ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕИЗВЕСТНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Math-Net.Ru

А. И. Кожанов, Р. Р. Сафиуллова, Об одном классе псевдогиперболических уравнений с неизвестным коэффициентом, Челяб. физ.-матем. журн., 2022, том 7, выпуск 2, 164-180

001: https://doi.org/10.47475/2500-0101-2022-17203

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 94.29.16.195

6 сентября 2022 г., 19:13:11

Челябинский физико-математический журнал. 2022. Т. 7, вып. 2. С. 164-180.

УДК 517.956 Б01: 10.47475/2500-0101-2022-17203

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕИЗВЕСТНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

А. И. Кожанов1", Р. Р. Сафиуллова2,ь

1 Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия

2 Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа, Россия "kozhanov@math.nsc.ru, ьregina-saf@yandex.ru

Исследуется разрешимость обратных задач определения вместе с решением и(х, £) псевдогиперболического уравнения ии — Д и — Дии + аи = / (х,Ь) также неизвестного коэффициента а. Доказываются теоремы существования регулярных решений. Отличительной особенностью изучаемых задач является наличие в них новых для рассматриваемого класса уравнений условий переопределения.

Ключевые слова: псевдогиперболическое уравнение, неизвестный коэффициент, обратные задачи, интегральное переопределение, регулярные 'решения, существование.

Введение

Псевдогиперболические уравнения возникают в теории нестационарного течения вязкого газа при распространении начальных уплотнений в вязком газе [1], в теории солитонов [2] при описании процесса движения электронов в системе «сверхпроводник — диэлектрик с туннельной проводимостью — сверхпроводник». Уравнение вида иа(х,£) — Ди(х, ¿) — г]Дщ(х,1) = 0, ' > 0, описывает процесс распространения возмущений в упруго-вязком стержне, здесь 'Ди — малая вязкость [3].

Следует отметить, что краевые задачи для псевдогиперболических уравнений активно исследовались представителями как российских, так и зарубежных математических школ [4-10]. Коэффициенты в уравнениях, их правые части характеризуют, как правило, те или иные условия протекания физических процессов, описываемых уравнениями. Их величины определяются свойствами среды, однако далеко не всегда характеристики среды заранее известны. Задачи, в которых помимо решения требуется определить также какую-либо иную неизвестную величину, входящую в уравнение (или величины), называются обратными задачами.

Изучая теорию обратных задач, следует отметить монографии М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, С. И. Кабанихина, А. М. Денисова, А. И. Кожанова и др. [11-16]. В работах [17-24] рассматривались обратные задачи для параболических уравнений, в работах [25-30] — для гиперболических уравнений. Разрешимость обратных задач в тех или иных постановках, с теми или иными условиями переопределения для псевдогиперболических уравнений была предметом исследования в работах [31-34].

Данная работа посвящена исследованию нелинейной обратной задачи с неизвестным коэффициентом для псевдогиперболического уравнения четвёртого порядка. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением и(х,Ь) определить неизвестный коэффициент, представляющий собой постоянную величину (а не функцию!). В работе доказываются теоремы существования регулярных решений. При доказательстве разрешимости исходной обратной задачи используется

метод, основанный на переходе от обратной задачи к прямой задаче для нелинейного уравнения высокого порядка. Доказывается её разрешимость и строится решение обратной задачи с помощью решения вспомогательной задачи. Отметим также, что нелинейные обратные задачи для псевдогиперболических уравнений с условием переопределения настоящей статьи и с неизвестным параметром ранее не изучались.

1. Постановка задачи

Пусть П есть ограниченная область пространства Кга с гладкой (бесконечно дифференцируемой) границей Г, Q — цилиндр П х (0,Т) конечной высоты Т, Б = Г х (0,Т), /(х,Ь), и0(х), иъ(х) — заданные функции, определённые при х Е П и при Ь Е [0,Т], А — заданное положительное число.

Обратная задача: найти функцию и(х, Ь) и число а, такие, что для них в цилиндре Q выполняется уравнение

иц — Аи — Аиа + аи = / (х,Ь), (1)

и при этом для функции и(х,Ь) выполняются условия

и(х, 0) = и0(х), щ(х, 0) = и!(х), х € П, (2)

и(х,*)|5 = 0, (3)

J и2(х,Т )^х = А. (4)

п

В данной обратной задаче условия (2) и (3) есть обычные условия первой начально-краевой задачи, условие (4) — условие переопределения. Следует отметить, что в работе [29] исследовалась обратная задача с подобным интегральным условием переопределения, но для гиперболического уравнения второго порядка, в работах [22; 35] изучались также близкие по постановке обратные задачи, но для параболических уравнений.

Хотелось бы отметить, что предложенный ниже метод даёт легко проверяемые в данной задаче условия.

2. Разрешимость обратной задачи

Доказательство разрешимости обратной задачи будет основано на исследовании разрешимости первой начально-краевой (прямой) задачи для некоторого вспомогательного нелинейного интегро-дифференциального («нагруженного» [36]) уравнения. При доказательстве разрешимости задачи для «нагруженного» уравнения используется техника, в основе которой лежат метод срезок, метод неподвижной точки.

Введём ряд дополнительных обозначений:

/Л 'П Л П Л

u0(x)dx, В = u\(x)dx + ^^ / и0х.(x)dx + ^^ / и\х.(x)dx,

] = п г = п 1

1В

В1 = А—1А0, Во = В ■В1, в = Въ.

Пусть всюду ниже выполняется условие

Л < Л. (5)

о

Приведём также неравенство, справедливое для всех ф(х) из пространства

J ф2(х)Сх < т0 ^^ У Фхг(х)с1х, (6)

п г=1 п

здесь число т0 определяется лишь областью П. Им мы будем пользоваться в дальнейшем.

Далее для фиксированного положительного числа N определим срезающую функцию Ом (£):

( £, если 0 < С < N, Ом (С) = \ N, если £ > N [ 0, если £ < 0.

Для фиксированной функции ь(х,Ь) из пространства W2(О) положим

/П П П Л Л

у2(х,Т)Сх + ^^ / у'(х,Т)Сх + ^^ / ь''.г(х,Т)Сх — 2 fvtdxdt. п г=1 п г=1 п Q

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре О решением уравнения

ии — Ди — Дии + [Во — ВхО?(ф(и))]и = f (х, I) (7)

и такую, что для неё выполняются условия (2) и (3).

о

Теорема 1. Пусть f (х,Ь) Е Ь2(О), и0(х),и1(х) Е П Ш2,(0) и выполняется

условие (5). Тогда краевая задача (2), (3), (7) имеет решение и(х,Ь), такое, что

и(х^),щ (х^) Е Ь^(0,Т; Ш2(П) П ^(П), ии(х^) Е Ь^(0,Т; Ь'(П)), их.и(х^) Е Ь'(Я), Дщг(х^) Е Ь2(Я).

Доказательство. Для доказательства разрешимости задачи (2), (3), (7) применим метод неподвижной точки. Определим линейное пространство V:

V = [у(х^) : у(х, ¿) Е Ь^(0,Т; П Ш1(П)),уь(х^) Е Ь^(0,Т; П ^1(П)),

Уи(х^) Е Ь2(Я),Ух.и(х,^) Е Ь2(О), Дуы(х^) Е Ь2(Я)}.

Норму в пространстве V определим следующим образом:

2 2 2 Цу|1у = IIV М о + ш У о +

Ь^(0,Т;Ш2 (п)пж!(п)) Ь^(0,Т ;Ж22(П)П^21(П))

+ \\уы\\ь2(^) + \\Дуи\\ь2(^) + \\ух^\\ь2(^).

Пространство V с определённой таким образом нормой является банаховым.

Пусть т(х^) есть функция из пространства V. Рассмотрим вспомогательную задачу: найти функцию и(х^), являющуюся в цилиндре О решением уравнения

ии — Ди — Дии + [Во — ВхОц(Ф(и>))]и = f (х, I) (7Ш)

и такую, что для неё выполняются условия (2) и (3). Разрешимость краевой задачи (2), (3), (7Ш) в пространстве V при принадлежности функции /(х, ¿) пространству была установлена в работах [16; 38]. Следовательно, эта задача порождает оператор К, переводящий пространство V в себя: К(и>) = и. Покажем, что оператор К имеет в пространстве V неподвижные точки.

Умножим уравнение (7ад) на функцию иг и проинтегрируем по цилиндру Q

г г

J У{итт — Аи — Аитт + [В0 — (Ф(^))]и}игdxdт = J J /итdxdт. о п 0 п

Интегрируя по частям, учитывая условия (2), (3), придём к следующему равенству:

2 У и2(х,^х + 1 ¿У иХ;(х,^х + 2 ¿У иХ^(х,^х+

п г=1 п г=1 п

+1 [В0 — (Ф(ад))^У и2(х,Ь^х = 1 У u2(x)dx +^^ J и0Х. (x)dx+

п п г=1 п

п * + 2 ¿У и^(x)dx + 2 [В0 — В^(Ф(м))] ■ А0 + У У /итdxdт.

г=1 п 0 п

Или, в силу того, что

0 < В0 — В1 Се(ФН) < В0, (8)

имеем

Л П Л

и2(х, ¿^х + ^^ / иХ.(х,Ь^х + ^^ / иХ.г(х,Ь^х < п г=1 п г=1 п

„ г

, / „,2 1 , / „,2

// 6 Л / 6 Л Л Л

и^х^х + ^^ / и^.(х^х + ^^ / и2^.(х^х + В0 ■ А0 + 2 / / /итdxdr. п г=1 п г=1 п 0 п

Применяя неравенство Юнга, учитывая вид В, можем получить неравенство

Л П Л

и2(х, ¿^х + ^^ / иХ.(х,Ь^х + ^^ / иХ.г(х,Ь^х < п г=1 п г=1 п

г г

< В + В0А0 + // / 2(х_г + // и2 (х,г (9)

0 п 0 п

Отсюда, применяя лемму Гронуолла к одному из следствий неравенства (9), придём к соотношению

г

//и2(х,г< * ■ (е- — 1),

0п

где

г

N = В + В0А0 ^ у У /2(х, т)dxdr. 0п

Вспоминая неравенство (9), будем иметь

(. П г. П г.

!(х,Ь^х + ^^ / иХ.(х,Ь^х + ^^ / иХ.г(х,Ь^х < Ж1ег.

и

(10)

г=1

г=1

На следующем шаге умножим уравнение (7ад) на функцию — Аиг и проинтегрируем по цилиндру Q:

{итт — Аи — Аитт + [В0 — В1Св(Ф(эд))]и}Аитdxdт = — / / /Аитdxdт.

0п

0п

Интегрируя по частям, учитывая условия (2) и (3), будем иметь

''

У/ / иХг(х,Ь^х + / (Аи(х,Ь))^х + [В0 — В1Св(Ф(^))] ^ / и^(х,^х+

г=1

г=1

+ / (Аиг(х, ¿))^х = — 2 / / /Аитdxdт + ^^ / и1Х.(x)dx+

0п

г=1

' ' '

+ ^ / и0Х4Х^' (x)dx + ^ / (x)dx +[В0 — В1Св (ФН)]^ / ^ (x)dx.

п п ^=1 п

Применяя к первому слагаемому правой части равенства неравенство Юнга, учитывая соотношение (8), получим

^ / иХ.г(х,^х + (Аи(х,Ь))^х + (Аиг(х,Ь))^х < / /(Аит)2dxdт + N2, (11)

г=1

где

0п

N2

и1Х, (х) + ^ ] и0Х4Х^ (х) + ^ ] и1Х4Х^ (х)

г=1

dx+

+В0 ^^ У и0Х (x)dx + J У /2dxdт.

г=1 п 0 п

В качестве одного из возможных следствий неравенства (11) можно рассматривать соотношение

(Аиг(х,Ь))^х < / / (Аит)2dxdт + ЛГ2.

)2<ь </Г2

п 0 п

Применяя к нему лемму Гронуолла, можем получить

(Аит)2dxdт < N ■ (ег — 1).

0п

г

г

г

г

г

г

г

С учётом последнего, из неравенства (11) получаем вторую априорную оценку

¿ / и%(х^)Сх + [(Ди(х^))2Сх + [(Дщ(х^))2Сх < N2 • в*. (12)

г=1 п п п

Далее умножим уравнение (7-ш) на функцию и**, проинтегрируем по цилиндру О. Интегрируя по частям в полученном равенстве, используя условие (2), а также применяя неравенство Юнга, придём к соотношению

* п * 2 * *

2 1 \ II и2х.ттСхСт < и2ттСхСт + (Ди)2СхСт+

п *

ГСхСт + ^^ / / ' г=1 I I

х

оп г=1оп оп оп

*

+2^ [Во — ВО,($Н)]2 I У и2СхСт + 21211 f 2СхСт.

о п о п

Отсюда, учитывая соотношения (6) и (8), в силу оценок (10) и (12), взяв б2 = 1/2,

будем иметь неравенство

* п *

J ! и22тСхСт + У и2х.ттСхСт < N3, (13)

о п г=1 о п

где

*

N3 = 4 |у J f 2СхСт + N2(в* — 1)+ тоВ2^1 (в* — 1) оп

На последнем шаге умножим уравнение (7) на функцию —Ди**, проинтегрируем по цилиндру О. Интегрируя по частям, учитывая условия (2), (3), применяя неравенство Юнга, неравенство (8), оценки (10) и (12), нетрудно прийти к следующему соотношению:

*

2

у J (Дитт)2 СхСт < ! J (Дитт)2 СхСт + ^Вото^(в* — 1) +

о п о п 1

*

^— 1) + щЦ f ЧхСт-

о п

Взяв 62 = 1/2, получим четвёртую априорную оценку

*

2

(Дитт)2 СхСт < N3. (14)

оп

Исходя из оценок (10), (12)-(14), получим финальную оценку

Л П/ Л ТЪ Л Л

/ и2(х^)Сх + ^^ / и2х. (х^)Сх + ^^ / и2х.1-(х^)Сх + [Ди(х^)]2Сх+

п г=1 п г=1 п

*

*

г г

'

+ У [Аиг(х,Ь)]^х + J У и^dxdт + ^^ J ^ и^ттdxdт + J ^(Аитт)2dxdт < N. п 0 п г=1 0 п 0 п

В этой оценке N — постоянная величина, определяемая функциями /(х,Ь), и0(х), и1(х), числами А, Т, областью П.

Таким образом, получаем, что для всевозможных решений и(х,Ь) задачи (2), (3), (7Ш) будет верна оценка ||и||у < N. Эта оценка показывает, что оператор К переводит замкнутый шар радиуса N в себя. Покажем, что этот оператор является непрерывным на V.

Пусть {и>т(х, ¿)}„=1 есть последовательность функций из пространства V, сходящаяся в V к функции и>0(х,Ь), {^т(х,Ь)}^=1 есть последовательность образов функций ит(х,Ь) при действии оператора К, г0(х,Ь) есть образ функции эд0(х, ¿) при действии оператора К. Введём обозначения

шт(х,Ь) = ит(х,г) — ^0 (х,Ь), гт(х,Ь) = гт(х,Ь) — ^0(х,Ь).

Для функции гт(х,Ь) справедливо уравнение

гтгг — Агт — А^тгг + [В0 — В^в (Ф(^т))]гт =

= В1[Св(Ф(^т)) — Се(ФЫ)Ь, (х,Ь) € Q, (15)

а также выполняются следующие условия:

гт(х, 0) = гтг(х, 0) = 0, х € П, (16)

гт(х,^ = 0. (17)

Умножая уравнение (15) на функцию гтг(х,Ь), интегрируя по цилиндру Q, учитывая условия (16) и (17), применяя неравенство Юнга, а также неравенство (8), придём к соотношению

/П Л ' Л

^гОМ^ + ^ ^(х,^х + ^ гтХ4г(х,^х <

п г=1 п г=1 п

г г

<У У г^т dxdт + В^Св (Ф(шт)) — Се (ФЫ)]2У У г2(х,т )dxdt.

0 п 0 п

Для функции Св (£) выполняется условие Липшица. В силу свойства непрерывности нормы, а также того, что из сильной сходимости следует слабая, при т ^ то имеет место сходимость Ф(ит) — Ф(^0) ^ 0. С учётом этого получим, что при т ^ то

'

гтг(х,^х + ^ у I ггпХ1 (х,Ь^х + ^ ^ I гТОХ,г(х,^х < I I гттdxdт.

г=1 п г=1 п 0 п

Далее, применяя лемму Гронуолла к одному из следствий данного неравенства, при т ^ то нетрудно прийти к соотношению

'' гтг(х,^х + ^ ^(х,^х + ^ ^гОМ^ < 0. (18)

^=1 п ^=1 п

На следующем шаге умножим уравнение (15) на функцию —Аутг(х,1), проинтегрируем по цилиндру Я. Интегрируя по частям, учитывая условия (16), (17), применяя неравенство Юнга, неравенство (8) и далее лемму Гронуолла, при т ^ ж будем иметь

г=1 п п п

Умножив уравнение (15) на функцию Утгг(х,1), проинтегрировав по цилиндру Я, учитывая условия (16), (17), оценки (18), (19), при т ^ ж получим

г п г

ЛЫг + £//^хЛг < 00 (Щ

о п о п

На последнем шаге, умножив уравнение (15) на функцию —Аутгг(х,1), проинтегрировав по цилиндру Я, учитывая (16), (17), оценки (18)-(20), придём к соотношению

Ау2тттАхйт < 0, (21)

оп

справедливому при т ^ ж. Исходя из неравенств (18)—(21) получаем априорную оценку семейства функций {ут(х,1)}^=1 в пространстве V и сходимость

Н^Цу ^ 0 при т ^ ж,

из которой и следует, что оператор К непрерывен в пространстве V.

Покажем теперь, что оператор К компактен. Пусть {^т(х, — ограничен-

ная последовательность функций из пространства V. Так как последовательности {/штг(х, ^}т=1, {штх1 (х, £)}^=1, г = 1, 2,... ,п, ограничены в пространстве а

также в силу теорем о компактности вложений С Ь2(Я), W1(Q) С Ь2(дЯ)

(см. [39; 40]) существует подпоследовательность ^тк(х,1)}с^=1 и функция гш0(х,1) из пространства V, такие, что при к ^ ж будут иметь место сходимости

/штк(х,Ь) ^ /ш0(х,Ь) слабо в Ачпткг(х,1) ^ А'Шог(х,1) слабо в Ь2(Я).

Кроме того, функции 1^ткг(х,Т), 1^ткх1 (х,Т) и '^ткХг г(х,Т) в Ь2(П) будут сильно сходиться к функциям гш0г(х,Т), -ш0х1 (х,Т) и гш0х1г(х,Т) соответственно.

Пусть, как и ранее, функция ьт(х,Ь) есть образ функции гшт(х,1) при действии оператора К, а у0(х,Ь) образ функции /ш0(х,Ь). Введём обозначение ут(х,Ь) = ьт(х,Ь) — ь0(х,Ь). Повторяя ряд рассуждений, приводимых при доказательстве непрерывности оператора К, получим сходимость \\утк \\у ^ 0 при к ^ ж.

Таким образом, из любой ограниченной последовательности {шт(х,1)}^=1, принадлежащей пространству V, можно извлечь подпоследовательность {'штк(х,1)}^?=1, такую, что последовательность её образов {утк(х,1)}^?=1 будет также сильно сходиться в пространстве V. Следовательно, оператор К компактен.

Таким образом, для оператора К на множестве V выполнены все условия теоремы Шаудера о неподвижной точке [40], поэтому у оператора К существует по крайней мере одна неподвижная точка. Обозначим эту точку через и(х, ¿). Для неё выполняется уравнение (7), а также условия (2) и (3).

г

Для функции и(х, ¿) выполняется включение и(х, ¿) € Т; Ж22(П) П Ж2(П)),

а значит, в силу того, что /(х,Ь) € Ьте(0,Т; Ь2(П)), функция игг(х, ¿) будет также принадлежать данному пространству. Таким образом, функция и(х,Ь) принадлежит требуемому классу и тем самым будет представлять собой искомое решение краевой задачи (2), (3), (7). Теорема доказана. □

Исследуем разрешимость обратной задачи (1)-(4). При этом важную роль будет играть неравенство Ф(и) > 0 для решений и(х, ¿) краевой задачи (2), (3), (7).

Приведём утверждение, дающее достаточные условия выполнения этого неравенства. Для этого предварительно введём некоторые дополнительные обозначения:

Д1 = [mоNl(eT — 1)]1/2, Я2 = (T2NleT + 2ТА0)1/2,

здесь N1 — постоянная, определённая выше при доказательстве разрешимости краевой задачи (2), (3), (7Ш).

Лемма 1. Пусть выполняются условия теоремы 1, функция /(х,Ь) такова, что /г(х,Ь) € а также справедливо соотношение

2 I У /г2dxd¿ I ■ шт(ЯьЯ2) < 2 ! /(х, 0)uо(x)dx — т0 J /2(х,Т^х. (22) / п п

Тогда для решений и(х,Ь) краевой задачи (2), (3), (7) выполняется неравенство Ф(и) > 0.

Доказательство. Введём обозначение

''

I(и) = / и^х,Т^х + ^^ / иХ.(х,Т)dx + ^^ / иХ.г(х,Т)dx.

п г=1 п г=1 п

В силу того, что

— у / ■ итdxdт = J /т ■ udxdт — J /(х, Т)и(х, Т)dx + J /(х, 0)uо(x)dx, д д п п

будем иметь

Ф(и) = I(и) + ^ /(х, 0)uо(x)dx — 2 У /(х, Т)и(х,Т^х + ^ /тudxdт. (23) п п д

Применяя неравенство Юнга, учитывая соотношение (6), оценим третье слагаемое правой части равенства (23):

/ (х, Т )и(х, Т ^х

< 52 у и2(х, Т^х + ^ I /2(х, Т^х < п

< 52то ¿ I иХ. (х,Т)dx + — / /2(х,Т)dx.

г=1

Учитывая вид функции I(и), взяв 52 = 1/т0, получим

/ (х, Т )и(х, Т ^х

< I(и) + т0 у /2(х,Т)dx. п

Четвёртое слагаемое правой части равенства (23) можно оценить двумя способами, а именно,

/т udxdт

д

1/2 1/2

u2dxdт I <

чд

п „

У/ / иХ. dxdт

1/2

<

или

< 2 | у /2dxdт

д / \ "-1 д

\ 1/2 / \ 1/2

< 2 | у /?^т I ■ (mоNl(eT — 1))1/2 = 2^1 П /т2dxdт ^д / \д

1/2 / \ 1/2

(24)

2

/т udxdт

д

< 2 I / /т2dxdт

и dxdт I <

чд

1/2

чд

Т2 у <dxdт + 2АоТ . д

1/2

<

< 2 ( у /т2dxdт

д

1/2 / \ 1/2

2дг „Т , о и ^Т1/2

(25)

< 2 1 у /т^т I ■ [Т2^еТ + 2АоТ]1/2 = 2^ И /т2dxdт / \д

Перепишем равенство (23) в виде

—Ф(и) + I(и) + 2^ /(х,0)uо(x)dx = ^У /(х,Т)и(х,Т)dx — 2 У /тudxdт. п п д

Отсюда, используя неравенство (25), имеем

—Ф(и) + I(и) + 2 У /(х, 0)ио(х^х < I(и) + т0 J /2(х, Т^х — 2 У /тudxdт п п д

или

— Ф(и) + 2 У /(х, 0)ио(х^х — т0 У /2(х,Т)dx <—2 J /тudxdт. п п д

Учитывая условие (22) теоремы, получим

— Ф(и) + 2шт{Яь Я2} ■ I у /2dxdт I <—2 J /тudxdт

дд

Откуда, в силу неравенств (24), (25), получим —Ф(и) < 0 или, что то же самое, Ф(и) > 0. Лемма доказана. □

2

Теорема 2. Пусть /(ж,£) е ¿2(ф), Л(ж,г) € ¿2(ф), мо(ж), м^ж) е П

о

Ж2(П), выполняются условия (5) и (22). Тогда обратная задача (1)-(4) имеет,

о

решение {м(ж, ¿), а}, такое, что м(ж, ¿) е ¿те(0,Т; Ж22(П) П Ж21(П)); м4(ж, ¿) е

¿те(0,Т; ^22(П) П ЙЭД), мй(М) е ¿те(0,Т; ¿2^)), Ди4(ж,*) е ¿2(ф), ^(М) е ¿2(^), Ди«(М) е ¿2(^), г = 1, 2,..., п, а > 0.

При выполнении условий теоремы 2 краевая задача (2), (3), (7) разрешима и решение этой задачи м(ж,£) принадлежит указанному классу.

Умножив уравнение (7) на функцию и проинтегрировав полученное ра-

венство по цилиндру ф, придём к соотношению

/П п П л

п г=1 п г=1 п

+ [Во - В1С(Ф(м))] ^ м2(ж,Т= В + ВоАо - В1АоС(Ф(м)) + 2^ / ■ мг^Ыт.

п д

Отсюда, в силу вида Ф(м), а также неравенства (8), получим неравенство

Ф(м) + В1АоС(Ф(м)) < В + ВоАо. Так как Се(Ф(м)) < Ф(м), то (1 + В^о) ■ С(Ф(м)) < В + ВоАо. Отсюда

В + ВоАо

Се(Ф(и)) <

1 + В1Ао

Вспоминая вид Во и В1, получим С^(Ф(м)) < В. Но тогда С^(Ф(м)) = Ф(м). Следовательно, решение краевой задачи (2), (3), (7) м(ж, ¿) будет являться решением уравнения — Дм — Дм« + [Во — В1Ф(м)]м = /(ж, ¿).

Обозначим а = Во — В1 Ф(м). Тогда функция м(ж,£) и число а будут связаны уравнением (1) в цилиндре ф. Для функции м(ж,£) будут выполняться условия (2), (3), число а > 0. Покажем, что для функции м(ж,£) будет также выполняться и условие переопределения (4).

Имеет место равенство а(А — Ао) = Во — В1Ф(м). Введём дополнительное обозначение с = / м2(ж, ТТогда справедливо также равенство а (с — Ао) = Во — В1Ф(м). п

Отсюда получаем а(А — Ао) = а (с — Ао), а потому и

а(А — с) = 0. (26)

Отсюда следует, что либо а = 0, либо А — с = 0.

Пусть и1(ж,^) — решение краевой задачи (1)-(3) в случае, когда а = 0. Если

А = / [/^(ж, Т)^ж, то и1(ж, Т) есть решение задачи (1)-(4) при а = 0. Таким образом, п1

пару {и1 (ж, ¿), 0} можно рассматривать как решение обратной задачи (1)-(4).

Если же А = / и2(ж,Т)^ж, то а = 0. Но в этом случае из равенства (26) будет п1

следовать, что А — с = 0, а значит, А = с. Следовательно, для рассматриваемой нами функции м(ж,£) будет выполняться условие переопределения (4). И таким образом, пара {м(ж, ¿),а} есть решение исходной обратной задачи (1)-(4).

3. Замечания

1. Следует отметить, что ситуация значительно упрощается в случае, когда f (x,t) = 0. В этом случае нет необходимости использовать условие (22), очевидно, что ФМ > 0, функция же u0(x) может быть как нулевой, так и ненулевой.

Справедлива следующая теорема.

о

Теорема 3. Пусть f (x,t) = 0, u0(x),u\(x) Е W%(Q) П W2(Q) и выполняется условие (5). Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {u(x,t),a}, такое, что

u(x,t),ut(x,t) Е L^(0,T; W2(Q) П W1(Q)), utt(x,t) Е L^(0,T; L2(Q)), Aut(x,t) Е L2(Q), uXitt(x,t) Е L2(Q), Autt(x, t) Е L2(Q), i = 1, 2,... ,n, a > 0.

2. В данной работе исследовался вопрос существования решений обратной задачи (1)-(4) в рассматриваемом нами классе, вопрос же о единственности этих решений не изучался.

3. В качестве примеров, показывающих непустоту множества входных данных, для которых выполняется условие теоремы 2, можно использовать примеры работы [29].

Список литературы

1. Войт C. C. Распространение начальных уплотнений в вязком газе // Учёные записки МГУ. Сер. : Механика. 1954. Т. 4, вып. 172. С. 125-142.

2. ЛонгренК., Скотт Э. Солитоны в действии. М. : Мир, 1981.

3. Кириченко С. В. Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдогиперболического и смешанного типа : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Самара, 2014.

4. Кожанов А. И. Теоремы сравнения и разрешимость краевых задач для некоторых классов эволюционных уравнений типа псевдопараболических и псевдогиперболических. Новосибирск, 1990. (Препринт / СО АН СССР, Ин-т математики, № 17).

5. Кожанов А. И. Псевдогиперболические и гиперболические уравнения с растущими младшими членами // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Вып. 5. 1999. С. 31-47.

6. Pulkina L. S. Solution to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations // Electronic Journal of Differential Equations. 2012. Vol. 2012, no. 116. P. 1-9.

7. АзизбековЭ. Смешанная задача для нелинейных псевдогиперболических уравнений. LAP Lambert Academic Publ., 2015.

8. ДемиденкоГ. В. Условия разрешимости задачи Коши для псевдогиперболических уравнений // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, № 6. С. 1289-1303.

9. Попов Н. С. О разрешимости пространственных нелокальных краевых задач для одномерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений // Вестн. СамГУ. 2015. № 3 (125). С. 29-43.

10. ПулькинаЛ. С. Задача с динамическим нелокальным условием для псевдогиперболического уравнения // Изв. вузов. Сер. Математика. 2016. № 9. С. 42-50.

11. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск : Наука, 1969.

12. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М. : Наука, 1989.

13. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геофизики. М. : Наука, 1991.

14. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М. : Изд-во МГУ, 1994.

15. Kozhanov А. I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht : VSP, 1999.

16. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск : Сиб. кн. изд-во, 2009.

17. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., VasinI. A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York : Marcel Dekker, Inc., 1999.

18. BelovYu. Ya. Inverse Problems for Partial Differntial Equations. Utrecht : VSP, 2002.

19. Кожанов А. И. Нелинейные и нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.

20. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 6. С. 840-853.

21. PyatkovS.G. On some classes of inverse problems for parabolic equations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. Vol. 18, no. 8. P. 917-934.

22. Lorenzi A., MolaG. Recovering the reaction and the diffusion coefficients in a linear parabolic equation // Inverse Problems. 2012. Vol. 28, no. 7. P. 075006.

23. Камынин В. Л. Обратная задача определения младшего коэффициента в параболическом уравнении при условии интегрального наблюдения // Мат. заметки. 2013. Т. 94, вып. 2. С. 207-217.

24. Пятков С. Г. О некоторых классах обратных задач с данными переопределения на пространственных многообразиях // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57, № 5. С. 1114-1126.

25. АниконовЮ.Е. Формулы для решения некоторых обратных задач для эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319, № 5. С. 1117-1119.

26. АмировА.Х. Многомерная обратная задача для гиперболического уравнения и связанная с ней спектральная задача // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319, № 2. С. 265266.

27. Lorenzi A., PaparoniE. Identifications of two unknown coefficients in an integro-differential hyperbolic equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1993. Vol. 1, no. 4. P. 331-348.

28. Kozhanov A. I., SafiullovaR. R. Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2010. Vol. 18, no. 1. P. 1-18.

29. Кожанов A. И., Сафиуллова Р. Р. Определение параметров в телеграфном уравнении // Уфим. мат. журн. 2017. Т. 9, № 1. С. 63-74.

30. Kozhanov A. I. Hyperbolic equations with unknown coefficients // Symmetry. 2020. Vol. 12, no. 9. P. 1539.

31. Lorenzi A., PaparoniE. Identification problems for pseudohyperbolic integrodifferential operetor equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1993. Vol. 5, no. 19. P. 523-548.

32. Асанов A. Р. Обратные задачи для псевдогиперболических уравнений : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Бишкек, 1994.

33. Мегралиев Я. Т. О разрешимости одной обратной краевой задачи для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка с дополнительным интегральным условием // Изв. вузов. Поволж. регион. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 1. С. 19-33.

34. Курманбаева А. К. Линейные обратные задачи для псевдогиперболических уравнений // Образоват. ресурсы и технологии. 2016. № 2. С. 343-351.

35. Lorenzi A., MolaG. Identification of a real constant in linear evolution equation in a Hilbert spaces // Inverse Problems Imaging. 2011. Vol. 5, no. 3. P. 695-714.

36. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М. : Наука, 2012.

37. Кожанов, А. И. К теории уравнений составного типа : автореф. дис. .. .д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 1993.

38. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М. : Наука, 1988.

39. Ладыженская О. А., УральцеваН. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М. : Наука, 1973.

40. ТреногинВ. А. Функциональный анализ. М. : Наука, 1980.

Поступила в редакцию 13.03.2022. После переработки 14.04.2022.

Сведения об авторах

Кожанов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия; e-mail: kozhanov@math.nsc.ru.

Сафиуллова Регина Рафаиловна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры искусственного интеллекта и перспективных математических исследований, Уфимский государственный авиационный технический университет, Уфа, Россия; e-mail: regina-saf@yandex.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2022. Vol. 7, iss. 2. P. 164-180.

DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17203

ON SOME CLASS OF THE PSEUDOHYPERBOLIC EQUATIONS WITH AN UNKNOWN COEFFICIENT

A.I. Kozhanov1a, R.R. Safiullova2b

1Sobolev Institute of Mathematics of Siberian Branch of RAS, Novosibirsk, Russia 2 Ufa State Aviation Technical University, Ufa, Russia akozhanov@math.nsc.ru, bregina-saf@yandex.ru

We consider the inverse problems with an unknown coefficient a for a pseudohyperbolic equation utt — Au — Autt + au = f (x, t) and investigate the solvability of the problem. We prove the theorems of the existence of the problem's regular solutions. The distinctiveness of the problems is a presence of new overdetermination conditions for the considered class of equations.

Keywords: pseudohyperbolic equation, unknown coefficient, inverse problem, integral overdetermination, regular solution, existence.

References

1. Voyt S.S. Rasprostranenie nachal'nykh uplotneniy v vyazkom gaze [A distribution of the initial consolidations in the viscous gas]. Uchyonye zapiski MGU. Ser.: Mekhanika [Scientists Notes of MSU. Ser.: Mechanics], 1954, vol. 4, no. 172, pp. 125-142. (In Russ.).

2. LongrenK., Skott E. Solitony v deystvii [Solitions in action]. Moscow, Mir Publ., 1981. (In Russ.).

3. Kirichenko S.V. Nelokal'nye zadachi s integral'nymi usloviyami dlya uravneniy giperbolicheskogo, psevdogiperbolicheskogo i smeshannogo tipa [Nonlocal problems with integral conditions for the hyperbolic, pseudohyperbolic and mixed type equations]. PhD Thesis. Samara, 2014. (In Russ.).

4. KozhanovA.I. Teoremy sravneniya i razreshimost' kraevykh zadach dlya nekotorykh klassov evolyutsionnykh uravneniy tipa psevdoparabolicheskikh i psevdogiperbolicheskikh [Theorems of the comparisons and the existence of the boundary-value problems for some classes of pseudoparabolic and pseudohyperbolic evolutionary equations]. Preprint of Siberian Branch of USSR Academy of Sciences, Institute of Mathematics, no. 17. Novosibirsk, 1990. (In Russ.).

5. Kozhanov A.I. Psevdogiperbolicheskie i giperbolicheskie uravneniya s rastushchimi mladshimi chlenami [Pseudohyperbolic and hyperbolic equations with growing younger members]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematika, Mekhanika, Fizika [Bulletin of Chelyabinsk State University. Ser.: Mathematics. Mechanics. Physics], 1999, iss. 5, pp. 31-47. (In Russ.).

6. PulkinaL.S. Solution to nonlocal problems of pseudohyperbolic equations. Electronic Journal of Differential Equations, 2014, vol. 2014, no. 116.

7. Azizbekov E. Smeshannaya zadacha dlya nelineynykh psevdogiperbolicheskikh uravneniy [A mixed problem for nonlinear pseudohyperbolic equations]. LAP Lambert Academic Publishing, 2015. (In Russ.).

8. Demidenko G.V. Solvability conditions of the Cauchy problem for pseudohyperbolic equations. Siberian Mathematical Journal, 2015, vol. 56, no. 6, pp. 1028-1041.

9. Popov N.S. O razreshimosti prostranstvennykh nelokal'nykh kraevykh zadach dlya odnomernykh psevdoparabolicheskikh i psevdogiperbolicheskikh uravneniy [On solvability of nonlocal boundary-value problems for one-dimensional pseudoparabolic and pseudohyperbolic equations]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Samara State University], 2015, no. 3 (125), pp. 29-43. (In Russ.).

10. Pul'kinaL.S. A problem with dynamic nonlocal condition for pseudohyperbolic equation. Russian Mathematics, 2016, vol. 60, no. 9, pp. 38-45.

11. Lavrent'ev M.M., Romanov V.G., Vasil'evV.G. Mnogomernye obratnye zadachi dlya differentsial'nykh uravneniy [Multidimensional inverse problems for differential equations]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1969. (In Russ.).

12. Romanov V.G. Obratnye zadachi matematicheskoy fiziki [Inverse problems of mathematical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1989. (In Russ.).

13. Romanov V.G., Kabanikhin S.I. Obratnye zadachi geofiziki [Inverse problems of geophysics]. Moscow, Nauka Publ., 1991. (In Russ.).

14. DenisovA.M. Vvedenie v teoriyu obratnykh zadach [Introduction to the theory of inverse problems]. Moscow, Lomonosov Moscow State University, 1994. (In Russ.).

15. Kozhanov А.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht, VSP, 1999.

16. Kabanikhin S.I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and ill-posed problems]. Novosibirsk, Siberian Book Publ., 2009. (In Russ.).

17. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., VasinI.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York, Marcel Dekker, Inc., 1999.

18. Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differntial Equations. Utrecht, VSP, 2002.

19. Kozhanov A.I. Nelineynye i nagruzhennye uravneniya i obratnye zadachi [Nonlinear and loaded equations and inverse problems]. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational mathematics and mathematical physics], 2004, vol. 44, no. 4, pp. 694-716. (In Russ.).

20. Kozhanov A.I. A nonlinear loaded parabolic equation and a related inverse problem. Mathematical Notes, 2004, vol. 76, iss. 6, pp. 784-795.

21. PyatkovS.G. On some classes of inverse problems for parabolic equations. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 2011, vol. 18, no. 8, pp. 917-934.

22. Lorenzi A., MolaG. Recovering the reaction and the diffusion coefficients in a linear parabolic equation. Inverse Problems, 2012, vol. 28, no. 7, p. 075006.

23. KamyninV.L. The inverse problem of determining the lower-order coefficient in parabolic equations with integral observation. Mathematical Notes, 2013, vol. 94, iss. 2, pp. 205-213.

24. PyatkovS.G. On some classes of inverse problems with overdetermination data on spatial manifolds. Siberian Mathematical Journal, 2016, vol. 57, no. 5, pp. 870-880.

25. Anikonov Yu.E. Formuly dlya resheniya nekotorykh obratnykh zadach dlya evolyutsionnykh uravneniy [Formulas for solvability some inverse problems for evolutionary equations]. Doklady AN SSSR [Reports of the academy of sciences], 1991, vol. 319, no. 5, pp. 1117-1119. (In Russ.).

26. Amirov A.H. Mnogomernaya obratnaya zadacha dlya giperbolicheskogo uravneniya i svyazannaya s ney spektral'naya zadacha [Multidimensional inverse problem for hyperbolic equation and the spectral problem]. Doklady AN SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences], 1991, vol. 319, no. 2, pp. 265-266. (In Russ.).

27. Lorenzi A., PaparoniE. Identifications of two unknown coefficients in an integro-differential hyperbolic equation. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 1993, vol. 1, no. 4, pp. 331-348.

28. Kozhanov A.I., Safiullova R.R. Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 2010, vol. 18, no. 1, pp. 1-18.

29. Kozhanov A.I., Safiullova R.R. Determination of parameters in telegraph equation. Ufa Mathematical journal, 2017, vol. 9, no. 1, pp. 62-74.

30. Kozhanov A.I. Hyperbolic equations with unknown coefficients. Symmetry, 2020, vol. 12, no. 9, p. 1539.

31. Lorenzi A., PaparoniE. Identification problems for pseudohyperbolic integrodifferential operetor equation. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 1993, vol. 5, no. 19, pp. 523-548.

32. Asanov A.R. Obratnye zadachi dlya psevdogiperbolicheskikh uravneniy [Inverse problems for pseudohyperbolic equations]. PhD thesis. Bishkek, 1994. (In Russ.).

33. Megraliev Ya.T. O razreshimosti odnoy obratnoy krayevoy zadachi dlya psevdogiperbolicheskogo uravneniya chetvyortogo poryadka s dopolnitel'nym integral'nym usloviem [On solvability of the inverse problem for the fourth order pseudohyperbolic equation with additional integral condition]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Ser. Fiziko-matematicheskie nauki [News of universities. Volga region. Ser. Physical and mathematical sciences], 2013, no. 1, pp. 19-33. (In Russ.).

34. Kurmanbaeva A.K. Lineynye obratnye zadachi dlya psevdogiperbolicheskikh uravneniy [Linear inverse problems for pseudohyperbolic equations]. Obrazovatel'nye resursy i tekhnologii [Educational resources and technologies], 2016, no. 2, pp. 343-351. (In Russ.).

35. Lorenzi A., MolaG. Identification of a real constant in linear evolution equation in a Hilbert spaces. Inverse Problems Imaging, 2011, vol. 5, no. 3, pp. 695-714.

36. Nakhushev A.M. Nagruzhennye uravneniya i ikh primenenie [Loaded equations and the applications]. Moscow, Nauka Publ., 2012. (In Russ.).

37. Kozhanov A.I. K teorii uravneniy sostavnogo tipa [To the theory of composite type equations]. PhD thesis. Novosibirsk, 1993. (In Russ.).

38. SobolevS.L. Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 2008.

39. Ladyzhenskaya O., Ural'tsevaN. Linear and Quasi-Linear Elliptic Equations. New York, Academic Press, 1968.

40. TrenoginV.A. Funktsianal'nyy analiz [Functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1980. (In Russ.).

Article received 13.03.2022.

Corrections received 14.04.2022.