Об изометрической классификации расслоений Хопфа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Chvanski P.P., Leonyuk N.I. Pinacoidal growth optical properties of calcite crystals / / Progress in Crystal Growth and Characterization of Materials. 2000. T. 40. № 1. C. 263-271. - ISSN: 0960-8974.

5) Нефедова И.В., Бородин В.Л., Лютин В.И., Шванский П.П., Дороговин Б.А. Способ получения монокристаллов оптического кальцита // патент на изобретение RUS 2194806 20.03.2001.

6) Borodin V.L., Nefedova I.V. Growth and characteristics of calcite single crystals // Journal of Crystal Growth. 2005. T. 275. № 1-2. - ISSN: 0022-0248,eISSN: 1873-5002

7) Бородин В.Л., Нефедова И.В. Изучение влияния добавок карбоновых кислот и их солей на габитус и особенности роста монокристаллов оптического кальцита // МГОУ-XXI - Новые технологии. 2008. T. 2. C. 28-33.

8) Pаджабов 3. P., Курбанмагомедов А.К. Расчет вязко-упругих свойств слоистых органопластиков // Системные технологии, - 2016. - №3(20). - С.101-104, ISSN: 2227-5398

9) Макаров Е.В., Монахов И.А., Нефедова И.В. Двуосное растяжение пластины с кругов-ым отверстием//Вестник российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. - М.: Издательство: Российский университет дружбы народов. - 2015. - № 1. - С. 100105, ISSN: 2312-8143.

10) Bruno M., Rubbo M, Pastero L, Aquilano D., Nestola F. Computational approach to the study of epitaxy: natural occurrence in diamond/forsterite and aragonite/zabuyelite// Crystal Growth and Design. 2015. T.15. №q 6. C. 2979-2987.

УДК 515.1 Н.К. Расулов, к.ф.-м.н., доцент,

А.А. Нурмагомедов, к.ф.-м.н., доцент, Дагастанский государствееный аграрный университет

им. М.М. Джамбулатова

ОБ ИЗОМЕТРИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ

РАССЛОЕНИЙ ХОПФА

В данной работе наглядно-геометрическими методами дается изометрическая классификация классических расслоений Хопфа Pn : S2n 1 ^ S2", при n = 1, 2,4.

Ключевые слова. Поле, число, расслоение, отображение, формула, ограничение, доказательство, сфера, форма.

In this work, visual-geometric methods given isometric classification of the classical Hopf bundles. .

Keywords. Field, number, bundle, display, formula, limit, proof, the scope, form.

Введение. Пусть V - поле вещественных или комплексных чисел, тело кватернионов или кольцо чисел Келли. Определим отображение f : V х V ^ V х R формулой: f{x,y) = J|x||2-|\y\\2, 2xy} x,y e V (1)

Если отождествить действительную (2n -1) - мерную единичную сферу в R 2n с единичной сферой на V x V, где n = dimR V, то ограничение VS2n-i := Pn задает по формуле (1) однородное квадратичное отображение Pn : S2n-1 ^ S2n, причем P1 - двулистное накрытие S1, а P2, P4, P8 - классические расслоения Хопфа.

Доказывается, что всякое непостоянное однородное квадратичное отображение S2n-1 ^ S2 при n = 1,2,4 с точностью ортогональных преобразований совпадает с расслоением Pn .

1. Обозначения. Пусть Sn -единичная сфера (n +1) - мерно-

nn+1

го евклидового пространства R . Отображение f: Sm ^ Sn называем квадратичным, если существует отображение F: Rm+1 ^ Rn+1, координатные функции которого являются квадратичными формами в Rm+1 и ограничение F на S m совпадает с f . Множество всех непостоянных квадратичных отображений S m в Sn будем обозначать через S (m, n).

Имеется естественное действие ортогональных групп O(n +1) и O(m +1) на множество S(m, n): ф: O(n +1) x S(m, n) x O(m +1) ^ S(m, n),

где ф(A, f, B) = A o f o B, (A o f o B)(x) = A[f (Bx)], A e O(n +1), B e O(m +1),

f e S(m, n), x e Sm. Орбитой отображения f относительно действия ф называем множе-

ство( f) = {g e S(m, n): g = ф(A, f, B), 1 [A e O(n +1), B e O(m +1) J . Мы рассматриваем вопрос описания орбит действия ф в случае множества S(2n -1, n), n = 1,2,4, 8.

Как показано в [2], множество S(2n -1, n) непусто только при n = 1,2,4, 8. Кроме того, S(2n -1, n) содержит 2-листное накрытие (при n = 1) и расслоение Хопфа Pn : S2n-1 ^ S2n (при n = 2,4,8). В самом деле, пусть V -поле действительных или комплексных чисел, тело кватернионов или кольцо чисел Келли. Определим отображение f : V x V ^ V x R по формуле:

f (x, y) = ^x||2 -|\y\\2,2 xy\, x, y eV. Тогда при естественном отождествлении S2n_1 с единичной сферой пространства V х V, где n = dimR V, получим квадратичное отображение /|S2n-1 : S ^ S , которое совпадает (см. [1, Л. 2.6]) с 2-листным накрытием ( n =1 ) и расслоение Хопфа Pn (n = 2,4,8).

Гипотеза. Единственной орбитой действия ф на S(2n -1, n) при n = 1,2,4,8 является 2-листное накрытие (n = 1) или расслоение Хопфа Pn (n = 2,4,8).

В данной работе доказывается справедливость гипотезы в случаях n = 1,2,4.

2. Подготовительная часть. Обозначим через {f} гомотопический класс отображения f.

Билинейное отображение F:RkхRr ^Rn с условием ¥(х,у) =|| х || • || у || для всех xе Rk,уе Rr определяет квадра-

Теорема 2.1. Если f е ^(2п -1,п) , тичное отображение F : Sk+г 1 ^ Sn

п = 1,2,4,8, то {f} ф 0.

Доказательство. Пусть f е S(2п -1, п) п = 2,4,8. Как показано в [2], инвариант Хопфа H (f) отображения f равна ± 1 и это позволяет утверждать, что {f} ф 0. В случае п = 1 до-

где

¥(х,у) = {|| х ||2 -1| у ||2,2¥(х,у)}, (х,у) е Як х Яг, || х ||2 + || у ||2 = 1,

называемое формой Хопфа типа (к, г, п) .

Теорема 2.2. Если f е S(2п -1, п)

казательство теоремы 2.1 следует из и п = 1,2,4,8, то f лежит на орби-

[3, гл. 3.1].

Пусть

Б = ^

Be = ^ е2 — ет+1} Vn+1}-

и

фиксирован-

те некоторой формы Хопфа типа (п, п, п) .

Доказательство. Пусть выполне-

ные ортонормированные (оп) бази- ны условия теоремы 2.2. Тогда, со-

сы в Rm+ и Яп+ соответственно. Для гласно теореме 2.1, имеем, что{^ ф 0. / е S(m, п) относительно базисов Бе Значит f - сюръективно и, в части примем следующие обозна- ности, образ отображения f содер-чения: / (х) = {/1(х), /2(х),..., /п+1(х)}; жит диаметрально противоположные

Ак

а,-

матри- точки, т.е. существуют х,у е S2п 1, та-

п+11

аи }

а\ = /к (е, е]); _ _

ца (оператор) квадратичной формы кие, что f(х) = -f(у). Кроме того, из

условий сферичности отображения f легко получить (доказательство см., например, в [3, т.2.2]), что х ± у и поэтому можно выбрать базисы Бе и Б так, чтобы

Л (х) ; А = / (е, е} ) = {а1, а2, где 1 < ¡, ] < т +1, 1 < к < п +1. Таким образом,

т+1

У(х) = ^ Аухгх] , I, ]=1

где х = {х1,х2,.„,хт+1}. Из тождества ||/(х)|| =|| х ||2, х е Ят+Х имеем следующие соотношения (условия сферичности) между векторами А^:

(!(«)) (2(а, р)) (3(а, р)) (4(а, р,у)) Зу= о ,(5(а, р,у,8)) где а, р, у, 8 - попарно различные и 1 <а, р, у, 8 < т +1.

А аа Ааа =1,

А аа • Аав =о,

А аа • АРР + 2 Аав • Аав = 1,

А аа • АРг + 2 АаР • Аау = 0 ,

Аав • АГ3 + Аау • АрЗ + Аад

А1 = diag{1, -1, а1, а2,..., а2п-2}, .

-1 <а,< 1, i = 1, 2,..., 2п - 2

Обозначим через к число а{ равных 1. Тогда, согласно [7], f гомотопно форме Хопфа типа (к +1,2п - (к +1), п) и выполняются неравенства к +1 < п, 2п - (к +1) < п. Последнее означает, что к = п -1. Аналогично, если I -число а{, равных -1, то I = п -1 . Значит, все собственные числа матрицы А1 по абсолютной величине равны 1

и согласно [4], отображение f в базисах Be и Bv совпадает с формой Хопфа типа (п, п, п) , что и доказывает теорему 2.2.

Замечание 2.1. Пусть f е £(2п -1, и), п = 1,2,4,8. Тогда (см. [6]) координатные функции отображения f образуют независимую систему, т.е. любая их нетривиальная линейная комбинация является невырожденной формой, а, в частности, каждая координатная функция отображения f в любых базисах Ве и Bv является невырожденной формой, причем, как было показано в доказательстве теоремы 2.2, все собственные числа равны по абсолютной величине 1 и сигнатура равна нулю для каждой из этих форм. Это позволяет выбрать базисы В и В„ так, чтобы

А =

п+1

Еп Оп ^

о - Еп У

(о„ вп 1

К Вп о У

А =

оп

к В

В,

о

ПУ

(*)

I = 1,2, ния:

и

справедливы соотноше-

то

| |х|| 2 .|\у\| 2 =| \0(X,у)\| 2 =

п п .

X 02(. х, у) = £ (В,х, у)2

*=1 ¿=1

(Сх X) = ([ В1 + В*]х, х)/2 = Так как * ,

[(В1х,х) + (В* х,х)]/2 = (Вх,х)

g 2( х) = ХСх, х)2 =

для любого х е Я

¿=1

XВх,х)2 ^хЦ4

где Оп и Еп - соответственно, нулевая и единичная матрицы порядка п.

Замечание 2.2. Пусть

В1, В2,..., Вп - матрицы из (*). Определим квадратичные формы gk(х) = (Скх,х), где Ск = (Вк + В*)/2, к = 1,2,..., п. Тогда отображение

& = &2, &п}е £(п -1, п -1).

В самом деле, поскольку f форма Хопфа типа (п, п, п), то для отображения О: Яп х Яп ^ Яп с координатными функциями О1: О1 (х, у) = (В1х, у),

Это и означает, что & е £(п -1, п -1).

Замечание 2.3. Пусть f и & те же, что и в замечании 2.2. Если отображение &' е £(п -1, п -1) изометрично &, т.е. &' лежит на орбите ф( &), где ф : О(п) х £(п -1, п -1) х О(п) ^ £(п -1, п -1) , и f' - отображение, определённое по формулам (*) при заданном &', то /' изометрично f.

Действительно, пусть &' = Т о & о Н, где Т, Н е О(п) и определим отображение f' = 0 о f о Q, где 0 = Жа&(1, Т) Q = Жа&(Н, Н). Ясно, что / е £(2п -1, п) ,ибо 0е О(п +1) Q е О(2п). Кроме того, используя правила умножения блочных матриц, мы получаем матричные равенства:

$ ■ йш& (Еп, - Еп) •Q = йш&(Еп, - Еп) ,

Q*

Оп В,

1,2,

В О

^ =

п у

Оп

*

Н ВН

Н В*Н О

п

которые показывают, что отображение имеет вид (*), причем соответствующее отображению & ' = Т о & о Н .

Завершим этот пункт одной теоремой из [4], которая нам понадо-

бится при доказательстве основного утверждения.

Теорема 2.3. Пусть / е 5(3,3). Тогда:

а) если / - сюръективно, то оно изометрично квадратичному отображению g: g(х) = {|| х ' ||2 -X]2,2X! • х '}, где х = (х1, х') е Я1 х Я3, || х' ||2 + х]2 = 1;

б) если / - несюръективно, то для некоторого а е [0; 1] отображе-

/ГУ

изометричн g :

gа(х) = {||х '||2 - || х' | |2 а д/2(1 -а) • х' • Тх", 4Г

г 0 О

2 и п 112

-а • ||х || }

•^2(1 - а) • х' х", где

Т =

-1 0

х = (х ', х ' ) е Я 2 х Я2

|| х' ||2 + || х' ||2 = 1.

3. Справедливость гипотезы при

п = 1,2,4. В случаях п = 1,2 справедливость гипотезы доказана в [3].

Теорема 3.1 ([3,т.3.1]).Если / е 5(1,1), то / лежитна орбитеотображения Р1 : Р1 (х) = {х2 - х2,2х1 х2 }, х = (х1, х2 ) е Я 2.

Замечание 3.1. Отождествляя пару (х1, х2) действительных чисел с комплексным числом z = х1 + ¡х2, получаем Р1 как ограничение двулистного

2 1 2 накрытия г ^ г на 5 = {г :|| z || = 1.

Теорема 3.2. ([3, т. 3.3]). Если / е 5(3,2), то / лежит на орбите расслоения Хопфа Р2.

Гипотеза справедлива и в случае п = 4, т.е. имеем

Теорема 3.3. Если / е 5(7,4), то / лежит на орбите расслоения Хоп-фа Р4 .

Доказательство. Пусть / е 5(7,4). Согласно замечанию 2.1, можно счи-

тать, что отображение / имеет вид (*) и по замечанию 3.2 получим квадратичное отображение И: 53 ^ 53, с координатными функциями ^ (х) = ([ Б, + Б*]х, х)/2,1 = 1,2,3,4.

Согласно теореме 2.3 мы имеем два случая:

1) И — изометрично gа, аФ 1;

2) И— изометрично форме Хопфа g или g1.

Случай 1. Отображение И изоме-

„а ^

трично g означает, что найдутся такие Т и Н из 0(4), что gа = Т о И о Н и действуя на / слева оператором 0 = diag (1, Т), а справа оператором Q = diag (Н, Н), как и в замечании 2.4, находим изометричное / отображение /' = 0 о / о Q также вида (*).

Пусть Бк = }4;-=1 — правая верхняя клетка матрицы (к +1) — й координатной формы отображения /' в записи (*), где к = 1,2,3,4. Для опровержения случая 1, достаточно установить вырожденность матрицы Эк для некоторого к = 1,2,3,4, ибо в этом случае (к +1) — я координатная фор-

ГГ и

ма / является вырожденной, что невозможно согласно замечанию 2.1.

Пусть А =

сС

12

сС

можно считать, что С12 = 0, С123 = в

3 12 2 12

ф 0. Тогда

и

3

С 21 =

-в. Из соотношений (4(1, 6, 8))

и (4(5, 2, 4)) вытекает, что в• С14 = 0 в •С41 = 0, т.е. С34 = С31 = 0. Так как

и

теореме 2.3,

А + А 2

V

02

0 - г г 0

0г

- г 0

где г = 2^2(1- а),

(1)

венств

12

13

d1

13

= 1 ■

D2 + D2 2

V

2

r • E

2

O

2 J

считать, что

d

13

следующие матричные равенства:

то = =^12(\ - а). Следовательно, л/2(1 - а) = 0, т.е. а = 1, что недопустимо.

2 3

Если А = 0, т.е. d12 = dl2 = 0, то ввиду (3(1, 6)), А16 ■ А16 = 1, что влечет ра-

(D1 + D*)/2 = diag(1, -E3);

'0 1Л

(2)

(D2 + D*)/2 = diag

10

, O2

с

D3 + D*

= 1. Так как при dl2 = 1 матрица Д + В4 является вырожденной, что недопустимо по замечанию 2.1, то d¿42 = -1 и тогда dl3 = 0 и из (3(1, 7)) находим, что А17 ■ А17 = 1, что

O2 10 00

W WJ 1 0Л 00

D4 + D4

O2

00 10

O2

01 00

O2

равносильно условию

Если d?3 = 0, то dl3 =±1 и из ра-

22

венства d13 + d31 = 0, которое получаем из соотнощения: Л

^ ^ ' О2 г ■ Е.

из которых, как и выше, получаем:

D1 =

D* =

где г = 2^2(1 -а),

находим, что d31 = -dl3 = +1. Тогда

33

dз1 = d14 = 0 и это, как уже отмечалось, означает, что а=1 .

Если d?3 Ф 0, то переходя к линейным комбинациям В2 и В3, можно

V

1 0 0 -1 O2

O2 10 0 -1

O2 - E.

1 0

D2 =

2 J

01 10

O2

0 ^ 1

/

O2

; D4 =

V

O2 01 10

Л

O2 01 -1 0 0 1 ^ -1 0

O2

где точками изображены пока неизвестные элементы матриц Д, Д, й4.

Из равенств (3(3, 8)) и (3(4, 7)) находим, что А38 и А47 единичные век-

= 1 и d3 = 0 и тогда d?4 = 0 и d2* = 0 и, ввиду (4(8, 1, 2)), имеем равенство A18 • A88 = 0, которое, согласно (5(1, 2, 7, 8)), позволяет записать, что d^ = 0. Так как, кроме того, d23 = 0, то в D2 вторая строка является нулевой, а, значит, D2 - вырожденная и случай 1 невозможен.

Случай 2. Сохраняя обозначения случая 1 для изометричного f отображение f' = 0 о f о Q, связанного с g = T о h о H, где T, H е O(4), 0 = diag (1, T), Q = diag (H, H) имеем

торы и поэтому

d

34

d.

43

= 1. Так

как, согласно (2), d324 + d423 = 0 , то полагаем, что d34 = 1 и d 43 =-1.

Аналогично

находим,

d24 — 1, d42 — 1, d23 — 1, d32 — 1.

образом,

D1 =

1 0 0 -1

O2

o2

- E

; d2 =

D3 =

v

O2 10 0 -1

2 j

1 0л

0 -1

O2

f 0 1 10

O

что Таким

л

; D4 =

v

2

O2 01 10

j

O2 01 -1 0 0

-1 0 O2

j

2

2

и поэтому отображение f ' : S7 ^ S4 является квадратичным отображением над Z. Тогда, как показано в [5], отображение f изометрично расслоениюХопфа P4.

Наконец, рассмотрим случай g 1 = T о h о H , где T, H е 0(4). Как и выше, получаем равенства: (А + А*)/2 = E 4; ,

(А + А*)/2 = 04, г = 2, 3,4

из которых легко выводится, что А = £4, dk = dj = 0 при i ф j , i, j = 3,4 и dj = 0 в остальных случаях, где к = 2,3,4. Тогда из условий сферичности, совершенно аналогично предыдущему случаю, находим:

А, = E4 ; А =

' 0 1 -1 0

02

V

02 01 -1 0

Аз =

' 02 Ег л

v- Е2 02 у

A4 =

02

01 -1 0

01 -1 0

02

Они при подстановке в формулу (*) определяют в точности расслоение Р4 (см. [5]). Теорема 3.3 доказана.

Литература

1. Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. М, «Мир», 1971.

2. Расулов Н.К. Квадратичные отображения сфер в сферы. XXX Герценов-ские чтения. Математика. ЛГПИ, 1977. С. 34-39.

3. Расулов Н.К. Растяжение и изометрическая классификация квадра-тич-ных отображений сфер. Деп. ВИНИТИ, РЖМат. 12А711, 1983.

4. Расулов Н.К. Изометричекая классификация квадратичных отображений S3 в S3. Деп. ВИНИТИ, РЖМат. 12А597. 1985.

5. Turisco J. Quadratic mappings of spheres. Linear Algebra and Appl. № 23, 1979. С. 261-274.

6. Turisco J. A family of quadratic forms associated to a quadratic mappings of spheres. Linear Algebra and Appl. № 65, 1985. С. 249-260.

7. Wood R. Polynomial maps from spheres to spheres. Invent. Math. № 5, 1968. С. 163-168.