CC BY
14
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИМЕЮЩИЕ ПРИЛОЖЕНИИ В ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
Абдуразаков Абдужаббор
канд. физ.-мат. наук, Ферганский политехнический институт, Республика Узбекистан, г. Фергана
Махмудова Насиба Абдужаббаровна
ст. преподаватель, Ферганский политехнический институт, Республика Узбекистан, г. Фергана
Мирзамахмудова Нилуфар Таджибаевна
ст. преподаватель, Ферганский политехнический институт, Республика Узбекистан, г. Фергана E-mail: mirzamaxmudova@mail.ru
INVESTIGATION OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR DEGENERATE EQUATIONS OF PARABOLIC TYPE WITH GAS FILTRATION
Abdujabbor Abdurazakov
Candidate of Physics Sciences, Associate Professor, Ferghana Polytechnic Institute, Uzbekistan, Ferghana
Nasiba Makhmudova
Senior Lecturer, Ferghana Polytechnic Institute, Uzbekistan, Ferghana
Nilufar Mirzamakhmudova
Senior Lecturer, Ferghana Polytechnic Institute, Uzbekistan, Ferghana
АННОТАЦИЯ
В данной статье рассматривается краевая задача для вырождающихся на границе области параболических уравнений имеющие приложения гидродинамических невзаимосвязанных пластов. Предложен численный метод решения, доказана сходимость метода.
ABSTRACT
In this article, we consider a boundary value problem for parabolic equations degenerating on the boundary of the region and having applications of hydro dynamically non-interconnected layers. A numerical solution method is proposed, and the convergence of the method is proved.
Ключевые слова: уравнения параболического типа, вырождающиеся уравнения параболического типа, метод прямых, дифференциальные прогонки, сходимость.
Keywords: equations of parabolic type, degenerate equations of parabolic type, method of straight lines, differential sweeps, convergence.
Библиографическое описание: Абдуразаков А., Мирзамахмудова Н.Т., Махмудова Н.А. ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ИМЕЮЩИЕ ПРИЛОЖЕНИИ В ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2022. 5(98). URL: https://7universum. com/ru/tech/archive/item/13579
Проблема исследования нестационарных фильтраций, которые сводятся к рассмотрению краевых задач, описывающих соответствующими условиями теории фильтрации в много связанных областях с неоднородными граничными условиями [1].
Рассмотрим применение метода прямых для решения задачи фильтрации в трехслойном пласте, средний пласт хорошо проницаемыми, два соседние пласты слабопроницаемыми.
При известном начальном распределения поля
давления {и (х, г), щ (х, г, г)} I = 1,2 и в заданном
режиме разработки месторождения изучаемого физического процесса математически формулируется в виде систем параболических уравнений со специальными краевыми условиями. Если проницаемость или мощность хотя бы одного обращаемые в нуль на границе пластов, то система уравнений описывающих уравнений вырождается на границе области.
Движение в таком слоистом пласте будет описываться следующей системой уравнений в частных производных.
(
dz
ki ( z ) hi ( z ) dpi
Л
м( Pi)z (Pi)Pl dz
k(x)H(x) dp
dx P)z (P) dx
= h ( x ) — iV 'dt
d
= H ( x) —
v / я*
dt
Pim (Pi) z( Pi)
pm(P)k2 (z)P2 d_P1
z
v c
dz
k2 ( z ) h2 ( z ) dP
t*( P2) z (P2) P2 dz
= h, (x) — n 'dt
(P ) ) P2 ) z, (P2 ) dz
P2m (P2 ) z, (P2 )
ki (z) Pi dPi
=h (x
м(Pi ) zc (Pi ) dz
=h (x
( )
где к ( 2), к ( 2), к(х) -проницаемость нижнего, верхнего и продуктивного пластов, соответственно;
[л( р1) , ^ ( р2) , ^ ( р ) -вязкости соответствующих пластов, соответственно;
2с ( р1), 2с (р2), 2с (р ) -коэффициенты сверх сжимаемости пластов;
i d (
h ( x ) А (x ) ,H ( x ) -
мощность нижнего, верх-
него и продуктивного пластов, соответственно;
Предположим, что система уравнений (1) вырождается при
z = h, (x) и z = 0
Система уравнений (1) при некоторых предположениях приводится к следующему безразмерному виду
m (z) dz
—-I
m(x) dx'
k W^M (z, t,u i = i ,2
k (x ]= M (x, t, u + ]Г А. (x) kt (z) ^
i=i
(2)
z=i
в области £ {0 < х < 1,0 < г < 1,0 < г < Т} .
Для систем уравнений (2) с учетом целевой разработки является следующие начальные условия
и(х,0) = ф(х), щ (х,г,0) = ^.(х,2),I = 1,2 (3)
граничные условия выписываются в зависимости нулевой сходимости интервалов
(2) и , I = I2
( x )| "^о", ^ (x)| + ^)
f d" k (z)—"
1 U dz li1
- = 0
x=0
+ ^ = о
x=1
- J.. = о
lz
(4)
и (х, г) = и (х,1, г) I = 1,2
Если (0) = +да, а ^ (0) < тогда условия при, 2 = 0, заменяется условием
(^ ^ t)|z
(x, z, t )| <
(4)
<
где gi( z ) = f
dц
Щ
z ) = J
fm(4)dt
о_
Ш
-dц
Рассмотрим вспомогательную краевую задачу для систем вырождающихся обыкновенных дифференциальных уравнений в виде
1 d
du
2 ßu
Lu=тщ dx lk ( x ) f J=a ( x ) u+4 ( x )+S4( x ) k ( z ^
Lu = ■
1 d (
m ( z
( z )dz
du Л
k. (z)—1 1 = a. (z)u. + b (x,z) i = 1,2
, ! dz J ! 11
(5)
В области Q = {0 < x < 1,0 < z < l| с условиями в виде
k ( x ) — V Jdx
, / ^ du k ( x ) — dx
k ( x )—
v >
du dx
du dx
du dx
u(x) = u (x,l)
-a u - sn = 0
0 lx=0 0
+ a u + s = 0
1 lx=1 1
-a1iui- s1, =0
x=0
(6)
если g ( 0) = +0, ( ( 0)< +0 условие заменяется условиями |и ( x, z )| < œ
В предположении, что все входящие в уравнение известные функции непрерывны и а(х), а (г),к(х), т(х) > 0, а к (0) = 0, к (г) и
т (г) положительны при г > 0 , тогда существует
единственное решение задачи (5), (6) используя модифицированный вариант дифференциальной прогонки пресуще принцип максимума получим оценку [9].
{|u ; lu |}< M, i = 1,2
(7)
Здесь и всюду утверждение {и| ; |u |} < M означает \и\ < M, \и\ < M
если g (0) < , справедливо
M =
max <
max <
max
0< x<1
b ( x )
'( x )
;max
Q
i=1,2
bi (x,Z)
a0 a1 a1i
,max
0< x<1
a( z ) b ( x )
(x)
, если s = s2 = su = 0 bi (x,z)
; max
Q
i=1,2
a.
( z )
(8)
a^,ax,axi > 0
Пусть существует решение задачи (2)-(4) в QT
при условии достаточной гладкости(несильно завышенной гладкости) коэффициентов. Для нахождения
приближенных решений (2)-(4) покроем Qт прямыми
t = t,, j = 1,2,..N; N =
T
где 1 -шаг по времени.
Получим дифференциально разностную задачу
1 d
m ( z ) dz 1 d
du, Л
k, (x)^ = M(x,tj j)UHj + ¿4 wdu'
m. ( z
( z ) dz
ki(z)
dz
dujЛ , \uij-uj-1
"d" ,=M ( z, tj, uij-1 )—r-
dz
z=1
<
1=1
z=1
со следующими условиями
и] (0) = р( х), х е[0,1 ] ии (0 ) = ^ (х,г), (х 2
k (x )~т
k (x)
k (x)
du dx duj dx du,.
x=0
x=i
dz
Y0" lx=0 - s0 = 0
+ Yi "L=i + Si = 0
-Yi ''=0 - S ' = 0
z=0
" j (x) = ( X, i )
(10)
Допустим, что коэффициент задачи (9) - (10) вычислено при г = г^. Тогда все уравнении системы линейно, относительно {и, и ч} .
Решение задачи (10)- (12) будем искать в виде [9] к ( х = х ^ х ^
/ \ ^иг/ , ч ,4
к (2 '1к = а (2)и (x, 2)
с условиями
"j ( i) = -' Yi+a, (i )
Задачи (10)-(12) решаются последовательно от слоя к слою начиная при j = 1 , причем каждый раз имеется единственное решение, так как существует единственное решение соответствующее систем линейных уравнений , которые доказаны выше. Имеет место оценка,
{|Щ |, |и>>} < М , где М - константа зависимые
от входных функций.
а
(x ) =
" (x, i ) = " (x), 1 = i ,2
где а (х), (х), а (2), @ (х, 2) коэффициенты
прогонки, которые находят из систем дифференциальных уравнений
M (x, t ■, ", ,) ^ mLi''!+z А. (x а (i)
m
(x)-
а
(x)
k (x)
ß'j (x ) =
M (x,t',"'-i)
i
T
M (x,t',"'-i)
_i+£ А (x )ß( x, i)
1=i
m
(x)-
-- . x,t ., "
а ,.,. (x) = —--- m
у
T
(x)-
а
(x)
( z )
(x,z) = "'-im(x
T ki (z)
а'(x )ßj(x) k (x)
а'0) = Y0; ß'(0) =
a- (0) = Yi i; ß' (0 ) = i
Если ( 0 ) = 0 ,тогда решение Щ (х, 2) нужно построить по формуле [9]
"„ (x, z) = Vl'(z)
'
V.. '
( )
" (x)"fТЛК dt
где V (z) -решение задачи Коши
' = i, N
1 Я ( 5v Л V _
1 к ( z )-! |= M ( z, t}, uv_x) V, j = 1, N
ß (z) dz
Vj (0 )=1 к (z)
5z
5v.. _j
5z
= Yu
(11)
j = 1, N; i = 1,2
Существует единственное решение задачи (11) [9]
ßj ( ^ z ) =
V ( z )
Yj +jm (#)
Mi (ß, z, uj-1 )
Vj (t)
j = 1, N
Доказано, что интеграл J
дится абсолютно.
f ßj (x,i)
ki (m (#)
Примечание. Приближенное решение построен-
d£ схо- л/„Л
' ного методом прямых сходится со скоростью 0 ( Т )
к точному решению, где Т -шаг по времени.
Список литературы:
1. Абдуразаков А., Махмудова Н., Мирзамахмудова Н. Численное решение методом прямых интеграла дифференцирования уравнений, связанных с задачами фильтрации газа //Universum: технические науки. - 2020. -№. 7-1 (76). - С. 32-35.
2. Abdurazakov A., Makhmudova N., Mirzamakhmudova N. On one method for solving degenerating parabolic systems by the direct line method with an appendix in the theory of filration //European Journal of Research Development and Sustainability (EJRDS). - 2021. - Т. 2.
3. Абдуразаков А., Махмудова Н., Мирзамахмудова Н. Решения многоточечной краевой задачи фильтрации газа в многослойных пластах с учетом релаксации //Universum: технические науки. - 2019. - №. 11-1 (68). -С. 6-8.
4. Abdurazakov A., Makhmudova N., Mirzamakhmudova N. The numerical solution by the method of direct integrals of differentiation of equations have an application in the gas filtration theorem. - 2020.
5. Qo'Ziyev, S.S., & Mamayusupov, J.S. (2021). UMUMIY O 'RTA TA'LIM MAKTABLARI UCHUN ELEKTRON DARSLIK YARATISHNING PEDAGOGIK SHARTLARI. Oriental renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences, 1(10), 447-453.
6. Kosimov, K., & Mamayusupov, J. (2019). Transitions melline integral of fractional integrodifferential operators. Scientific Bulletin of Namangan State University, 1(1), 12-15.
7. Abdurazaqov, A., & Mirzamahmudova, N.T. (2021). CONVERGENCE OF THE METHOD OF STRAIGHT LINES FOR SOLVING PARABOLIC EQUATIONS WITH APPLICATIONS OF HYDRODYNAMICALLY UNCONNECTED FORMATIONS. MINISTRY OF HIGHER AND SECONDARY SPECIAL EDUCATION OF THE REPUBLIC OF UZBEKISTAN NATIONAL UNIVERSITY OF UZBEKISTAN UZBEKISTAN ACADEMY OF SCIENCES VI ROMANOVSKIY INSTITUTE OF MATHEMATICS, 32.
8. Mirzamaxmudova, Nilufar Tadjibayevna OLIY TA'LIM MUASSASALARIDA "OLIY MATEMATIKA" FANINI O'QITISHNING AYRIM USLUBIY XUSUSIYATLARI // Nazariy va amaliy tadqiqotlar xalqaro jurnali. 2022. №1. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/oliy-ta-lim-muassasalarida-oliy-matematika-fanini-o-qitishning-ayrim-uslubiy-xususiyatlari (дата обращения: 10.03.2022).
9. Абдуразаков Абдужаббор, Махмудова Насиба Абдужаббаровна, Мирзамахмудова Нилуфар Таджибаевна ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА, ИМЕЮЩИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ НЕВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ПЛАСТАХ // Universum:
10. A. Abdurazakov, N. Mirzamahmudova, N. Maxmudova "IQTISOD" YO'NALISHI MUTAXASSISLARINI TAYYORLASHDA MATEMATIKA FANINI O'QITISH USLUBIYOTI // Scientific progress. 2021. №7. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/iqtisod-yo-nalishi-mutaxassislarini-tayyorlashda-matematika-fanini-o-qitish-uslubiyoti (дата обращения: 10.03.2022).
1
z
