год. Для дефаззификации выходов данной модели применяются два следующих принципа [8].
Принцип 1. В случае нечёткого отношения вида Ai =>А., где Ai - нечёткий аналог ИД на / -ый год, чёткий прогноз на следующий (/' +1) -ый год, как дефаззифицированное значение нечёткого прогноза А , рассчитывается как абсцисса середины верхнего основания соответствующей трапеции. Действительно, применяя формулу
1 «max
F(A) =- ¡M(AJda,
rv J
(X
max 0
где Aa-{u I juA(u) >a, и e U} - а -уровневые множества (a e [0,1]); M(Aa) - мощности соответствующих а -уровневых множеств, рассчитываемых по формуле
для нечёткого множества А7, являющегося прогнозом в связке А4 => А]гп имеем:
0 1 1 0 / г оч
• Ат —-+-+-+- (табл. 2);
10,57 42,43 44,29 46,14
• 0<а<1, Аа=1,А10а={42,43; 44,29}, М(А10а)=(42,-43+44,29)/2«43,36;
i i
• F(AW) = - \M(AWa)da «M(AWa) • Да = 43,36 • 1 = 43,36 .
* о
Принцип 2. В случае нечёткого отношения вида Ai => A., At, А где Д - нечёткий аналог ИД на i -ый год, чёткий прогноз на следующий (/ + 1) -ый год рассчитывается, как среднеарифметическое абсцисс середин верхних оснований трапеций соответствующих нечётких множеств A., A и A . В частности, прогноз на 1989, 1994 и 2001 годы, обусловленные внутренней связью Аи, А15, рассчитывается следующим образом:
53,57 + 55,43 57,29 + 59,14 61,00 + 62,86
—,-,— + —,-,— + —,-,—
predict =---2-2-= 5 8,21.
Полученные таким образом прогнозы на основе прогностической модели 1-го порядка сведены в табл. 6, а геометрическая интерпретация этой модели представлена на рис. 5 на фоне исходного временного ряда.
Из-за слишком большого количества критериев оценки ИД (нечётких множеств Лк (£ = 1н-15)), которое подразумевает избыточный набор групп внутренних связей, совпадающего с числом прогнозируемых данных (табл. 7), отпадает необходимость в применении связей 2-го и старших порядков, так как, например, нечёткая прогностическая модель 2-го порядка совпадает с установленным в табл. 3 нечётким аналогом временного ряда. Тем не менее, мы сочли нужным показать как её дефаззифицированные выходы в табл. 7, так и её геометрическую интерпретацию на рис. 5.
Таблица 6 - Модель прогнозирования временного ряда 1-го порядка
Год ИД Нечёткий выход Прогноз Год ИД Нечёткий выход Прогноз
1984 9 - 1999 34 a7, a12 41,50
1985 31 a3, a7 24,79 2000 37 a2, a5, a6, a8, a10 29,24
1986 23 a2, a5, a6, a8, a10 29,24 2001 56 a13, a14, a15 58,21
1987 24 a5, a8 30,36 2002 57 a1, a14 34,07
1988 36 a5, a8 30,36 2003 62 a12, a15 56,36
1989 60 a13, a14, a15 58,21 2004 21 a7 32,21
1990 49 a12, a15 56,36 2005 44 a10 43,36
1991 31 a7, a11 39,64 2006 31 a7 32,21
1992 27 a2, a5, a6, a8, a10 29,24 2007 12 a2, a5, a6, a8, a10 29,24
1993 37 a8 35,93 2008 18 a3, a13 35,93
1994 63 a13, a14, a15 58,21 2009 51 a7, a12 41,50
1995 14 a7 32,21 2010 46 a7, a11 39,64
1996 55 a3, a13 35,93 2011 63 a15 61,93
1997 11 a1, a14 34,07 2012 32 a7 32,21
1998 17 a3, a7 24,79 2013 44 a2, a5, a6, a8, a10 29,24
аблица 7 - Модель прогнозирования временного ряда 2-го порядка
Год ИД Нечёткий выход Прогноз Год ИД Нечёткий выход Прогноз
1984 9 - 1999 34 a7 32,21
1985 31 - 2000 37 a8 35,93
1986 23 a5 24,79 2001 56 a13 54,50
1987 24 a5 24,79 2002 57 a14 58,21
1988 36 a8 35,93 2003 62 a15 61,93
1989 60 a14 58,21 2004 21 a4 21,07
1990 49 a12 50,79 2005 44 a10 43,36
1991 31 a7 32,21 2006 31 a7 32,21
1992 27 a6 28,50 2007 12 a2 13,64
1993 37 a8 35,93 2008 18 A3 17,36
1994 63 a15 61,93 2009 51 a12 50,79
1995 14 a2 13,64 2010 46 a11 47,07
1996 55 a13 54,50 2011 63 a15 61,93
1997 11 a1 9,93 2012 32 a7 32,21
1998 17 A3 17,36 2013 44 a10 43,36
СОСОСОСОСОСООЧОЧОЧОЧОЧОЧОЧОЧОЧОЧООООООООООиНиНиНиН
ачачочачачачачачачачачачачачачачоооооооооооооо
HHHHHHHHHHHHHHHH(N(N(NtNtN(N(N(NtNr^(N(NtNtN
— — — — Модель 1-го порядка Временной ряд ........Модель 2-го порядка
Рисунок 5 - Модели временного ряда 1-го и 2-го порядков
4. Заключение
В [7] на базе рассматриваемого временного ряда для ограниченного числа критериев оценки ИД нами были построены прогностические модели 1 -го порядка с применением подхода С. Чена [8, 9], а также с применением нашего собственного подхода. Для оценки степени адекватности предлагаемых в [7] и в данной статье моделей временных рядов воспользуемся статистическими критериями оценки: MAPE (Mean Absolute Percentage Error) и MSE (Mean Squared Error):
1 predict -actual] 1 J^ *
MAPE = - У J---^ x 100, MSE = - > predict; - actual; ^ .
n actual . n
J J
Результаты прогнозов и оценки их достоверности по всем указанным моделям (рис. 5) представлены в табл. 8. Там же указаны соответствующие значения MAPE иMSE.
Таблица 8 - Сравнительный анализ полученных результатов
Год ИД Модель С. Чена 1-го порядка Модель 1 -го порядка, полученная в [7] Предлагаемая модель 1-го порядка
1984 9 - - -
1985 31 36 33,2953 24,79
1986 23 41 24,7750 29,24
1987 24 36 29,9126 30,36
1988 36 36 29,9126 30,36
1989 60 41 46,0706 58,21
1990 49 46 30,9644 56,36
1991 31 49 32,8618 39,64
1992 27 41 24,7750 29,24
1993 37 36 24,7750 35,93
1994 63 41 46,0706 58,21
1995 14 25 30,9644 32,21
1996 55 38 33,2953 35,93
1997 11 46 30,9644 34,07
1998 17 38 33,2953 24,79
1999 34 38 29,9126 41,50
2000 37 41 46,0706 29,24
2001 56 41 46,0706 58,21
Продолж. табл. 8
2002 57 46 30,9644 34,07
2003 62 46 30,9644 56,36
2004 21 25 30,9644 32,21
2005 44 36 29,9126 43,36
2006 31 49 44,0833 32,21
2007 12 41 24,7750 29,24
2008 18 38 33,2953 35,93
2009 51 38 29,9126 41,50
2010 46 49 32,8618 39,64
2011 63 49 44,0833 61,93
2012 32 25 30,9644 32,21
2013 44 41 24,7750 29,24
MAPE (%) 51,94 42,72 35,90
MSE 229,48 221,71 116,34
70
Временной ряд — — — — Модель Чена — Модель [7] ........Построенная модель
Рисунок 6 - Временной ряд и его модели
Как видно из результатов оценок прогнозирования по критериям MAPE и MSE, предлагаемый в статье подход существенно улучшает качество прогнозирования выбранного волатильного временного ряда.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Саати Т.Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий / пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993. 320 с.
2. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986. 312 с.
3. Борисов А.Н., Алексеев А.В. Меркурьева Г.В., Слядзь Н.Н. Обработка нечёткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь, 1989. 304 с.
4. Корченко А.Г., Рындюк В.А. Исследование методов формирования функций принадлежности на основе количественных парных сравнений. Захист тформацп. 2003. № 3. С. 10-17.
5. Рзаев Р.Р. Нейро-нечёткое моделирование экономического поведения. Verlag: LAP Lambert Academic Publishing GmbH & Co, 2012. 104 с.
6. Ortiz-Arroyo D., Poulsen J.R. A Weighted Fuzzy Time Series Forecasting Model. Indian Journal of Science and Technology. 2018. N 11 (27). P. 1-11. URL: https://doi.org/10.17485/ijst/ 2018/v11i27/130708.
7. Рзаев Р.Р., Джамалов З.Р., Мехтиев Т.З., Гасанов В.И. Моделирование временных рядов на основе нечёткого анализа позиционно-бинарных составляющих исторических данных. Нечёткие системы и мягкие вычисления. 2015. Т. 10, № 1. С. 35-73.
8. Chen S.M. Forecasting enrollments based on fuzzy time series. Fuzzy Sets and Systems. 1996. N 81. P.311-319.
9. Chen S.M. Forecasting enrollments based on high-order fuzzy time series. Cybernetics and Systems: an International Journal. 2002. N 33. P. 1-16.
Стаття над1йшла до редакцп 25.12.2019
