Об одном дискретном уравнении Шрёдингера для квантовой точки с нелокальным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета

2024. Том 64. С. 48-59

УДК 517.958, 530.145.6 © Н. И. Коробейникова

ОБ ОДНОМ ДИСКРЕТНОМ УРАВНЕНИИ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ КВАНТОВОЙ ТОЧКИ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

В работе рассматривается дискретное уравнение Шрёдингера. Это характеристическое уравнение для оператора Шрёдингера определенного вида. Оно соответствует математической модели, которая описывает наноразмерные устройства, регулирующие транспорт электронов с помощью, например, эффекта Ааронова-Бома. В статье изучены общие спектральные свойства оператора, найдены собственные значения и резонансы, а также исследована задача рассеяния. В частности, найдены условия полного прохождения (то есть прохождения с вероятностью равной единице), указана возможность резонанса Фано.

Ключевые слова: дискретный оператор Шрёдингера, резонанс, собственное значение, дискретное уравнение Липпмана-Швингера, резонанс Фано.

Б01: 10.35634/2226-3594-2024-64-04

Введение

В данной работе изучается математическая модель (уравнение Шрёдингера в приближении сильной связи), описывающая электрон в физической системе, состоящей из квантовой точки определенной структуры, соединенной с двумя проводниками (квантовыми проволоками). Подобные модели служат для описания следующего поколения устройств, регулирующих прохождение тока через проводник (транзисторов, диодов и так далее) и активно используются в физической литературе в последние два десятилетия (см., например, [1-5]). Однако, математических работ, где исследовались бы данные модели, немного (см., например, [6,7]), что и послужило стимулом к написанию данной работы.

Определим неориентированный граф с вершинами Г = Z и М, где вершины М = = {1, 2, 3, 4}, соединенные в ромб, соответствуют квантовой точке, а подмножества Z вида {-1, -2,...} и {0,1, 2,...}, где соседние вершины соединены ребрами, левому и правому проводникам соответственно (см. рис. 1). Данная модель отвечает устройствам, использующим эффект Ааронова-Бома, в частности, квантовым интерферометрам (см. [8]). Однако, методика, изложенная в работе, пригодна для широкого класса подобных моделей (см., например, [9-12]).

Функции ф, определенные на Г, отождествим с парами функций ф = (ф^п),ф2(т)), где ф1(п) определена на Z, а ф2 (т) — на М. Рассматривается оператор Шрёдингера (гамильтониан) Я, действующий в /2(Г) = /2^) х /2(М) = /2^) х С4, по формуле

2

012

-•-•-»

п п п

Рис. 1. Граф Г

(Яф)1(п) = (Я1ф1)(п) + (ф2(1) - ф1(0)) ¿„,_1 + (ф2(3) - ф1(-1)) ¿„,0, (Яф)2(т) = (Я2 ф2)(т) + ф1(-1)5т,1 + ф1(0)5т,а,

где 5i,j — символ Кронекера, Hi — оператор в /2(Z) вида = + 1) + — 1),

Яо

/ 0 v 0 v \

v 0 v 0 0v0v v0v0

Ненулевой параметр V € К является амплитудой перехода (|V |2 — вероятность такого перехода) электрона на соседний узел (вершину) подграфа, отвечающего множеству М; при этом V можно сопоставить ребрам графа. Число 1 является амплитудой перехода для узлов, отвечающих квантовой проволоке (после соответствующей «нормировки»), и сопоставляется оставшимся ребрам исходного графа.

§ 1. Спектральные свойства оператора Н

Пусть = (Н — Л/)-1 и Я2 = (Н2 — Л/)-1 — резольвенты операторов Н и Н2 соответственно. Ядро резольвенты Д1 будем называть функцией Грина, которая представима в виде (см. [6])

Gi(n — j, А) = —

Л -

\n-j\

(2)

Сделаем замену Л = 2 eos к, полагая Veos2 к — 1 = — i sin к, тогда функцию Грина опера-

тора Hi можно записать в виде Gi(n — j, k) = обратной матрицей

А

eik\n-j \

2i sin k

. Резольвента оператора Я2 является

(Яо — А/)

-i

v

v 0

0

—А v v -А

-i

0

v

v

0

v

(3)

—А

Теорема 1. Оператор Н ограничен, самосопряжен, и существенный спектр этого оператора совпадает с отрезком [—2, 2].

Доказательство. Ограниченность и самосопряженность проверяется непосредственно. Известно (см. [13, УП.2, пример 3]), что спектр оператора Н1 — это отрезок [—2, 2].

Оператор Н представим в виде суммы оператора ^ Н 0 ^, действующего в /2^) х С4

и конечномерного оператора. Отсюда и из теоремы Вейля о существенном спектре (см. [14, ХШ.4, теорема XIII. 14]) вытекает второе утверждение теоремы. □

Обозначим через элемент обратной матрицы Л(4у2 — Л2)(Н2 — Л/)-1. Положим

А' = (егк — Л) (Легк — Л2 + Фу2)

и

А

—е

- ik

1

1

—е

- ik

1

ik

ik

1

А2 — 2v2 2v2 A(4v2 — А2) 0 2v2 А2 — 2v2 0 А(4v2 — А2)

= А(4v2 — А2)(1 — e-2ik )А'.

Для всех р € {1, 2, 3,4} определитель Ар получаем из определителя А заменой столбца с номером р этого определителя на столбец

Т

£ ег%'+1 ), £ егк ^ 1 ^),£ау^ОЫо)'

j

j=i

j=i

1

2

v

Лемма 1. Для любой функции ^ € г(Г) положим Я(А)^ = (Н — А/) V = 0. При

А = 0 справедливы следующие формулы:

01 (п)

1

(2г вт к)А

7 А' • £ е*к|„-3Ц(.7) + (А2 — А3) е*к|„+11 + (А1 — А4) е

гк|га|

3=-»

(4)

02 (т) =

1

А(4^2 — А2)А где для любого р € {1, 2, 3, 4} выполнено

А

7 ( А' • ^ атз^С?) — А'^т! — А^з ), 3=1

(5)

А'

А(4,2 - А2)(1 - е-2^) = Е ' + Е+

+ ^1(1)СР + (^2(2) + ^2(4)) ВР + <^(3)ЕР,

А1 = (А2 — 2-у2) е^ + В = А 2 е^, С1 = Азе*к, А = те^ — А), Е = А2, +А (4-у2 — А2),

А2 = —2^2егк, В = А егк, С2 = А2, ^2 = , Е = Азегк,

Аз = Аегк — (А2 — 2-у2), В = А2, Сз = Аз, Вз = В1е-гк,

А4 = А2е-*к, В4 = Аз, С4 = А2е-^, В4 = В1 е-^,

Ез = А2е-гк, Е = Аз.

Доказательство. Для нахождения резольвенты Я(А) = (Н — А/) 1 оператора Н решим уравнение (Н — А/)0 = ^ относительно 0. Согласно (1) запишем уравнения

(Я1 — А/)01(п) = и (Н2 — А/)02(т) = ^2 в виде

(Н1 — А/)01 (п) = <^(п) + (01(0) — 02(1))+ (01 ( —1) — 02(3)) ¿„,0, (Н2 — А/)02(т) = ^2(т) — 01 (—1)5т,1 — 01(0)£т,з.

(6)

Используя (2) и (3), находим

01 (п)

егй|„-3|

^ 2г вт к

3 = -»

3 = -»

е^к |„—31

3 =-»

/02(1) \ /А2 — 2^2 А^

02(2) 1 А^ А2 — 2^2

02(3) А(4г;2 - А2) 2-у2 А^

V 02(4) \ А^ 2-у2

2г вт к

2-у2 А^

А^ \

2-у2

2 — 2-у2 А^ А^ А2 — 2^2 /

Выполнив соответствующие преобразования, окончательно получим

^2(1) — ^1(— 1)\ ^2(2)

^2(3) — 01(0) 4^2(4)

01 (п)

1

2г вт к

£ е^„-3ЦС7) + (01(0) — 02(1))егк|„+11 + (^1(—1) — 02(3))е*к|п| (7)

02 (т) =

4

А(4^2 — А2) \ ^

«т3 ^С?) — "01 (— 1)«т1 — ^1(0)йтз

(8)

и

4

—»

и

1

Определим константы 1), ^i(ü), ^2(1) и ^2(3). Для этого из равенства (7) при n = — 1, n = 0 и из равенства (8) при m = 1, 3, учитывая, что 2i sin k = eik — e-ik, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных констант

—e-ik1) — ^i(0) + ^2(1) + eik^2(3)= £ eik|j+1|^i(j),

—^i(—1) — e-ik^(0) + eik^2(1)+ ^2(3)= £ eik|j^(j),

j

4

(Л2 — 2v2)^!(—1) + 2v2^i(0) + A(4v2 — Л2)^2(1) = £ «i(j(j),

j=i

4

2v^i(—1) + (A2 — 2v2)^(0) + A(4v2 — А2Ш3) = £ as(jV2(j)•

(9)

j=i

Формулы (4) и (5) вытекают из уравнений (7) и (8) и формул Крамера, примененных к системе (9). □

Замечание 1. Функция

*Л>=ИФ -1

является обратной к функции Жуковского ш = (г + г-1)/2 для г = Л/2. Риманова поверхность Р функции д(Л) двулистна, причем листы склеиваются вдоль интервала (-2, 2), а точки ±2 являются точками ветвления. Следовательно, риманова поверхность функции Грина также двулистна относительно спектрального параметра Л. Выбор знака перед (арифметическим для |Л| > 2) корнем в (2) отвечает экспоненциальному убыванию функции С1(п — ], Л) при | п — ] | ^ то на первом листе.

Л е м м а 2. Число А € [—2, 2] принадлежит дискретному спектру оператора Н тогда и только тогда, когда Д'(А) = 0.

Доказательство. Это следует из теоремы 1 и леммы 1, а также аналитической теоремы Фредгольма (см. [13, VI.5, теорема VI.14]). Действительно, легко подобрать функции ^1(п) и <^2(т) такие, что функции ^1(п) и ^2(т) будут иметь полюсы в точках Аг, откуда вытекает наличие полюсов у матричных элементов функции С, \ (п — у. А). □

Определение 1. Будем говорить, что функция Грина С оператора Н (ядро резольвенты) имеет полюс в точке Ао € Р, если имеет полюс в этой точке хотя бы одна из функций (матричных элементов) С((п,т), (п',ш/), А), где (п, т), (п', т') € Г. Полюс функции С на втором листе поверхности Р назовем резонансом оператора Н. В точках отрезка [—2, 2], в которых листы отождествляются, резонансом будем называть полюс, не являющийся собственным значением. Квазиуровнем оператора Н будем называть его собственное значение или резонанс.

1 4-у2

Теорема 2. Оператор Н при |г>| > - имеет квазиуровни в точках \\}2 = ±-

1 4г^2

(1собственные значения), а при 0 < |г>| < - — в точках А1)2 = ±

VKw2- 1|

V4w2 - 1

(резонансы).

Также оператор H имеет квазиуровни в точках А3 = 0 (резонанс), Л4,5 = ±2v (резонансы).

Доказательство. Так как А' = (eik — Л) (Aeifc — Л2 + 4v2) , то, согласно лемме 2, имеем eik — Л = 0 или Aeik — Л2 + 4v2 = 0. Первое уравнение решений не имеет. Второе уравнение, с учетом равенства Л = 2 cos k, приводится к уравнению

4v2 sin2 k + 2i sin k cos k + (4v2 — 2) cos2 k = 0.

, i(2v2 — 1) Л2 16v4 Отсюда получаем tg k =---или A = ---и первое утверждение теоремы.

2v2 4v2 — 1

Значения Л = 0 и Л = ±2v являются полюсами резольвенты оператора H ^м. формулы (4), (5)). Покажем, что они не являются собственными значениями оператора H. Для этого рассмотрим уравнения (6) при ^ = (^(n), <^2(m)) = (0, 0) для всех n £ Z, m £ M.

Пусть Л = 0, тогда cos k = 0 и sin k = ±1 . Для определенности будем считать, что п п

к = — + 27гI, I £ Z (случай к = — — + 2ж1, I £ Z, рассматривается аналогично). Тогда

решение системы

'фЛп) = 0) - ^(1)) exp (ÉllLtH) + _ ^(3)) exp (™М)) ;

H2^2(m) = —( —1)ím,1 — ^l(0)ím,3,

если оно существует и отлично от нуля, будет определять собственную функцию оператора Н при А = 0. Второе уравнение системы является линейной неоднородной системой с матрицей системы Н2. Ранг матрицы системы равен двум, ранг расширенной матрицы будет равен двум при условии " (0) = (—1). Находим общее решение второго уравнения:

ф2(1) = -а, ф2( 2) = -/3--ф1(0), ф2(3) = а, ф2(А) = /3,

V

где а, в £ R. Отсюда

,'гп|п + 1|

щ(п) = —^i(0)exp

в частности, (0) = — (—1); получаем противоречие. Таким образом, собственных функций оператора H, соответствующих значению Л = 0, нет.

Пусть А = 2v, V ф ±1, тогда cos к = v и sin к = ±л/1 _ v2. Для определенности будем считать, что k = arccos v + 2п/, I £ Z (случай k = —arccos v + 2п/, I £ Z, рассматривается аналогично). Тогда решение системы

' 1

Ф\(n) = _ ^2(1)) ехр(г arccos v ■ \n+ 1|) +

+ (^1(—1) — ^2(3)) exp(i arccos v ■ |n|) (H2 — 2v1 )^2(m) = — — 1)¿m,1 — ^1(0)ím,3,

если оно существует и отлично от нуля, будет определять собственную функцию оператора H при Л = 2v, v = ±1. Второе уравнение системы является линейной неоднородной системой с матрицей системы (H2 — 2v1). Ранг матрицы системы равен трем, ранг расширенной матрицы будет равен трем при условии ^1(0) + ^1(—1) = 0. Общее решение второго уравнения имеет вид

ф2(1) = а, ф2(2) = а + 1^ф1(0), ф2(3) = а + -ф1(0), ф2(4) = а + ^i(O),

2v v 2v

где а G R. Следовательно,

■ф\{п) =-( (0) — 02(1)) ехр(г arceosv ■ \п + 1|) —

H\J 1 — v2 \

2 iVT^

— ^ Н—^ 01 (0) + 02(1)^ ехр(г arceosv ■ \п\) Отсюда и из равенства 0i(ü) + 0i(—1) = 0 получим

« = -¿.Л(о),

01 (п) =-, ( 1 + — ) 0i(0) (exp(¿ arccos v ■ \п + 1|) — ехр(г arceosv ■ \п\)).

H\J 1 — v2 \ 2v)

Из последнего равенства получаем уравнение

(2v - l)iVl - v2 = (2v + l)(v - 1),

которое имеет единственное решение v = 1, что приводит к противоречию.

Аналогично предыдущему случаю, можно доказать, что нет собственных функций оператора H при Л = —2v, v = ±1.

Осталось рассмотреть случай v = ±1, что соответствует Л = ±2 и Л = ^2. Пусть Л = 2 и v = 1 (для всех остальных вариантов доказательство аналогичное). Собственную функцию будем определять из системы

'(Hi — 21)01 (n) = (01 (0) — 02(1)K_1 + (01 (—1) — 02(3))¿ra>o, (H2 — 21)02(m) = —01 (—1)¿m,1 — 01(ü)5m>3.

Второе уравнение системы является линейной неоднородной системой с матрицей системы (H2 — 21). Ранг матрицы системы равен трем, ранг расширенной матрицы будет равен трем при условии 01(ü) + 01(—1) = 0. Находим общее решение второго уравнения:

02(1)=Ü¡, 02(2) = СК + ^01 (0), 02(3) = О! + 0i(O), 02(4) + где а G R. Тогда первое уравнение системы примет вид:

01 (n — 1) + 01 (n +1) — 201 (n) = (01 (0) — 02 (1)) ^га, _ 1 + (01 ( —1) — 02(3))<W

Пусть n = 0, —1, тогда получаем разностное уравнение 01(n — 1) + 01(n + 1) — 201 (n) = 0. Решение ищется в виде 01(n) = C1qn + C2q_n. При этом возможны два варианта: q = 1 или C1q2n + C2 = 0. Запишем первое уравнение системы при n = —1 и n = 0:

'01(—2) — 201 ( 1) = —02(1), 01(0)+ 01(1) = —02 (1). ( )

Если q = 1, то получаем тривиальное решение. Если C1q2n + C2 = 0, тогда из системы (10) получаем, что одна из констант C1 или C2 должна быть равна нулю, что противоречит условию.

Таким образом, значения Л = 0 и Л = ±2v не являются собственными значениями оператора Н. □

Замечание 2. Подобно [7] можно доказать, что интервал (—2, 2) без квазиуровней дает интервалы абсолютно непрерывного спектра.

§ 2. Задача рассеяния

Рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

где 0' = 0'(п, т, ¿) — /2(Г)-значная непрерывно дифференцируемая функция. Решения данного уравнения, отвечающие задаче рассеяния, определяются следующим образом:

0'(п,т,*)= / С(к)0(п,т,к)е-2йс°8к .Ум

где С (к) € 2п), а 0 = (01, 02) — решение уравнения Липпмана-Швингера для

оператора Н

(12)

01 (n) = eikn — Л1(Л + i0) [(02(1) — 01 (0))5га,_1 + (02(3) — 01(—1))^ra,J, 02 (m) = — Й2(Л)[01 ( —1)ím,1 + 01 (0)5т,з]

(здесь Л по условию не является собственным значением оператора H2). Уравнение (12) можно переписать в виде

Мп) = eikn + + ^ЬМеЧ, (13)

2i sin k 2i sin k

02(m) = 0i(-l)ami - 0i(O)am3)-

Определим числа 01(—1), 01(0), 02(1), 02(3) из системы

—e_ik 01(—1) — 01(0) + 02(1) + eik 02(3) = 1 — e_2ik, —01(—1) — e_ik 01(0) + eik02(1) + 02(3) = eik — e_ik, (Л2 — 2v2)01(—1) + 2v201(0) + Л(4v2 — Л2)02(1) = 0, l2v201(—1) + (Л2 — 2v2)01(0) + Л(4v2 — Л2)02(3) = 0.

Применим метод Крамера, тогда

:2ik (1 — e_2ik) (Л(4v2 — Л2)е_'к + Л2 — 2v2)

01 ( 1)

(eik — Л) (Ле*к + 4v2 — Л2) ~ (eik - A) (Aeík + 4v2 - Л2)' (14)

(e2ik _ 1)(Л - (Л2 - 2v2)e_ik) (1 - e_2ik)eik2v2

02(1) 1 Лм Г, 02(3)- (i je

(в*к - Л) (Лв*к + 4-у2 - Л2) ' Г2у ' (в*к - Л) (Лв*к + 4^2 - Л2)' Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть Д'(Л) = 0, где Л € (-2, 2). Тогда уравнение Липпмана-Швингера имеет единственное решение.

Величины а± (Л) являются, по определению, коэффициентами в формулах

01 (п) = егкга + а± (к)е±гкга,

где п ^ (в данном случае п ^ 0 и п ^ -1), Л = 2cos к, а 0 = (01, 02) — решение уравнения Липпмана-Швингера.

Можно доказать (см. подобное доказательство теоремы 2 в [15]), что вероятность прохождения P+ (Л) и вероятность отражения P_ (Л) квантовой частицы, описываемой функцией ф'(n, m, t) из уравнения (11), равны

P+ (Л) = |1 + а+(Л) |2, P- (Л) = К (Л)|2

соответственно. Таким образом, справедливо равенство

|а+(Л)|2 + |а-(Л)|2 = 1,

где Л е (—2, 2) — спектральный параметр (энергия электрона).

Запишем коэффициент отражения а- (k) при n ^ —то и коэффициент прохождения а+ (k) при n ^ +то (см. (13)):

(к) = j + ФЛ o)-fe(i)e, +

2i sin k 2i sin k

a = | V,i(—i) — ^2(3)

Заметим, что

2i sin k 2i sin k

2i sin k 2i sin k

таким образом, a+(k) = ^i(ü). Далее,

м_х) = е-гк + 1) + М-1)-Мз)с*

2i sin k 2i sin k '

откуда

\ (0) - ^2(1) -ifc , (-1) - ^2(3)

a_(k) = Vi(-l) - e"tfe е~гк = . ' e~lk +

2i sin k 2i sin k

Определим условия при которых имеет место полное прохождение, то есть решим уравнение а- (k) = 0. Оно равносильно уравнению

(Л2 - 2v2)e2ik + A(4v2 - Л2 - 1)eik + Л2 - 2v2 = 0.

Далее, подставив Л = 2 cos k, получаем

2 cos k(cos k + i sin k)(2v2 - 1) = 0,

то есть Л = 0 или V = ±—.

2

Пусть, в частности, |V| < 1 (что соответствует физическому смыслу V). Тогда все собственные значения А1 = 0, Л2,3 = ±2^ оператора Н2 (энергетические уровни квантовой точки) лежат на непрерывном спектре оператора Н1. При этом полное прохождение (Р+(А) = 1) и полное отражение (Р+(А) = 0) возможны лишь в случае, когда А совпадает с одним из собственных чисел оператора причем Р+(0) = 1, а Р+(±2г>) = 4^2(1 — V2)

( л/2 \

изменяется от 0 (при V = 0, ±1) до 1 |^при V = ^. Введем обозначение

х = V2, / (к, ж) = Р+ (к, ж) = Мк)|2 = |^1(0)|2

(см. формулу (14)). Здесь допускаем, что параметр V может быть чисто мнимым и принимать значения равные нулю (это не противоречит физическому смыслу параметра V). Функцию а+(к) рассматриваем как функцию аргументов к, х.

С физической точки зрения, минимум величины Р+(Л) в точке Л = 0 вызван интерференцией в симметричной системе. Пара локальных экстремумов (максимум вместе с минимумом) порождаются взаимодействием связанных электронных состояний в «ромбе» (которые описываются собственными векторами матрицы Н2) с рассеивающимися состояниями (описываемыми «обобщенными» собственными функциями оператора Н1 вида е±гкга). А именно, вероятность прохождения достигает единицы в точке Л, определяемой

резонансом с ненулевой мнимой частью (см. теорему 2), когда V2 = —. Вероятность прохождения равна нулю, если резонанс Л = 0. Данное явление называется резонансом Фано (см. [16]). Изучение резонанса Фано в твердых телах является востребованным в наши дни. Применение данного физического явления позволяет, например, повысить эффективность оптических датчиков, лазеров или разработать совершенно новые оптические устройства для передачи и хранения данных с лучшими параметрами по сравнению с обычными приборами. С одним из последних физических исследований по этой теме можно познакомиться в работе [17].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ashida Yuto, Gong Zongping, Ueda Masahito. Non-Hermitian physics // Advances in Physics. 2020. Vol. 69. Issue 3. P. 249-435. https://doi.org/10.1080/00018732.2021.1876991

2. Okuma Nobuyuki, Sato Masatoshi. Non-Hermitian topological phenomena: a review // Annual Review of Condensed Matter Physics. 2023. Vol. 14. P. 83-107.

https://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-040521-033133

3. Bergholtz E. J., Budich J. C., Kunst F. K. Exceptional topology of non-Hermitian systems // Reviews of Modern Physics. 2021. Vol. 93. Issue 1. 015005. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.015005

4. Lin Rijia, Tai Tommy, Li Linhu, Lee Ching Hua. Topological non-Hermitian skin effect // Frontiers of Physics. 2023. Vol. 18. Issue 5. Article number: 53605. https://doi.org/10.1007/s11467-023-1309-z

5. von Oppen F., Peng Yang, Pientka F. Topological superconducting phases in one dimension // Topological aspects of condensed matter physics. Oxford: Oxford University Press, 2017. P. 387-450. https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198785781.003.0009

6. Baranova L.Y., Chuburin Y. P. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrodinger operator with a perturbed periodic potential // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. Vol. 41. No. 43. 435205. https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/43/435205

7. Чубурин Ю. П. Об одном дискретном операторе Шрёдингера на графе // Теоретическая и математическая физика. 2010. Т. 165. № 1. С. 119-133. https://doi.org/10.4213/tmf6566

8. Dey Moumita, Maiti S.K., Karmakar S.N. Spin transport through a quantum network: Effects of Rashba spin-orbit interaction and Aharonov-Bohm flux // Journal of Applied Physics. 2011. Vol. 109. Issue 2. 024304. https://doi.org/10.1063/1.3532002

9. Chuburin Yu. P., Tinyukova T. S. Spectral properties and non-Hermitian skin effect in the Hatano-Nel-son model // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2024. Т. 34. Вып. 2. С. 286-298. https://doi.org/10.35634/vm240207

10. Chuburin Yu. P., Tinyukova T. S. Zero-energy states in the Kitaev finite and semi-infinite model // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. 2023. Vol. 146. 115528. https://doi.org/10.1016/j.physe.2022.115528

11. Чубурин Ю. П., Тинюкова Т. С. Собственные значения и собственные функции возмущенного неэрмитового гамильтониана SSH с PT-симметрией // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2023. Т. 62. С. 87-95. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2023-62-07

12. Chuburin Yu. P., Tinyukova T. S. The emergence of bound states in a superconducting gap at the topological insulator edge // Physics Letters A. 2020. Vol. 384. Issue 27. 126694. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2020.126694

13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.

14. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

15. Тинюкова Т. С. Рассеяние в случае дискретного оператора Шрёдингера для пересекающихся квантовых проволок // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 74-84. https://www.mathnet.ru/rus/vuu338

16. Miroshnichenko A. E., Flach S., Kivshar Yu. S. Fano resonances in nanoscale structures // Reviews of Modern Physics. 2010. Vol. 82. Issue 3. P. 2257-2296. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.82.2257

17. Lv Y.-N., Liu A.-W., Tan Y., Hu C.-L., Hua T.-P., Zou X.-B., Sun Y. R., Zou C.-L., Guo G.-C., Hu S.-M. Fano-like resonance due to interference with distant transitions // Physical Review Letters. 2022. Vol. 129. Issue 16. 163201. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.129.163201

Поступила в редакцию 01.10.2024

Принята к публикации 02.11.2024

Коробейникова Наталья Ивановна, к. ф.-м. н., Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: [email protected]

Цитирование: Н. И. Коробейникова. Об одном дискретном уравнении Шрёдингера для квантовой точки с нелокальным потенциалом // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2024. Т. 64. С. 48-59.

N.I. Korobeinikova

On a discrete Schrödinger equation for a quantum dot with a nonlocal potential

Keywords: discrete Schrödinger operator, resonance, eigenvalue, discrete Lippmann-Schwinger equation, Fano resonance.

MSC2020: 81Q10, 81Q15

DOI: 10.35634/2226-3594-2024-64-04

The paper considers the discrete Schrodinger equation. This is the characteristic equation for a Schrodinger operator of a certain type. It corresponds to a mathematical model that describes nanoscale devices that regulate electron transport using, for example, the Aharonov-Bohm effect. We study the general spectral properties of the operator, find eigenvalues and resonances, and investigate the scattering problem. In particular, conditions for complete transmission (i. e., transmission with probability equal to one) are found, and the possibility of Fano resonance is indicated.

REFERENCES

1. Ashida Yuto, Gong Zongping, Ueda Masahito. Non-Hermitian physics, Advances in Physics, 2020, vol. 69, issue 3, pp. 249-435. https://doi.org/10.1080/00018732.2021.1876991

2. Okuma Nobuyuki, Sato Masatoshi. Non-Hermitian topological phenomena: a review, Annual Review of Condensed Matter Physics, 2023, vol. 14, pp. 83-107. https://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-040521-033133

3. Bergholtz E.J., Budich J. C., Kunst F.K. Exceptional topology of non-Hermitian systems, Reviews of Modern Physics, 2021, vol. 93, issue 1, 015005. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.015005

4. Lin Rijia, Tai Tommy, Li Linhu, Lee Ching Hua. Topological non-Hermitian skin effect, Frontiers of Physics, 2023, vol. 18, issue 5, article number: 53605. https://doi.org/10.1007/s11467-023-1309-z

5. von Oppen F., Peng Yang, Pientka F. Topological superconducting phases in one dimension, Topological aspects of condensed matter physics, Oxford: Oxford University Press, 2017, pp. 387-450. https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198785781.003.0009

6. Baranova L. Y., Chuburin Y. P. Quasi-levels of the two-particle discrete Schrodinger operator with a perturbed periodic potential, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2008, vol. 41, no. 43, 435205. https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/43/435205

7. Chuburin Yu. P. A discrete Schrodinger operator on a graph, Theoretical and Mathematical Physics, 2010, vol. 165, issue 1, pp. 1335-1347. https://doi.org/10.1007/s11232-010-0112-5

8. Dey Moumita, Maiti S.K., Karmakar S.N. Spin transport through a quantum network: Effects of Rashba spin-orbit interaction and Aharonov-Bohm flux, Journal of Applied Physics, 2011, vol. 109, issue 2, 024304. https://doi.org/10.1063/L3532002

9. Chuburin Yu. P., Tinyukova T. S. Spectral properties and non-Hermitian skin effect in the Hatano-Nelson model, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp 'yuternye Nauki, 2024, vol. 34, issue 2, pp. 286-298. https://doi.org/10.35634/vm240207

10. Chuburin Yu. P., Tinyukova T. S. Zero-energy states in the Kitaev finite and semi-infinite model, Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 2023, vol. 146, 115528. https://doi.org/10.1016/j.physe.2022.115528

11. Tinyukova T. S., Chuburin Yu. P. Eigenvalues and eigenfunctions of the perturbed non-Hermitian SSH Hamiltonian with PT symmetry, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Go-sudarstvennogo Universiteta, 2023, vol. 62, pp. 87-95 (in Russian). https://doi.org/10.35634/2226-3594-2023-62-07

12. Chuburin Yu. P., Tinyukova T. S. The emergence of bound states in a superconducting gap at the topological insulator edge, Physics Letters A, 2020, vol. 384, issue 27, 126694. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2020.126694

13. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. 1. Functional analysis, New York: Academic Press, 1978.

14. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. 4. Analysis of operators, New York: Academic Press, 1978. https://zbmath.org/0401.47001

15. Tinyukova T. S. Scattering in the case of the discrete Schrodinger operator for intersected quantum wires, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2012, issue 3, pp. 74-84 (in Russian). https://www.mathnet.ru/eng/vuu338

16. Miroshnichenko A. E., Flach S., Kivshar Yu. S. Fano resonances in nanoscale structures, Reviews of Modern Physics, 2010, vol. 82, issue 3, pp. 2257-2296. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.82.2257

17. Lv Y.-N., Liu A.-W., Tan Y., Hu C.-L., Hua T.-P., Zou X.-B., Sun Y.R., Zou C.-L., Guo G.-C., Hu S.-M. Fano-like resonance due to interference with distant transitions, Physical Review Letters, 2022, vol. 129, issue 16, 163201. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.129.163201

Received 01.10.2024 Accepted 02.11.2024

Natal'ya Ivanovna Korobeinikova, Candidate of Physics and Mathematics, Udmurt State University,

ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia.

E-mail: [email protected]

Citation: N. I. Korobeinikova. On a discrete Schrodinger equation for a quantum dot with a nonlocal

potential, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2024,

vol. 64, pp. 48-59.