CC BY
5
Bertyaev Vitaly Dmitrievich, candidate of technical sciences, professor, [email protected], Russia, Tula, Tula State
University,
Lazarenko Alena Evgenevna, candidate of technical sciences, docent, Russia, Tula, Tula State University, Semenova Ludmila Petrovna, candidate of technical sciences, docent, Russia, Tula, Tula State University, Feygin Samuil Davidovich, candidate of physical and mathematical sciences, professor, Russia, Tula, Tula State
University
УДК 539.374
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-32-33
ОБ ИЗМЕНЕНИЯХ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОВТОРНОМ НАГРУЖЕНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ
Л.В. Ковтанюк, Г.Л. Панченко, Е.О. Попова, И.А. Терлецкий
Приводится решение последовательности квазистатических краевых задач об упругом деформировании, возникновении, развитии вязкопластического течения и медленной разгрузке в материале полого цилиндра при изменении давления на его внутренней граничной поверхности. Рассчитывается изменение остаточных напряжений в материале при его повторном нагружении и разгрузке.
Ключевые слова: упругость, вязкопластичность, остаточные напряжения, повторное нагружение.
Задачи деформирования и разрушения труб являются актуальными как для практики, так и для фундаментальной механики деформируемого твердого тела [1]. Различным вопросам упругопластической деформации полых цилиндров посвящены публикации [2-5]. Большие упругопластические деформации толстостенной трубы рассмотрены в [5-8].
Свойство конструкционных материалов упрочняться при пластическом деформировании часто используется на практике для повышения их механических характеристик (механическое упрочнение) и несущей способности конструкций (например, автофретирование). Материал подвергается упрочнению в процессе технологических операций — гибки, ковки, штамповки, которые приводят к деформационной анизотропии материала, оказывающей заметное влияние на его последующее поведение под нагрузкой. В связи с этим актуальное значение приобретают исследования предварительного нагружения на процессы деформирования при разных видах напряженного состояния. Здесь рассмотрим задачу о двух последовательных нагружениях толстостенной трубы из упруговязкопластиче-ского материала внутренним давлением, учитывая развитие вязкопластического течения как при первом, так и при втором нагружении.
1. Исходные модельные зависимости. В качестве математической модели деформируемой среды будем
использовать модель упруговязкопластического тела, когда вязкие свойства материала учитываются только при его
пластическом течении [9]. Полагаем, что деформации малы и представляют собой сумму обратимых (упругих)
Ч
е- и необратимых (пластических) р- деформаций:
¿г] = 2 (иг,] + и],г) = ег] + Ру • (11)
Компоненты тензора скоростей деформации определяются зависимостями
= 2 ( + »],■ )= = + р у =4 +8р, (12)
где и■, - компоненты векторов перемещений и скоростей точек среды; точкой обозначена производная по времени ^.
Напряжения в теле определяются упругими деформациями е ■■ согласно закону Гука:
■■
= Х екк + е], (13)
где X, Ц - параметры Ламе.
В качестве функции нагружения будем использовать обобщенное условие пластического течения Треска - Сен-Венана [9]
F (СТУ '&ij )= k '&ij )= 2maX|CTi "СТ j maX
(1.4)
2
Из принимаемого принципа максимума Мизеса [9, 10] следует ассоциированный закон пластического течения
ер =^, 0. (1-5) 32
В (1.4) и (1.5) ст,, 8р - главные значения тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций; - к
к - предел текучести; ^ - коэффициент вязкого сопротивления пластическому течению.
2. Постановка задачи. Упругое решение. Рассмотрим толстостенную трубу, изготовленную из упруго-вязкопластического материала, с внутренним и внешним радиусами г0 и Д соответственно. Считаем, что труба
находится под действием внутреннего равномерного давления. В цилиндрической системе координат г, ф, г граничные условия задачи имеют вид
,=г0 =- Р( ),
ст,
г=Д = 0
(2.1)
где стгг - радиальная компонента тензора напряжений. Рассмотрим упругое равновесие слоя, когда уровень приложенного внутреннего давления р (0)= рд не приводит к пластическому течению. Данная задача является классической задачей Ламе линейной теории упругости. Получим ее решение.
Из (1.1) для отличных от нуля компонент тензора деформаций в рассматриваемом случае имеем
и
йгг егг и , йфф ефф
(2.2)
где и = иг - единственная отличная от нуля компонента вектора перемещений. Штрихом обозначена производная по переменной г .
Отличные от нуля компоненты тензора напряжений получим из закона Гука (1.3) с учетом зависимостей
(2.2):
стгг = (X + 2ц)и' + X
и, афф = Х и' + (Х + 2ц)),
стгг = X и' + -
В рассматриваемом случае уравнение равновесия примет вид
ст' + 2 СТгг -СТфф =0.
(2.3)
(2.4)
С учетом соотношений для напряжений (2.3), уравнение (2.4) записывается в перемещениях
„и 'и и '' +---2 = 0.
г г 2
Интегралом уравнения (2.5) является функция
С1
и = — + С2 г. г
Постоянные интегрирования ср С2 найдем, используя граничные условия (2.1):
С1 =
Р0 ^зг02
2Ц Дэ -
2
с2 =
Р0
г0
2(Х + Ц)д2 - г02'
Из соотношений (2.3), (2.6) и (2.7) для компонент тензора напряжений получим
Г г>2 ^ С п2}
1+4
стгг = 2с 2 (Х + ц)
/ - ^
I г /
стфф = 2с2 (х + ц)
СТ гг = 2ХС2.
Компоненты тензора обратимых деформаций найдем из (2.2), (2.6) и (2.7):
С , > С Л , г>2 >
егг с2
1
ц г
, ефф с2
1+Х+Ц
Ц г'
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
СТфф-СТгг )г =2к.
Упругое решение остается приемлемым, пока давление не превышает значение р0, при котором на внутренней поверхности трубы впервые выполнится условие пластичности (1.4) в форме ((
Согласно условию (2.1)
Р0 = к
С 2 ^ 1 - ^' Д2
3. Вязкопластическое течение при возрастающем и постоянном давлении. Начиная с момента времени t = 0, при увеличении нагрузки со значения р0 в окрестности внутренней цилиндрической поверхности развивается область течения г0 < г < г1 ((). В слое г\ (t) < г < Д материал деформируется обратимо. Таким образом,
г
г
г
граница г = г1 () является движущейся границей развивающейся области пластического течения. Условие пластичности (1.4) выполнено в области ^ < г < г1 (). С учетом соотношений (1.2), (1.4) и (1.5) для данной области в рассматриваемом случае следует выполнение равенств
стфф-стгг = 2к - 2П8рг, 8рг +8фф = 0 Ргг + Рфф = 0. (31)
Полагаем, что давление меняется достаточно медленно и поэтому при дальнейшем решении задачи можно оставаться в рамках квазистатического подхода.
Интегрируя уравнение равновесия (2.4) с учетом второго граничного условия (2.1) и условия пластичности (3.1) при г = ), получим, что в области обратимого деформирования перемещение определяется зависимостью (2.6), в которой
c =-
kl
2
c2 =-
кг.
2
(3.2)
2Ц^ " 2(Х + ц)До'
Из соотношений (2.2), (2.3), (2.6) и (3.2) следует, что компоненты тензора напряжений в области обратимого деформирования г () < г < Д вычисляются из зависимостей (2.8), а компоненты обратимых деформаций - из
соотношений (2.9).
В области вязкопластического течения г0 < г < Гl(t) из (1.1) для ненулевых компонент тензора деформаций получим
а = = ' а = = и
агг егг + ргг = и , "фф ефф + Рфф = г ' Из (3.1) и (3.3) следуют уравнения
(3.3)
U + r err + ефф,
и
г
U err ефф + 2 Ргг .
Интегрируя уравнения (3.4) с учетом зависимостей (2.3) и уравнения (2.4), получим
U =
г Сг
_+ С3
2( + ц) г
ргг
A(
афф-агг)- Сз
фф
гг f 2 ' г 2
(3.4)
(3.5)
С3 = С3 ((! A =
Х + 2ц
4ц(Х + ц)
С учетом условия пластичности (3.1) и уравнения равновесия (2.4) из соотношений (3.4) и (3.5) получаем дифференциальное уравнение для компоненты тензора необратимых деформаций ргг
2Ацргг + ргг = 2кА - С". (3 6)
Решением уравнения (3.6) является функция
( 2 > (
ргг = 2 к A
1 -
„2
+
g (г )-\ g (г1)
-ht
h = -
2 A^
(3.7)
где функция g (г) - неизвестная функция интегрирования.
Из условия непрерывности перемещений и компоненты тензора напряжений стгг на упругопластической границе следует, что
с3 = 2 кАг12. (3.8)
Интегрируя уравнение равновесия (2.4) в области вязкопластического течения г0 < г < г1 (() с учетом соотношения (3.7) и граничного условия (2.1) при г = г0 найдем компоненту тензора напряжений
-ht
Л
_ , , 1 I
огг =- р + 2 к ln—+ -г0
Мг!
„2
(
+ ^ g (п )_
V* г 2 Iг
1 1
го2 у
(3.9)
Из условия равенства компоненты тензора напряжений стгг (2.8) и (3.9) на границе области вязкопластического течения г = г1 (), дифференцируя обе части полученного уравнения по г , получим дифференциальное уравнение для упругопластической границы
2„2
2гг
R2 - го2
(
Р + h к
( 2 ^ Р - 2ln * + -1
к го r2
(3.10)
/У
Учитывая первое равенство (3.3), второе равенство (3.5), зависимости (3.7), (3.8) и (3.10), для неизвестной функции g (г) следует дифференциальное уравнение
U
1
г
2
2 g (г)+ ^'(г) + 4 кЛе^(г) = 0, g (г0 ) = -2кЛ, (3.11)
в котором функция ^(г) означает время достижения упругопластической границей точки с координатой г и является решением дифференциального уравнения
РЙ-21пг+-гдЬ£ - р'(0
2 к Го д2
к
Rq- П)2
RT2
2к
C(o ) = о.
(3.12)
Полагая далее с момента времени t = t\ нагружающее давление постоянным, равным p(t\) получим, что в области tq < r < r (t) продолжается вязкопластическое течение, а в области r (t) < r < Rq материал по-прежнему деформируется обратимо. Все формулы данного раздела продолжают выполняться при p = 0 и
p'(^) = 0, а для уравнений (3.11) и (3.12) граничные условия меняются на следующие:
к t1
g(n) = -2kAeht1 + -к2 Jn2ehtdt, <&) = t1. Л1 0
Функция давления была выбрана линейной: p(t) = po (1 + yt) , у = const. Расчеты проводились в нормированных переменных х = yt и г/Rq при следующих значениях постоянных: Х/ц = 1.272, к/( + 2ц) = 0.000527 , Tq/Rq = 0.2 , к/у = 20 . На рис. 1 представлен график упругопластической границы Г / Rq в зависимости от времени х в промежутке от 0 до Х1 = 0.75 при возрастающем давлении и в промежутке от Х1 до Х2 = 2.646 при постоянном давлении. Из графика видно, что при постоянном давлении упругопластиче-ская граница сначала немного увеличивается, а затем ее значение остается постоянным. При этом разность напряжений ф — ф в момент времени хо становится равной 2к во всей области течения.
ШШ / /
0.3350
0.2675
0.2000,
I
1 f
0 Т[
2.5
5.0х4 т5
7.5 т
Рис. 1. Радиус области течения при изменении нагружающего давления
4. Разгрузка. Положим далее, что с момента времени ^ > <1 внутреннее давление уменьшается. С этого момента времени течение в области го < Г < г (<2) прекращается. В области обратимого деформирования Г (<2 )< г < До для перемещений, напряжений и обратимых деформаций остаются справедливыми зависимости (2.6), (2.8) и (2.9), с новыми неизвестными постоянными с и С2 . Причем из второго граничного условия (2.1) следует, что
С2 = (4.1)
2 т , т
В области разгрузки го < г < г1 (<2) продолжают выполняться соотношения (3.5) с новой неизвестной постоянной С3 . Компонента остаточных деформаций ргг теперь не зависит от времени и имеет вид:
( 2 ( ) ( 2 ( ) ^
" " (4.2)
prr = 2 к A
! Г12 (t2 )
1 Т~
+
g (r )—^ g (n(t2 ))
Из условия непрерывности напряжений и перемещений на границе г = г1 (<2 ) следует взаимосвязь постоянных:
с3 = 4^лс1.
Интегрируя уравнение равновесия в области разгрузки с учетом второй зависимости (3.5), соотношения (4.2) и граничного условия (2.1), найдем компоненту напряжений
°rr = _ Р + 2 k
ln Г + r12 (t2 )
r0
2
1 1
r0
/У
+
-*2 ' ГЯ(rXr + 1 fe )
I
V. r0
2
g (пЫ)
11
r0
(4.3)
Приравнивая компоненты тензора напряжений стгг (2.8) и (4.3) на границе г = ^(2) с учетом (4.1), получим зависимость для постоянной с1 :
c1 =
R ro2 (
(RQ)
p k 2ц ц
(
ln-
ri('2 )+1 (1 _ m)
ro
ro
/у
„_ht2
2цА
rt ]éXir+Mû X1 _ Ш
УУ
V r0
В момент полной разгрузки при ¿3 > t2 (^3 = 3.646 ) давление на внутренней граничной поверхности
становится равным нулю. Давление в процессе разгрузки полагалось равным функцииp(t) = р()(1 _ y(t _ ¿2)) .
Если принять внешнее давление достаточно высоким, то возможно возникновение повторного (обратного) вязкопластического течения при разгрузке [5, 11]. Здесь для упрощения расчетов величина давления выбиралась таким образом, чтобы при разгрузке повторное пластическое течение не возникало.
На рис. 2 а и рис. 2 б сплошными линиями показаны распределения напряжений ~rr = crr /( + 2ц) и
~фф = °фф/( + 2ц) соответственно в конечный момент разгрузки.
5. Повторное нагружение. Пусть после полной разгрузки с момента времени t = '3 давление на внутренней цилиндрической поверхности снова возрастает: р (t) = poy(t _ ¿3). В этом случае до момента времени t = t4 > t3 , в который в области ro < r < r (t2 ) выполняется условие пластичности и вязкопластическое течение возобновляется сразу во всей этой области, решение определяется зависимостями предыдущего раздела. Отметим, что давление, вызывающее течение при повторном нагружении, значительно превышает значение po . Если давление увеличивать и дальше, то область вязкопластического течения ro < r < 1 (t) увеличивается, упругопластиче-ская граница r = r (() в момент времени t = t4 совпадает со значением r (t2 ) и отделяет область течения от упругой области r1 (() < r < Ro.
-0.000075
-O.i
00015g
0.6
а — б
Рис. 2. Распределения напряжений: при полной первой разгрузке (сплошная линия) и при полной второй разгрузке (штриховая линия)
1.0 r/Rо
Решение задачи строится аналогично решению задачи о вязкопластическом течении при первом нагруже-нии. В этом случае выполняются все зависимости раздела 3 с новой неизвестной функцией gl (г) вместо функции
g (г). Выражение для функции gl(r) в области г0 < г < ^^2) следует из условия непрерывности компоненты
необратимых деформаций ргг в момент времени t = t4:
&(r) = _2kA
r12 (t2) >4
+
g (r) _ ¿ы g Ш)
h(t4 _t2 )
В области г1 (t2) < г < г1 (t) функция gl (г) вычисляется из обыкновенного дифференциального уравнения (3.11) при граничном условииgl(г1 (t2)) = -2кАе^4 . В этом уравнении функция ^(г) удовлетворяет уравнению (3.12) при условии (t2)) = t4 .
2
r
r
r
2
2
r
r
На рис. 1 в интервале от Х4 = 5.396 до Т5 = 5.6 показано изменение упругопластической границы г = г1 (<) при возрастающем давлении. Далее с момента времени < = <5 > <4 полагаем внутреннее давление постоянным до момента времени <6 > <5 (т6 = 6.653 ), в который упругопластическая граница перестает изменяться. Затем давление уменьшается до нуля по закону р(<) = р(<6 )(1 — у(< — <6 )).
Компоненты напряжений ~гг и ~^^ в конечный момент повторной разгрузки < = <у показаны на рис. 2 штриховыми линиями.
Рис. 3 а изображает распределения компоненты тензора необратимых деформаций ргг в моменты полной разгрузки: сплошной линией - при первой, штриховой - при повторной. На рис. 3 б показано распределение перемещений в конечный момент времени ту = 7.653 .
-0.00125
-0.00250
0.200 0.245 0.290 0.335 ' 0.2 0.6 10
а б ''/Ä0
Рис. 3. Распределения компоненты необратимых деформаций prr и перемещений при полной разгрузке
В данной работе рассмотрена краевая задача о деформировании толстостенной трубы под действием двух циклов нагрузок, состоящих в приложении внутреннего равномерного давления, сначала возрастающего со временем, затем постоянного и далее уменьшающегося до нуля. При повторном нагружении вязкопластическое течение наступает при значительно большем давлении, чем при первом нагружении. Уровень остаточных напряжений и остаточных необратимых деформаций при повторной полной разгрузке оказывается выше, чем при первой разгрузке. Давление выбиралось так, что повторное течение при разгрузке не возникает.
Список литературы
1. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. Пособие для втузов. М.: Высшая школа,
1979. 320 с.
2. Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Упруго-пластические деформации полых цилиндров. М.: Изд-во МГУ, 1960. 227 с.
3. Zhao W., Seshadri R., Dubey R. N. On Thick-Walled Cylinder Under Internal Pressure // ASME. Journal of Pressure Vessel Technology. 125(3). 2003. P. 267 - 273.
4. Миронова С.Н. Решение задачи упругопластического деформирования и разрушения толстостенной трубы на основании эндохронной теории пластичности // Вестн. СамГТУ. Вып. 4. Сер. "Физ.-мат. науки". Самара: СамГТУ, 1996. С. 85 - 92.
5. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Большие необратимые деформации и упругое последействие. Владивосток: Дальнаука, 2013. 312 с.
6. Nadai A. Theory of Flow and Fracture of Solids. New York, Toronto and London, 1950. V. 1. 572 p.
7. Mac Gregor C.W., Coffin L.F., Fisher J.C. The plastic flow of thick-walled tubes with large strains // Journal of applied physics. 1948. Vol. 19. № 3. P. 291 - 297.
8. Соколов С.Н. Определение разрушающих давлений в трубах // Расчеты на прочность. Сб., вып. 2. М.: Машгиз, 1958.
9. Знаменский В.А., Ивлев Д.Д. Об уравнениях вязкопластического тела при кусочно-линейных потенциалах // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 6. С. 114 - 118.
10. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.
11. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Возможность повторного пластического течения при общей разгрузке упругопластической среды // ДАН. 2000. Т. 375. № 6. С. 767 - 769.
Ковтанюк Лариса Валентиновна, д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН, профессор РАН, гнс, [email protected]. Россия, Владивосток, Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН,
Панченко Галина Леонидовна, канд. физ.-мат. наук, снс, [email protected]. Россия, Владивосток, Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН,
Попова Елена Олеговна, аспирант, polenao@bk. ru, Россия, Владивосток, Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН,
Терлецкий Игорь Анатольевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected], Россия, Владивосток, Дальневосточный федеральный университет, Россия, Владивосток, Морской государственный университет имени адмирала Г.И. Невельского
ON CHANGES IN RESIDUAL STRESSES DURING REPEATED LOADING OF A CYLINDRICAL ELASTOVISCOPLASTIC LAYER
L.V. Kovtanyuk, G.L. Panchenko, E.O. Popova, I.A. Terletsky
The paper presents the solution of a sequence of quasi-static boundary value problems on elastic deformation, occurrence, development of viscoplastic flow and slow unloading in the material of a hollow cylinder with a change in pressure on its inner boundary surface. The change in residual stresses in the material during its repeated loading and unloading is calculated.
Key words: elasticity, viscoplasticity, residual stresses, repeated loading
Kovtanyuk Larisa Valentinovna, doctor of physics and mathematics, corresponding member RAS, professor of RAS, Chief Researcher, [email protected], Russia, Vladivostok, Institute of Automation and Control Processes FEB RAS,
Panchenko Galina Leonidovna, candidate of physical and mathematical sciences, senior researcher, [email protected]. ru, Russia, Vladivostok, Institute of Automation and Control Processes FEB RAS,
Popova Elena Olegovna, postgraduate, [email protected], Russia, Vladivostok, Institute of Automation and Control Processes FEB RAS,
Terletsky Igor Anatolyevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, [email protected], Russia, Vladivostok, Far Eastern Federal University, Russia, Vladivostok, Maritime State University named after admiral G.I. Nevelskoy
УДК 539.375
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-38-39
ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОНКОГО АДГЕЗИОННОГО СЛОЯ КОМПОЗИТА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НОРМАЛЬНЫМ ОТРЫВОМ
В.Э. Богачева
Рассматривается упругое деформирование композитной пластины, состоящей из двух консолей, связанных адгезионным слоем в состоянии плоской деформации. Напряженное состояние слоя рассматривается на основе средних по толщине характеристик. Из общей вариационной постановки с учетом теории Миндлина - Рейснера получена постановка в дифференциальном виде. Приведен вариант решения трех дифференциальных уравнений второго порядка при комплексных корнях характеристического уравнения. Найдено аналитическое решение.
Ключевые слова: адгезионный слой, композит, слой взаимодействия, нормальный отрыв, упругое деформирование.
Механика композиционных материалов является одним из основных разделов современной механики деформируемого твердого тела. При экспериментальных исследованиях трещиностойкости адгезионных слоев в качестве исследуемого образца обычно используют двухконсольную балку. А трещиноподобный дефект в адгезиве моделируют слоем нулевой толщины.
В работах [1-5] трещиноподобный дефект представляют в виде разреза с характерной толщиной. Для случая зарождения трещины в адгезионном слое, соединяющем тела, толщины которых существенно превосходят толщину слоя, при моделировании процесса зарождения трещины адгезионный слой заменяют «слоем взаимодействия» [4-5], с механическими характеристиками адгезива и толщиной в виде линейного параметра §0.
1. Постановка задачи. В работе рассматривается нагружение нормальным отрывом слоистого композита (рис. 1), состоящего из консолей 1 и 2 с одинаковыми толщинами Н и механическими свойствами, которые сопряжены по длине £ адгезионным слоем 3 с конечной толщиной §0. Зона без слоя имеет длину а . Правый торец композита жестко закреплен от перемещений, на левом торце действует антисимметричная распределенная нагрузка интенсивностью Р .
Образец находится в состоянии плоской деформации в рамках линейной теории упругости.
Для описания взаимодействия адгезионного слоя с телами 1 и 2 применим концепцию «слоя взаимодействия», развитую в работах [4-5]. При заданном нагружении и рассматриваемой геометрии образца поле перемещений границ слоя 3 имеет вид: щ = и1 , и2 = - и 2 , где иП , ип - соответственно компоненты векторов перемещений верхней и нижней границ слоя, п = 1,2 здесь и далее. Поэтому ограничимся рассмотрением только консоли 1, запишем ее уравнение равновесия в вариационной форме:
| о • +1022§и+ах1+0.5§01 ©11 ^§и1 ах =| Р • §иа/ (1)
£ £ дх1 1Л
