Об одном критерии справедливости гипотезы Римана о нулях дзета-функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 1, С. 23-29

УДК 511

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ СПРАВЕДЛИВОСТИ ГИПОТЕЗЫ РИМАНА О НУЛЯХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Ю. Ф. Коробейник

Дорогому Анатолию Георгиевичу в знак искреннего уважения и приязни, по случаю его шестидесятилетия

Выводится один критерий справедливости известной гипотезы Римана о нулях дзета-функции в критической полосе и обсуждаются перспективы его применения.

Ключевые слова: дзета-функция, гипотеза Римана, критическая полоса.

1. Как известно (см., например, [1, гл.11, п. 12, с. 40], дзета-функция Римана не имеет нулей на прямых Яе г = 0, И,е г = 1 и допускает представление

„Ьг

С (г) =

г(г - 1)Г(г/2) ПД1 гк

0х/хк =

еЬг По (г)

г(г - 1)Г(г/2)'

(1)

в котором Ь = 1п2п-1-7/2, постоянная 7, называемая константой Эйлера или Эйлера — Маскерони, равная приблизительно 0,5772 и, наконец, — нули ((г), лежащие в вертикальной полосе В := {г = а + ¿А : 0 < а < 1, А £ Ж}. Среди чисел могут встречаться и равные, так что функция ((г), возможно, имеет в В кратные нули.

Представим функцию П0 (г) в виде произведения двух сомножителей П0(г) = Щ(г) ■ Щ(г); в первый из этих двух сомножителей входят все множители (1 ——)ег/гк, отвечаю-

v у

щие тем нулям кратности Пк ^ 1, которые лежат на «срединной» прямой Яе г = 1/2, а во второй — такие же множители, соответствующие всем остальным нулям ((г) из В (с учетом их кратностей). При этом

г(г - 1)

П1 (г) = П

1 +

где

Так как

(1/4 + Ак)]

Ф1 := {к ^ 1 : гк = 1/2 + ¿Ак, 0 < Ак < ,

«к

0а 1 г

а1 :=

Е

кбФ1

Пк

(1/4 + Ак )•

(V 6 > 0)

ЕПк (Ак)1+5

< +ТО,

2013 Коробейник Ю. Ф.

то Щ(,г) = Ф^^е"1 г, причем Ф^я) € А(С) и Ф^я) = Ф^1 - я) для любого г £ С. Заметим, что Харди еще в 1914 г. показал, что множество Ф1 бесконечно (но счетно!). Однако, этот результат Харди в данной работе не используется. Аналогично

П2(г) = П

«6Ф2

1

Рг + ¿т

1

я

Рг - ¿т

1

1 - рг - ¿т

1

1 - рг + ¿тг

«г

0«2 ^

где

Ф2 := {I > 1 : гг = рг + ¿тг, 0 < рг < 1/2, 0 < тг < , Рг , 1 - Рг

й2 := 2 ^ щ

геФ2

При этом каждое слагаемое

+

1_Р2 + т2 (1 - Рг)2 + т2]

2 «' •

геФ2

иг

Рг

+

1 - Рг

Р2 + т2 ' (1 - Рг)2 + т2

положительно, и потому й2 = 0 тогда и только тогда, когда множество Ф2 пусто, т. е. когда П2(я) = 1.

Таким образом, дзета-функцию всегда можно представить в таком виде:

С (*) =

е^ 3 (я)

ф - 1)Г(г/2)'

где 3(я) = Пф) ■ Щф 3(я) £ А(С), 3(я) = 3(1 - я) (Vя £ С), к = Ь + «1 + «2.

Из сказанного следует, что гипотеза Римана справедлива в том и только том случае, когда П2 (я) = 1, т. е. когда а2 = 0. Далее, так как дзета-функция удовлетворяет функциональному уравнению Римана:

то (при всех я из С)

(Vя £ С) С(я) = ф) ■ С(1 - я), с (я) _е^-1) Г( ^)

ф) =

С(1 - я)

Ф/2)

откуда

еЬ(2г

-1} = ф) ■ Гф2) = (2п)гп-1 81п ^Г() - фф2) = (2п)гГ(1 - я)

Г

'1-

Г

'1-г'

Г(Г(1 - я/2)

По формуле удвоения Лежандра — Гаусса (см., например, [2, с. 21])

г(^) Г(1 - */2) = ^ ■ 2гГ(1 - я),

и, следовательно,

(V я £ С) е^(2г-1) = (п)г-1/2.

Отсюда к = 11пп. Но тогда

а2 = 0 ^ а1 = -Ь + ^ 1п п,

я

я

я

и справедлива

Теорема 1. Гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда

У Пк 2 =1 + 1 - 1п 2 - !]д п. (2)

кк 1/4 + Ак 22 и

Замечание. Теорема 1 (по-видимому, уже раннее известная) следует и из несколько более общего результата, полученного примерно тем же методом в [3]. Разумеется, эту теорему нельзя считать эффективным критерием, но ее смысл заключается в том, что для проверки справедливости гипотезы Римана достаточно знать лишь величину 5^кеФ1 1/4"+Лк, определяемую значениями только тех корней £ (г) (с учетом их кратно-

стей), которые расположены на «срединной» прямой И,е г = 2.1 >

2. Пусть п £ (0,1/2), Р £ (0, и Вп,р — прямоугольник: 1/2 - п < Ке г < 1/2 + п, -Р < 1т г < +Р.

Выберем две последовательности положительных чисел (пки (Рктакие, что 0 I пг < 1/2; 0 < р | и предположим, что все нули £(г) из Втр принадлежат

отрезку [1/2 - ¿Рг, 1/2 + ¿Рг], если I ^ 1. По теореме 1 гипотеза Римана справедлива в том и только том случае, когда

Ит— / ^ , = Л + 1 - 1п 2 - 1]д пУ (3)

I^ 2п У ((г)г(1 - г) V 2 2 ) у'

Вычисление интеграла в левой части (3) сталкивается с определенными трудностями, обусловленными необходимостью знания значений функции ^(у на границе прямоугольников Вщ,р1. Эти трудности можно обойти, например, с помощью целой функции С1(г) := (1 - 21-г)((г), которая представляется в виде ряда Дирихле ^(-П|г+ , сходящегося в полуплоскости И,е г > 0. При этом, если

^П ^ 1) ^(г):=(2П^ -

и г = а + ¿А и 0 <а< 1, А £ Ж, то

А

К(г)| < П^ТТ (VП > 1).

Таким образом, ряд ^уп(г), представляющий (г) в полуплоскости И,ег > 0, сходится абсолютно в любой замкнутой полуплоскости Яе г ^ 6 > 0. Кроме того,

^ I > 1) / С1 (г) ^г = Г ЬЬ(г) ^г + [ ('(г) ^г

Zi(z)z(1 - z) J b(z)z(1 - z) J Z(z)z(1 - z)'

dDniPl dDniPl dDniPl

где b(z) := 1 — 21-z. Так как первый интеграл в правой части последнего равенства равен нулю по интегральной теореме Коши, то гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда

lim— f ^ dZ л = (^ + 1 - ln2 - lln Д (4)

2ni J Zi (z)z(1 - z) V 2 2 J

dDni,Pl

1 Пользуясь случаем, отметим одну затрудняющую чтение описку в [3]. Именно, множитель п в ле-

вой части равенства, стоящего на четвертой снизу строке страницы 63 в [3], следует опустить, так как

в предыдущих этому равенству выкладках он сократился.

Вычисление интегралов в левой части (4) при нынешнем уровне развития вычислительной техники не представляет непреодолимых трудностей, и, таким образом, проверка справедливости соотношения (4) может дать ответ на вопрос о верности гипотезы Римана. Однако, при этом, конечно, надо иметь ввиду, что константы 7, 1п2, 1п п в правой части (4) также, как и интегралы в левой части, могут быть вычислены лишь приблизительно (хотя и с как угодно высокой степенью точности). Поэтому скорее всего соотношение (4) можно будет эффективно использовать в случае, когда предел слева в (4) (легко заметить, что он всегда существует и равен ^¿,6ф1 1/4+а2) отличен от числа 1 + 1/2 ■ 7 — 1п2 — 1/2 1пп, стоящего в правой части (4).

Тогда равенство (4) будет невозможно, и гипотеза Римана будет неверна.

3. Пусть п £ (0,1/2), Т £ [1, и — прямоугольник

:= {г = а + ¿А : 1/2 — п < а < 1/2 + п, —Т < А < +Т}.

Допустим, что граница этого прямоугольника, состоящая из четырех прямоуголь-

ных участков, не содержит нулей ((г). Тогда по теореме о вычетах

1 г /-к \ л N1 (Т) N2 (Т,п) г , , 21

т [ с/(г) ^ = у- »к + 2 у- т[р(1 — рр + Р2] (5)

: 2п^ С(Ф(1 — г) ^ 1/4 + А| + = р + р2][(1 — р)2 + р2], (&)

где »к (V к ^ 1) — кратность любого из двух корней 1/2±, принадлежащих интервалу (1/2 — ¿Т, 1/2 + ¿Т) «срединной» прямой, а т\, I ^ 1, — кратность любого из четырех нулей ((г) вида р 1 ± ¿р 1, 1 — р 1 ± р р 1 £ (0,1/2), р 1 = 1/2 и р 1 £ (0,Т); каждая такая четверка при I ^ ^(Т, п) лежит внутри , и все эти четыре корня имеют одну и ту же кратность т 1. Зафиксируем какое-либо по £ (0,1/2) и положим

N1 (Т)

51 (Т ):=£

2=1

N2 (T,no)

S2no (T) := 2 £

1/4 + А2' m [p 1(1 - P 1) + P2 ]

1=1 [p 2 + p 2 ][(1 - p 1 )2 + p 2]

Тогда

Jno ,T = Si (T) + S2n° (T); при этом обе функции справа не убывают по T, и существуют пределы

в1 := тlim Si(T), в2(По) := тlim S2no(T).

Следовательно, если в(по) := lim Jno,т, то этот предел существует, причем

т—

в(по )= в1 + в2(П0),

и все эти функции не возрастают по п0, когда п0 I 0. Очевидно, что в(по) > в, тогда и только тогда, когда в2 (по) > 0, т. е. тогда и только тогда, когда в Dno,т0 (и в любом D4o,т при T > T)) найдется «неправильный» (т. е. не лежащий на «срединной» прямой) нетривиальный корень Z(z). Допустим теперь, что гипотеза Римана верна, но в интервале (0,1/2) найдется хотя бы одно значение П1 такое, что

Y 1

в(П1) > 1 + 2 - ln2 - ^lnп.

Тогда в2(п1) > 0, и в силу сказанного выше, в каждом прямоугольнике ВЧ1 ,т при любом достаточно большом Т найдутся по крайней мере четыре «неправильных» корня ((г), что противоречит сделанному раннее допущению о справедливости гипотезы Римана. Таким образом, доказана

Теорема 2. Если хотя бы при одном по из (0,1/2) имеет место неравенство

7 1

в (по) > 1 + 2 - 1п 2 - п,

то гипотеза Римана неверна.

Следствие. Если гипотеза Римана справедлива, то

7 1

(Vп £ (0,1/2)) в(п) < 1 + 2 - 1п 2 - п.

4. Теорему 1 можно переформулировать несколько иным образом. С этой целью, зафиксировав номер I ^ 1 и число Т > 1, выберем число пг из (0,1/2) настолько малым, чтобы все нули ((г), принадлежащие замкнутому прямоугольнику, ограниченному контуром Аг В г С г Вг Аг, где

Аг := 1/2 - пг - ¿Т, Вг := 1/2 + пг - ¿Т, С1 := 1/2 + пг + ¿Т, Вг := 1/2 - пг + ¿Т,

лежали бы на интервале (1/2 - ¿Т, 1/2 + ¿Т) «срединной» прямой. Положим еще

Р := 3/2 + пг - ¿Т, Е1 := 3/2 + пг + ¿Т, Н := 3/2 + пг + Т, О := 1/2,

и обозначим символом Г г замкнутый многоугольный контур с вершинами в точках Вг, В г, р, Нг, Ег. Будем считать, что

с (г) = 0 (V г £ Гг, VI ^ 1).

По интегральной теореме Коши

6 N1 (т) N2 (т ,пг)

= Е 1/4П_т А2 + Е

к=1 т=1 1/4 + Ат 5=1

т

11

+

Рз + ¿Р 5 рз ¿Рз

где 1/2 ± ¿Ак, 0 < Ак < Тг, — нули ((г) кратности пк из интервала (1/2 - ¿Тг, 1/2 + ¿Тг); рз±¿рз — гипотетические комплексные корни ((г) кратности тз, которые (в случае, если они вообще существуют) лежат в области симметричной относительно вещественной оси и ограниченной контуром СгВгрН^Е^Сг. При этом

(V5, 1 < 5 < ^2(Тьпг)) П := т3 Наконец, при

Ф(г) :=

11

+

Рз + ¿Р з рз ¿рз

С '(г)

2рзтз рз з > 0.

Р2 + Р2

С(г)г(1 - г)

1 [ а'(г) ¿г 1

^ :=2^У а(г)г(1 - г), ^ := / Ф(г) ^

АО Б1 Ег

- ! Ф(г) ¿г, — ¿У Ф(г) ¿г,

ЕгНг НгЕг

J5,, : =

2Ы $(Z) ^ / $(Z)

Е1С1 С(А

Займемся теперь интегралами , где 2 ^ к ^ 6. Имеем для любого г £ Я,]

откуда

T2 Z'(z) |z(1 - z)| > -2-, M< +«>,

|J3.i| < f • T, У2 < f.

Такая же оценка получается для | ,, |, и из нее следует, что

lim J3,, = lim J4,, = 0.

Переходя к другим интегралам Jk,, заметим, что

J2,1 = -

1/2+Пг

1 Г Z'(ж - iT,) dx ;

2П J Z(x - iT,)(x - iT,)(1 - ж + iT,);

3/2+ni

Отсюда

Но

J5,, =

1/2+4i

/ _Z '(ж + iT,) dx_

2ni J Z(x + iT,)(x + iT,)(1 - x + iT,)' 3/2+ni

1/2+4i

1 + 1 = 1Tm /" Z'(x + iT,) dx

+ ^ = П Z(x + iT,)(x + iT,)(1 - x - iT,)'

3/2+ni

1/2+ni

Z'(x + iT,) dx

3/2+ni

Z(x + iT,)(x + iT,)(1 - x - iT,)

ln Z (x + iT,)

(x + iT, )(1 - x - iT,)

1/2+n 1/2+n + /

3/2+ni 3/2+n

(1 - 2iT, - 2x) ln Z(x + iT,) dx (x + iT,)2 (1 - x - iT,)2 '

Здесь lnZ(x + iT,) = ln |Z(x + iT,)| + i argZ(x + iT,), где |Z(x + iT,)| ^ d • T,, а функция | argZ(x + iT,)| оценивается сверху по лемме из п. 4 главы IX книги [1] (см. [1, с. 210— 211]). В итоге получаем, что lim J2,, = lim J5,, = 0. Аналогично показывается, что

lim = 0. Таким образом, для любого l ^ 1

1

2П7

1/2

1/2—пг +»Тг

а' (z) dz a(z)z(1 - z)

Ni(T)

+ o, (1)= E

«■k

N2CT ,пг)

=1 1/4 + Ak

+2

Ps • ms

s=1

P2

рГ

(6)

где ог(1) = 0, а последовательности целых чисел (Ж1 (Тг))^=1 и ^2(Тг,пг))^=1 не

убывают с ростом I (и потому стремятся к (конечным или бесконечным) пределам). Переходя к пределу при I ^ то в (6), получим

1/2+^ ч N1(^1 N2 (те>0)

1 а (г) аг ^Ч пк ^-л рз ■ тз

-2^ .1 а(г)г(1 - г) = ^^ + ^ ' ( )

1/2

При этом в (7) 1 ^ N1 (то), N2(то, 0) ^ +то. Учитывая, что для любого в ^ 1, рз > 0, из (7) находим:

Теорема 3. Гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда ^ пк 1 а (г) аг

1/4 + А| 2пг У а(г)г(1 - г)' Й=1 1/2

Учитывая еще теорему 2, получаем

Следствие. Если гипотеза Римана о нулях дзета-функции справедлива, то

1/2+гте

1 [ а'(г) 1 7

--, Л-- = 1п 2 +— 1п п --£■- 1. (8)

2пг У а(г)г(1 - г) 2 2 ^

1/2

Вопрос об обращении этого следствия, т. е. вопрос о достаточности равенства (8) для справедливости гипотезы Римана, остается открытым.

Литература

1. Титчмарш Е. К. Теория дзета функции Римана.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953.—407 с.

2. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции.— М.: ГИФМЛ, 1963.—515 с.

3. Коробейник Ю. Ф. О дзета-подобных функциях и вещественном следе корней дзета-функции Римана // Владикавк. мат. журн.—2003.—Т. 5, вып. 4.—С. 63-66.

Статья поступила 30 октября 2012 г.

Коробейник Юрий Федорович

Южный федеральный университет,

профессор каф. математического анализа

РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а;

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А,

главный научный сотрудник отдела математического анализа

РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22

E-mail: kor@math.rsu.ru

SOME REMARKS ON THE RIEMANN CONJECTURE ABOUT THE ZEROS OF THE ZETA-FUNCTION

Korobeinik Yu. F.

A criterion of validity of the celebrated Riemann conjecture on the zeros of the Z-function in the strip 0 < Re z < 1 is derived and some aspects of application of this criterion are discussed.

Key words: zeta-function, Riemann conjecture, critical strip.