CC BY
9
УДК 519.853.4 Орлов Андрей Васильевич,
к. ф.-м. н., доцент, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел.: 8(3952) 45-30-63, факс: 8(3952) 51-16-16, e-mail: [email protected]
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ДВУХУРОВНЕВОЙ ЗАДАЧЕ ФОРМИРОВАНИЯ ГРУЗОВЫХ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ СОСТАВОВ
A.V. Orlov
ON AN APPROACH TO BILEVEL MODEL FOR RAILWAY TRAIN SET ORGANIZATION PROBLEM
Аннотация. В работе исследуется одна двухуровневая оптимизационная модель задачи формирования грузовых железнодорожных составов. Производится двухэтапная редукция исследуемой двухуровневой задачи к одноуровневым невыпуклым задачам оптимизации. Для редуцированных задач предлагаются оригинальные методы локального и глобального поиска.
Ключевые слова: задача формирования грузовых железнодорожных составов, двухуровневая оптимизационная модель, редукция к невыпуклым задачам оптимизации, локальный поиск, глобальный поиск.
Abstract. The bilevel model for railway train set organization problem is considered. The two-phase reduction of the problem to nonconvex optimization problems is realized. The special methods of local and global search for reduced problems are elaborated.
Keywords: train set organization problem, bilevel optimization model, reduction to nonconvex optimization problems, local search, global search.
Введение
Задача формирования грузовых железнодорожных составов является одной из основных в управлении железнодорожными перевозками (см., например, [1]) и требует для своего анализа привлечения современных информационных технологий, математических моделей и методов [25]. Ее эффективное решение позволяет сделать перевозку грузов более экономной и равномерной, разумно использовать транспортное оборудование и улучшить кооперацию между различными службами, занимающимися процедурой перевозки.
Сама по себе задача формирования поездов чрезвычайно сложна, имеет иерархическую природу, и в настоящее время затруднительно рассчитывать на полное ее решение даже в рамках одной региональной железнодорожной сети. При моделировании различных аспектов этой задачи могут использоваться, например, аппарат теории вероят-
ностей (стохастическое моделирование) [3, 4] и дискретной оптимизации [5].
С учетом иерархической структуры задачи естественным представляется также построение двухуровневой модели [6, 7] и ее анализ с помощью аппарата непрерывной двухуровневой оптимизации [8]. Это требует введения определенных упрощающих предположений, но, тем не менее, может дать дополнительную информацию для принятия эффективных решений при управлении железнодорожными перевозками. Отметим, что оптимизационный подход к исследованию задач на транспорте в последнее время весьма популярен (см., например, [9]).
Задачи двухуровневой оптимизации представляют собой задачи на минимум или на максимум, в которые, наряду со стандартными ограничениями типа равенств и неравенств, входят дополнительные экстремальные ограничения, называемые нижним уровнем. Одним из подходов к решению двухуровневых задач является их сведение к одной или нескольким одноуровневым задачам математического программирования. При этом даже в простейшем случае линейно-линейной задачи (когда целевые функции верхнего и нижнего уровней линейны) получающиеся задачи математического программирования оказываются невыпуклыми. Поэтому можно говорить о скрытой невыпуклости задач двухуровневой оптимизации, порождаемой их иерархической структурой [10, 11].
Как известно, невыпуклые задачи имеют множество локальных (лучших в окрестности) решений, далеких от глобального (лучшего среди допустимых) [10]. Поэтому поиск именно глобально оптимальных решений и представляет основную проблему при исследовании двухуровневых задач.
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
В работе для исследования двухуровневой модели задачи формирования грузовых железнодорожных составов на станциях предлагается использовать разработанный ранее подход к задачам двухуровневой оптимизации [11-16], базирующийся на теории глобального поиска А.С. Стрека-ловского [10]. Этот подход ранее показал себя достаточно эффективным при решении линейных и нелинейных двухуровневых задач различной природы.
1. Постановка задачи
Будем исследовать задачу формирования грузовых железнодорожных составов в следующей постановке. Пусть верхним уровнем является лицо, принимающее решение (ЛПР) на железнодорожной сети (оперирует железнодорожными составами), нижним уровнем - ЛПР на станциях (оперируют отдельными вагонами). Целью верхнего уровня является достижение максимальной провозной способности сети, а целью нижнего уровня - минимизация затрат на формирование (обработку) составов (погрузка/выгрузка, маневрирование и т. п.).
Основными задачами, требующими решения на уровне железнодорожной сети, являются определение типа и структуры и номеров поездов, а также маршрутов их следования. При этом цели на этом уровне включают увеличение пропускной способности сети и скорости обслуживания составов, уменьшение издержек, выравнивание ритма работы подразделений, а также рациональное распределение новых работ и рабочей силы между станциями. Задачи, решаемые на станциях, связаны с формированием составов в соответствии с нормами железнодорожной сети из всех типов товарных вагонов. Эти задачи, в свою очередь, требуют выполнения ряда связанных с ними операций, таких как накапливание, перемещение, погрузка, выгрузка и проверка вагонов. Главными задачами на уровне станций являются: проведение необходимых операций экономно, эффективно и безопасно; рациональное использование локомотивов, сортировочных горок и другого железнодорожного оборудования; составление схем и расписаний выполняемых действий, согласование этих схем и расписаний с ограничениями железнодорожной сети.
Поскольку, как описано выше, процессы, возникающие при формировании и перемещении грузовых железнодорожных составов, чрезвычайно сложны, для осуществления моделирования необходимо сделать ряд упрощающих предположений.
1) Спрос на железнодорожные перевозки превы-
шает предложение. Таким образом, целью описанной задачи является полное использование всего имеющегося подвижного состава для обеспечения максимального объема перевозок.
2) Структура рассматриваемой железнодорожной сети представляет собой замкнутую траекторию, сформированную железнодорожной линией. Это предположение делается для того, чтобы подчеркнуть непрерывную природу транспортной сети и циркуляции транспорта в ней.
3) Вся железнодорожная линия является двухпутной, для того чтобы имелась возможность запуска двух поездов между двумя станциями одновременно в противоположных направлениях. Данное предположение позволяет избежать проблемы учета встречных поездов.
4) В рамках рассматриваемой железнодорожной сети производится запуск только прямых поездов со станции А на станцию В (между станциями А и В нет промежуточных станций).
5) Объем производимых действий по обработке вагонов на разных станциях измеряется в одних и тех же единицах. При этом каждая станция тратит одно и то же время на обработку одного и того же состава.
Принимая во внимание указанные ограничения, ЛПР на железнодорожной сети имеет цель делать так, чтобы плотность потока поездов (вычисляемая с помощью временных интервалов между двумя последовательными поездами) и длина составов были максимально возможными для достижения максимального объема перевозок.
Однако, как известно, по соображениям безопасности плотность имеет определенный лимит, определяемый железнодорожной сетью. Кроме того, длина составов также имеет ограничение, порождаемое мощностью используемых локомотивов и полезной длиной путей для обработки составов на станциях. Тем не менее переменная, отвечающая за длину поездов, будет максимизироваться как на верхнем, так и на нижнем уровне, поскольку чем больше длина поездов, тем выше эффективность обработки составов на станциях.
В тоже время переменную, обозначающую временной интервал между последовательными поездами, верхний уровень стремится минимизировать, а нижний - максимизировать, поскольку время на обработку одного поезда обычно больше, чем временные интервалы между поездами. При этом плотность потока контролируется станциями, а длины поездов - ЛПР на железнодорожной сети.
В результате возникает следующая двухуровневая задача
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
(х = (х, х2, ..., хп) е Яп, У = (У^ У2, •••> Уп) е Я"):
Р (х, у)
^Ё1
а
А ,=1
Ё ™гУг
Л
тах,
х. у
г=1 А
(х, У) е X ={(х, У) е Я"+" | " "
1Ё < т Ё > сЬ
г =1
i=1
У е 7„(х) = А^ т1П{Ё (-Ь1 хг - Ь2Уг ) 1
(ВР)
функция (х, У) ^ Р (х, У) ограничена сверху на множестве
п п
Ж = {(х, У)| Ё ^хг - т Ё ^Уг > С1;
г=1
г=1
С2 - ху
< Сз, Уг > С4, г = 1,...,"},
г=1
1 С2 < х/У1~ С3, Уг - С4 , г = и-П}-
Здесь х, > 0 - длина состава на станции ,, контролируемая верхним уровнем; у, > 0 - временной интервал между последовательно идущими составами, контролируемый на нижнем уровне; п - число станций на рассматриваемой железнодорожной сети; wi - относительный вес станции ,,
п
определяющий ее важность (влияние) (Ё wi = 1);
г=1
а > 0 - моделируемый временной интервал (в условных единицах, обычно в часах); С1 > 0 -минимальный временной интервал между последовательно идущими поездами, т > 0 - максимальное число вагонов в составе (с1 и т определяются правилами безопасности); Ь1 > 0, Ь2 > 0 -
коэффициенты, определяющие влияние длины составов и временного интервала на стоимость формирования составов; С2 > 0 , С3 > 0 - нижняя
и верхняя границы на количество вагонов, которое в состоянии обработать станция за единицу времени; С4 > 0 - минимальное время на проведение
работ с одним составом на станции.
Обратим внимание на то, что максимизация
на верхнем уровне в задаче (ВР) производится
одновременно по двум переменным. Это означает, что двухуровневая задача записана в так называемой оптимистической постановке, когда действия нижнего уровня могут быть согласованы с целью верхнего уровня [8].
Далее будем исследовать формальную постановку задачи (ВР) с точки зрения построения методов ее решения, предполагая при этом, что
так что ЗР+ < : Р(х, У) < Р+ У(х, У) е Ж .
2. Редукция к задачам невыпуклой оптимизации
Для разработки методов решения задачи (ВР) необходимо редуцировать ее к одноуровневой задаче математической оптимизации с помощью стандартного приема замены задачи нижнего уровня ее условиями оптимальности [8]. Для этого прежде всего исследуем следующую параметрическую задачу, эквивалентную задаче нижнего уровня, где в качестве параметра выступает переменная верхнего уровня х :
- Меп > У> ^ т
тт,
У
-Уг > - —, Уг > —, Уг > С4, г = 15".,п
( РР ( х))
(^ = (1,1,...,1) е Яп).
Нетрудно видеть, что при фиксированном х задача (РР(х)) является задачей линейного программирования (см., например, [17]). Запишем двойственную задачу к задаче (РР( х)) [17], вводя двойственные переменные и, V и г:
- —(х, и) + — (х, V) + С4 (еп, 2) Т
тах,
и -V, г
и > 0, V > 0, 2 > 0; - и, + Vi + 2, = - Ь2, г = 1,..., п.
(т (х))
В соответствии с теорией линейного программирования [17], взаимодвойственные задачи (РР(х)) и (РО(х)) при фиксированном х имеют решение тогда и только тогда, когда найдутся векторы У е Яп, и е Яп, V е Яп, 2 е Яп такие, что пятерка (х, У, и, V, г) = ( х, У, и, V, 2) удовлетворяет следующей системе:
Ь1 (е > у)=—< х>и) -—( х> ^ - с4 2)
"2
х х,
у, < —, у, >—, у, > С4'
С2 С3
и, > 0, V, > 0, 2, > 0;
и,- V - 2, = К г = 1,->п
(1)
2
3
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Вводя эту систему в задачу (ВР) вместо
экстремального ограничения, получим следующую одноуровневую задачу:
F (х, y) = } ' / t max
( P)
д a(w,х)
(w y)
S = {(х, y, u, v, z) | (w, х) < m,(w, y) > c1, -ЪА en, y)+—(хu)-—{хv)- сЛ en, z) =0;
X X
y i <—, y i >—, y i > C4,
Ui > 0, v > 0, Zi > 0,
ui - V - zi = К * = п}
Справедлива следующая теорема эквивалентности задачи (Р) и двухуровневой задачи
(ВР) (см. также [8, 11]).
Теорема 1. Для того чтобы пара (х*, у*') являлась решением двухуровневой задачи (ВР) в оптимистической постановке, необходимо и достаточно существования тройки (и*, V*, г*) такой, чтобы пятерка (х*, у*, и*, V*, г*) являлась решением задачи (Р).
Базируясь на этой теореме, для отыскания оптимального решения в двухуровневой задаче (ВР) нужно уметь отыскивать глобальное решение в невыпуклой оптимизационной задаче (Р) .
Невыпуклость в задаче (Р) порождается следующими двумя структурами.
1) Целевая функция задачи (Р) представляет собой дробь и, вообще говоря, не является выпуклой, поэтому задача относится к классу задач так называемой фракционной (дробной) оптимизации, для исследования которых необходимо использовать специальные методы и подходы.
2) Первое ограничение-равенство в задаче (Р)
является билинейным по парам переменных (х,и), (х,V) и вносит невыпуклость в допустимое множество.
Обратим также внимание на то, что целевая функция задачи (Р) зависит только от двух переменных ( х и у ), а допустимое множество задачи
порождается ограничениями в пространстве пяти переменных (х, y, u, v, z). Это свойство задачи
(P) требует осторожности при работе с ее целевой функцией.
Для борьбы с первой трудностью предлагается использовать известный подход к задачам дробной оптимизации, который носит название подхода Динкельбаха [18, 19] (см. также [10], раздел 2.2.3) и позволяет отыскивать решение задачи
(P) путем решения следующего семейства параметрических задач (в > 0): Ge( х, y) = a(w, х) -в w, y) t max,
*,y,u ,v,z I (p )
(х, y, u, v, z) e S. J
С учетом сделанных выше предположений нетрудно показать, что функция в ^ ^(в) , где
¥(в) = max {a (w, х) - в (w, y) | (х, y, u, v, z) e S},
х, y ,u,v, z
является выпуклой, непрерывной и строго убывающей на R, а уравнение ¥(в) = 0 имеет единственное решение [10, 18]. Кроме того, справедлива теорема о взаимосвязи задач (P) и (Рв) (см. также [10, 18]).
Теорема 2. I) Если пятерка (х*, y*, u*, v*, z*) является решением задачи (Р), то в0 = F (х*, y *) удовлетворяет условию Y(в0) = 0 . II) Если Т(в„) = 0, тогда любая пятерка
(х, у, и, V, г) е £ такая, что Г (х, у) = в0 и (х\у *) е £ (и*, V*, г *) = {(х, у) | (х, у, и, V*, г*) е £} , является решением задачи (Р) .
Принимая во внимание упомянутые выше свойства функции ¥(в) и теорему 2, для решения задачи ( Р) предлагаем использовать известную схему, основанную на последовательном решении задач (Рр) при различных значениях параметра в [19], которая фактически представляет собой метод простой итерации.
Далее, вторую трудность будем преодолевать путем переноса билинейности из ограничения в целевую функцию исследуемой задачи с помощью известного метода штрафа (см., например, [20]). Введем обозначение: И( х, у, и, V, г) =
=-ЬА еп, у)+—(хи)-—( х ^ - с4е„,г) .
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
( PpJ
Запишем следующее (Р, ц) - параметрическое семейство задач оптимизации с выпуклым допустимым множеством:
Ф (х, y, u, v, z) = Gp( x, y) --ц/г(x, y, u, v, z) T max ,
x, y ,u,v ,z
(x, y) e P = {(x, y) I (w, x) < m, (w, y) > c^,
y, < x , y, > x , y, > C4, -=l,•••, n}
C2 C3
(u, v, z) e 1 = {{u, v, z) 1 Щ - v, - z, = b2,
u, > 0, v > 0, z, > 0, i = 1,...,n},
где ц > 0 - штрафной множитель. Легко видеть, что согласно теории двойственности в линейном программировании [17]
h(x, y, u, v, z) > 0 V(x, y, u, v, z) e P x 1. (2) Далее рассмотрим взаимосвязь между решениями задач (Pp Ц) и (Pp) при фиксированном
в. Пусть (x(p), y(ц), u(ju), v(tf), z(ju)) - решение задачи (Ppj) при некотором значении ц. Введем обозначение
h[j] = h(x(Ц), yОХ u°\ v(Ц), z(J)) .
Справедлив следующий результат.
Предложение 1. I) Пусть при некотором ц = ц на решении (x(jj), y(jj), u(jj), v(jj), z(jj)) задачи (Pp ) справедливо равенство h[ju] = 0 . Тогда пятерка (x(p), y(p), u (ц«), v(fi), z(fi)) является решением задачи(Pp).
II) Для всех значений параметра ц > ju h( x(j), y(j), u (ц), v(j), z (ц)) = 0, и пятерка (x^), y (ц), u (ц), у(ц), z (ц)) является решением задачи (Pp).
Доказательство производится с помощью классического метода штрафа [20] с использованием неравенства (2). Из предложения 1 следует, что для решения задачи (Pp) при фиксированном
в можно использовать метод направленного перебора по ц, который заключается в поиске глобального решения в серии задач (PpM), соответствующих увеличивающимся значениям параметра ц . Для отыскания же решения исходной задачи
(P), напомним, требуется организация последовательного решения задач (Pp) при различных
значениях параметра p. Таким образом, для решения исследуемой двухуровневой задачи формиро-
вания грузовых железнодорожных составов необходимо уметь глобально решать задачу (Рр Ц) , которая при фиксированных значениях параметров р и ц является задачей билинейного программирования [21, 24] по несвязанным группам переменных (х, у) и (и, V, г) с выпуклым допустимым множеством.
Ранее для общей задачи билинейного программирования с несвязанными переменными был разработан подход к отысканию глобальных решений, основанный на теории глобального поиска А.С. Стрекаловского в задачах с ^с.-функциями, представимыми в виде разности двух выпуклых функций [21, 24]. Этот подход базируется, в частности, на возможности представления билинейной функции в виде разности двух выпуклых функций, что дает возможность использовать для решения задачи стратегию глобального поиска для задач ^с.-максимизации [10, 21].
Согласно этой стратегии, глобальный поиск состоит из двух основных этапов: процедуры локального поиска, принимающей во внимание специфику исследуемой задачи, и процедуры выхода из критических точек (полученных локальным поиском), базирующейся на условиях глобальной оптимальности [10]. Далее в работе представим основные элементы этих процедур для задачи (Рр Ц) с учетом ее специфики при фиксированных
значениях параметров р и ц.
3. Локальный поиск
С учетом структуры построенной в результате редукции задачи, как и в общей задаче билинейного программирования [21, 24], естественным представляется осуществление локального поиска путем последовательного решения вспомогательных задач линейного программирования, следующих из постановки задачи (Рац) , по несвязанным
группам переменных. Этот подход эксплуатирует одно из основных свойств билинейных функций -их аффинность по каждой из групп переменных при фиксированных переменных другой группы.
Один из вариантов такого метода локального поиска (ХУ-процедуру) для задачи (Рр Ц) можно записать следующим образом (см. также [11, 13, 15, 16]).
Пусть задана стартовая точка (х0, у0,и0,v0, г0), которая не обязательно должна
быть допустимой в задаче (РрЦ), и числовая последовательность р* \ 0.
Шаг 0. Положить 5 := 0, (х5,у5) := (х0,у0).
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Шаг 1. С помощью одного из методов линейного программирования найти приближенное
/ s+1 s+1 s+1 \
решение (u , v , z ) задачи:
Ф(xs, /,u, v, z) i min, (u, v, z) e Z,
с точностью
El 2
Шаг 2. Найти приближенное решение
/ s+1 s+1 \
(х , y ) задачи линейного программирования
Ф(х,y,us+1, vs+1,zs+1) i min, (x,y) e P,
x, y
Ps
с точностью —.
2
Шаг 3. Положить s := s +1 и перейти на
шаг 1.
Отметим, что название ХГ-процедуры обусловлено тем ее свойством, что для начала работы этой процедуре не требуется стартовая точка (х0, y0, u0, v0, z0) целиком, достаточно только ее части (х0,y0). При условии, что ps > 0, s = 0,1,2,...,
да
и ^ ps < , можно доказать сходимость описан-
s=0
ной процедуры к точке (x,y,u,v, z), которая удовлетворяет следующим неравенствам:
Ф(х,у,и,v, z) >Ф(х,y,й,v, z) V(x,y) e P , (3) Ф(x,y,u, v, z) >Ф(x,y,u,v, z) V(u, v,z) e Z . (4) Будем называть эту точку критической в задаче (Pßм) . Если же для какой-то точки неравенства (3) и (4) выполнены с определенной точностью, будем называть ее приближенно критической.
Аналогично результатам из [11, 13, 15, 16, 21-24] можно также показать, что если на итерации s метода локального поиска выполняется критерий останова
Ф (xs+1, ys+1, us+1, vs+1, zs+1) - Ф (xs, ys, us+\ vs+1, zs+1) < T , то точка (xs, ys,us+1,vs+1, zs+1) будет приближенно критической в задаче (Pß М) . Кроме того, можно
предложить «симметричный» вариант метода локального поиска - UVZ-процедуру, в которой вспомогательные задачи решаются в другом порядке и для старта работы алгоритма требуется тройка (u0, v0, z0) .
Отметим, что представленный подход к локальному поиску в задачах с билинейной структурой (каковой является задача (PßM)) ранее оказался численно эффективным для осуществления локального поиска при решении биматричных игр, задач билинейного программирования [21-24]
и ряда задач двухуровневой оптимизации [11, 13, 15, 16].
4. Процедура глобального поиска
Как уже упоминалось, в соответствии с теорией глобального поиска [10] далее необходимо построить процедуру выхода из критических точек, основанную на условиях глобальной оптимальности. В случае нарушения этих условий может быть построена точка, лучшая, чем исследуемая критическая [10]. Процедура глобального поиска в задаче (Ррм) будет базироваться на стратегии глобального поиска для задач ^с.-максимизации, поскольку билинейная целевая функция может быть представима в виде разности двух выпуклых функций [10, 21].
Согласно используемой стратегии, прежде всего необходимо построить явное ^с.-представление целевой функции исследуемой задачи, и в данном случае это нетрудно сделать, например, с помощью известного свойства скалярного произведения:
Ф(х, у, и,V, г) = /(х,и, V) - g(х, у,и,V, г), (5)
Г/ Ч М II ||2 М где f (x,u,v) = —— x - u +——
' 4с J 11 4сз
x + v
/ \ М II l|2 М II l|2 / \
g (x, y, u, v, z) =-x + u +--x - v - a(w, x> +
4с "/!/'>" " * '
4Сз
+ßWy) - ь{{еп,y) - c4{e„,z) .
Далее опишем алгоритм глобального поиска, построенный с использованием d.c.-представления (5) и с учетом специфики задачи (Pß М) . Согласно общей стратегии глобального
поиска в задачах с d.c. целевой функцией [21, 24], процедура выхода из критической точки, входящая в алгоритм, включает в себя такие этапы, как построение аппроксимации поверхности уровня выпуклой функции, задающей базовую невыпуклость в исследуемой задаче, решение линеаризованной задачи, дополнительный локальный поиск и сравнение по целевой функции полученных точек с текущей критической.
Пусть дана некоторая стартовая точка (x0,y0,u0,v0,z0) e R5n, числовые последовательности rk i 0, Sk i 0, множество направлений Dir (N - количество векторов в данном множестве), числа у_ = inf(g, D) и у+ = sup(g, D) (D = P x Z) и натуральное число M .
Шаг 0. Положить Ay := (у+-у-) / M ,
у:=у- , k := 0, (xk,yk,uk,Vk,zk):= (x0,y0,uü,vü,zü), l := 1.
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
Шаг 1. Начиная из точки (хк,ук,ик,ук,гк) , с помощью процедуры локального поиска (например, ХУ-процедуры) построить приближенно критическую точку (хк ,ук "к "к
тк ; положить Ск := Ф(х'
min ,
u",v",z ) е 1) с точностью ,ук,ик,vk,zk) . Шаг 2. По точке (х1 ,ü',v') е Dir построить точку (х'', и'', v'') = Äj к (х', ü1, v1) аппроксимации поверхности уровня функции f (•), такую что f(xlßl,vl) = y + Zk.
Шаг 3. Построить точку (х',у',и',v',zl) е D как приближенное 8к -решение линеаризованной задачи
g(x, у, и, V, z) - (у/(х1, и'1, V'1), (х, и, v)^ -I
(x,y,u,v,z) g D.
Шаг 4. Начиная с точки (xl ,у' ,и' ,v' ,z') g D , с помощью процедуры локального поиска построить приближенно критическую точку (х1, у1 ,ül ,vl ,zl) <eD с точностью Sk .
Шаг 5. Если Ф(х1, у1 ,ül ,vl, zl) > С,к, то положить (х ,v ,z ).= {x,y,u,v,z), у := у_ , к := к +1, / := 1 и вернуться на шаг 1.
Шаг 6. Если и 1<N,
то положить / := / +1 и вернуться на шаг 2.
Шаг 7. Если Ф(хг,y',ü',v',z ) < ^ , и ^ < , то положить у=у + Ау, I := 1 и вернуться на шаг 2.
Шаг 8. Если Ф(хг,y',ü',v',z ) < gk , l=N
/к к к к к \ и у = у+, то стоп; (х ,у ,и ,v ,z ) - полученное
решение задачи (Pß■
Отметим, что специфика задачи {Ра м)
в первую очередь определяется тем, что функция /(•), задающая базовую невыпуклость в целевой функции, не зависит от переменных y и z (неполноразмерная невыпуклость). Это в определенном смысле упрощает глобальный поиск по сравнению с общим случаем (см. также [15]).
Подчеркнем также, что в настоящей работе один из ключевых моментов глобального поиска -выбор множества направлений Dir - предлагается осуществлять точно так же, как и при решении других классов двухуровневых задач [11, 14, 15, 16], с использованием текущей критической точки и векторов евклидового базиса.
Решение вспомогательных задач на шагах ХУ-процедуры и выпуклой линеаризованной зада-
чи на шаге 3 алгоритма может быть осуществлено стандартными методами линейного и квадратичного программирования [17, 20].
Различные значения параметра M отвечают за разбиение отрезка на соответствующее количество частей для реализации пассивного одномерного поиска по у . С помощью этого параметра можно влиять на точность и скорость работы алгоритма.
Заключение
В работе исследована одна двухуровневая модель задачи формирования грузовых железнодорожных составов с помощью подхода, базирующегося на теории глобального поиска А.С. Стре-каловского. Произведена и обоснована редукция задачи двухуровневой оптимизации к двухпара-метрическому семейству одноуровневых оптимизационных задач с билинейной структурой. Для последних разработаны оригинальные алгоритмы локального и глобального поиска.
Имеющийся опыт реализации и апробации подобного сорта алгоритмов на тестовых задачах двухуровневой оптимизации позволяет рассчитывать на эффективность применения разработанного подхода для решения модельных и практических задач формирования грузовых железнодорожных составов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 12-07-13116-офи_м_РЖД.
Автор благодарит профессора А.С. Стрека-ловского за ценные советы, позволившие улучшить представление работы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Буянова В.К. Система организации вагонопото-ков / В.К. Буянова, А.И. Сметанин, Е.В. Архангельский. - М.: Транспорт, 1988.
2. Шапкин И.Н. Организация железнодорожных перевозок на основе информационных технологий / И.Н. Шапкин. - М.: ФГБОУ «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2011.
3. Марычев С.Н.. Автоматическое управление процессом формирования грузовых железнодорожных составов / C.H. Марычев, Е.А. Оленев // Автоматика и телемеханика. 2001. № 6, С. 47-56.
4. Фу Ф.Г. Имитационное моделирование работы грузовых транспортных терминалов / Ф.Г. Фу, А.Л. Казаков // Вестник ИрГТУ, 2013. № 9. С. 37-43.
5. Лазарев А.А. Целочисленные постановки задачи формирования железнодорожных составов и расписания их движения / А.А. Лазарев,
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Е.Г. Мусатова // Управление большими системами. Вып. 38. М.: ИПУ РАН, 2012. C. 161-169.
6. Gao Y. A Bilevel Model for Railway Train Set Organizing Optimization / Y. Gao, J. Lu, G. Zhang, S. Gao // Proceedings of the ISKE 2007 (October 15-16, 2007, Chengdu, China). Atlantis Press, 2007.
7. Balan G.-S. Optimization models of rail transportation under the financial crisis / G.-S. Balan, M. Balan // Scientific Bulletin - Economic Sciences, 2011. V. 10, № 1. P. 72-80.
8. Dempe S. Foundations of Bilevel Programming / S. Dempe. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002.
9. Kazakov A.L. An approach to optimization in transport logistics / A.L. Kazakov, A.A. Lempert // Automation and Remote Control. 2011. V. 72. № 7. P.1398-1404.
10. Стрекаловский А.С. Элементы невыпуклой оптимизации / А.С. Стрекаловский - Новосибирск: Наука, 2003.
11. Strekalovsky A.S. On computational search for optimistic solution in bilevel problems / A.S. Strekalovsky, A.V. Orlov, A.V. Malyshev // Journal of Global Optimization. 2010. V. 48, № 1. P. 159-172.
12. Груздева Т.В. Численное решение линейной двухуровневой задачи / Т.В. Груздева, Е.Г. Петрова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 10. С. 1715-1726.
13. Стрекаловский А.С. Локальный поиск в квадратично-линейной задаче двухуровневого программирования / А.С. Стрекаловский, А.В. Орлов, А.В. Малышев // Сибирский журнал вычислительной математики. 2010. Т. 13, № 1. С.75-88.
14. Стрекаловский А.С. Численное решение одного класса задач двухуровневого программирования / А.С. Стрекаловский, А.В. Орлов, А.В. Малышев // Сибирский журнал вычислительной математики. 2010. Т. 13, № 2. С. 201-212.
15. Орлов А.В. Глобальный поиск оптимистических решений в двухуровневой задаче оптимального выбора тарифов телекоммуникационным оператором / А.В. Орлов // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». 2013, Т. 6, №1, С. 57-71.
16. Орлов А.В. Гибридный генетический алгоритм глобального поиска оптимистических решений в задачах двухуровневой оптимизации / А.В. Орлов // Вестник Бурятского государственного университета. 2013. Выпуск 9. С. 25-32.
17. Васильев Ф.П. Линейное программирование / Ф.П. Васильев, А.Ю. Иваницкий. - М.: Факториал, 1998.
18. Dinkelbach W. On nonlinear fractional programming / W. Dinkelbach // Management Science. 1967. V. 13. P. 492-498.
19. Rodenas R.G. Extensions of Dinkelbach's algorithm for solving non-linear fractional programming problems / R.G. Rodenas, M.L. Lopez, D. Verastequi // TOP. 1999. V. 7, N 1. P 33-70.
20. Васильев Ф.П. Методы оптимизации / Ф.П. Васильев. - М.: Факториал-пресс, 2002.
21. Стрекаловский А.С. Биматричные игры и билинейное программирование / А.С. Стрекаловский, А.В. Орлов. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2007.
22. Орлов А.В. О численном поиске ситуаций равновесия в биматричных играх / А.В. Орлов, А.С. Стрекаловский // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45, № 6. С. 981-995.
23. Васильев И.Л. Параллельный глобальный поиск равновесных ситуаций в биматричных играх / И.Л. Васильев, К.Б. Климентова, А.В. Орлов // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т. 8, № 2. С. 84-94.
24. Орлов А.В. Численное решение задач билинейного программирования / А.В. Орлов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 2. С. 45-62.
