Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами на двух параллельных линиях параболического вырождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517. 95

ОБ ОДНОМ АНАЛОГЕ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЯХ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ВЫРОЖДЕНИЯ

© 2010 г. З.В. Кудаева

Исследован аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами в области, содержащей две параллельные линии параболического вырождения. Доказана теорема существования и единственности данной задачи.

Ключевые слова: задача Трикоми, нелокальная краевая задача, уравнение смешанного типа.

In the paper the theorems of existence and uniqueness of solution for analog of Tricomi problem for mixed type equation with .singular coefficients set in domain containing two parallel lines of parabolic degeneration are proved.

Keywords: Tricomi problem, non-local boundary value problem, equation of mixed type.

Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН, ул. Шортанова, 89 А, г. Нальчик, КБР, 360000, niipma333@mail.com

Scientific Research Institute of Applied Mathematics and Automations of Kabardino-Balkar Scientific Center RAS, Shortanov St., 89 A, Nalchik, KBR, 360000, niipma333@mail. com

Рассмотрим уравнение в частных производных 2-го порядка

Ьи = ^{у^у - 1))мхс + Ыуу + р(хих + диу )+ ги = / (1)

в смешанной области О, ограниченной характеристиками АС: х + у = 1, 0 < х < 1/2; СА0 : х - у = 0, 0 < х < 12; В0Б: х + у = 2, 3/2 < х < 2; БВ: х-у = 2, 3/2 < х < 2; кусочно-гладкой кривой а0 с концами в точках А0 (0,0), В0(2,0), лежащей в полуплоскости у < 0, и кусочно-гладкой кривой а1 с концами в точках А(0,1), В(2,1), лежащей в полуплоскости у > 1; С(1/2,12), Б(3/2,1/2); 00 = О^ {(х, у): у < 0} = Оп|{(х, у): у > 1}, 02 = 0^{(х, у):0 < у < 1} (рисунок). р = р(х,у), ц = ц(у), г = г(х,у), / = /(х, у) - заданные функции.

( С, \B

\B0 ,

у c0 / x

V ^

(3)

Теорема. Пусть / (х, у) и р(х, у)е С(о), р(х,у)> 0; ц(у)= уН(-у) + (у-1)Н(у-1), кривые с0,с1 таковы, что хф > удх и хду >(у; г = г(х,у)е С1 (о) и удовлетворяет следующим условиям: г < 0 в О; г < 0 на АС ^ СА0; (хг^+((у-1)г)^ < 0 в О;

(хг)х +(уг)у <0 в 00; (хг)х <0 в 02; и = и(ху) -

квазирегулярное решение задачи 1. Тогда

2(Ьи, /и)0 >\\4-Йи \\0 + |(их2 + u2y)dxdy , (4)

о2

где м = -(Рг)х - (Тг)у, 1и = хих + Ц(у)иу ■

Для доказательства теоремы применим метод интегралов энергии. Рассмотрим выражение (Ьи, 1и) в

каждой из областей О , О и О 2 .

В области 01 после элементарных преобразований, применяя формулу Грина, получим 2(Ьи, /и)п1 =

= 2 Ц(ихх + иуу + р(хих + (у -1)иу ) + ги)(хих +(у -1)иу =

JJ[ + 2(у-1)их

Q1 dx d

^ 1xu 2 + 2(y-huxuy - xu2 + xru 2 |+

1

+ ^[-(y-1)их2 + 2xuuy + (y -l)uy2-(y-l)ru 2 ]+ + 2p(lu)2 -u2((xr)x + (у-1)Гу) ]dxdy =

= J[(xu2 + 2(у -lKuy - xu;2 + xru 2 )x„ +

9Q1

+ (- (y - 1)u2 + 2xuxuy + (y - 1)u2 - (y - 1)ru2)y„ ]ds + \2 ..2/

Область О

Аналогом задачи Трикоми для уравнения (1) называется следующая

Задача 1. В области о найти решение и = и(х,у) уравнения (1), которое непрерывно в замкнутой области О, имеет непрерывные всюду в о производные их, и , за исключением, быть может, характеристик, выходящих из точек С0 = (1,0), С1 = (1,1), удовлетворяет краевым условиям

и = 0, v (х, у)е с0 ^ с ^ В0Б ^ БВ . (2)

Вопрос о единственности квазирегулярного (по терминологии Проттера [1]) решения этой задачи при р(х, у) = 0 и определенных предположениях на г(х, у),с0,с1 исследовал !М. [2]. Задача Ди-

рихле для уравнения

^(у(у -1))ихх + иуу = 0

+ JJ[2p(lu)2 - u 2 (xr )х +((у-1)r)y ] dxdy,

Q1

где хп, _уп - направляющие косинусы углов внешней нормали к границе области 01 с осями Ох , Оу . Учитывая, что на с1 выполняются соотношения

их = ипхп , иу = ипуп , получим 2(Ь и, /и)а = - 12xuxuydx + 2г 3

Aß

+ iu2[xx3 + 2(у -1)x2y« - xy2x« - (у -1)x2у„ +

+ 2xx«y2 + (y -1) y«]ds + + JJ[-u 2((xr) x + (y-1) r) y + 2 p(lu)2]dxdy = ¡1 +12 + /3

/j = - J2xuxuydx; /2 = J(xdy - (y - 1)dx)(u2 + u2);

Aß ст1

/3 = jj[- u 2[( xr) x + ((y - 1)r) y ] + 2 p(lu)2 ] dxdy .

в специальной смешанной области, гиперболическая часть которой совпадает с прямоугольной областью 0 < х, у < 1, рассмотрена в [3].

Пусть (-,-)0 и ||-|| - скалярное произведение и

норма в пространстве Ь2 (о) ; Н (у) - функция Хеви-сайда.

В области Q0 выполняются соотношения: 2(Lu, lu) q0 =

= 2 JJ(uxx + uyy + p(xux + yuy ) + ru)(xux + yuy )dxdy =

Qo

d

= JJ^"^(xu2 + 2yuxuy - xu2 + xru 2) +

Qn öx

Q

Q

Q

+ 1Т ("У"2 + 2xuxuy + yu2 + yru 2) +

dy у у

+ 2p(lu)2 — (xr)хu2 " (yr) u2]dxdy =

У

= J [ (xuX + 2yuxuy — xu2 + xru 2)xn +

SQ0

+ (" yu2 + 2xuxuy + yuy + yru 2) yn ]ds +

+ J[2p(lu)2 "u2((xr)x + (yr)y )]dxdy = I4 +15 +16 ,

QQ

I4 = J 2xuxuydx ; 15 = J (xdy — ydx)(u2 + uj;) ;

BqAQ oQ

1б = J[2p(lu)2 — u2((xr)x + (yr)y )]dxdy .

Q,

В области Q2 выполняются соотношения:

2(Lu, Iu)q = 2 JJ (—uxx + u.^ + pxux + ru) xuxdxdy =

q2

= ff[—(—xu 2 — xu 2 + xru 2) + — (2xuru., ) +

QJ[ sxv x y ) syV x y )

s , 2 2 , s

+ u2 + u 2 + 2 p(lu)2 — (xr )x u 2]dxdy =

+ JJ (—u 2 (xr ) x + ((yr ) y )dxdy +

Qq

+ JJ (—u 2(xr ) xdxdy + JJ u + u2 )drdy .

Поскольку f =

Следовательно, 2(Lu,lu)0 >| ^ - /u ||0 + J (ux + uy )dQ0 .

q2

Теорема доказана.

(xr)x + (y)y, y < 0, (xr) x, 0 < y < 1,

(xr)x +((y - 1)r)y, y > 1 и л < 0, то при Lu = 0 из (4) следует, что ux= 0 uy= 0 в Q2 . Отсюда в силу (2) получаем, что и = 0 в Q .

Из единственности решения и = u(x, y) задачи Дирихле для эллиптического уравнения uxx + uyy + (xux + quy )p + ru = 0, r < 0 в областях Q0

и Q1 с граничными условиями а0 ^ A0B0 и ^ AB заключаем, что u(x, y)= 0 и в областях Q0, Q1.

Пусть = inf[-(xu)x - (qr) y ]. Тогда из (4) получим

= i[( — xu2 — xu2 + xru )^ + 2xuxuyyn]ds + 2(Lu,lu)0 ^M2 + |(ux2 + u2)dxdy .

(5)

+ JJ[u2 + u2 + 2 p(lu)2 — (xr) xu ^dxdy = Z I j

j=7

17 = JУxuxuyd2 ; I8 = J— Уxu2uyd2 ;

BA AqBQ

19 = Jx(—xnux2 —xnu;2 + 2ynuxuy + xrxnu2)ds ;

AC иСАз

110 = Ju2 ^n(—x2 + y2)ds ;

BqDuDB

111 = JJ[u2 + u2 + 2p(lu)2 — (xr)^^dxdy .

Итак, 2(Lu, Iu)q = 2 £ (Lu, lu)Q = £ ^ . I + I7 = 0 ;

14 +18 = 0 ; I10 = 0 ; 12 > 0, так как xdy — (y — 1)dx > 0 на о-! ; I3 > JJ(—u 2(xr)x + ((y — 1)r)y )dxdy > 0, так как

Отметим, что в [2] в формулировке основной теоремы единственности отсутствует условие r < 0 в Q+ .

Оценка (5) позволяет, как и в случае задачи Трикоми для уравнения с оператором Чаплыгина в главной части [4, с. 159], доказать существование слабого решения задачи 1. В этом случае граничные данные задаются на кривых о0 ,ог и АС ,СА0.

Пусть u(x,y)— решение задачи 1 в случае уравнения (3), которое получается из (1) при p = r = f = 0, т0 (x) = u(x,0), v0 (x) = uy (x,0) , T1(x) = u(x,1), v1 (x) = uy (x,1).

Тогда, пользуясь теоремой о среднем значении для одномерного волнового уравнения [5, с. 165] uxx — uyy = 0 и

формулами [5, с. 163]:

u(x, y ) =

Ч(x + у )+ro(x — y)

2

x+y

p > 0, (xr)x + ((y — 1)r)y < 0 в q1 ; I5 > 0, так как + 2 Jvo(t)dí, 0 <У <

(6)

xdy — ydx > 0 на о0 ; I6 > JJ(—u 2(xr)x + (yr)y )dxdy > 0

так как p > 0, (xr ) x + (yr ) y < 0 в q 0 ; I9 > 0, так как

x—y

,(x, y)=41 (x + У — 1)+ч1(x — У + 1) +

—xn > 0,

~xn Уп Уп — xn

= x22 — y2 = 0 на характеристиче-

2

1 x+у—1 / \ 1

+1 J^1 (t)dt, 1 < y < 1,

2 x—y+1 2

ских сегментах АС и СЛ0 уравнения (1) и, значит, квадратичная форма, стоящая под знаком интеграла, не отрицательна; х > 0 и хгхп > 0 на АС ^ СА;

> Ц (иХ + и2 > 0, так как р > 0; -(хг)х < 0 в 0.2 .

Таким образом, получим 2(Ьи, 1и)0 > > 1Ъ + /6 + 1и > Л (-и 2 (хг) х + ((У - 1)г) у )dxdy +

можно доказать, что

/

Ч (x)—v0 (x) = 2 Ч (x + 1)Я (1 — x), т[ (x) + v1 (x) = 2т/ (x + 1)H (1 — x).

(7)

(8)

Формула (6) используется, если точка (х, у) принадлежит треугольникам Л0СС0 и С0ОБ0, (7) -А СС1 и С1ББ.

Выраженное системой (8) фундаментальное соотношение между т0,т1,^0,^1 позволяет реализо-

Q

Q

2

2

2

Q

2

Q

Q

0

вать метод интегральных уравнении решения краевой задачи и \ао = < , и |СТ1 = <, и \Bon.jDB = 0 для уравнения (3). Здесь <р0 и < - заданные достаточно гладкие функции.

Литература

1. Protter M.H. Uniqueness theorems for the Tricomi problem // Rational Mech. and Analysis. 1953. Part 1, 2. Р. 107-114.

2. Rassias J.M. Extended Bitsadze-Lavrent'ev problem with two parabolic lines of degeneracy and two elliptic arcs in

euclidean plane // Comptes rendys de l'Academie bulgare des Sci : докл. Болгарской академии наук. 1985. Т. 38, № 1. С. 31-34.

3. Кудаева З.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями параболического вырождения // Докл. Адыгской (Черкесской) меж-дунар. академии наук. 2007. Т. 9, № 2. С. 39-43.

4. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М., 2006. 287 с.

5. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М., 1995. 301 с.

Поступила в редакцию

20 марта 2009 г.