CC BY
28
УДК 517.98
О С.Г. Баргуев, Т.В. Аюшеее, АД. Мижидон
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
О КОЛЕБАНИЯХ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА ОСЦИЛЛЯТОРОВ НА СТЕРЖНЕ1
В статье обобщается решение начально-краевой задачи на случай с произвольным числом осцилляторов на стержне. Концы стержня имеют жесткое закрепление. Выводится условие ортогональности собственных форм колебаний. Решение ищется в виде разложения в ряд Фурье по собственным формам колебаний системы.
Ключевые слова: собственные частоты, собственные формы, условие ортогональности, начальнокраевая задача, ряд Фурье.
A GENERALIZATION FOR SOLVING INITIAL-BOUNDARY PROBLEM ABOUT FLUCTUATIONS OF ARBITRARY NUMBER OSCILLATORS ON THE ELASTIC CORE
fluctuation. The decision are fined in view resolving at Fourier series on the own fluctuation forms of the mechanical system. Are make the convergent ion analysis of obtained resolving.
Key words: generalization ,own frequency, own forms, orthogonally condition, initial-boundary problem, Fourier series .
Отметим важную особенность при рассмотрении начально-краевой задачи, если на стержне имеются два и более осцилляторов: колебательный процесс в этом случае меняется качественно, так как осцилляторы начинают взаимодействовать не только со стержнем, но и между собой.
Тогда можно ставить задачу о гашении колебаний части осцилляторов, оказывая влияние на перераспределение энергии между ними путем подбора начальных условий.
Рассмотрим механическую систему, представляющую собой однородный упругий стержень длины £, плотности р, модулем упругости Е, моментом инерции J поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, с закрепленными на нем в точках с абсциссами ак телами массами тк, к = 1,2,..., п, посредством пружин с жесткостями ск, к = 1,2, ...,п. Концы стержня жестко закреплены. Массы т1.могут перемещаться вертикально в направлении осей 1к. Колебания масс характеризуются функциями (!), перемещения точек стержня описываются функцией и(х, I).
Гибридная система дифференциальных уравнений, описывающая движение механической системы имеет вид [1]
S. G. Barguev, Т. V. Ausheev, AD. Mizhidon
In the article is the generalization of the solution of the initial-boundary value problem to the case of arbitrary number oscillators on the elastic core with fastened ends. Are obtained the orthogonally condition of the own forms
Введение
1. Получение условия ортогональности
Краевые условия на концах стержня:
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-08-00309-А)
и{0, t) = u(l, t) - 0,
ди ди (2)
—(о,о = —(/,0 = о
йс дх
Представив zk (t), и(х, t) в виде zk (t) = Ак sin(trf + ак), и(х, І) = V(х) sin(trf + ¡3), подставив в (1), после преобразований получаем
-®2Л+а2(Л-^Ю) = 0
ИлУ(хЛ ” (з)
-Ш2Г(х) + Ь= Y.e*(А ~ ~а,)
ах
с краевыми условиями на концах стержня
V(0) = V(£) = 0
£<о) = £(0 = о (4)
ах ах
Запишем (3) для частот coi и со :
-®гАы+Рк(Аы-Уг(ак)) = 0
d4V(x\ ” (5)
-со?Уг (х) + Ъ \ = ¿ ек (Ак1 - Гг (х))5 (х-ак)
ах ¿=i
-a2]Ak]+p1k(Ak]-V(ak)) = 0
d4V (х) » (6)
-0]V} (х) + b —4^ = 2 Ц, - V} (x))8(x - ak)
ax k=l
Из (5) и (6) получаем выражения Aki, Akj вида
кг ’ kj
4,=-Г*-тК(Ч) Р)
Рк ~Щ
(8)
Рк -&І
Перемножая их левые и правые части, получим
АЛ= г 2Р'; 2К(лУ,(*„) (9)
Рк~Щ Рк -и,
Проинтегрируем вторые уравнения в (5) и (6) по длине стержня. Тогда эти уравнения приобретут вид
-a; J V, (x)V, (х)Л + ь\d-t^P- dx =
„ dx dxz
= Т^ек(Ак1-уг(ак)¥](ак)
k=1
-со2 | V (х)^ (х)с1х + ъ\ ё Г]^ ах:
^ Л ' гЧ ' J Иу2 Иу2
72У}(х) с!21 ск2 ск"
и и
= Еек(Л- ~Г,(ак)Уг(ак)
к=1
Подставим (7), (8) в правые части (10) и (11)
’2У.(х) <?\ <±с2 ск1
-со2
\ V, (х)Г;(х)ск + ъ\^$-ск:
= Е 2Рк 2 ^ («к Ж К ) - («к У, (ак )
к=1 Рк~®г
-О)2 \ г}. (х)Г, {х)ёх + ъ\ск
= 11ек 2Рк 2 ^ К У г (ак ) ~ еУ, {ак )Уг (ак ) к=1 рк-®1
¡УХхУМ^ + ИЛАЛ
0 ^=1 Рк
У
}^2(х)^ + £-%4,/' = ./'
О к=1 Рк
2. Решение начально-краевой задачи
Решение системы (1) ищем в виде разложений в ряды Фурье
(11)
(12)
(13)
Умножим на (-1) уравнение (12) и сложим с уравнением (13)
(а; - а)) Г У,(ху1 (х)сЬс = £ е„ ()<-'Ц, у Ц,) =
о И Рк-Щ рк-(0]
” (со2-со2)
= -Ё ек 7^—кН—^ ^ («к Ж/ («к) и (Рк-щХРк-®;)
Перенося правую часть влево и вынося за скобки (со? — со)), получим
(со2 - со2)(|Уг (х)У (х)с/х + £ ек —--- Уг (ак )У. (ак )) = О
о (Рк-щХРк-®^
Отсюда при / ^ / получим, что
I „2
| ^ (*>& + 2Х —---^—2------— ^ (а* )К (а* ) = О или, используя (9)
О ^ (Рк-ЩХРк-®;)
I уг (х)У1 (х)с!х + £ Д =0 (14)
О к=1 Рк
Таким образом, условие ортогональности имеет вид
О, /' * 7
zk=YJ(Pi(04» и(х’0 =Z^(0^(х) (16)
i=1 /=1
Подставляя в (1), получим
Р,- (04 + Рк ((Pi (04 - Щ (fWi {ак )) = о
et dx
(рг (fWi (х) + Ъщ it) — Vt(x)= (17)
= Е(<Р> (04 W ОМ(* - я* )
¿=1
Разделив обе части двух уравнений в (3) на ç^t) , получим
<рЛ О
<z»i(0
4+а(4-^Ю) = °
(18)
т (ñ d4 N
^J-V^+b—VXx) = -4'(xmx-a,)
<p,(t) dx /
Обозначив ^ = -cof, (19)
получим
-^Akl+p2k(Aki-Vl(ak)) = 0
d4 N (20)
^ (x) + Й — ^ (x) = 2 (Л (х)Жх - a, )
Ш* ¿=1
Таким образом парциальное движение является синусоидальным с частотой ®г со смещением
<7> (t) = Д sin щ! + Bt cos щ! , (21)
••
которое получается в результате решения дифференциального уравнения (7) + <Уг г/>. (/ ) = ().
вытекающим из (19).
Запишем начальное условие
(°) = £ <Рг (°)4 = М (Х> °) =£ Vi (0У,(Х)=Л (Х)
i=1 ;=1
Л-7 00 р.. СО
-Г- (°) = Z % (°)4 = zft0> -г- (°) =Z % (°Ж (х) = Л (*) или
dt г=1 dt г=1
со
X^(0K=zte (22)
/=1
со
Z^(°)^(x) = /1(x) (23)
/=1
со
Е%(°)4=^0 (24)
/=1
со
YJ(PtI(Q)VI(x) = fi(x) (25)
i=1
e¿4 7
Умножим справа (22) на —т- и просуммируем по л
Рк
У множим (23) на (х) и проинтегрируем по длине стержня
СО & &
Е <Рг (°)|Уг (ХУ} (Х)^ = |./|' (ХЖ; (хуь (27)
г=1 О О
Сложив левые и правые части уравнений (26) и (27), получим
00 ^ ^ с А А
Е Щ (ОХ \V, (Х)Г} (х)(Ьс + £ J^) =
‘ 1 0 - Л (28)
N g 2 Л
k ko kj
О к=1 Рк
В силу условия ортогональности (15) в левой части останется только слагаемое при і = j.
В результате получим
І w р 7. А
ffl (0) = --------------—----—— (29)
I N p A A
\V2(x)dx + T k fa. ы
0 t? Pk
Аналогично для коэффициентов (зй(0) получим
І N Р 7 А
\f1(x)Vl(x)dx + Y,JLJ!^
<Р,А 0) = --------------———— (30)
1 N р А А
¡V2(x)dx + T к кг, ы
о ti Рк
Из начальных условий q>t (0) = cpio, cpti (0) = cptio и (21), получим
4 = —. -в, = «о ^
В результате <pt (t) = sin coj + <pi{) cos coj (31)
Подставляя в (16), получаем решение системы (1).
п ^ ^2 _
Примечание. V^x) = ы(х)Аы, где $ш(х) = —^-----------------Vki(x-ak), а Vы(х) - решения краевых
tt (о ~Рк
задач
?-/ \ d4V(x) . ч -со V(x) + b ^ '=5(х),
V(-ak) = V(l-ak) = 0, dV, , dV (1 ,
к = \,2,--,п
3. Заключение
Таким образом получено решение начально-краевой задачи для произвольного числа осцилляторов, закрепленных на стержне в разных точках. По заданным начальным положениям и скоростям тел в осцилляторах , а также начальному изгибу стержня и скоростям точек стержня, изложенная методика позволяет определить полностью закон движения рассматриваемой механической системы, то есть найти в произвольный момент времени положение и скорости стержня и закрепленных на нем тел в осцилляторах.
Литература
1. Баргуев С.Г., Мижидон А.Д., Цыцыренова М.Ж. Определение собственных частот простейшей механической системы на упругом основании. Вестник БГУ. Выпуск 9. Математика и информатика г.Улан-Удэ, 2009.
Баргуев Сергей Ганжурович (Гавриилович), кандидат физико-математических наук, доцент Бурятского филиала Сибирского университета телекоммуникаций и информатики. E-mail: barguev@yandexru Аюшеев Тумэн Владимирович, доктор технических наук, доцент Восточно-Сибирского университета технологии и управления.
Мижидон Арсалан Дугарович, доктор технических наук, профессор Восточно-Сибирского университета технологии и управления. E-mail: miarsdu@esstu.ru
Barguev Sergey Ganshurovich (Gavrilovich), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Buryat branch of Siberian University telecommunication and information
Ausheev Tumen Vladimirovich, doctor of technical science, associate professor of East-Siberian State University of technology and managment
Mizhidon Arsalan Dugarovich, doctor of technical science, professor of East-Siberian State University of technology and managment.
