ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ АГРЕГАТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ф

Вестник РГАТУ, № 3 (31), 2016

RU 1999. - Режим доступа :

URL:http://www.ecoteco.ru/library/magazine/ zhumal-211/tehnologN/altemativnye-istochmki-energii-i-vozmozhnosti-ih-primeneniya-v-rossii. - 15. 01.2015.

2. Германович, В. Альтернативные источники энергии и энергосбережение [Текст] /В. Германович, А. Турилин . - М. : Наука и техника, 2014. -318 с.

3. Морозов, Н. М. Социально-экономическое

значение энергосбережения в сельском хозяйстве [Текст] / Н. М. Морозов // Энергообеспечение и энергосбережение в сельском хозяйстве : тр. 8-й междунар. науч.-техн. конф. - 2012. - С. 19-27.

4. Пат. 2560385 Российская федерация, МПК В0Ю 53/00. Регенеративный фильтр генераторного газа [Текст] / Дмитриев Н. В., Пронин С. Ю. ; заявитель и патентообладатель Рязанский гос. агротехнол. ун-т. - № 2014128738/05; заявл. 11.07.2014; опубл. 20.08.2015, Бюл. № 23.

IMPROVING THE EFFICIENCY OF GENERATOR GAS PURIFICATION

Dmitriev Nikolay V., candidate of technical Sciences, associate Professor of automotive engineering and heat power engineering

Pronin Sergey Yurievich, post-graduate student, proninsergey2691@yandex.ru

Ryazan state agrotechnological University named after P. A. Kostychev

The article touches upon the problems of energy supply of agriculture, and the use of alternative energy sources. For example, gas production plant considered the possibility of using alternative sources of energy in the agro-industrial complex, personal farms. During the studies there were basic problems in the use of producer gas power plants. For producing electricity in these plants use the internal combustion engine in combination with the generator. Fuel for the engine is the generator gas obtained in the gasify. The gas at the outlet has a high temperature (700 - 8000C) and high degree of contamination (100 g/m3). The composition of the polluting gas generator substances includes contaminants in the form of dust, soot and tar. The main problem is the gas cleaning from tars. At high temperature the resin is in the gaseous state. When the temperature drops to 350 - 200 0C the condensation of the resinous compounds, which allows to clean the producer gas. The proposed technological solution to the problem of generator gas purification. The solution lies in the development of a regenerative gas-filter plant, which provides the high purity gas generator, and also has the possibility of continuous operation.

Key words: gasification of solid fuel, gas generator, gas generator, gas filtration, porous regenerative filter.

Literatura

1. Uvarov P. A. Al'ternativnye istochniki ehnergii i vozmozhnosti ih primeneniya v Rossii. //ECOTECO.RU 1999.

URL:http://www.ecoteco.ru/library/magazine/zhurnal-211/tehnologii/alternativnye-istochniki-energii-i-vozmozhnosti-ih-primeneniya-v-rossii (data obrashcheniya 15. 01. 2015)

2. Germanovich V., Turilin A. Al'ternativnye istochniki ehnergii i ehnergosberezhenie. - Nauka i tekhnika, 2014.

3. Morozov N. M. «Yenergoobespecheniye i yenergosberezheniye v selskom khozyaystve» Sotsialno-yekonomicheskoye znacheniye eenergosberezheniya v selskom khozyaystve. Trudy 8-j Mezhdunarodnoj nauchno-tekhnicheskoj konferencii, 2012.

4. Pat. 2560385 Rossijskaya federaciya, MPK B01D 53/00. Regenerativnyj filtr generatornogo gaza. [Tekst]/Dmitriev N.V., Pronin S.YU., zayavitel' i patentoobladatel' FGOU VO RGATU. - № 2014128738/05; zayavl. 11.07.2014; opubl. 20.08.2015, Byul. № 23.

УДК 517.925.51

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВАНЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ

КОЛЕБАНИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ АГРЕГАТОВ КУРАШИН Владимир Николаевич, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры математических и естественнонаучных дисциплин, Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище (институт) имени генерала армии В.Ф. Маргелова, kurachin@mail.ru

ТРОИЦКИЙ Евгений Иванович, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры бизнес-информатики и прикладной математики, Рязанский государственный агротехнологический университет имени П.А. Костычева, matematika@rgatu.ru

В статье рассматривается Т-периодическая система линейных дифференциальных уравнений специального типа. Такими уравнениями, в частности, уравнением x+ax+q(t)x=0, описывается функционирование сельскохозяйственных агрегатов. Наиболее важным является вопрос об устой-

© Курашин В.Н.,Троицкий Е.И. 2016 г

Технические науки

в

чивости тривиального решения уравнения. Здесь вектор Х(?)Е Я2 ,a=coпst, д($-Т-периодическая функция, для которой выполняются условия: д< ц^) < ^ суС^)^^ = 0- Указанное уравнение равносильно системе х± = х2, х2 = — ах2.

Известно, что структура решений линейной системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами определяется матрицей монодромии Х(Т), т.е. значением фундаментальной матрицы решений Х^) в конце периода. Суть метода состоит в том, что наряду с указанной системой рассматривается система Х-^ — Х2> — Х-^ 0-Х2>

где иф удовлетворяет тем же требованиям, что и цЦ). Каждой функции и@) соответствует своя матрица монодромии Хи(Т). Ставится задача среди всех функций и({) найти такие, которые доставляли бы наибольшее значение модулю следа соответствующей матрицы монодромии. Поставленная задача решается с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина в следующей_ формулировке. Для системы

X^ — Х21 ~ 0,%2> Х^ — — их3 — ^

среди кусочно-непрерывных функций иЦ) найти такие, чтобы решение системы, начинающееся в точке (1,0,0,1,0) и оканчивающееся пои ^Т на гиперплоскости х5=0, доставляло экстремальное значение функционалу (х2 ~ ихз ~ ах4)(1г. Получены достаточные условия устойчивости.

Ключевые слова: система линейных дифференциальных уравнений, устойчивость, матрица монодромии, ограниченность решений

Введение

Изучение малых поперечных колебаний навесных сельскохозяйственных агрегатов приводит [1] к исследованию уравнения вида

ф + аф + = 5(0,

MP

где а=-

mpz+B

)Л

q(t)=

трг+В

S(t)= - р(2Рх + ?1)) \р - угол Эйлера; m - масса системы; р- расстояние от центра масс до точки касания колеса навесного агрегата с опорной поверхностью; B - главный момент инерции; P(P,P,P) - сила тяги; R/ (R/,R/,R/) - главный вектор сил сопротивления среды, реакций обрабатываемой поверхности и т.д., которые приводятся в центр масс; Gxyz - система координат с началом в центре масс; j - коэффициент, характеризующий диссипативные силы и определяемый из функции Рэлея. Функция q(t) представляет собой сумму некоторой постоянной величины и периодического возмущения. На практике обычно относительно периодического возмущения имеется неполная информация: известны лишь его минимальное и максимальное значения, период и среднее значение за период.

Результаты исследования

В работе [2] рассматривался вопрос об устойчивости Т-периодической системы линейных дифференциальных уравнений x=P(t)x, хе R3, (1)

где P(t) - кососимметричная матрица ((P* (t)= -P(t)), имеющая вид

- кусочно-непрерывная Т-периодическая, нечётная функция такая, что |р^)|<М. Следуя [3], вопрос об устойчивости (1) сводится к решению одной задачи терминального управления. Применяя принцип максимума [4],определяется структура управлений, которые могут доставлять

экстремум функционалу J(u), тесно связанному со следом матрицы монодромии системы (1). В [2] получено дифференциальное уравнение, решение которого определяет точки переключения релейного управления. Дальнейший анализ этого уравнения позволяет сделать вывод о Тк - периодической структуре управлений [5], удовлетворяющих принципу максимума 0 < Г < т,

1-м, т < £ < 71;

где

т = —,7\ = -, k EN.

2 1 к

Далее находим матрицанты X(t,M), X(t, - M) системы (1) при p(t)=M и p(t)= -M соответственно:

Usinait ■ А + ^-(1 - cosa>t)A2,

Û) il)2

-sincot ■ В -\—-(1 — coswt) ■ B2,

X(t,M)=E X(t,-M)=E

где A=

(0 0 м\ 0 -м\

: 0 0 -1 ; В= 0 0 -1 ;

\-м 1 0 J \м 1 0 J

M2 + 1.

Матрица монодромии Х(Т.,) для Т.,- периодического процесса имеет вид X(T1)=X(t,-M)•X(t,M). Учитывая ортогональность матриц Х(^М), X(t, - М)

получим

1

- ^diag(xu хп + х13; х12 + х22 х23; х13 х2з + ^33)* % = 1 + M2cosù)t; х22 = М2 + cost; х12 = -М(1 - coswi); х23 = - wsirnt; х13 = -M(i)sinù)t; х33 = ù)2cosù)t. (2)

Для следа о(к) матрицы Х(Т.,) находим

<7 = SpX(ТО = 3 - -(х?2 + х|3).

(3)

Характеристическое уравнение det(X(T1)- ЛЕ)=0 матрицы X(T1) в силу свойств исходной системы (1) будет возвратным

Л3 аЛ2+аЛ- 1 = 0, (4)

и имеет, очевидно, корень Л1=1. Тогда (4) можно записать в виде (Л-1)(Л2- (о-1)Л+1)=0.

Обозначим (Т~1 через а и ограничимся

случаем -к а < з. Тогда дискриминант квадратного уравнения Я2 - (а - 1)Х +1=0 отрицателен и корни (4) имеют вид

&

Вестник РГАТУ, № 3 (31), 2016

я1 = 1 ; Я23 = а ± ¿л/1 - а2; |а| < 1,

или

Для следа матрицы монодромии Х(Т)=(Х(Т1))к в рассматриваемом случае находим

ЗрХ(Т)=Я1(Г) + Л2(Т) + Х3(Т) = Л\ + Л\ + + =1 +е1к(Рь + е"^ =1 +2соэ(к-^к).

Условие устойчивости системы (1) заключается [61 в выполнении неравенства

-1 < SpX(T) < 3.

(5)

Нетрудно видеть, что при -1<о<3 неравенство (5) справедливо. Следовательно, требуется установить условия, при которых выполняется неравенство (6) -1<ст(к)<3. (6) Подставляя в (6) выражение (2), получим

х12 + х23 < ИЛИ

2к

Преобразуя последнее неравенство, находим

(M2 + cos-)2>0,keN, у гг

что справедливо для любых М и Т.

Выводы

Таким образом, при исследовании устойчивости системы (1) с помощью принципа максимума, выявлена устойчивость ее при любых значениях М и Т. Такой же результат можно получить, применив второй метод Ляпунова. Возьмём для этого положительно определённую функцию У(х)=х* х, ХЕ Н Производная этой функции в силу (1) равна

У=[х* ■ х)=(л;*)'Х+(д;,)^=(Р(1)х)*Х+х*Р(1 )х=х*Р*(0* + х*Р(г)х = = х'Р(0х хЧ*(1)х = 0.

Следовательно, по теореме Ляпунова [7] тривиальное решение х=0 устойчиво. Однако, так просто полученный результат не умаляет процедуры решения задачи об устойчивости систем линей-

ных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами с помощью принципа максимума. На основе этого подхода авторами получены новые достаточные условия устойчивости линейных периодических систем, встречающихся в приложениях. Эти условия являются эффективными, то есть легко проверяемыми и являются удобными для параметрического анализа реальной физической системы или её синтеза, а также для решения задач вибрационной стабилизации.

Список литературы

1. Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления [Текст] : материалы II Четаевской конференции (23-26 янв. 1973 г.). - Т. 2. - Казань : КАИ, 1976, - 423 с.

2. Курашин, В. Н. Троицкий,Е.И. К устойчивости линейной дифференциальной периодической системы третьего порядка [Текст] / В. Н. Курашин, Е. И. Троицкий // Математические методы в научных исследованиях : сб. науч. тр. - Рязань : РГРТУ, 2014. - С. 38-42.

3. Курашин, В. Н. К устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [Текст] / В. Н. Курашин, Е. И. Троицкий // Дифференциальные уравнения (качественная теория) : сб. науч. тр.

- Рязань : РГПИ,1981. - С. 59-63.

4. Габасов, Р. Ф. Принцип максимума в теории оптимального управления

[ Текст] / Р. Ф.Габасов, Ф. М. Кириллова. -Минск : Наука и техника, 1974. - 272 с.

5. Применение принципа максимума к вопросу об устойчивости линейных дифференциальных систем с периодическими коэффициентами [Текст] / Н. М.Матвеев [и др.] // Пятая Всесоюзная конференция по качественной теории дифференциальных уравнений. - Кишинёв : Штиин-ца, 1979. - С. 117-118.

6. Якубович, В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами [Текст] / В. А. Якубович, В. М. Старжинский.

- М. : Наука, 1972. - 470 с.

7. Малкин, И. Г. Теория устойчивости движения [Текст ] : учебник / И. Г. Малкин. - М. : Наука, 1966.

ABOUT THE METHOD OF USING DIFFERENTIAL EQUATIONS IN INVESTIGATING AGRICULTURAL ENGINEERING OSCILLATIONS

Kurashin, Vladimir N., Candidate of Physical and Mathematical Science, Professor of Math and Natural Science Faculty, Ryazan Higher Airborne Command School (Institute) Named after General V.F. Margelov, 390031, Ryazan, Square Named after General V.F. Margelov, 1, kurachin@mail.ru

Тroitskiy, Evgeniy I., Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor of Business Informatics and Applied Math, Ryazan State Agrotechnological University Named after P.A. Kostychev, 390044, Ryazan, Kostychev St., 1, matematika@rgatu.ru

The article presents T-period system of linear differential equations of the special type. One often describes agricultural engineering functioning by these equations in general and bv x+ax+ait)x=0 in particular The most important is the question of the eauation trivial solution stability. Vector x(t)E R2 <a=const, q(t)-T-is repeating and the function havina rules Q< a(t) < Q, f0 q(t)dt = 0. The equation matches the system

X— X^> %2 — ClyLjX ^ CLX 2-

It is known that the solution structure for the linear system of differential equations with repeated coefficients is determined by the monodromy matrix X(T), i.e. the value of the fundamental matrix X(t) at the end of the

Технические науки ^y^Vj

-Ш

period. The essence of the method is that together with the given system one considers system

xt = x2, x2 = —u(t)x1 — ax2, where u(t) satisfies the same requirements as q(t). Monodromy

matrix XJT) corresponds to every function u(t). There is a task to find among u(t) functions the ones having the highest module of the monodromy matrix trace. This task is solved with the principle of Pontryagin's maximum. For the system = x2, x2= - ux1 - ах2, x3 = x4, x4= - ux3 - ах4, x5 = и

among partially cont functions u(t) it is necessary to find such as the system solution beginning at point (1, 0, 0, 1, 0) and finishing when t=T on hyperplane x5=0, has the extreme value of the functionalt. J=j" (x2 - ux3 - ax4)dt. We have got sufficient stability conditions.

Keywords: the system of linear differential equations, stability, matrix of monodromy, solutions limitation.

Literatura

1. Problemy analiticheskoy mekhaniki, teorii ustoychivosti i upravleniya. Materialy II Chetaevskou konferencii, t.2. Kazan', 1976, s. 330-332.

2. Kurashin, V.N., Troitskiy, E.I. K ustoychivosti lineynoy differencial'noy periodicheskoy sistemy tret'ego poryadka // Matematicheskie metody v nauchnykh issledovaniyakh. Mezhvuz. sb.nauch. tr. / RGRTU -Ryazan', 2014. - s. 38-42.

3. Kurashin, V.N. K ustoychivosti system lineynykh differencial'nykh uravneniy s periodicheskimi koefficientami //V.N. Kurasin, E.I.Troitskiy Differencial'nye uravneniya (kachestvennaya teoriya): mezhvuz. sb. nauch. tr. /RGPI, Ryazan', 1981.- s. 59-63.

4. Gabasov, R.F. Prinzip maksimuma v teorii optimal'nogo upravleniya [Tekst]/R.F. Gabasov, F.M. Kirillova.-Minsk: Nauka i tekhnika, 1974. - 272 s.

5. Matveev, N.M., Parnev, I.V., Troitskiy, E.I., Kurashin, V.N. Primenenie principa maksimuma k voprosu ob ustoychivosti lineynykh differenc ial'nykh system s periodicheskimi koehffiicientami // N.M Matveev [i dr.]. Pyataya Vsesoyuznaya konferenciya po kachestvennoy teorii differencial'nykh uravneniy - Kishinyov: Shtiintsa, 1979. - s. 117-118.

6. Yakubovich, V.A. Lineynye differencial'nye uravneniya s periodicheskimi koehffiicientami [Tekst] / V.A. Yakubovich, V.M. Starzhinskiy - M.: Nauka, 1972. - 470 s.

7. Malkin, I.G. Teoriya ustoychivosti dvizheniya [Tekst]: uchebnik / I.G.Malkin - M.: Nauka, 1966.-

УДК 631.363.258/638.178

ТЕОРИЯ ПРОЦЕССА СЕПАРАЦИИ ГРАНУЛ ПЕРГИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ ВЫГРУЗНОЙ РЕШЕТКИ

ИЗМЕЛЬЧИТЕЛЯ ПЧЕЛИНЫХ СОТОВ

НЕКРАШЕВИЧ Владимир Федорович, д-р техн. наук, профессор кафедры технических систем в АПК

КОСТЕНКО Михаил Юрьевич, д-р. техн. наук, профессор кафедры технологии металлов и ремонта машин

МАМОНОВ Роман Александрович, канд. техн. наук, доцент кафедры технических систем в АПК, E-mail: mamonov.agrotexnol@yandex.ru

БУРЕНИН Кирилл Викторович, аспирант кафедры технических систем в АПК БУРЕНИНА Елена Ивановна, аспирант кафедры технических систем в АПК Рязанский государственный агротехнологический университет имени П.А. Костычева В работе представлены теоретические исследования процесса сепарации гранулы перги через отверстия выгрузного окна измельчителя пчелиных сотов. Результаты этих исследований позволяют определить угол схода гранулы перги со штифта измельчителя и обосновать конструктивных размеры отверстий решетки для исключения разрушения гранулы между ее прутками. С использованием приведенной в статье конструктивно-технологической схемы измельчителя составлены дифференциальные уравнения сил, действующих на гранулу при выходе ее через решетку. Получены и проанализированы уравнения движения гранулы перги в рабочей зоне измельчителя и в момент прохода через решетку.

Ключевые слова: пчеловодство, перга, гранула, перговый сот, измельчитель, решетка.

Введение перги. Перга является одним из наиболее доро-

Перга - это белковый корм пчел. Они пергу при- гих и ценных продуктов пчеловодства из-за своего готавливают из цветочной пыльцы растений, укла- уникального химического состава. Поэтому ее ши-дывая ее в ячейки сотов и герметизируя сверху роко используют в качестве биологически актив-медом. В результате молочнокислого брожения ной добавки в питании людей [1, 4, 5]. внутри каждой ячейки сота образуется гранула Важнейшей операцией в технологии извлече-©Некрашевич В.Ф., Костенко М.Ю., Мамонов РА, Буренин К.В.,Буренина Е.И.2016 г.