Об одном многосеточном методе расчета двумерного стационарного температурного поля наружной ограждающей конструкции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:697.1

ОБ ОДНОМ МНОГОСЕТОЧНОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА ДВУМЕРНОГО СТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ НАРУЖНОЙ ОГРАЖДАЮЩЕЙ КОНСТРУКЦИИ

В, Ю, Шадрин, И, И, Сивцев

При проектировании наружных ограждающих конструкций проводится расчет стационарного температурного поля, так как теплопо-тери и термическое сопротивление конструкции необходимо вычислять на основании температурного поля.

Нами предложен двухсеточный метод решения третьей краевой задачи для расчета двумерного стационарного температурного поля наружных ограждающих конструкций.

При решении третьей краевой задачи для многомерного уравнения Лапласа известными прямыми и итерационными методами возникают проблемы с нехваткой памяти и увеличением времени расчета. Эффективным численным методом решения систем уравнений, аппроксимирующих дифференциальные и интегральные уравнения, является многосеточный метод. Начиная с [1], разработано много вариантов многосеточных методов.

Идея нашего итерационного метода заключается в том, что одна итерация метода состоит из одной или нескольких итераций на мелкой сетке исходной задачи простым итерационным методом Зейделя и решения задачи для поправки на грубой сетке прямым методом Гаусса [2]. Операторами рестрикции (сноса) и пролонгации (восполнения), связывающими пространства большой и маленькой размерностей, являются соответственно простое сужение (сетки вложены) и линейная интерполяция.

© 2013 Шадрин В. Ю., Сивцев И. И.

1. Математическая постановка задачи

Расчет температурного поля ограждающих конструкций приводит к необходимости решения третьей краевой задачи для уравнения Лапласа.

Будем рассматривать третью краевую задачу в прямоугольной области П = {0 ^ ж ^ 0 ^ у ^ р}. Требуется найти в П решение и = и(х, у) задачи

д / ди\ д / ди\ п . . п

А^ + аСр(^-Тср) = 0, (2)

где Г — граница области Л, и — искомая температура, °С, А — коэффициент теплопроводности, Вт/(м-°С), Щ; — производная по внешней нормали, Тср — температура среды (не зависит от времени), аср — коэффициент теплообмена поверхности ограждения, Вт/(м • °С).

При этом нужно иметь в виду, что ограждающие конструкции, как правило, неоднородны. Отсюда следует, что функция коэффициента теплопроводности является разрывной кусочно-постоянной функцией двух переменных.

Задачу (1)-(2) дискретизируем методом сеток на мелкой сетке с помощью разностной схемы со вторым порядком точности по обеим пространственным переменным. Полученную систему будем решать двумя методами:

1) методом Зейделя,

2) двухсеточным методом (комбинация метода Зейделя и метода Гаусса).

По полученным результатам сравним эти методы.

Опишем кратко идею многосеточного метода, предложенного в [3]. Предположим, требуется решить уравнение эллиптического типа

Ьи = /, (3)

где Ь — некоторый линейный эллиптический оператор, и — пеизвест-/

раз является задача расчета стационарного температурного поля наружной ограждающей конструкции, удовлетворяющего уравнению (1).

Пусть система линейных алгебраических уравнений, являющихся разностным аналогом уравнения (3) на квадратной сетке с мелким шагом к, имеет вид

Ьнин = ¡п. (4)

Для решения системы (4) предлагается двухсеточный метод:

= йн + = йн + рун = йн + РЬнг (-¿н)

= йК - РЬН КД = пи - РЬнгЩЬкйк - Д). (5)

В формуле (5) используются решения большой и маленькой систем:

Ьпйп = ¡п, йК е Оп,

Ьнйн = ¡н, йн е ОН, Н > к.

Операторы К и Р связывают пространства различных размерностей и называются соответственно рестрикцией и пролонгацией.

При использовании многосеточного метода возникают следующие четыре проблемы.

йп

брали метод Зейделя.

К

как грубая сетка вложена в мелкую.

Р

терполяцию.

4. Выбор метода «огрубленного» оператора Ьн при известном Ьп. Мы выбрали разностный аналог оператора Лапласа на грубой сетке. Грубая система решается прямым методом Гаусса.

2. Алгоритм двухсеточного метода

Этап 1. Задаем начальное приближение и^ (например, и^ = 0). Полагаем к = 0.

Этап 2. Методом Зейделя проводим одну итерацию й^ ■ Этап 3. Вычисляем невязку ¿п = Ъпй^ - ¡п-

Этап 4. Вычисляем /н = Я<1и, где Я : и и ^ ин — рестрикция невязки с мелкой сетки на грубую.

В нашем случае грубая сетка вложена в мелкую сетку, как показано на рис. 1. Оператор Я работает простым сужением сетки.

Рис. 1. Сеточная область

Этап 5. Решаем грубую систему LHvh = fH прямым методом Гаусса, поскольку размерность маленькая.

Этап 6. Вычисляем поправки с помощью пролонгации vh = pvH, p:uH ^ Uh.

В данном случае для оператора пролонгации используем линейную интерполяцию.

Этап 7. Вычисляем следующую итерацию

(fc+i) (k) Uh = Uh

Jk)

Этап 8. Расчет проводим до тех пор. пока температурное поле не выйдет на стационар, т. е. когда норма разности (равномерная норма) между соседними итерациями не окажется меньше заданной погрешности е:

|Uk+D - Uk ||= max .„,,

(k+1) (k) I

U 3 - Ui,j I

t(k+D <е.

Таблица 1. Результаты численных экспериментов

Метод решения N £ 11^+1) -„«II Количество итераций

0,01 0,009993 6,045654 756

50 0,001 0,000999 0,616282 2167

0,0001 0,000100 0,061866 3590

Итерационный 0,00001 0,000010 0,006486 5012

метод Зейделя 0,01 0,009993 3,938044 648

40 0,001 0,000998 0,393305 1558

0,0001 0,000100 0,039634 2466

0,00001 0,000010 0,004408 3374

0,01 0,009084 0,095964 35

50 0,001 0,000940 0,012935 61

0,0001 0,000096 0,001656 93

Двухсеточный 0,00001 0,000010 0,000471 127

метод 0,01 0,009415 0,108851 37

40 0,001 0,000967 0,014862 69

0,0001 0,000097 0,001711 106

0,00001 0,000010 0,000601 143

кк

этап 2.

3. Численные эксперименты

В качестве тестовой задачи для сравнения методов рассматривали расчет температурного поля прямоугольной однородной ограждающей конструкции. Тогда задача на самом деле является одномерной, что позволяет аналитически найти точное решение.

Ограждение состоит из сосны с коэффициентом теплопроводности Л = 0.14 Вт/(м • °С) размером 0.2м х 0.2м. Наружная и внутренняя температуры считаются постоянными: Тн = -54°С и Тв = 21°С. Коэффициент теплообмена наружной поверхности ограждения равен

ан = 23Вт/(м2 • °С), а коэффициент теплообмена внутренней поверхности ограждения — ав = 8.7Вт/(м2 • °С).

Полученные результаты приведены в табл. 1, где используются следующие обозначения:

N — число узлов сетки по каждой переменной, £ — заданная точность между соседними итерациями, Ци(к+1) — ик || — фактическая погрешность между соседними итерациями,

Ци(й+1) — и* || — разность между вычисленным приближенным решением и точным решением в равномерной норме.

Из табл. 1 видно, что двухсеточный метод решает задачу в значительной степени быстрее и точнее, чем итерационный метод Зейделя.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоренко Р. П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28, №2. С. 121-182.

2. Самарский А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов. СПб: Лань, 2005.

3. Шевченко Д. В. Применение многосеточных методов для расчета давления в нефтяном пласте // Мат. моделирование. 2002. Т. 14, №8. С. 113-118.

г. Якутск

5 июня 2013 г.