ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПЛОТНОСТИ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ПОТОКЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

I

Актуальные проблемы

естествознания

Л )

В.А. Бубнов

Об изменении плотности в гидродинамическом потоке

В работе осуществляется вывод уравнений гидродинамики из закона движения Ньютона в двух формах, одна из которых представляет закон движения материальной точки с постоянной массой, а другая — движение материальной точки с переменной массой.

Ключевые слова: частица жидкости; плотность; объемная и сдвиговая вязкость.

П

ри выводе уравнении гидродинамики рассматривается движение частицы, к которой применяется второй закон движения Ньютона, векторная форма которого такова:

м^ = ТР. С1)

й г ^ ^

Здесь через м обозначена масса материальной точки, через V — ее скорость, а сумма справа представляет сумму всех сил, действующих на материальную точку.

Отличие частицы жидкости от материальной точки состоит в том, что она представляет систему материальных точек, каждая из которых имеет различные скорости, следствием которых представляется деформационное движение частицы, характеризуемое скоростями и, V, и вдоль осей х, у, 2 соответственно. Чтобы отразить это деформационное движение в уравнении (1) Леонард Эйлер ввел оператор полной производной: й д д д д

— = — + и — + V— + и—, (2)

й г дг дх ду д2

„д „ддд состоящий из локальной производной — и конвективной: и--+ V--+ и —.

дг дх ду д2

Если теперь в уравнение ввести плотность р жидкости как отношение массы м частицы к единице объема, массовую силу:

10

ВЕСТНИК МГПУ ■ СЕРИЯ «ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ»

К = 7 • рХ + 7 • рУ + к • р2, отнесенную к единице объема, а также поверхностную силу

Р = 7

(

+к •

дх ду

дтх * дту * х + —— +

д*

да ^ д-

+ 7 •

(дт

х у

+ -

дх ду

да у + дТу *}

д-

+

(3)

дх ду

отнесенную к единице объема, то уравнение (1) примет вид:

(V ^ ^ р— = К + Р. (г

Отметим, что производная по времени г вычисляется в (3) по формуле (2),

V V V

а через 7, 7, к обозначены орты координатных осей х, у, * соответственно.

V

Согласно вышеизложенным представлениям, вектор V, входящий в (3), будет определять скорость частицы жидкости, принимаемой в качестве гидродинамической скорости. В системе прямоугольных координат х, у, *, этот вектор

V V V V

представляется так: V = 7 • и + ]• V + к • н.

Теперь, учитывая приведенные выражения для массовых и поверхностных сил и проектируя (3) на координатные оси х, у, * получаем так называемое уравнение динамики частицы жидкости в напряжениях:

( и ^ (да р— = рХ + (г

дтх у дт

Л

дх ду

д.*

(V V

р— = рУ + (г

(дт

V

( н 7 / р— = р! +

(г

дх

дт

да дту

ду дт

у *

д*

да„

дх ду

+ -

дг

(4)

В уравнении (4) использованы общеизвестные обозначения: ох, а а* — нормальные напряжения, а т , т , т — касательные напряжения. Также при

г Г 1 ху1 х^ у* Г Г

написании уравнений (4) принято во внимание, что т = т ; т = т ; т = т .

¿г \ / г 1 ху ух хг у* *у

Система уравнений (4) является аналогом уравнения (1) применительно к частице жидкости, и она является исходной для вывода уравнений гидродинамики.

Проблема вывода указанных уравнений состоит в установлении связи между напряжениями, входящими в правую часть (4), и скоростями деформационного движения и, V, н. Первый шаг в решении данной проблемы состоит в выделении из нормальных напряжений а, а а* гидродинамического давления р. Это делается в гидродинамике с помощью следующих формул:

Актуальные проблемы естествознания

11

-Р + , °у =-Р + , О =-Р + .

(5)

Далее в рамках определенной гипотезы устанавливаем линейную зависимость между напряжениями и скоростями деформационного движения и, V, и следующего вида:

о ди

°х = Ле + 1у—; тху = у

дх дv

° = Ле + 2у — Ту 2 = у ду

ди ^ — + —

ду дх

дv + ди дх ду

(6)

. „ ди (ди ди \

°г =Ла + 2у—; тх 2 = у\ — + — дх у дх дх)

Здесь в (6) величину е называют скоростью объемного расширения частицы жидкости и определяют так:

ди ^ ди 1 ^

£=-+-+-= й^,

дх ду дх

(7)

а параметры X и /л называют объемной и сдвиговой вязкостью соответственно. Гипотезу (6) связывают с именем английского исследователя Стокса. Уравнения в напряжениях (4) после подстановки в них выражений (6) становятся определенными относительно скоростей и, V, и и принимают вид:

й и др да

р-= рХ - — + (Л + у)— + уV2u,

й г дх дх

р^ = ру-Ф + (л + у) ^ + й г ду ду

й и др .. .де „2

р— = р2--?- + (Л + у) — + уV2 и, й г дх дх

где дополнительно введен так называемый оператор «набла квадрат»:

д2 д2 д2

(8)

V2

(9)

дх2 ду2 дх2

Для записи системы уравнений (8) в компактном векторном виде введем оператор «набла»:

_ ^ д ^ д ? д V = г — + ] — + к—. дх ду дх

Этот оператор есть вектор, поэтому конвективную производную оператора (2) можно представить как скалярное произведение вектора V на вектор V, т. е.

д д д ^ и — + V— + и— = (V -V) .

дх ду дх

Теперь оператор полной производной можно представить так:

( д V

_ = _ + (V •У) . (10)

( г дг

Операторы «набла», «набла квадрат» и выражение (10) позволяют систему (8) из трех уравнений для и, V, н представить в форме одного уравнения

V

для вектора гидродинамической скорости V :

дУ V V V 2 V

р-+ (V •У^ = К р + (А + ^У^ + ^У2 V. (11)

дг

Для определения величины давленияр в гидродинамическом потоке введем величину рт как среднее арифметическое нормальных напряжений а, ау, а*, т. е.

Рт = 3 а +ау + а) = - р + 3(ах +а'у + а') . (12)

Учитывая в (6) выражения для а'х, а', а', получаем:

-(а'х + а'у + а') = А + е. (13)

3 V 3 /

Чтобы приравнять давление рт гидродинамическому давлению р, Стокс в правой части (13) определил объемную вязкость X через сдвиговую вязкость /л так: 2

А = - 3 и (14)

Уравнение (11) в таком случае становится таким:

р— + (^У)^ р + -УЕ + иУ2?, (15)

(г 3

получив в научной литературе название уравнения Навье - Стокса.

Гипотеза (14) позволила исключить из уравнения (11) параметр X как величину, определяемую экспериментально, и позволила на базе решений уравнения (15) создать прибор для определения сдвиговой вязкости /л. Однако до сих пор никто не обращает внимания на то, что X в (14) суть величина отрицательная. Кроме того, гипотеза Стокса (14) исключает влияние гидродинамического движения на тепловое так, что указанные движения сосуществуют независимо друг от друга. Последнее обстоятельство подтверждается также наблюдениями Осборна Рейнольдса над движениями окрашенных струй в ламинарных потоках.

В литературе известны случаи учета объемной вязкости в гидродинамических потоках [2-3]. В рамках акустических измерений авторы работы [7] при расчете коэффициента поглощения ультразвуковых волн в уравнениях вязкой жидкости учли коэффициент объемной вязкости X. Сравнение

полученной при этом теоретической формулы для коэффициента поглощения с экспериментальными данными опровергли гипотезу Стокса (14).

В таблице 1 приводим данные, заимствованные из [7], по соотношению между X и /л для воды при различных температурах и давлениях.

Таблица 1

Л Л

Г, °С — Р, ат —

У У

0 3,11 1 2,68

20 2,8 1000 2,33

40 2,69 2000 2,33

60 2,72 - -

Из данных этой таблицы следует, что X суть величина положительная и

Л

отношение — изменяется в пределах от 2,33 до 3,11. У

Перейдем к анализу влияния объемной вязкости X на величину давления в гидродинамическом потоке. Считая это давление Рм как среднее арифметическое нормальных напряжений о , о, о, получаем из (11) и (12):

' 2 л

Рм =- Р +

Л +—у 3

е. (16)

Из (16) следует, что если е Ф 0, то объемная и сдвиговая вязкости изменят величину Рм по сравнению с гидростатическим давлением Р, сохраняя независимым Рм от направления, что укладывается в известный закон Паскаля.

Вернемся к системе уравнений (8) и в рамках модели идеальной жидкости (л = 0), а также отсутствия массовых сил (X = У = Z = 0). Перепишем ее так:

йи=дРм. р—=^Рм • йи=дРж. (17)

й г дх ' й г ду' р й г дх '

где Р = -р + Хе, а производная определена по формуле (2).

м й г

В системе уравнений (17) от скоростей и, V, и перейдем к скорости V как скорости частицы жидкости при ее движении вдоль линии тока. Для этого введем уравнение линии тока:

й х й у й х й s — = — = — = —, (18) и V и Ув

где d я — элемент линии тока. Из (18) можно также получить соотношения: й х и , й у V й х и

-= — = I; — = — = п; -= —= q, (19)

й 5 V й 5 V й 5 V

в которых через I, п, q обозначены косинусы углов, которые образуют направления скорости V с осями х, у, г соответственно. Формулы (19) означают, что

V2 = и2 + V2 + w2; V = I и + п V + q w. (20)

Для перехода в левой части уравнений (17) от производных по х, у, г к производной по направлению 5 воспользуемся общеизвестной формулой математического анализа:

ё 1 д д д

-= I--+ п--+ q —.

ё 5 дх ду дг

После чего уравнения (17) можно переписать так, если учесть дополнительно, что согласно (19) и = V ■ I, V = V ■ п, w = V ■ q :

ди + ^ ё и _ 1 дрп дг + "

I+ ^

+ V

d s p dx

d v 1 Фт

d s P fy '

d w _ 1 dpm

(21)

dt d s p dz

Умножая эти уравнения на l, n, q соответственно и складывая их, получаем:

dVs 1 d /т,2ч 1 dpm

"IT+oT" (V) = ~я • (22)

dt 2 d s p d s

Если Vs не зависит от времени, то уравнение (22) допускает интеграл:

pvs2

- Pm +—2Г = COnSt, который при X = 0 либо при е = 0 переходит в общеизвестный интеграл Бернулли:

pvs2

p +--— = const•

2

При решении задач гидродинамики на основе уравнений вязкой жидкости в форме (11) возникает вопрос о значениях величины плотности р. Уже отмечалось, что в уравнениях Навье-Стокса влияние объемной вязкости на гидродинамическое давление устранено. Поэтому в таких потоках тепловое движение молекул и видимое движение сплошной среды не влияют друг на друга. В таком случае гидростатическое давление p как одна из характеристик теплового движения связана с плотностью р и температурой T уравнением состояния вида p = f (р, T), из которого и определяется величина плотности.

Однако в рамках движений, определяемых уравнением (11), гидродинамическое давление p согласно (16) зависит как от объемной вязкости, так

и от сдвиговой, вследствие чего тепловое движение молекул будет расстроено видимым движением, и уравнение состояния указанного вида не имеет места.

Сущность изложенной проблемы относительно определения плотности в уравнениях движения жидкости, как правило, умалчивается, и традиционно поступают следующим образом.

К уравнениям движения, как идеальной жидкости, так и вязкой добавляют так называемое уравнение неразрывности 1 dp

--т~ + £ = 0 (23)

p d t

и вводят понятие несжимаемой жидкости, как жидкости, у которой р = const и соответственно е = 0.

dp а

Если же ~~~~ ^ 0, то жидкость называют сжимаемой и величина е Ф 0 опре-d t

деляет свойство сжимаемости для жидкости или газа.

Такое решение проблемы, обозначенной выше, вызывает ряд возражений. Во-первых, уравнения (11) и (15) выведены из уравнения (1), в котором постулируется постоянство массы материальной точки, а следовательно, и плотность р всегда суть величина постоянная.

Во-вторых, в [1] показано, что кинематическое соотношение (23) имеет место только в частном случае деформационного движения частицы жидкости.

Действительно, касательные и нормальные напряжения (6) определяются через следующие параметры деформационного движения: _ ди _ dv _ _ dw (

дх' 2 ду' 3 dz'

dw dv ди dw dv ди 2vx =--\--; 2u2 =--\--; 2a3 =--\--.

ду дz дz дх дх ду

(24)

При изучении кинематических характеристик частицы жидкости в [1] показано, что соотношение (23) получено в условиях, когда в1 = в2 = в3 = 0. Этот результат переводит, в частности, все рассуждения относительно сжимаемости жидкости, построенные на основе выражения (23).

Известно, что деформационное движение изменяет форму частицы жидкости. Так, если первоначальная форма частицы принята в виде шарика объемом У0, то по истечении времени Дг исходная форма превращается в эллипсоид объемом V1. Количественно такое изменение формы характеризуется величиной

Л V,-V! AV

0 = —-1 =-, (25)

V0Aг Аг (25)

называемой коэффициентом кубического расширения, отнесенным к единице времени. В современной терминологии этот коэффициент — скорость объемного расширения частицы жидкости.

В [1] эта величина выражена через характеристики деформационного движения так:

в = —(£ + А ё г + В ё г2), (26)

где

ди дv дw — + — + —:

дх ду дг

л2 , п2 , л2^

£ = £ + £2 +£3 = — + — + ■

А = ££2 + ££3 + £2£3 - (в12 + в22 + в32) ; В = £^£3 + 2ввв3 — (£в2 + £ввв + £3в32) .

(27)

При выводе формулы (26) принято, что Дг = d I, что позволительно ввиду независимости переменной г.

Частица жидкости характеризуется массой п и плотностью р, через которые объемы V и V определяются так:

ТЛ п0 т

V = —, V =-Л (28)

Ро Р1

Формулы (28) позволяют рассмотреть три случая изменения коэффициента кубического расширения в.

Действительно, пусть при деформационном движении масса частицы жидкости не изменяется, т. е. п1 = п0 = п. Тогда из (25) с учетом (28) получаем:

в=РР—Р =1Р (29)

рА р ё г

Вопреки установившемуся в гидродинамике мнению из этих рассуждений не следует, что постоянство плотности частицы жидкости влечет постоянство ее массы во время деформационного движения.

Случай, соответствующий формуле (29) означает, что изменение плотности происходит только за счет изменения объема частицы.

Второй случай движения частицы жидкости — когда во время движения сохраняется ее плотность, т. е. р1 = р0 = р. Тогда из (25) и (28) получаем:

Л п0 — т 1 ё п

в = = —~Т. (30)

п0Аг па г

И, наконец, при движении частицы жидкости может оказаться, что р1п0 = р0п1. Тогда из (25) и (28) следует:

в = 0. (31)

Формулы (29)-(31) позволяют из соотношения (26) получить три равенства, характеризующие процесс объемного расширения частицы жидкости:

р й г

1 йр+(е + А й г + В й г2) = 0;

т й г

+ (е + А й г + В й г2) = 0;1 (32)

(е + А й г + В й г2) = 0.

Заметим, что ни одно из соотношений в (32) не допускает возможности того, чтобы полагать е = 0. Последнее означает необходимость учета объемной вязкости в уравнениях гидродинамики.

При изучении второго закона движения Ньютона по современным учебникам физики у каждого может сложиться мнение, что Ньютон этот закон представил в форме уравнения (1). В действительности уравнение (1) Ньютон не писал (см. [8]). Это сделали вместо него последующие исследователи и исказили некоторые особенности данного закона.

В действительности, прежде чем дать словесную формулировку рассматриваемого закона, Ньютон дал определение следующим двум величинам.

Первую из них он назвал количеством материи и дал ей такое определение: количество материи есть мера последней, возникающая из ее плотности и величины объема вместе взятых, т. е. перемноженных. Из этих слов и из всего текста в [8] следует, что количество материи — это масса в современном толковании.

Вторая величина, введенная Ньютоном, была названа им количеством движения. Согласно его определения количество движения есть мера последнего, возникающая из скорости, и пропорциональная произведению скорости и количеству материи вместе взятых (перемноженных). Итак, эта вторая величина

пропорциональна скорости и количеству материи, т. е. массе. Если скорость V

и масса т, то эта величина пропорциональна или просто равна т V .

С использованием указанных терминов второй закон движения Ньютона сформулирован им так: изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует [8: с. 40].

В рамках такого определения мы вправе формульный вид рассматриваемого закона представить так:

Коэффициент пропорциональности с может, с одной стороны, приводить к одинаковой размерности правой и левой частей в (33), с другой стороны, величина с может быть отвлеченным числом.

Отличие уравнения (33) от (1) состоит не только в том, что с Ф 1, но и в том, что в (33) масса суть величина переменная, стоящая под знаком

(33)

производной по времени г. Учитывая это обстоятельство, переписываем уравнение (33):

ё V у ё п ^ у с п-+ с V-= у р. (34)

ё г ё г ^

_ ё п

Теперь следует вычислить изменение массы - для движущейся части-

ё г

цы жидкости. Для этого предположим, что в формуле т = р V=р dx dy dz

изменяется со временем и плотность р, и объем V частицы жидкости. Тогда

ё п ё (р¥) ё V „Тёр

-= 4 = р-+ V—.

ё г ё г ё г ё г

Далее учитываем выражение для величины в по (25) и получаем:

ё V АУ „ V — V „ _

р~ёй = = р ■ ^ -р'°-0. (35) Теперь с учетом формул (29) и (35) исходному уравнению (34) можно придать вид:

ё V

с п-

- + с V-рв^ + V,) = У Р. (36)

Далее делим левую и правую части в (36) на величину объема V частицы жидкости, полагаем в = -е = -ёг\ V ; после чего получаем:

ё V Л VЛ

с р~,--с

ё г

1

V

V-р £ = К + Р. (37)

V У 7

Нормируем время г введением следующего оператора полной производной

Б 1 д д д д

-=--+ и — + V— + н>— (38)

Б г с дг дх ду дг

и введем в (37) дополнительные обозначения:

+ ^ = с = 1 — в. (39)

Силы в правой части (37) будем, как и ранее, вычислять по (6), после чего, учитывая выражения (38) и (39), уравнению (37) придаем вид:

рд^ + (1 — ^рф - уу — в рУёivУ = = К — У- р + (Я + ¿)У - (ёivУ) + ¿У V.

Если в (40) исключить X по гипотезе Стокса (14), то уравнение (40) превращается в следующее:

р — + (1 — в)р(У - УУ — в рУёivУ =

дг (41)

= К — У- р + иУ- (ё^) + иУ V.

Уравнение (41) из молекулярно-кинетических представлений впервые получено А.С. Предводителевым в 1948 году [9]. Позднее в работах [3-4] дан вывод уравнения (40) на основе гипотезы о том, что размеры объема частицы жидкости дискретны и гидродинамическая скорость имеет разрывной характер.

Отметим, что в работах [5-6] уравнение (41) использовалось для расчета так называемых местных сопротивлений.

Литература

1. Бубнов В.А. О деформационных движениях частицы жидкости // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». 2008. № 1 (20). С. 71-77.

2. Бубнов В.А. Об учете объемной вязкости в гидродинамических течениях // Вестник МГПУ. Серия «Естественные науки». 2011. № 1 (7). С. 14-21.

3. Бубнов В.А. Одно замечание к специальным решениям уравнений гидродинамики // Инженерно-физический журнал. 1970. Т. XIX. № 1. С. 124-128.

4. Bubnov VA. On Generalized Hydrodynamic Equations Used In Heat Transfer Theory // Heat J. Mass Transfer. 1973. Vol. 16. Р. 109-119.

5. Бубнов В.А. Об уравнении Бернулли для турбулентных течений и гидродинамическом сопротивлении гладких труб // Весщ АН БССР. Серия фiз. Энерг. Навук. 1990. № 1. С. 121-125.

6. Бубнов В.А. Расчет местных сопротивлений в проточной части гидропривода // Вестник машиностроения. 1989. № 11. С. 17-20.

7. Литовец Т., Девис К. Структурная и сдвиговая релаксация в жидкостях. Физическая акустика // Свойства газов, жидкостей и растворов. Т. 2. Ч. А. М.: Мир. 1968. С. 298-370.

8. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Пер. с лат. А.Н. Крылова // Собрание трудов академика А.Н. Крылова. Т. VII. М.-Л.: АН СССР. 1936. 696 с.

9. Предводителев А.С. О молекулярно-кинетическом обосновании уравнений гидродинамики // Известия АН СССР. Отделение технических наук. 1948. № 4. С. 545-560.

Literatura

1. Bubnov V.A. O deformacionny'x dvizheniyax chasticzy' zhidkosti // Vestnik MGPU. Seriya «Estestvenny'e nauki». 2008. № 1 (20). S. 71-77.

2. Bubnov V.A. Ob uchete ob"emnoj vyazkosti v gidrodinamicheskix techeniyax // Vestnik MGPU. Seriya «Estestvenny'e nauki». 2011. № 1 (7). S. 14-21.

3. Bubnov V.A. Odno zamechanie k special'ny'm resheniyam uravnenij gidrodina-miki // Inzhenerno-fizicheskij zhurnal. 1970. T. XIX. № 1. S. 124-128.

4. Bubnov V.A. On Generalized Hydrodynamic Equations Used In Heat Transfer Theory // Heat J. Mass Transfer. 1973. Vol. 16. R. 109-119.

5. Bubnov V.A. Ob uravnenii Bernulli dlya turbulentny'x techenij i gidrodinami-cheskom soprotivlenii gladkix trub // Весщ АН БССР. Серия фiз. Энерг. Навук. 1990. № 1. S.121-125.

6. Bubnov V.A. Raschet mestny'x soprotivlenij v protochnoj chasti gidroprivoda // Vestnik mashinostroeniya. 1989. № 11. S. 17-20.

7. Litovecz T., Devis K. Strukturnaya i sdvigovaya relaksaciya v zhidkostyax. Fizicheskaya akustika // Svojstva gazov, zhidkostej i rastvorov. T. 2. Ch. A. M.: Mir. 1968. S.298-370.

8. N'yuton I. Matematicheskie nachala natural'noj filosofii / Per. s lat. A.N. Kry'lo-va // Sobranie trudov akademika A.N. Kry'lova. T. VII. M.-L.: AN SSSR. 1936. 696 s.

9. Predvoditelev A.S. O molekulyarno-kineticheskom obosnovanii uravnenij gidro-dinamiki // Izvestiya AN SSSR. Otdelenie texnicheskix nauk. 1948. № 4. S. 545-560.

V.A. Bubnov

On Density Changes in the Hydrodynamic Flow

In this paper the author implements outputs of equations of hydrodynamics from Newton's law of motion in two forms, one of which presents the law of motion of a material point with constant mass, and the other — the motion of a material point with variable mass.

Keywords: fluid particle; density; bulk and shear viscosity.