Об одном методе решения квазистатических и динамических задач вязкоупругих пластин произвольной конфигурации при различных моделях вязкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН ПРОИЗВОЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ

МОДЕЛЯХ ВЯЗКОСТИ Садиков Холмирза Садикович, к.ф.-м.н., доцент Абдуллаева Дилдора Анваровна, старший преподаватель Навоийский государственный горный институт, Республика Узбекистан

Работа посвящена моделирование и автоматизация решение квазистатических и динамических задач вязкоупругих пластин произвольной конфигурации при различных моделях вязкости в среде системе Maple.

Отметим что, значение вычислительного эксперимента трудно переоценить, особенно, если натурный эксперимент опасен, дорог или просто невозможен. Только разумное сочетание аналитических и численных методов является необходимым условием успеха при решении практических задач.

Как известно, математическая модель данной задачи имеет вид:

а2м:

+ 2-

д2М.

ху

+ ■

+ q(x,y,t)=0

(1)

дх2 дхду ду2 Отметим что, если при формулировке основных физических соотноше ний используем гипотеза о постоянстве коэффициента Пуассона, тогда из гибающие и крутящие моменты вычисляется следующими формулами:

[д2Ш д21М) (д2Ш

М;. = -D(1-fl*)-

дх2

ду2

; м; = -D(1-fl*)-

ду2

дх2

М* =-D(W)(1-K*)

d2W

(2)

где Б - жесткость вязкоупругих пластин; й* - интегральный оператор с ядрами релаксации Я(1;), т.е. = ¡^(Ьт^(х,у,т)6. т ; W(x,y,t) - прогиб пластины;

ц - коэффициент Пуассона; q(x,y,t)-интенсивность внешней нагрузки.

Если же используем гипотеза об упругости объемных деформации, тогда для изгибающих и крутящего моментов вычисляется следующими формулами

м*х =

d2W

2G(1-R*c)—r + L

м; = -

2С(1-йО

с' дх2 d2W

rd2W d2W) + ■

дх2 ду

12

(d2W d2W) + Lc\-r + -

ду2 [ дх2 d2W h3

M^DCWX1-**) ^xay-12

ду2

ft3 12

тч ; (3)

где в=Е/2(1+ц) - модуль сдвига; Е - модуль упругости; й* - интегральный оператор с ядрами сдвиговой релаксации йс(0; V - интегральный оператор , т.е.

L* =| 3 + K[2G{1-R*c)]-1

К

2

3G(1

Ю

К=Е/3(1- 2ц) - объемный модуль упругости; И - толщина пластины. Как известно, уравнение колеблющейся тонкой вязкоупругой плиты имеет вид

а2м:

+ 2-

д2М.

ху

+ ■

+ q(x,y,t)= ph-

(4)

где ph - масса плиты Уравнения (4) чальных условиях

Liw\ri=yi(x,y); Г= U?=1rf ;

дх2 дхду ду2 ' дь2

отнесенная к единице поверхности. решаются при соответствующих граничных и на

Wt=0 = w{

dW

0 ;

= n = ^n£

(5)

У

VJ

dt lt=°-'"'°

где Li - дифференциальные операторы, зависящие от граничных условий; Г - граница области; W0 и - начальные значения. Решения уравнений (1) и (4) ищем в виде

W(x,y,t)=£f=17KtM(*,y) (6)

где (Pi(x,y)- системы координатных функций (полиномы Чебышева, степенные, тригонометрические, сплайны Шенберга и т.д.) СКФ.

Отметим что, СКФ точно удовлетворяют всех граничных условий, которые строятся с помощью метода R - функций В.Л.Рвачева; Tj(t) - неизвестные функции времени

t.

Сначала рассмотрим задачи изгиба пластин. Пусть пластина жестко защемлена по всему контура и находится под действием нагрузки (q=1). В качестве ядра сдвиговой релаксации используется ядро R(t)=se_^t.

Уравнение геометрии области для пластины, представленной на рис.1 Рис.1

имеет вид:

П=((( П 1 Л0 (П 3 А0 П 5 ))) Л0( П 2 А0 (П 4 Л0 П 6 ))) Л0 П 7

где О 1 =(а^)/2а, О 2 =(Ь2-у2)/2Ь О з =((х+а)2+у2-Я2)/2Я, О4 =(х2+(у+Ь)2-Я2)/2Я О5=((х-а)2+у2-Я2)/2Я, О 6 =(х2+(у-Ь)2-Я2)/2Я,

О 7 =(х2+у2-Я2)/2Я л0 - оператор логический конъюнкции нулевого порядка. На рис.2, а показано изменение прогиба "^х,уД) во времени (пунктирная линия) в точке с координатами х=0.5; у=0.5, а на рис.2, б - изменение изги-

бающего М* и крутящего М*у моментов (пунктирная линия) в той же точке. Ссплошными линиями показано изменение тех же величин для пластины с постоянными во времени коэффициентом Пуассона и ядром релаксации, совпадающим с ядром Яе(1) для рассматриваемой пластины.

М* -102 М* -101

\ /

М*

-\ М 1

0 1 2 3 0 1 2 3

а) б)

Рисунок 2

Результаты получены при следующих значениях безразмерных параметров:

Л=а/Ь=1 ; г=Я/а=0.2 ; е=0.05 ; р=0.075; ц=0.17

Здесь мы сравнивали полученные результаты на основе двух гипотезы. w•

Рисунок 3

4

2

2

Далее рассмотрим вынужденные колебания жестко защемленных вязко-упругих пластин (рис.1). Пусть пластина находится под действием нагрузки ^=1) и при следующих начальных условиях W|t=o=0, Wt|t=o=0.

Результаты получены при следующих значениях безразмерных параметров:

Л=а/Ь=1 ; г=Я/а=0.2 ; е=0.05 ; р=0.075; ц=0.17

На рис.3 показано изменение прогиба пластины W(0.5;0;t) полученные на основе двух гипотезы. Для сравнения сплошными линиями показано изменение прогиба пластины W(0.5;0;t) , полученное на основе гипотезы о постоянстве коэффициента Пуассона.

Метод Я-функции позволяет построить координатные последовательно-

сти для областей практически произвольной конфигурации и краевых условий сложного вида. Построен эффективный вычислительный алгоритм для расчета задач наследственной теории вязкоупругости со сложной формой границы на основе комбинации методов R-функции и вариационных методов. На основе предложенного вычислительного алгоритма разработано интеллектуальной алгоритмической системы.

С помошью разрабонной интеллектуальной алгоритмической системы можно решать целых класс задач механики деформируемого твердого тела и легко его обобщить для других задач математической физики.

ЗАВИСИМОСТЬ ТОЛЩИНЫ И МАССЫ ОБРАЗЦОВ ГЛИНОЗОЛЬНОЙ КЕРАМИКИ ОТ ВРЕМЕНИ ВЫДЕРЖКИ ПРИ ЗАДАННЫХ УСЛОВИЯХ Сергиенкова Алена Андреевна, аспирант (e-mail: [email protected]) Акулова Марина Владимировна, д.т.н., профессор (e-mail: [email protected]) Ивановский государственный политехнический университет,

г.Иваново, Россия

В данной работе представлен анализ экспериментальных данных, полученных при полусухом формовании тонкодисперсного глинозольного пресс-порошка при влажности 10%. Описан принцип процесса полусухого формования изделия. Определена зависимость толщины и массы образцов от времени выдержки. Найдено оптимальное время формования изделий.

Ключевые слова: глинозольная керамика, полусухое формование, время формования изделий.

Особое внимание при производстве строительной глинозольной керамики необходимо уделять процессу формования изделий. От данного процесса впоследствии зависит качество готового изделия. В эксперименте использовался пресс-порошок с соотношением глины и золы 60:40 и влажностью 10%. Для формования образцов был выбран полусухой способ.

Процесс полусухого формования происходит в три стадии. Первая стадия сопровождается уплотнением порошка за счет смещения частиц относительно друг друга и их сближения. При этом происходит частичное удаление воздуха из системы [1]. Вторая стадия уплотнения характеризуется пластической необратимой деформацией частиц. При этом увеличивается контактная поверхность между частицами, выжимается влага из глубинных слоев на контактную поверхность частицы, возрастает сцепление между частицами. В этой стадии уплотнения может иметь место защемление и упругое сжатие воздуха, который не успел удалиться из порошка. В