Научная статья на тему 'Об одном дискретном аналоге полунепрерывности по Хаусдорфу лексикографического отображения в векторной булевой задаче минимизации модулей линейных функций'

Об одном дискретном аналоге полунепрерывности по Хаусдорфу лексикографического отображения в векторной булевой задаче минимизации модулей линейных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
88
15
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гуревский Евгений Евгеньевич, Емеличев Владимир Алексеевич

Для векторной булевой задачи последовательной минимизации модулей линейных функций выявлены все случаи устойчивости. Основным результатом работы является критерий устойчивости нетривиальных задач.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гуревский Евгений Евгеньевич, Емеличев Владимир Алексеевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

A criterion of stability for the vector nontrivial boolean lexicographic problem of minimizing absolute value of linear functions is obtained.

Текст научной работы на тему «Об одном дискретном аналоге полунепрерывности по Хаусдорфу лексикографического отображения в векторной булевой задаче минимизации модулей линейных функций»

Выводы

В заключение можно сказать, что приведенные здесь основные принципы корреляционно-спектрального анализа нисколько не означают отказа от существующих методов анализа и расчета, а лишь дополняют и уточняют их.

Метод корреляционно-спектрального анализа в исследованиях нагруженности механизмов позволяет выявить величину колебаний и их частоту с целью их снижения, что в итоге увеличивает надежность механизмов.

Литература

1. Бидерман, В. Л. Теория механических колебаний / В. Л. Бидерман. - М. : Высшая школа, 1980.

2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. - М. : УРСС, 2002.

3. Гриценок, П. А. Разработка и обоснование технических средств, повышающих производительность и надежность фрезерных машин, взаимодействующих с закустаренными почвами : дис. ... канд. техн. н. : 05.20.01 / П. А. Гриценок. - Горки, БСХА, 1985.

4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н. Ш. Кремер. - М. : ЮНИТИ, 2004. - 573 с.

Summary

Using the methods of statistical dynamics, particularly correlation spectral analysis, we can receive full structural description of any occasional stationary machine loading process.

Поступила в редакцию 14.06.07

УДК 519.8

Е. Е. Гуревский, В. А. Емеличев

ОБ ОДНОМ ДИСКРЕТНОМ АНАЛОГЕ ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТИ ПО ХАУСДОРФУ ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ В ВЕКТОРНОЙ БУЛЕВОЙ ЗАДАЧЕ МИНИМИЗАЦИИ МОДУЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Введение

В работе [1] получено необходимое и достаточное условие устойчивости векторной лексикографической задачи целочисленного линейного программирования. В данной статье этот результат распространяется на лексикографическую булеву задачу минимизации абсолютных уклонений от нуля линейных функций. Выявлены все случаи устойчивости этой задачи.

Пусть m - число критериев, n - число булевых переменных, x =(x1, x2,..., xn )T e X с En =

= {0,1}n, | X |> 2, Ct - i -я строка матрицы C = [cl} ]mxn e Rmxn, m > 1, n > 2, i e Nm =

= {1,2,..., m}. Пусть на множестве решений X задана векторная функция, состоящая из модулей линейных функций:

f ( х, C ) = (|С x|,|C2x|, K,|CmX|).

В критериальном пространстве Rm введем бинарное отношение лексикографического порядка Р между различными векторами y = (y y ...,ym) и y' = (y' y' ...,y'm), полагая, что

y p y'^yk < y'k,

где k = min{i e Nm : yt ф y'.}.

Под лексикографической булевой задачей оптимизации

Zm (C) :lex min {f (x, C): x e X}, m > 1

будем понимать задачу поиска множества лексикографических оптимумов [1], которое задается формулой:

Lm (C) = {x e X : " x ' e X (f (x ', C) p f (x, C))}, где Р - отрицание лексикографического отношения Р .

Очевидно следующее:

Свойство 1. Для любък двух решений x, x' e L (C) справедливо равенство f (x, C) = f (x', C). Поэтому множество векторных лексикографических оценок

f (Lm (C)) = {у e Rm : у = f (x, C), x e Lm (C)}

всегда состоит из одного вектора.

Очевидно, что векторная функция f (x, C) характеризует меру несовместности (абсолютных уклонений) следующей системы линейных булевых уравнений:

Cx = 0T ,, x e X, (1)

(m)> ' v '

где 0( ) = (0,0,...,0) e Rm. Легко видеть, что эта система совместна тогда и только тогда,

(m)

когда f (L (C)) = {0( )}. Кроме того, нетрудно понять, что частным случаем однородной системы

( m )

(1) может быть неоднородная система вида

T

Ax + b = 0( ), x e X, (m )> '

_1 . _mx( n-1) , . t -.T nm

где X с E , A e R , b = (b1, b2, к, bm) e R .

Известно (см., например, [2], [3]), что множество L (C), являясь подмножеством множества Парето, может быть определено как результат решения последовательности m скалярных задач:

Lm (C) = Argmin {| Cx |: x e L- (C)}, i e Nm, (2)

где Lm0(C ) = X.

Таким образом, имеем последовательность множеств

X 3 Lm (C) 3 Lm2 (C) 3 к 3 Lmm (C) = Lm (C). (3)

Результаты исследования и их обсуждение

Будем исследовать устойчивость задачи Zm (C) к независимым возмущениям параметров

k

векторного критерия f (x, C), т. е. элементов матрицы C. Для этого в пространстве R

произвольной размерности k e N зададим метрику l¥, т. е. под нормой вектора

k

z = (z1, z2, к, zk) e R будем понимать число

11 z ||= max 1 zj L

jeNk

а под нормой матрицы - норму вектора, составленного из всех ее элементов.

Как обычно [1], [4-6], задачу Zm(C) назовем устойчивой (в терминологии [7] T3 -устойчивой), если

X := {e > 0 : " C e W(e) (iT (C + C) с (C))} Ф 0,

где

W(e) = {C e Rmx" :|| C ||< e}.

Тем самым, устойчивость задачи Zm(C) является дискретным аналогом свойства полунепрерывности сверху по Хаусдорфу в точке C многозначного оптимального отображения

m mxn X

L : R —> 2 ,

mm

которое каждой матрице C ставит в соответствие множество L (C). Задачу Z (C + C') будем называть возмущенной, а матрицу C' e W(e) - возмущающей.

Понятно, что при выполнении равенства Ь (С) = X задача 2 (С) устойчива. В дальнейшем этот случай будем исключать из рассмотрения, а задачу 2™(С), для которой

т т

множество Ь (С) := X \ Ь (С) непусто, называть нетривиальной.

Отметим, что в [6] были получены нижняя и верхняя оценки радиуса устойчивости векторной булевой задачи с паретовским принципом оптимальности и частными критериями

вида | Л.х + Ь. |.

Следующее свойство очевидно.

Свойство 2. При 0^) е X решение х принадлежит множеству Ь (С) тогда и только тогда, когда существует такой индекс к е Ыт, что | Скх |> 0.

Теорема 1. Если 0^) е X, то нетривиальная задача 2™ (С), т > 1 устойчива при любой

тхп

матрице С е К .

Доказательство. При выполнении условий теоремы 1, согласно свойству 2, выполняется формула

" х е Ь™ (С) 3 к е Мт (| Скх | > 0).

Тогда существует такое число е(х) > 0, что для любой возмущающей матрицы С' е е(х)) справедливо неравенство

|(Ск + Ск) х|>0,

где Ск - к -я строка матрицы С'. Поэтому, вновь учитывая свойство 2, заключаем, что

х е Ь™ (С + С') при С' е й(е(х)). Резюмируя, получаем

" С' е й(е ) (Ь™ (С) с Ь™ (С + С')),

где е = шт{е(х): х е Ь (С)}. Тем самым, имеем

3е* > 0 " С ей (е*) (Ь™ (С) з Ь™ (С + С')),

и поэтому задача 2™(С) устойчива. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Если 0^) £ X, то нетривиальная задача 2™ (С), т > 1 устойчива в том и только в том случае, когда

т т

Ь (С) = Ь (С). (4)

т т

Доказательство. Необходимость докажем методом от противного. Пусть Ь (С) Ф Ь1 (С)

т т т т

при условии, что задача 2 (С) устойчива. Тогда множество £ (С) := Ь1 (С) п Ь (С) непусто. Покажем, что справедлива следующая формула:

"е >0 3 С * ей (е) (I™ (С) п I™ (С + С *) = 0). (5)

0 т 0 Т

Пусть х е £ (С). Тогда х Ф 0(п) и

" х е Ь™ (С) (/ (х, С) р / (хС)).

Это вместе с х0 е (С) дает формулу

" x е Ь (С) 3 k = k (x) е Nm \{1} " i е Nk_1 (| С/ | = | С/ | & |Скх|<|Скх° |), которая, согласно свойству 1, может быть записана в виде

3 k е Nm \{1} " i е N^1 " х е Ь" (С) (| Сгх | = | С/ | & | Скх | < | Скх0 |). (6)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Отсюда следует, что Ск ф 0(п), т. е.

l|Сkl|>0. (7)

*

Пусть е >0. Займемся построением необходимой возмущающей матрицы С . В связи с (6) возможны два случая.

Случай 1. Для любого решения х е Ь (С) справедливы равенства

С х0 = С х = 0. (8)

Поскольку никакая пара различных ненулевых булевых векторов не является

\ п )

п 0 коллинеарной, то в R существует гиперплоскость H, проходящая через точки 0, , и х , но не

содержащая ни одной точки множества L (C). Поэтому вектор a = (ap a2,..., an) e R , || a ||=1, ортогональный к H, обладает свойством

" х e L1 (C) (0 = ax0 Ф ax). (9)

* mxn

Далее построим строки матрицы C e R по правилу

da, если i = 1, если i Ф 1,

^ (n)

где число 5 удовлетворяет неравенствам

0 < 5 < e.

*

Отсюда, учитывая равенство || a ||=1, выводим C eW(e). Кроме того, из (8) и (9) вытекает, что при любом решении х e L (C) выполняются соотношения

| (Cj + C*)х0 | = | 5ax° |= 0 <| 5ax | = | (C1 + C*) х |. (10)

Случай 2. Для любого решения х e L (C) справедливы соотношения

Cх°| = |С,х |> 0. (11)

* mxn

В этом случае возмущающую матрицу C e R определим по правилу:

* I 5C,, если i = 1,

c* = i k

' 0( ), если i Ф 1

I (п)'

(здесь и далее индекс k из (6)), а число 5 Ф 0 зададим так, чтобы выполнялись условия

|| 5Ck ||< e, (12)

если sign(Cjx°) Ф sign(Ckx°), sign 5 = i (13)

0 0 -1, если sign(Cjx ) = sign(Ckx ),

| c/ |

| 5 |< —1—0—. (14)

|qx |

Согласно (7), число, стоящее в левой части неравенства (12), положительно. Поэтому,

* *

принимая во внимание строение возмущающей матрицы C , имеем C eW (e). Кроме того, учитывая, что оба числа Cjx0 и Ckx° отличны от нуля (см. (6) и (11)), из (13) и (14) выводим

| Cx0 + 5Ckx0 | = | Cx0 | - | 5 | • | Ckx0 |.

*

Отсюда ввиду (6), (11) и строения матрицы C следует, что для любого решения x e L (C) справедливы соотношения

| (C + С*)x° | - | (C, + С*)x | = | Cjx° + 5Ckx0 | - | (C + С*)x | <

£ | C x0 | - | 5 | • | Ckx0 |-|C x| + |C* x|= - | 5 | • | Ckx0 | + |5|-|Ckx|<0,

которые вместе с (10) дают формулу

3 C

Поэтому имеем

3 C* e W(e) " x e Lm (C) (| (C + C*)x0 | <| (C + C*)x |).

Ь (С) п ¿¡(С + С ) = 0, и, как следствие, учитывая включение

т * т *

Ь™ (С + С ) с Ьт (С + С ),

справедливое в силу (3), заключаем, что верна формула (5). Это означает, что задача 2™(С) не является устойчивой. Полученное противоречие доказывает необходимость равенства (4).

Достаточность. Пусть выполняется равенство (4). Тогда никакое решение х е Ь (С) не может принадлежать множеству (С). Поэтому, согласно (2), (при I = 1) для любого решения х е Ь (С) справедливо неравенство

|Сх0 |<|С1 х |,

0 т п

если х е Ь (С). Отсюда в силу непрерывности функции С1х на множестве параметров С1 е Я существует такое число е = е(х) > 0, что для любой возмущающей матрицы С' е е) справедливо неравенство

|(С + С')х0 |<|(С + С')х |, (15)

т. е. решение х не является лексикографическим оптимумом возмущенных задач

тт

2 (С + С'), С' е й(е). Очевидно, что неравенство (15) верно при любом решении х е Ь (С),

*

если С' ей (е ), где

е = тш{е(х): х е Ь™ (С)}. Из приведенных рассуждений следует, что

3e* > 0 " C' e W(e*) (lT (C) с lT (C + C')),

и потому задача Zm (C) устойчива. Теорема 2 доказана.

Выводы

Поскольку при переходе к однокритериальному случаю (m = 1) равенство L (C) = Lx (C)

выполняется при любой строке C e R", то из теорем 1 и 2 вытекает

1 п Следствие. Скалярная задача Z (C) устойчива при любой строке C e R .

Литература

1. Емеличев, В. А. О регуляризации лексикографической векторной задачи целочисленного программирования / В. А. Емеличев, О. А. Янушкевич // Кибернетика и системный анализ. - 1999. - № 6. -С. 125-130.

2. Еремин, И. И. О задачах последовательного программирования / И. И. Еремин // Сибирский матем. журнал. - 1973. - Т. 14. - № 1. - С. 53-63.

3. Червак, Ю. Ю. Оптим1защя. Непокращуваний виб1р / Ю. Ю. Червак. - Ужгород : Ужгородський Нацюнальний ушверситет, 2002. - 312 с.

4. Stability and regularization of vector problems of integer linear programming / V. A. Emelichev [et al.] // Optimization. - 2002. - V. 51, № 4. - P. 645-676.

5. Емеличев, В. А. Об устойчивости векторной булевой задачи минимизации пороговых функций / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Весшк Мазырскага дзяржаунага педагапчнага ушверсггэта. - 2005. - № 1. -С. 6-10.

6. Гуревский, Е. Е. Об устойчивости векторной булевой задачи минимизации абсолютных уклонений от нуля линейных функций / Е. Е. Гуревский, В. А. Емеличев // Известия вузов. Математика. -2006. - № 12. - С. 27-32.

7. Сергиенко, И. В. Задачи дискретной оптимизации. Проблемы, методы решения, исследования / И. В. Сергиенко, В. П. Шило. - Киев : Наук. думка, 2003. - 261 с.

Summary

A criterion of stability for the vector nontrivial boolean lexicographic problem of minimizing absolute value of linear functions is obtained.

Поступила в редакцию 02.03.07

УДК 519.8

В. А. Емеличев, А. А. Платонов

О РАДИУСЕ КВАЗИУСТОЙЧИВОСТИ ВЕКТОРНОЙ ЗАДАЧИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ПРИНЦИПОМ ОПТИМАЛЬНОСТИ В МЕТРИКЕ ГЁЛЬДЕРА

Введение

В статье рассматривается векторная задача целочисленного линейного программирования, принцип оптимальности которой задается способом разбиения частных критериев на группы так, что внутри каждой группы действует паретовский принцип оптимальности, а между группами - лексикографический. Исследуется квазиустойчивость задачи, т. е. дискретный аналог свойства полунепрерывности снизу по Хаусдорфу многозначного отображения, задающего функцию выбора. Получена формула радиуса квазиустойчивости задачи

в случае нормы I р ,1 < р < ¥, заданной в пространстве параметров векторного критерия. Ранее

подобные формулы были выведены лишь для комбинаторных (булевых) задач с разнообразными

видами параметризации принципов оптимальности в случаях метрик 11 и 1¥ [1-4], а также для

некоторых задач теории игр [5-8].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.