CC BY
30
Об обучении математике в России с IX по XIX вв. Mathematics Teaching in Russia from the Ninth to the Nineteenth Centuries
Стоянов Никита Эдуардович
Аспирант
Российский Университет Транспорта (МИИТ)
г. Москва e-mail:ferrum 0k@yandex. ru
Stoianov Nikita Eduardovich
Russian University of Transport Moscow
e-mail:ferrum 0k@yandex. ru
Научный руководитель Тарасова Валентина Николаевна
Доктор исторических наук, профессор Российский Университет Транспорта (МИИТ)
г. Москва e-mail:tarasovavn@mail.ru
Scientific adviser Tarasova Valentina Nikolaevna
Doctor of Historical Sciences, Professor, professor Russian University of Transport Moscow
e-mail:tarasovavn@mail.ru
Аннотация.
Распространение математической грамотности на Руси шло по пути создания собственной системы счета и мер в коммерции, землемерии, военном деле, архитектуре, ремесле и технических средств обучения математике и объяснялось отсутствием научных связей с Востоком и Западом в XI-XIV в. С развитием внутренней налоговой системы и международной торговли в XV-XVI вв отечественные технические средства счета были усовершенствованы для придания скорости и мобильности. Начиная с конца XVII века особое внимание математическому образованию уделялось при подготовке военных и гражданских инженеров.
Annotation.
Spreading of mathematical literacy in Russia went along the way of creating its own system of counting and measures in commerce, surveying, military science, architecture, crafts and technical means of teaching mathematics and was explained by the absence of scientific relations with the East and West in the XI-XIV centuries. With the development of domestic tax system and international trade in XV-XVI centuries domestic technical means of counting were improved to give speed and mobility. Since the end of the 17th century, special attention was paid to mathematical education in the training of military and civil engineers.
Ключевые слова: математическая грамотность, арифметические действия, система счета и мер, вычислительные средства.
Key words: mathematical literacy, arithmetic operations, system of counting and measures, computing tools.
В Древней Руси обучение математике определялось практической целесообразностью и основывалось на системе счёта и мер, а также десятичной алфавитной нумерации, сходной с византийской путем применения букв славянского алфавита в качестве цифр, а также в виде засечек, групп точек и др. [1, 2].
В документах дохристианского периода использовалась запись цифр в византийской нумерации. До XIII в. в берестяных грамотах Новгорода числа записывались словами, в XIII-XIV вв. - в 27-знаковой алфавитной системе. В качестве алфавита для записи цифр использовался греческий алфавит. Для записи больших чисел (свыше тысячи) к знакам приписывались особые пометки. Например, знак обводили пунктирным или сплошным кружком, помечали его крестиком с одной из сторон. В рамках бытовых операций проводились как
целочисленные, так и дробные вычисления с использованием базовых арифметических действий [3]. Арифметические операции использовались также для сложных календарных и астрономических расчётов. В «Учении о числах» Кирика Новгородца XII в. применялись математические операции над большими числами. Так, Кириком было математически рассчитано количество часов, прошедших от сотворения мира до 1136г. (29,1млн час.) [4].
Основой измерений в Древней Руси служили расстояния между различными точками человеческого тела, в том числе малая пядь (19 см - между раздвинутыми большим и указательным пальцами руки); большая пядь (22-23 см - между большим пальцем и мизинцем). Локоть равнялся расстоянию от локтя до кончиков пальцев, сажень - от ступни до конца вытянутой вверх руки (примерно 215 см) при росте человека 170 см. В Древней Руси использовали малую, мерную, прямую, косую, великую косую, морскую сажени, а также сажень без «чети». Некоторые сажени были связаны попарно, как сторона и диагональ квадрата. Например, у квадрата со стороною в мерную сажень (176,4 см) диагональ была равна великой косой сажени (249,4 см), а у квадрата со стороной в прямую сажень (152,7 см) диагональ была равна косой сажени (216 см). Лишь у сажени, равной 197,2 см, не было пары («чети»), и потому со временем она формулировалась как сажень без «чети».
В ходе строительства храмов сначала сооружали прямоугольник длиной в три сажени без «чети» и шириной в три мерных сажени. В центре пересечения диагоналей находился центр плана. До XVI-XVII вв. самые простые чертежи были обнаружены в единичных экземплярах на кирпичах для обжига, стенах построенных соборов. Практическая арифметика и измерение больших расстояний стали особенно необходимы при составлении писцовых и переписных книг XVI в. Однако меры больших (верста или поприще) и малых расстояний зафиксированы уже письменными памятниками XI-XII вв.
В XШ-XIV вв. из мер зерновых культур были известны кадь, которая равнялась двум половникам, или четырем четвертям, или восьми осьминам. В XШ-XIV вв. десятина и четверть использовались как меры поверхности. В XVI в. четверть (шесть пудов ржи) заменили кадь и половник. Стали применяться мелкие подразделения четверти - две осьмины, или четыре полуосьмины, или восемь четвериков, или шестнадцать получетвериков, или три трети, или шесть полтретей и т.п. [5].
Для осуществления арифметических действий были необходимы вычислительные средства. В XI-XII в. с помощью абака архаического типа (древнерусского калькулятора) записывались исходные и промежуточные данные на восковой дощечке. В конструкции абака числовые значения имели денежную форму выражения. Инструментами служили вычислительное «поле» — «цера» (дощечка для писания по воску) и счетные элементы (мешочек с вишневыми и сливовыми косточками, счетные жетоны, «писало (металлическая или костяная палочка). Числа откладывались косточками в уровнях, идущих параллельными рядами снизу вверх. Помимо элементарных арифметических действий производилось умножение на 10, деление на 10 удвоенного и утроенного числа, деление на 100 удвоенного числа [6]. Схема умножения в счете на линиях сводится к следующему: 96х66 = (90+6)х(60=6)= 6х6 + 90х6 + 6х60 + 90х60 = 36+540+360+5400 = 6336 [7].
В XV-XVI вв. применение оригинального «дощаного» счета было обусловлено системой налогообложения, в которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения - соха - делилась на части.
Технология была заимствована из Европы русскими купцами. Устройство для «дощаного» счета состояло из двух соединенных между собой ящичков, каждый из которых разделялся перегородкой на два отделения. Ящичек представлял собой рамку с укрепленными горизонтальными веревочками, на которые были нанизаны просверленные сливовые или вишневые косточки взамен горизонтальных линий счета. Наличие
четырех отделений позволяло откладывать на доске не только условие решаемой задачи, но и необходимые промежуточные расчеты [6].
С XVI в. на Руси были распространены рукописи, посвященные прикладным математическим и геометрическим вычислениям, прежде всего в военном деле. В «Уставе ратных, пушечных и других дел, касающихся до воинской науки» начала XVII в. в качестве меры веса медных и железных орудий и пищалей использовался «контарь», равный 2,5 пудам. В качестве меры веса для снарядов и пороха брался фунт, а в качестве меры длины для каменных строений (крепостные стены и фортификационные сооружения) и военных технических средств (лафеты к пушкам) - «ступень» и «ладонь» [8, стр. 85-89]. Особое внимание в документе уделялось геометрическим расчетам и приспособлениям для ведения меткой артиллерийской стрельбы. Для этого с помощью «кружала» (циркуля) предлагалось строить геометрические чертежи, помогавшие рассчитывать траекторию полета артиллерийских ядер [8, стр. 142 - 159].
Значительную роль преподавание математических наук получило в начале XVIII в. По возвращении Петра I из Европы была создана Школа математических и навигацких наук, целью которой стало обучение офицеров и инженеров для зарождавшегося русского флота. Арифметике, геометрии и тригонометрии обучали приглашенные иностранные преподаватели. Особое внимание уделялось практическому применению учащимися знаний [9, стр. 191 - 194]. В XVIII в. технические учебные заведения оснащались для обучения циркулями с рисовальными перьями (простыми и трехножными), транспортирами, приспособлениями для землемерных работ, астролябиями и компасами [10, книга 3, стр. 652].
Петром I был введен новый стандарт мер длины, привязывавший русские меры длины (сажень и аршин) к английским (фут, дюйм, линия): сажень принимался равной 7 английским футам (213 см) и равнялся 3 аршинам (28 дюймов). Дюйм делился на 10 линий (1 линия = 2,54 мм). Меры веса, объёма не претерпели изменений в этот период [11].
Помимо решения теоретических геометрических и арифметических задач учащихся инженерных и естественнонаучных направленностей в XVIII в. обучали практическому использованию полученных знаний, в том числе измерению углов на земле, расстояний на местности с помощью астролябии, высоты зданий и др.[12, стр. 267].
В научной литературе середины XVIII в. обсуждалась проблема одновременного применения нескольких мер длины (дюйм, аршин, фут, сажень, верста, миля), веса (центнер, фунт, лот), объёма (тонна, бочка, кружка и др.) и разности их отношений в регионах (лондонский, парижский, римский, шведский и др. футы, имевшие разную длину). В учебнике «Краткое руководство к теоретической геометрии» Г. Крафта было введено оперирование десятичными мерами длины, как более удобное для расчётов («в геометрии не смотрят на сие разделение, но принимают такой фут, который в каждом месте употребителен»). Для учебных геометрических задач 1 фут считался равным 10 дюймов, 1 дюйм - 10 линиям, 1 линия - 10 скрупулам. Сажень принималась равной 10 футам. [12, стр. 11-20].
Промышленная революция второй четверти XIX в. оказала значительное влияние на формирование отечественной метрологии. В Положении о весах и мерах 1842 г. была законодательно закреплена единая система мер и весов, установлен государственный контроль за измерительными приборами, эталонами мер и весов в Российской империи [11].
Математическое образование в России в первой половины XIX в. являлось сугубо теоретическим. Преподаваемый материал не всегда был понятен учащимся, т.к. занятия зачастую проходили в формате сухого изложения математической теории. Начиная с 1860-х гг., появилась тенденция к более «живому», наглядному преподаванию на основе понятных учащимся примеров и математических задач [13, стр. 75].
В конце XIX в. в обучении математике активно использовались специальные средства: счётные палочки и различные предметы для счёта, таблица умножения, русские счёты, наглядные модели единиц меры [14]. Для демонстрации сущности разрядов числа использовался арифметический ящик, содержавший кубики, бруски и доски различной длины и ширины. Разряд числа представлялся следующим образом: первый разряд (единицы) -кубик, второй разряд (десятки) - бруски (равные по длине 10 кубикам), третий разряд (сотни) - доски (по ширине равные 10 брускам), а сам арифметический ящик представлял четвёртый разряд (тысячи), так как его объём составлял 1000 кубиков [14, стр. 13-21].
В конце XIX в. для наглядной демонстрации дробных чисел использовались демонстрационные учебные дробные счёты. Вместо стандартных косточек на русских счётах, в дробных счётах на проволоки надевались цилиндрические бруски различной длины: на первой проволоке самый длинный брусок, принимаемый за единицу, на второй - два бруска по длине равных половине первого, на третьей - три бруска, равных 1/3 первого, затем У, Д, % и т.д.. Помимо дробных счёт в обучении использовались весы с гирями, равными 1, 1А, У фунта, а также деревянная линейка размером с сажень, разделённая на используемые тогда меры длины (аршины, футы, вершки, дюймы и др.) [14, стр. 133].
Таким образом, в XI-XIV вв. математическая грамотность на Руси была распространена также широко, как и умение читать и писать. Наличие собственной системы счета и мер в коммерции, землемерии, военном деле, архитектуре, ремесле и технических средств обучения математике объяснялось локальным развитием естественнонаучных знаний внутри государства и практическим отсутствием научных связей с Востоком и Западом.
В XV-XVI вв. с развитием внутренней налоговой системы и международной торговли отечественные технические средства счета были усовершенствованы в сторону соединения и укрепления нескольких деталей механизмов для придания скорости и мобильности операции с целью приобретения «посадскими людьми» навыков в ведении финансовых операций.
В XVII - XVIII вв. особое внимание уделялось подготовке гражданских и военных специалистов во вновь открытых технических учебных заведениях для обеспечения сухопутных войск и флота. В обучении применялся практический подход.
К середине XIX в. математическое образование в школах было теоретизированным. Со второй половины XIX в. разрабатывались учебные технические средства для наглядной демонстрации математических и геометрических концепций с целью более эффективного обучения учащихся.
Список используемой литературы:
1. Нуреева А.А., Мешкова А.А. История развития русской системы мер объема сыпучих тел // Инновационная наука. 2018. №5. URL: https://cyberleninka.ru/artide/n/istoriya-razvitiya-russkoy-sistemy-mer-obema-sypuchih-tel (дата обращения: 03.05.2021).
2. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. - М.-Л.: Гостехиздат, 1946. - 247 с.
3. Иванов Е.В. ОБ ИСТОКАХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В ВЕЛИКОМ НОВГОРОДЕ // Ученые записки НовГУ. 2022. №3 (42). URL: https://cyberleninka.ru/artide/n/ob-istokah-matematicheskih-znaniy-v-velikom-novgorode (дата обращения: 19.09.2022).
4. Мильков В. В., Симонов Рэм Александрович Наследие Кирика Новгородца (к 900-летию древнерусского ученого и мыслителя) // Epistemology & Philosophy of Science. 2011. №1. URL: https://cyberleninka.rU/article/n/nasledie-kirika-novgorodtsa-k-900-letiyu-drevnerusskogo-uchenogo-i-myslitelya (дата обращения: 19.09.2022).
5. Тарасова В.Н. Наука и российское общество в X-XX вв.: учебное пособие. М.: МИИТ, 1998. С. 19-22.
6. Симонов Р.А. О вычислительной арифметике // Естественнонаучные представления Древней Руси. -М.: Изд-во «Наука», 1978. - С. 66-72.
7. Кузнецова В.С., Симонов Р.А. Об умножении на древнерусском абаке // Естественнонаучные знания в Древней Руси. - М.: Изд-во «Наука, 1980. - С. 14-15.
8. Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до воинской науки, : Состоящий в 663 указах, или статьях, / В государствование царей и великих князей, Василия Иоанновича Шуйскаго и Михаила Феодоровича, всея Русии самодержцев, в 1607 и 1621 годех выбран из иностранных военных книг Онисимом Михайловым ; Напечатан с рукописи найденной в 1775 году, в Мастерской и Оружейной палате в Москве ; Издана под смотрением ассессора Рубана. - Санктпетербург : При Гос. воен. коллегии, 1777-1781.
9. Ласковский Ф. Ф. Материалы для истории инженерного искусства в России - Ч. II. СПб.: Типография Императорской Академии Наук, 1861. — 642с.
10. Ласковский Ф. Ф. Материалы для истории инженерного искусства в России - Ч. III.: Типография Императорской Академии Наук, 1865. —1016 с.
11. Гинак Е. Б. Меры и весы // Метрологический музей Росстандарта при ФГУП «ВНИИМ им. Д.И.Менделеева» URL: https://museum.vniim.ru/files/mer.pdf (дата обращения: 19.09.2022).
12. Крафт Г. В. Краткое руководство к теоретической геометрии - 2-е изд. - СПб.: При Имп. Акад. наук, 1762.- 268 с.
13. Колокольникова З.У К61. Математическое образование в Сибири конца XIX - начала XX вв.: Монография - Красноярск: СФУ, 2009. - 160 с.
14. Вишневский Г. М. Записки по методике элементарной арифметики. — 1917. - 156с.
