Об обобщении метода схем Юнга на случай алгебр C-серии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.547.4

Вестник СПбГУ. Сер. 4. 2014. Вып. 1

Е. М. Уваров

ОБ ОБОБЩЕНИИ МЕТОДА СХЕМ ЮНГА НА СЛУЧАЙ АЛГЕБР C-СЕРИИ

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Метод схем Юнга, хорошо известен для алгебр серии An. На случай алгебр серий Cn — это графическое воплощение комбинаторного подхода к изучению представлений групп и алгебр. Он удобен в использовании и с виду не представляет ничего сложного, однако в его основе лежат серьёзные комбинаторные утверждения. Как правило, наложение какой-либо связи в системе осложняет применяемые для неё методы. Такое усложнение и наблюдается при переходе к симплектической Ci = sp(2l, F) и ортогональным Bi = o(2l + 1, F) и Di = o(2l,F) подалгебрам алгебры An = sl(n + 1,F) (F — поле, над которым рассматривается алгебра). Оказывается, для них можно ввести метод схем Юнга, схожий с ранее разработанным, но существенно видоизменённый. Описанию этого метода, его связи с ранее разработанным методом и интересным приложениям, вытекающим из него, посвящена работа. Библиогр. 11 назв. Ил. 3.

Ключевые слова: полустандартная таблица, стандартная таблица, диаграмма Юнга, схема Юнга, многочлены Шура, симметрическая группа, осциллирующая таблица.

E. M. Uvarov

ON GENERALIZATION OF THE YOUNG DIAGRAM METHOD IN CASE OF C-ALGEBRAS

St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation

The paper considers the generalization of a method of Young schemes, which is well-known for algebras of An-series. For a case of algebras of Cn series the considered method is a graphical realisation of combinatorial approach in representation theory. The essence of a method of Young schemes is: representations are indexed by partitions which are in one-to-one correspondence with Young schemes. Furthermore, one introduces convenient graphic operations with schemes and their fillings, by means of which it is possible to decompose representations in the sum of irreducible ones and to receive interesting properties. The method is convenient in use and is not difficult, however, it is based on serious combinatorial constructions. As a rule, imposing of any binding on a system complicates the methods applied to it. Such complication is observed upon transition from An = sl(n + 1, F) algebra to its symplectic Ci = sp(2l, F) and orthogonal Bi = o(2l+1, F), Di = o(2l, F) subalgebras (F means a field over which the algebra is considered). Thus, it is possible to introduce a method of Young schemes, which is similar to the earlier developed one, but significantly modified. This work is devoted to the description of this method, its connection with the earlier developed method, and reveals some interesting consequences following from it. Refs 11. Figs 3.

Keywords: semistandard tableaux, standard tableaux, Young diagram, Young scheme, Schur polynomials, symmetric group, oscillating tableaux.

Введение. В теории представлений алгебр существуют две важных задачи (здесь g — какая-либо алгебра): описание неприводимых д-модулей (их размерности и характеры, а также введение удобной параметризации для модулей) и разложение пространства представления на неприводимые составляющие — V — фх c\VX. Используя комбинаторный подход, ответы на эти вопросы нужно постараться дать в следующей форме: параметризация задаётся биекцией между некоторым «хорошим» комбинаторным объектом и неприводимым модулем: X ^ VX. Размерность неприводимого модуля находится по формуле dim VX = #{ «хороший» комбинаторный объект} (символ # означает

мощность множества), а характеры элементов а € 0 ищутся в виде: СН(а) = ^т ->л1а(Т), где Т — опять же «хороший» комбинаторный объект, а ->л1а(Т) — его «вес». Разложение имеет вид V — фх с\У"к, где е\ = #{«хороший» комбинаторный объект}. В случае алгебры 0 = 01(п, С) «хорошими» комбинаторными объектами являются полустандартные таблицы Юнга, а в разложении тензорной степени представлений — стандартные таблицы Юнга.

Суть метода схем Юнга состоит в том, что представления индексируются так называемыми разбиениями. Далее вводятся удобные графические операции со схемами и их заполнениями, с помощью которых можно решить поставленные задачи и найти интересные свойства представлений.

Определения и обозначения. Все стандартные обозначения и определения использованы в их естественном смысле.

Крюк = {(г, У} и {(г, у') | У > у} и {(г'у) | г' > г}, где (г, У — клетка схемы Юнга, находящаяся на пересечении г-й строки и у-го столбца. Длиной крюка называется

=1 |, т. е. число клеток в нём.

Оимплектическая таблца Юнга формы X, ¡(X) ^ п — это схема Юнга формы X, 1(Х) ^ п, заполненная элементами из набора {1,1,..., гг., гг} такого, что 1 < 1 < ... < < п <п (рис. 1) причём:

1) элементы нестрого возрастают по строкам слева направо, строго возрастают по столбцам сверху вниз;

2) элементы в г-й строке не меньше, чем г.

Осциллирующая таблица Юнга формы X длины к — это последовательность форм (диаграмм Юнга) (0 = X0, Х1,...,Хк = X) такая, что Хт получается из Хт-1 добавлением или вычёркиванием одной клетки.

Через 0 обозначается разбиение числа 0 (пустое разбиение). Например, если X = = (1),к = 3, то существует три осциллирующих таблицы Юнга (рис. 2). Здесь пустому разбиению (0) соответствует 0, квадратику — разбиение (1), строчке из двух клеток — разбиение (2), а столбцу из двух клеток — разбиение (12).

1 2 4

3 5

4

(

(

)

)

Рис. 1. Симплектическая таблица для разбиения X = (321), п = 5

Рис. 2. Пример осциллирующих таблиц для X = (1),к = 3

(

)

Целочисленный кортеж М длины п — это конечный набор п-элементных последовательностей а = (а1,..., ап), а^ € Ъ.

Основные результаты метода для алгебр Ап-серии. В основе большинства результатов лежат две замечательные теоремы Шура, которые приведены ниже. Шур исследовал рациональные представления группы ОЬ(п, С) (т. е. матричные элементы операторов представления — рациональные функции от элементов группы), но на самом деле любое голоморфное представление конечномерной группы (алгебры) можно свести к рациональному.

Теорема 1. Всякое рациональное представление группы ОЬ(п, С) вполне приводимо. Характерами неприводимых представлений являются симметрические полиномы Лорана от собственных значений элемента д € ОЬ(п, С).

Если х1 ,...,хп — собственные значения некоторой матрицы д € ОЬ(п, С), то рациональные представления р имеют характер СН(р)(х1,... ,хп) = ^аеМр ха, ха = = ПП=1 : а € Мр для однозначно определённого набора Мр.

Неприводимые полиномиальные представления ОЬ(п, С) индексируются разбиениями X : ¡(X) ^ п. Если ф^ — неприводимое полиномиальное представление, соответствующее разбиению Х,1(Х) ^ п, то СН(ф})(х1,...,хп) = в1(х1 ,...,хп), где 8х(х1,... ,хп) — функция Шура.

Всякое рациональное представление р имеет вид р(д) = ((д.е1(д))тр(д), где р — полиномиальное представление, т € Z. Также р неприводимо одновременно с р. В случае полиномиальных представлений — это симметрические полиномы Шура от тех же переменных.

Доказательство этой теоремы представлено в диссертационной работе её автора [1]. Определение функции Шура можно найти в [7]. Заметим, что если фх : ОЬ(п, С) ^ ОЬ(У) — неприводимое представление, отвечающее разбиению X : ¡(X) ^ п, то к-я тензорная степень (фх)®й : ОЬ(п, С) ^ ОЬ(У®к) имеет характер СН(фх)т (х\, ...,хп) = (вх (х1;..., хп)) .

Шур также исследовал одновременное действие групп ОЬ(п, С) и (симметрическая группа к-элементного множества) на пространстве У®к, что привело к так называемой дуальности Шура—Вейля.

Теорема 2. Пусть У — п-мерное линейное пространство, тогда группы Бк и ОЬ(У) действуют на пространстве У®к, их действия коммутируют, превращая его в (Бк х ОЬ(У))-модуль, и разложение пространства У®к на неприводимые подмодули под этим действием имеет вид У®к = ф (Бх ® Ух), где Бх — неприводимый

модуль представления группы Бк, соответствующий разбиению X Ь к, а Ух — неприводимый модуль представления группы ОЬ(У) = ОЬ(п, С), отвечающий разбиению X Ь к, ¡(X) < п.

Если взять подгруппу {е} группы Бк, то ({е} х ОЬ(У)) ~ ОЬ(У), и мы получаем разложение

У®к = 0 ЛУ\ м

)Ук

где число /X стандартных таблиц Юнга формы X можно найти четырьмя способами: используя формулу крюков [2, 3], «детерминантную формулу» / = к!/(\\^ ^^ ) [2], /X = к! • ёе^^/^ — г + ])!), непосредственным постоением стандартных таблиц (что просто при малых п) или по формуле, приведённой в работе [4]. Разложение (*) — это разложение тензорной степени пространства определяющего представления группы ОЬ(п, С), здесь использовалось хорошо известное утверждение, что ёш Бх = / [2].

Так как базис неприводимого модуля Ух состоит из полустандартных таблиц Юнга формы X [2], его размерность находится по формуле ёш Vх = дх(п), где дх(п) — число полустандартных таблиц Юнга формы X. Выражение для д\(п) (символ п означает, что таблица заполнена числами из набора {1,...,п}) было явно найдено Стэнли в [5]:

gх(n) = П {1,з)&,(п + ( — .

Переходя к характерам в (*), получаем равенство

(Ж1 + ... + Тп)к = Ав^! ,...,Хп),

ХХтк ¡(Х)<п

где вх(х1,..., хп) = s^X(xX) — симметрический многочлен, называемый полиномом Шура, который можно легко построить по схеме Юнга путём приписывания клетке, заполненной числом г, одночлена ж.,,:

Доказательство симметричности можно найти, например в [2], оно использует важное в комбинаторике соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута.

Таким образом, многочлен Шура определяется как в^(х1,... ,хт) = ^Т шЬ(Т), где Т — полустандартная таблица Юнга («хороший» комбинаторный объект), отвечающая разбиению X, а чиЬ(Т) = П™1 хгпитЬег г 1П Т. Например, разбиению X = (2,1) и т = = 2 отвечает следующий полином Шура: в(2,1)(х1 ,Х2) = Х12Х2 + Х1Х22, а при т = 3,

соответственно получаем в(2,1)(х1, Х2, хз) = Х12Х2 + Х1Х22 + 2Х1Х2Х3 + х12хз + Х1Х32 +

22 + Х2 Хз + Х2Х3 .

В случае алгебр типа Ап существует простое правило перемножения схем Юнга, которое позволяет на графическом языке легко переписать результат (*), а также перемножать полиномы Шура, соответствующие этим схемам. Это правило носит название правила Литтлвуда—Ричардсона (подробнее о вышесказанном можно прочитать, например, в [2, 8]).

Метод схем Юнга для алгебр СП-серии. Метод схем Юнга для симплекти-ческой группы Бр(2п, С) применим и к алгебрам типа Сп = вр(2п, С). Пусть V означает комплексное векторное пространство чётной размерности 2п, снабжённое невырожденной кососимметричной билинейной формой <, >. Напомним, что симплектиче-ская группа Бр(2п, С) — это подгруппа в 01(2и, С), которая сохраняет эту форму, т. е. <Ху, Хчл> = <у, ,ш> УХ € Бр(2п, С), € V. Группой Вейля для неё является гипероктаэдральная группа Вп — группа п х п-матриц, в каждой строке и столбце которых находится только одно ненулевое значение, равное ±1, порядок этой группы 2пп!.

Приведём известные факты о симплектической группе. Бр(2п, С) редуктивна, любое её полиномиальное представление вполне приводимо. Если X € Бр(2п, С), то её собственные значения могут быть записаны в виде {хг±1 \ хг € С, г = = 1,...,п}. Множество диагонализуемых матриц евр(2п с) УТУ-1 плотно в Бр(2п, С), где Т = diag{xl,xl-1,...,хп ,хп-1},хг € С,хг = 0, поэтому значение характера элемента X € Бр(2п, С) зависит лишь от его собственных значений: Ск(ф) = = СН(ф)(х1 ,Х1 -1,...,хп,хп-1). Характером полиномиального представления ф является полином Лорана от х1,...,хп, инвариантный относительно группы Вп. Для каждого такого представления существует множество Мф целочисленных кортежей а длины п такое, что характер С^(ф)(х1,..., хп) = ^аещ ха. Неприводимые полиномиальные представления индексируются разбиениями Х,1(Х) ^ п. Характером неприводимого полиномиального представления, отвечающего разбиению X является симплектиче-ская функция Шура врХ(х1,... ,хп) = ^аемх Пг=1пхга (это можно считать одним из её определений). Однако для комбинаторного изучения представлений необходимо её комбинаторное определение. Оно вводится по аналогии с обычной функцией Шура при помощи отображения

-1

X

При этом spxlxi^1,... ,xn±1) = t wt(T), где T — симплектическая таблица Юнга («хороший» комбинаторный объект), отвечающая разбиению X, а wt(T) = = ni=ina;i(numberofiini,)(a;i"1)(numberofIin:f) -его «вес». Так, например, таблице (см. рис. 1) отвечает моном xiX2X3X5-1. Симплектическую функцию Шура для этой схемы не выписываем ввиду большого числа её симплектических таблиц (заполнений), хотя это легко делается по определению.

Сформулируем аналог разложения k-й тензорной степени определяющего представления.

Теорема 3. Пусть V — пространство определяющего представления группы Sp(2n, C), тогда V®h = ф X^m fk (n)VX, где f}k (n) — число осциллирующих таб-

m^h , l(X)^.n

лиц Юнга длины k с максимум n строками в каждой форме, отвечающих разбиению X h m, m ^ k (X не обязательно разбивает число k), а VX — неприводимый модуль представления, отвечающий разбиению X.

Эта теорема была доказана Литтлвудом [6]. Оказывается, что число fh (n) в некоторых случаях находится явно аналитически, но не во всех, а именно, если X h m, n ^ k, то fXh(n) = fXh = Cm(k — m)UfX при (k — m) = 2d, d G Z и 0 в противном случае. При вычислениях полезно учитывать, что f k(n) = fXh при n = (k — 1). Формула для размерностей неприводимых модулей этой группы была получена Кэмпбеллом и Стокке [9]: dimVX = gspX(2n) = П(ij^n + п(гЛ))/Ы,з , dimV* = 1, где

r ( i Xi + Xj — г — j + 2, t>j

rX(i,j)={ г + j — X\ — X*j, г < j .

Сформулируем, наконец, общий рецепт построения разложения тензорного произведения представлений: выбирается алгебра (т. е. число n), выбирается тензорная степень (т. е. число k). Затем:

1) строятся всевозможные разбиения X чисел m, не превосходящих k;

2) из этих разбиений выбираются те, что имеют высоту не более n и для которых (k — m) чётно (это связано с тем, что k = m mod 2 по построению осциллирующей таблицы);

3) строятся осциллирующие таблицы, отвечающие данным разбиениям (напомним, что каждая форма, входящая в осциллирующую таблицу, по высоте не должна превосходить n), находится их число, это число и равно кратности вхождения в разложение неприводимого модуля, соответствующего данному разбиению.

Проиллюстрируем это на примере случая n = 2,k = 2:

1) построим всевозможные разбиения чисел, не превосходящих 2. X h 2 : {(20), (12)}; X h 1: {(1)}; X h 0: {0};

2) из них нам не подходит только (1), так как для него (k — |X|) нечётно, остальные разбиения подходят;

3) выпишем для них осциллирующие таблицы:

□

(

)

(

)

Отсюда /(2

(20)

(2) = 1, /2 (2) = 1, /0(2) = 1. Окончательно получаем: V02 =

= /(220)(2)V(20) е /(212)(2)V(12) е /0(2)V0 = V(20) е V(12) е V0 = V[2 -0 е V[0 .и е V[0 -°].

Старшие веса в разложении: [2, 0], [0,1], [0, 0] (указаны индексы Дынкина). Посчитаем размерности представлений: dim V(20) = gsp(20)(4) = (4+ (1 + 1 - 1 - 1))(4 + (1 + 2 - 1 -—1))/(2-1) = 10, dim V(12) = gsp(12)(4) = (4+(1 + 1 -2-2))(4+(1 + 1 -2-1 + 2))/(2-1) = 5, dim V0 = 1.

Для нахождения размерностей неприводимых модулей применим классическую формулу Вейля и сравним сложность методов. Для алгебры C2 = sl(4, C) простыми корнями являются од, 0(2 (рис. 3). Выберем масштаб так, что |oti| = = 1, | схо | = \/2- Фундаментальными весами в этом случае будут являться вектора Ю1, Ю2, а набор положительных корней {ai, a2, 2юц, Ю2} в декартовой системе координат в стандартном базисе: a1 = (1, 0), a2 = (-1, 1), 2ю1 = (1, 1), Ю2 = (0, 1). Рис. 3. Базисные корни Вейлевский вектор р = (1/2)(a1 + a2 + 2ю1 + Ю2) = (1/2, 3/2), и фундаментальные вес X = р + Ц. веса алгебры C2

Старшему весу [2, 0] или индексам Дынкина q1 = 2,q =0 в стандартном базисе отвечает весовой вектор ц = 2Ю1 = (1,1), поэтому X[2 . 0] = (3/2, 5/2), и мы имеем

«2 \ Ю2

\ ^ <х>1

0 «1

dim V[2 - 0]

35 2'1+2'°

1.1 + ^.0

2 2

35 2 2

- • (-1) + - • 1 2 v 2

1.1 + ^.1

2 2

35 2-0+2'1

1.0+^.1

2 2

10.

Старшему весу [0,1] или индексам Дынкина д1 = 0,д2 = 1 в стандартном базисе отвечает весовой вектор ц = Ю2 = (0,1), поэтому ,1] = (1/2, 5/2) и имеем:

dim V[0 -1] =

2 2

1.1 + ^.0

2 2

- • (-1) + - • 1 2 v 2

1.1 + ^.1

2 2

- • (-1) + - • 1 2 v 2

1-1 + ^-1

2 2

1.0+^.1

2 2

1.0+^.1

2 2

= 5.

Старшему весу [0, 0] или индексам Дынкина q1 = 0,q2 =0 в стандартном базисе отвечает весовой вектор ц = (0, 0), поэтому X[0.0] = (1/2, 3/2) и dim V[0-0] = 1.

Метод схем Юнга немного проще. Более того, если повышать ранг алгебры, то его преимущество станет ещё более наглядным. В классическую формулу Вейля входят r-мерные векторы (r — ранг алгебры), с которыми удобно работать на картинке, но это становится невозможным уже при ранге r > 3.

Чтобы раскрыть весь потенциал метода схем Юнга для симплектической группы, необходим аналог правила Литтлвуда—Ричардсона, это позволит раскладывать на неприводимые составляющие тензорное произведение модулей, отвечающих произвольным разбиениям, так как эти правила формулируются для полиномов (или для таблиц), являющихся характерами неприводимых модулей, а характер определяет модуль однозначно с точностью до эквивалентности. В силу того, что существует биек-ция между характером и разбиением и разбиение также биективно связано со схемой Юнга, перемножение полиномов можно воспринимать как перемножение схем, соответствующих им. Напомним, что при выводе правила Литтлвуда—Ричардсона в An-случае

использовалось соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута RSK-соответствие). В сим-плектическом случае имеется модернизированный аналог этого алгоритма, который носит название алгоритма Береля (подробнее об этом в [10]).

Заключение. В представленной работе были изучены и проанализированы комбинаторные методы в теории представлений, позволяющие обобщить метод схем Юнга на случай симплектической алгебры. Показано, что с графическими методами, использующими осциллирующие и симплектические таблицы, позволяющими раскладывать представления на неприводимые составляющие и находить их характеры и размерности, работать достаточно удобно. Например, алгоритм нахождения размерностей пространств представления для Сп-алгебр проще, чем алгоритм, использующий формулу Вейля.

Схожие методы существуют и для алгебр Bi = o(2l + 1, F)-серии [11]. Литература

1. SchurI. Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen: Dissertation. Berlin, 1901. 76 p.

2. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии. М., 2006. 328 с.

3. Macdonald I. G. Symmetric functions and orthogonal polynomials. N.-Y., 1991. 53 p.

4. Kulish P. P., Lyakhovsky V. D., Postnova O. V. Multiplicity functions for tensor powers. An-case //J. Phys. 2012. Vol. 343. 012070.

5. Stanley R. P. Theory and applications of plane partitions // Studies in Appl. Math. 1971. Vol. 50. 167187.

6. LittlewoodD. E. The theory of group characters. L., 1950. 310 p.

7. Macdonald I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. N.-Y., 1995. 475 p.

8. Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы. М., 2002. 336 c.

9. Campbell S., Stokke A. Hook-content formulae for symplectic and orthogonal tableaux // arXiv: 0710.4155v1 [math.CO].

10. SundaramS. On the combinatorics of representations of Sp(2n, C): PhD thesis. Cambridge: Massachusetts Institute of Technology, 1986. 146 p.

11. SundaramS. Orthogonal tableaux and an insertion algorithm for SO(2n + 1) //J. Comb. Theory. (A). 1990. Vol. 53. P. 236-256.

Статья поступила в редакцию 8 октября 2013 г.

Контактная информация

Уваров Евгений Михайлович — студент; e-mail: evgenyuvarov@gmail.com Uvarov Evgenii Mikhailovich — student; e-mail: evgenyuvarov@gmail.com