CC BY
8
2020 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Т. 7 (65). Вып. 1
МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ
АСТРОНОМИЯ
УДК 521.14
MSC 70F15
Об одном фактор-пространстве кеплеровых орбит*
К. В. Холшевников1'2, А. С. Щепалова1, М. С. Джазмати3
1 Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
2 Институт прикладной астрономии РАН,
Российская Федерация, 191187, Санкт-Петербург, наб. Кутузова, 10
3 Кассим университет, Саудовская Аравия, г. Бураида, P.O. Box:6644-Buraidah:51452
Для цитирования: Холшевников К. В., Щепалова А. С., Джазмати М. С. Об одном
фактор-пространстве кеплеровых орбит // Вестник Санкт-Петербургского университета.
Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65). Вып. 1. С. 165-174.
https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.116
Для оценки близости орбит небесных тел (как правило, комет, астероидов и метеоро-идных комплексов) в последние 15 лет предложено несколько метрик, превращающих различные пространства кеплеровых орбит в метрические. Важную роль играют фактор-пространства, позволяющие не принимать во внимание те орбитальные элементы, которые меняются вековым образом под влиянием различных возмущений. Ранее исследовано три таких пространства. В одном из них игнорируются узлы, в другом — аргументы перицентров, в третьем — и то, и другое. Здесь мы вводим еще одно, четвертое фактор-пространство, в котором отождествляются орбиты с произвольными долготами узлов и аргументами перицентров при условии, что их сумма (долгота перицентра) фиксирована. Определена функция q6, играющая роль расстояния между указанными классами орбит и удовлетворяющая первым двум аксиомам метрического пространства. Построен алгоритм ее вычисления. В общем случае наиболее сложная часть алгоритма состоит в решении тригонометрического уравнения третьей степени. Вопрос о справедливости аксиомы треугольника для q6 , хотя бы в ослабленном варианте, будет исследован позднее.
Ключевые слова: кеплерова орбита, метрика, фактор-пространство метрического пространства, расстояние между орбитами.
* Работа выполнена с использованием оборудования Вычислительного центра Научного парка СПбГУ при финансовой поддержке РНФ (грант 18-12-00050). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2020
1. Введение. Для оценки схожести кеплеровых орбит Ek как точек в некотором 5-мерном пространстве (положение на орбите мы опускаем, но направление движения по орбите учитываем) в этом веке предложено несколько метрик [1—8], сменивших используемые ранее критерии [9-16], оказавшиеся квазиметриками [17]. Напомним, что метрикой в некотором пространстве X называется функция на X х X, удовлетворяющая трем аксиомам [18-20]:
1) g(xi, Ж2) ^ 0, причем g(x 1, Ж2) = 0 тогда и только тогда, когда xi = Х2 ;
2) g(xi, Х2) = g(x2, xi);
3) g(xi,x3) ^ g(xi,x2) + g(x2,x3) (аксиома треугольника). Квазиметрикой называется функция на X х X, удовлетворяющая первым двум аксиомам и ослабленной третьей аксиоме. Именно,
3a) g(xi, x3) ^ M [g(xi,x2) + g(x2, x3)] (ослабленная аксиома треугольника)
при некоторой постоянной M. Квазиметрика при M =1 является метрикой.
2. Метрика д2. Удобной метрикой в 5-мерном пространстве H всех непрямолинейных кеплеровских орбит служит описанная в [4, 5] Функция1 g2(Ei, E2):
й(ЕЬЕ2) = - u2)2 + (vi - V2)2. (1)
Здесь Uk = u(Ek), Vk = v(Ek), и для каждой орбиты u, v — взаимно ортогональные векторы, пропорциональные вектору момента импульса и вектору Лапласа — Рунге — Ленца, соответственно;
|и| = М = е^Р, uv = 0. (2)
В пространстве H фокальный параметр p положителен.
Замечание. Пространство Н* всех кеплеровских орбит (включая прямолинейные) также метризуемо [2]. Однако метрика там существенно сложнее. Почти-прямолинейные орбиты чрезвычайно редки, и даже когда встречаются, то не нуждаются в сравнении с соседними орбитами (см., например, исследования кометы Шумейке-ров — Леви 9 [21]). Поэтому мы ограничились пространством H.
Приведем выражения векторов u, v через кеплеровы элементы p,e,i,g, Q (фокальный параметр, эксцентриситет, наклон, аргумент перицентра и долгота восходящего узла):
их = i/psinísinQ, vx = e^Jp(cos д cos Í1 — cos i sing sin Í2),
uy = — ,/psin i eos Í2, vy = ву/р(сosg sin Í1 + eos i sinocos Í2),
uz = -y/pcos», vz = ед/psin i sin g. (3)
Функция (1) определена и не имеет особенностей во всем пространстве H, включающем все эллиптические, параболические и гиперболические орбиты. Она превращает H в пятимерное алгебраическое, открытое, локально-компактное, линейно-связное пространство без особых точек. Физическая размерность д2 — корень из единицы длины. Например,
(а.е.)1/2 = 153.149 264 8Дф/2 = 386.778 891 7 (Мм)1/2 =
= 12 231.022 49 (КМ)1/2 = 386 778.891 7 (М)1/2, (4)
где Дф = 6 378 164 222 мм — экваториальный радиус общего земного эллипсоида [22].
'Мы сохраняем нумерацию метрик, принятую в [5].
Приведем формулу для вычисления Q2 по известным элементам:
д\ = (1 + e\)Pl + (1 + el)p2 -2С2л/Р1Р2, С2 =cos/ + eie2cosP. (5)
Здесь I, P — углы между векторами ui, U2 и vi, V2 соответственно. Вот явные выражения их косинусов:
cos I = c1c2 + s1s2 cos A, (6)
cos P = S 1 S2 sin gi sin g2 + (cos gi cos g2 + c1 c2 sin gi sin g2) cos A+
+ (c2 cos gi sin g2 — c1 sin gi cos g2) sin A, (7)
где c = cos i, s = sin г, A = — П2.
3. Фактор-пространства. Как правило, узлы и перицентры орбит имеют большие вековые возмущения, тогда как a, e, г меняются незначительно. Поэтому полезно иногда игнорировать узлы, перицентры, или и то, и другое. Это достигается введением двух 4-мерных и одного 3-мерного фактор-пространств:
H3, элементом которого является класс орбит с фиксированными p, e, г, g и всевозможными значениями П;
H4, элементом которого является класс орбит с фиксированными p, e, г, П и всевозможными значениями g;
H5, элементом которого является класс орбит с фиксированными p, e, г, и всевозможными значениями g, П.
Метрики Q3, Q4, Q5 в этих пространствах введены в [4, 5]. Справедливость трех аксиом метрического пространства для них доказана в [8].
Для полноты картины следует ввести еще одно фактор-пространство Нб, отождествляя орбиты с одинаковыми p, e, г, w := П + g. Фиксируется долгота перицентра w, но не 0,g по отдельности.
Следуя построениям [4, 5], введем в Нб играющую роль расстояния функцию
Q6 = min Q2 , (8)
где наименьшее значение ищется по всем углам Qk, gk при условиях + gk = wk, где wk фиксированы.
Аналогичную задачу на минимум для Q3, Q4, Q5 удалось решить [4, 5], получив для них явные выражения через элементарные функции. Задача для Q6 оказалась сложнее. Ниже она сведена к решению тригонометрического уравнения третьей степени.
Согласно (5) достаточно найти наибольшее значение Z2 при указанных условиях: el = (1 + el)pi + (1 + е^)р2 -2Сбл/РШ , Сб = тахС2. (9)
Представим Z2 в виде многочлена Фурье, используя (6), (7):
Z2 = Ao + Ai cos A + A2 cos(gi — g2) — A2 cos(gi + g2) + Bi cos(A — gi — g2 ) +
+ B2 cos (A — gi + g2) + B3 cos(A + gi — g2) + B4 cos(A + gi + g2), (10)
где
Ao = C1C2 , Ai = S1S2 , 2A2 = eie2SiS2 ,
4Bi = eie2(1 - ci)(1 + C2), 4B2 = eie2(1 - ci)(1 - C2), 4Вз = eie2(1 + ci)(1 + C2), 4B4 = eie2(1 + ci)(1 - C2).
Подстановка g1 + g2 = x, g1 - g2 = y, Д = w - y переводит (10) в
C2 (x, y) = Ao + Ai cos(w - y) + A2 cos y - A2 cos x+
+ B1 cos(w - x - y) + B2 cos(w - 2y) + B3 cos w + B4 cos(w + x - y). (11)
Здесь w = wi - W2.
Наша задача — найти наибольшее значение Z2(x, y) по всем углам x, y при фиксированных w и коэффициентах Ak, Bk.
3.1. Одна из орбит — круговая. Если хоть один из эксцентриситетов равен нулю, то (11) вырождается в
С2 = C1C2 + S1S2 cos(w - y). (12)
Наибольшее значение
Ce = C1C2 + S1S2 = cos(ii - Í2) (13)
принимается при y = w и произвольном x.
3.2. Одна из орбит лежит в основной плоскости. Пусть для определенности S2 = 0. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Í2 =0, S2 =0, C2 = 1. Тогда
с2 = С1 + ^(1 - C1)e1e2 cos(u7 - х - у) + ^(1 + с1)е1е2 eos tu. (14)
Наибольшее значение
Сб = ci + ^(1 - с1)е1е2 + ^(1 + с1)е1е2 cos w (15)
принимается при x + y = w.
Случай 2. Í2 = n, S2 =0, C2 = -1. Тогда
C2 = -ci + ^(1 - c1)e1e2 cos(iu - 2y) + ^(1 + c1)e1e2 cos(iu + x - y). (16) Наибольшее значение
Ze = -Ci + eie2 (17)
принимается при x = -w/2, y = w/2.
3.3. Обе орбиты — некруговые и ни одна из них не лежит в основной плоскости. Вычислим производные
dZ2
—— = А2 sin Ж + В\ sin(u7 — х — у) — В4 sin(u7 + х — у), (18)
dx
dZ2
—— = A i sin(u7—у)— А2 siny+Bi sin(u7—х—у)+2В2 sin(u7—2í/)+í?4 smiw+x—y). (19) dy
Приравняем правую часть (18) к нулю. После элементарных преобразований получим
[A2 — (B4 + B1) cos(w — y)] sinx — [(B4 — B1) sin(w — y)] cos x = 0.
Подставляя выражения коэффициентов через элементы орбит и сокращая на eie2, перепишем последнее уравнение в виде
[s1s2 — (1 — c1c2) cos(y — w)] sinx = [(c2 — ci) sin(y — w)] cosx. (20)
Нам повезло: сумма квадратов коэффициентов при синусе и косинусе x в (20) оказалась полным квадратом D2, где
D = (1 — ciС2) — sis2 cos(y — w). (21)
Очевидно, D ^ 0. Оставляя пока в стороне вырожденный случай D = 0, считаем D > 0. Тогда не только тангенс
tg* = (22)
S1S2 — (1 — cic2)cos(y — w)
но и косинус и синус — дробно-линейные функции от cos(y — w), sin(y — w):
S1S2 — (1 — cic2)cos(y — w) (c2 — ci)sin(y — w) cosa: = ¡j,-—-, smi = /j-—-, ¡j, = ±1.
D D (23)
Запишем равную нулю правую часть (19) в виде
— A2 sin y — A1 sin(y — w) — 2B2 sin(2y — w) —
— (B4 + Bi) sin(y — w) cosx + (B4 — Bi) cos(y — w) sinx = 0. (24)
Умножая на 4D и используя (23), представим (24) в форме
4[—(1 — С1С2) + sis2 cos(y — w)][Ai sin(y — w) + A2 sin y + 2B2 sin(2y — w)] — — 4^(B4 + Bi) sin(y — w) [s 1S2 — (1 — C1C2) cos(y — w)] +
+ 4^(B4 — B1) cos(y — w)(c2 — c1) sin(y — w) = 0,
что равносильно
a0 + a1 sin y + a2 sin(y — w) + a3 sin(2y — w) + a4 sin(2y — 2w) + a5 sin(3y — 2w) = 0. (25) Здесь
ao =2siS2A2 sin w,
ai = — 4(1 — C1C2) A2 + 4S1S2B2,
a2 = — 4(1 — C1C2 )Ai — 4^SiS2(B4 + Bi),
a3 = — 8(1 — C1C2 )B2 + 2S1S2A2,
a4 =2siS2Ai + 2^[(1 — C1C2) (B4 + Bi) + 2^2 — ci)(B4 — Bi)], a5 =4siS2B2.
Подставляя значения Ak , Bk, получим
22
ao =eie2SiS2 sin w,
ai = — eie2SiS2(1 + ci + C2 — ЗС1С2),
a2 = — 2sis2(1 — cic2)(2 + ^eie2),
a3 = — eie2(1 — ci)(1 — c2)(1 — ci — c2 — 3cic2),
a4 =si s2 (2 + ^eie2),
a5 =eie2Si S2(1 — ci)(1 — c2).
Левую часть (25) можно записать в стандартной форме многочлена Фурье третьего порядка
bo + bi cos y + b2 sin y + b3 cos 2y + b4 sin 2y + b5 cos 3y + be sin 3y = 0. (26)
Здесь
bo =ao,
bi = — a2 sin w,
b2 =ai + a2 cos w,
b3 = — a3 sin w — a4 sin 2w,
b4 =a3 cos w + a4 cos 2w,
b5 = — a5 sin 2w,
be =a5 cos 2w
или
bo =eie2s2s2 sin w,
bi =2sis2(1 — cic2)(2 + ^eie2) sin w,
b2 = — siS2[eie2(1 + ci + c2 — 3cic2) + 2(1 — cic2)(2 + ^e^) cos w], b3 =(1 — ci)(1 — c2)[eie2(1 — ci — c2 — 3cic2) sin w — (1 + ci)(1 + c2)(2 + ^e^) sin 2w], b4 =(1 — ci)(1 — c2)[—eie2(1 — ci — c2 — 3cic2) cos w +(1 + ci)(1 + c2)(2+^e^) cos2w], b5 = — eie2SiS2(1 — ci)(1 — c2) sin2w, be =eie2SiS2(1 — ci)(1 — c2) cos2w.
Случай D = 0. Пусть e1e2s1s2 =0, D = 0. Последнее соотношение равносильно cos(y — w) = 1, cos(¿i — ¿2) = 1, т. е.
¿2 = ¿1, y = w. (27)
Условие D = 0 означает, что d^2/dx = 0 при любом x. Осталось приравнять нулю правую часть (19) с учетом (27):
(B4 — B1) sin x = (A2 + 2B2) sin w
или
(1 — c1) sin w = 0. (28)
Условие si > 0 влечет ci < 1, так что (28) удовлетворяется лишь при sin w = 0.
Итак, случай D = 0 возможен лишь при
ii = i2, sin w = 0,
причем переменная y должна равняться ет. Подставляя (29) в левую часть (24), убеждаемся в справедливости (24) при любом x. Таким образом, при выполнении равенств (29) точка (x, ет) тора x, y при любом x стационарна. Соответствующее значение Z2 согласно (11) равно Z2, где
с2* = (Ao + Ai) + (A2 + B2 + B3) cosет + (—A + Bi + B4)cosx = 1 + eie2 cosет. (30)
Найдем другие стационарные точки Z2(x,y) при условиях (29). Теперь (21), (23) принимают вид D = s2 — si cos(y — ет),
Значения (31) следует подставить в правую часть (19) и получить
A1 sin(w - y) - A2 sin y + «Bi sin(w - y) + 2B2 sin(w - 2y) + yB4 sin(w - y) = 0, что равносильно
(1 + Ci)(2 + ^eie2) sin(w - y) - eie2(1 + Ci) sin y + eie2(1 - Ci) sin(w - 2y) = 0.
Поскольку sin w = 0 согласно (29), получаем окончательно
[(1 + C1)(2 + ^e1e2) cos w + e1e2(1 + C1) + 2e1e2(1 - C1) cos w cos y] sin y = 0. (32)
Уравнение (32) имеет тривиальный корень y = w. Поэтому случай D = 0 можно не рассматривать отдельно.
4. Алгоритм вычисления ge. Опишем алгоритм вычисления ge. Он сводится к определению Ze, после чего ge дается формулой (9).
1. Если хотя бы одна из орбит — круговая, то Ze определяется формулой (13).
2. Пусть хотя бы одна из орбит (дадим ей номер 2) лежит в основной плоскости и описывает прямое движение, так что S2 =0, C2 = 1. Тогда Ze определяется формулой (15).
3. Пусть хотя бы одна из орбит (дадим ей номер 2) лежит в основной плоскости и описывает обратное движение, так что S2 =0, C2 = -1. Тогда Ze определяется формулой (17).
4. Пусть eie2SiS2 = 0,
(a) При ^ =1 и ^ = —1 находим все вещественные корни уи(^<) уравнения (32) при —п < у ^ п. Два из них у = 0 и у = п тривиальны и не зависят от Всего получаем не более 6 различных чисел уи(м).
(b) По формуле (11) находим Z2(x(^), уи(м)), где х(^) дается соотношениями
cos x = у, sin x = 0.
(31)
ii = i2 , sin w = 0.
(33)
5. Пусть eie2SiS2 = 0, и хотя бы одно из условий (33) нарушено (случай общего положения).
(a) При у =1 и у = —1 находим все вещественные корни yn(y) уравнения (25) или (26) при —п < y ^ п. При каждом у их не более 6.
(b) Каждому корню yn(y) отвечает ровно одно значение xn(у), вычисляемое по формулам (23). Получаем несколько (не более 12) точек вида (xn(«),yn(«)).
(c) Для каждой пары (xn(«),yn(«)) определяем Z2 по формуле (11).
(d) Искомая величина Сб равна наибольшему из чисел Z2(xn(y),yn(y)).
Замечание. Метрики Qk при k = 1,..., 5 инвариантны относительно начала отсчета долгот. То же верно и для Q6. Действительно, правая часть (11) зависит лишь от разности долгот перицентров ет.
Осталось решить две задачи. Построить удовлетворительный код для вычисления Сб и выяснить, является ли Q6(£i, £2) метрикой, или хотя бы квазиметрикой. Первые две аксиомы метрического пространства выполняются для Q6(£i, £2) с очевидностью. Справедливость аксиомы 3 (или хотя бы 3а) нужно исследовать. Этим мы займемся в ближайшем будущем.
Литература
1. Kholshevnikov K. V., Vassiliev N.N. Natural metrics in the spaces of elliptic orbits // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2004. Vol.89, no. 2. P. 119-125.
2. Kholshevnikov K. V. Metric Spaces of Keplerian Orbits // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2008. Vol. 100, no. 3. P. 169-179.
3. Maruskin J. M. Distance in the space of energetically bounded Keplerian orbits // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2010. Vol. 108, no. 3. P. 265-274.
4. Холшевников К. В. О метриках в пространствах кеплеровских орбит // Физика космоса: Труды 45-й международной студ. науч. конф., Екатеринбург, 1-5 февраля 2016 г. Екатеринбург: Изд-во УрФУ, 2016. C. 168-184.
5. Kholshevnikov K. V., Kokhirova G. I., Babadzhanov P. B., Khamroev U. H. Metrics in the space of orbits and their application to searching for celestial objects of common origin // MNRAS. 2016. Vol. 462, no. 2. P. 2275-2283.
6. Кузнецов Э.Д., Сафронова В. С. Приложение метрик пространства кеплеровых орбит для поиска астероидов на близких орбитах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2017. №4. Вып. 2. С. 86-92.
7. Kuznetsov E., Safronova V. Application of metrics in the space of orbits to search for asteroids on close orbits // Planetary and Space Science. 2018. Vol. 157. P. 22-27.
8. Milanov D. V. Metrics in Keplerian orbits quotient spaces // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2018. Vol.130. P. 27. https://doi.org/10.1007/s10569-018-9820-1
9. Southworth R., Hawkins G. Statistics of meteor streams // Smithson. Contrib. Astrophys. 1963. Vol. 7. P. 261-285.
10. Drummond J.D. On meteor/comet orbital discriminant D // Proc. Southwest Regional Conf. Astron. Astrophys. / Eds. P. F. Gott, P. S. Riherd. Little Rock AR, 1979. Vol. 5. P. 83-86.
11. Drummond J.D. A test of comet and meteor shower associations // Icarus. 1981. Vol.45. P. 545-553.
12. Jopek T. J. Remarks on the Meteor Orbital Similarity D-Criterion // Icarus. 1993. Vol. 106, no. 2. P. 603-607.
13. Klacka J. Meteor Stream Membership Criteria. 2000. arXiv:astro-ph/0005509v1
14. Jopek T. J., Froeschle Cl. A stream search among 502 TV meteor orbits. An objective approach // Astron. Astrophys. 1997. Vol.320, no. 2. P. 631-641.
15. Valsecchi G. B., Jopek T. J., Froeschle Cl. Meteoroid stream identification: a new approach — I. Theory // Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. 1999. Vol.304, no. 4. P. 743-750.
16. Калинин Д. А. О критериях общности в кометных метеороидных комплексах // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. 2013. Вып. 5. С. 3-9.
17. Milanov D. V., Milanova Yu. V., Kholshevnikov K. V. Relaxed triangle inequality for the orbital similarity criterion by Southworth and Hawkins and its variants // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2019. Vol.131, no. 1. Art. no. 5. https://doi.org/10.1007/s10569-019-9884-6
18. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: КомКнига, 2006.
19. Буро,го Д. Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. М.; Ижевск: Изд. ИКИ, 2004.
20. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984.
21. The Collision of Comet P/Shoemaker — Levy 9 and Jupiter / Eds. K.S.Noll, H. A. Weaver, P. D. Feldman. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006.
22. Аллен К. У. Астрофизические величины. М.: Мир, 1977.
Статья поступила в редакцию 25 августа 2019 г.;
после доработки 5 сентября 2019 г.; рекомендована в печать 19 сентября 2019 г.
Контактная информация:
Холшевников Константин Владиславович — д-р физ.-мат. наук, проф.; kvk@astro.spbu.ru
Щепалова Анастасия Сергеевна — аспирант; shepalovanastya@mail.ru;
Джазмати Мухаммад Салахович — канд. физ.-мат. наук, проф.; jazmati@yahoo.com
On a quotient space of Keplerian orbits
K. V. Kholshevnikov1''2, A. S. Shchepalova1, M. S. Jazmati3
1 St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
2 Institute of Applied Astronomy RAS, nab. Kutuzova, 10, St. Petersburg, 191187, Russian Federation
3 Qassim University, P.O.Box:6644-Buraidah:51452, Saudi Arabia
For citation: Kholshevnikov K.V., Shchepalova A. S., Jazmati M.S. On a quotient space of Keplerian orbits. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2020, vol. 7(65), issue 1, pp. 165-174. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.116 (InRussian)
Several metrics were proposed during last 15 years which transform divers spaces of Keplerian orbits in metric ones. They are used to estimate a proximity of orbits of celestial bodies (usually comets, asteroids, and meteoroid complexes). An important role play quotient spaces. They allow us not to take into account those orbital elements which change in the secular mode under different perturbations. Three quotient spaces were just examined. Nodes are ignored in one of them; arguments of pericenters are ignored in the second one; both nodes and arguments of pericenters are ignored in the third one. Here, we introduce a fourth quotient space where orbits with arbitrary longitudes of nodes and arguments of pericenters are identified under the condition that their sum (longitude of pericenter) is fixed. The function q6 serving as a distance between pointed classes of orbits, and satisfying first two axioms of metric spaces is determined. An algorithm of its calculation is proposed. In general the most complicated part of the algorithm represents the solution of a trigonometric equation of third degree. The question on the validity of the triangle axiom for q6, at least in a relaxed variant, will be examined later.
Keywords: Keplerian orbit, metrics, quotient space of a metric space, distance between orbits.
References
1. Kholshevnikov K.V., Vassiliev N.N., "Natural metrics in the spaces of elliptic orbits", Celest. Mech. Dyn. Astron. 89(2), 119-125 (2004).
2. Kholshevnikov K. V., "Metric Spaces of Keplerian Orbits", Celest. Mech. Dyn. Astron. 100(3), 169-179 (2008).
3. Maruskin J. M., "Distance in the space of energetically bounded Keplerian orbits", Celest. Mech. Dyn. Astron. 108(3), 265-274 (2010).
4. Kholshevnikov K. V., "On metrics in the space of Keplerian orbits", "Physics of Space": Proceedings of the 45th International. stud. sci. conference, Yekaterinburg, 1-5 February, 2016, 168-185 (Yekaterinburg, 2016). (In Russian)
5. Kholshevnikov K. V., Kokhirova G.I., Babadzhanov P. B., Khamroev U. H., "Metrics in the space of orbits and their application to searching for celestial objects of common origin", Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. 462(2), 2275-2283 (2016).
6. Kuznetsov E. D., Safronova V. S., "Using of metrics in the space of orbits to searching for asteroids on close orbits", Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation (4), issue 2, 86-92 (2017). (In Russian)
7. Kuznetsov E., Safronova V., "Application of metrics in the space of orbits to search for asteroids on close orbits", Planetary and Space Science 157, 22-27 (2018).
8. Milanov D.V., "Metrics in Keplerian orbits quotient spaces", Celest. Mech. Dyn. Astron. 130, 27 (2018). https://doi.org/10.1007/s10569-018-9820-1
9. Southworth R., Hawkins G., "Statistics of meteor streams", Smithson. Contrib. Astrophys. 7, 261-285 (1963).
10. Drummond J.D., "On meteor/comet orbital discriminant D", Proc. Southwest Regional Conf. Astron. Astrophys. 5, 83-86 (P.F.Gott, P. S.Riherd (eds.), Little Rock AR, 1979).
11. Drummond J. D., "A test of comet and meteor shower associations", Icarus 45, 545-553 (1981).
12. Jopek T. J., "Remarks on the Meteor Orbital Similarity D-Criterion", Icarus 106(2), 603-607 (1993).
13. Klacka J., "Meteor Stream Membership Criteria", arXiv:astro-ph/0005509v1 (2000).
14. Jopek T. J., Froeschle Cl., "A stream search among 502 TV meteor orbits. An objective approach", Astron. Astrophys. 320(2), 631-641 (1997).
15. Valsecchi G. B., Jopek T. J., Froeschle Cl., "Meteoroid stream identification: a new approach — I. Theory", Mon. Notic. Roy. Astron. Soc. 304(4), 743-750 (1999).
16. Kalinin D. A., "On similarity criteria in comet and meteoroid complexes", Izvestia vuzov. Geodesy and aerial survey 3, 3-9 (2005). (In Russian)
17. Milanov D. V., Milanova Yu. V., Kholshevnikov K. V., "Relaxed triangle inequality for the orbital similarity criterion by Southworth and Hawkins and its variants", Celest. Mech. Dyn. Astron. 131(1), 5 (2019). https://doi.org/10.1007/s10569-019-9884-6
18. Hausdorff F., Set Theory (AMS Chelsea Publishing, 2005).
19. Burago D.Y., Burago Y. D., Ivanov S.V., A Course in Metric Geometry, in Ser.: Graduate Studies of Mathematics 33 (AMS, 2001).
20. Korn G., Korn T., Mathematical handbook for scientists and engineers (Courier Corporation, 2013).
21. The Collision of Comet P/Shoemaker — Levy 9 and Jupiter (K.S.Noll, H. A. Weaver, P.D.Feldman (eds.), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006).
22. Allen's Astrophysical Quantities (4th ed., A.N. Cox (ed.), Springer, 1999).
Received: August 25, 2019 Revised: September 5, 2019 Accepted: September 19, 2019
Authors' information:
Konstantin V. Kholshevnikov — kvk@astro.spbu.ru Anastassia S. Shchepalova — shepalovanastya@mail.ru Mohammad S. Jazmati — jazmati@yahoo.com
