Об изменении функций распределения пор и частиц по размерам в процессе воздействия на нефтянные пласты полимердисперсными системами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Об изменении функций распределения пор и частиц по размерам в процессе воздействия на нефтянные пласты полимердисперсными системами

Никифоров А.И., Тимошенко И.Е. (timoshenko@mail.knc.ru)

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН

Широко применимые в настоящее время методы воздействия на нефтяные платы полимердисперсными системами (ПДС) требуют адекватного математического описания, которое невозможно без выполнения сравнения результатов численных исследований с экспериментальными данными.

Сущность метода ПДС состоит в последовательной закачке оторочек воды, слабо концентрированного полимерного раствора (обычно полиакриламида) и воды с дисперсными частицами (частицами горных пород). Механизм воздействия определяется следующими процессами взаимодействия компонентов системы с пластом и между собой [1,2]. Макромолекулы полимера, двигаясь по пласту, адсорбируется на стенки поровых каналов [3]. Поступление твердых частиц в эту среду сопровождается осаждением одной их части на стенки поровых каналов из-за взаимодействия со свободными функциональными группами полимера, закрепившегося на поверхности пор. Другая их часть вступает во взаимодействие с макромолекулами полимера в движущейся жидкости, образуя при этом агрегаты в виде одной или нескольких частиц с прикрепленными к ним макромолекулами полимера. В свою очередь агрегаты могут находиться в подвижном состоянии, осаждаться на поверхности пор или механически удерживаться в сужениях поровых каналов, существенно изменяя при этом свойства пористой среды.

В работе [4] предложена математическая модель, в которой замыкающие соотношения построены с использованием функций распределения пор и частиц по размерам. Цель настоящей работы - 1) разработать алгоритм численного решения задач Коши для функций распределения пор и частиц по размерам; 2) сравнить численное решение эволюции этих функций с имеющимися экспериментальными данными.

Законы сохранения.

Считаем, что каждая точка нефтяного пласта характеризуются пористостью ш=ш(х,у,2,1) и абсолютной проницаемостью к=к(х,у,2^), под которой будем понимать проницаемость по нефти при пластовом насыщении связанной водой [5].

Пористую среду условно разобьем на две части [6], характеризуемые пористостями ш1 и ш2, которые меняются в процессе насыщения пласта водой: ш - пористость пласта; ш1 - часть порового пространства, занятого подвижными жидкостями (динамическая пористость); ш2 -часть порового пространства с неподвижными жидкостями; ш1 + ш2 = ш. Будем считать, что фильтрация изотермическая, жидкости несжимаемы, примеси (полимер и дисперсные частицы) переносятся только водой и их концентрация мала.

Таким образом, описываемое явление можно описать следующими законами сохранения массы и импульса.

Уравнения сохранения масс фаз и компонентов для первого континуума

д

)+^^ = , 0= о, ^ (1)

дt

£ (с, )+^У(С,; Vw) = -я/ (/ = 1,2) (2)

В приведенных выше уравнениях нефти соответствует индекс г=о, воде - i=w; / - номер компонента (/=1 - соответствует полимеру, 7=2 - дисперсной примеси); V - скорости

фильтрации /-ой фазы; Я1о и £1и, - нефтенасыщенность и водонасыщенность первой среды: Я1о + = 1 (0 < Я1о < 1); С1- объемная концентрация у-го компонента в первом континууме; qi - интенсивность перетока /-ой фазы из подвижного континуума в неподвижный; q1-интенсивность изъятия у - го компонента из подвижного (индекс 1) континуума.

Уравнения движения фаз возьмем в виде обобщенного закона Дарси

V/ = -Квгаа(Р) (/= о, V) (3)

А

Здесь Р - давление; |лi - динамическая вязкость; К/ = - фазовая проницаемость, // -

относительная фазовая проницаемость.

По аналогии запишем уравнения движения для примесей, движущихся с фильтрационным потоком. При моделировании заводнения с применением полимера обычно предполагается, что полимер движется со скоростью воды, в этом случае скорость воды определяется некоторой фиктивной вязкостью, зависящей от концентрации полимерного раствора: /л1 = /л1 (С11). Наличие твердых частиц малой концентрации в фильтрующейся воде

мало сказывается на фильтрационной способности последней. Поэтому можно считать, что собственно частицы движутся со скоростью воды, не изменяя ее вязкости.

Уравнения сохранения масс фаз и компонентов для второго континуума

д

-т-(т2 ) = q1, (/= о ^ (4)

дt

— (С2}т2Я2К ) = qгj ( = 1,---,п) (5)

дt

где Я2о и Я2№ - нефтенасыщенность и водонасыщенность второй среды: Я2о + Я2№ = 1; С2у -

концентрация у-го компонента во втором континууме; q2j- интенсивность перехода у-го компонента в неподвижный континуум.

Если структура порового пространства неизменна, то, дополнив приведенную выше систему уравнений необходимыми начальными и граничными условиями, можно получить решение конкретной задачи. Если же структура порового пространства меняется (меняются динамическая пористость и абсолютная проницаемость пласта), что имеет место при воздействии на пласты ПДС, то эту систему необходимо дополнить соответствующими замыкающими соотношениями. В работе [4] такие замыкающие соотношения построены с использованием функций распределения пор и частиц по размерам и "идеальной" модели пористого пласта в виде пучка капилляров различных радиусов. В целом задача сведена к одновременному решению системы уравнений (1)-(5) и следующих задач Коши: для функции распределения пор по размерам р = р(г, t) др д дt дг

р (г,0) = р0 (г ) р (0,^ = 0,

для функции распределения частиц по размерам у = у(у, t)

(иу) - и^= 0 (7)

дt су

у (у,0) = у0 (у) У (0, t)= 0.

(ир+ип=0 (б)

Уравнения (6), (7) являются достаточно общими и могут быть использованы в широком круге задач, в которых учитываются структурные изменения порового пространства и дисперсионного состава активной примеси в процессе фильтрации жидкостей.

В этих уравнениях иг - скорость сужения поровых каналов за счет осаждения на стенках пористого скелета частиц и агрегатов образовавшихся в фильтрационном потоке. Для двухфазного течения эта скорость определяется как [11,12]

Г2v Б2 У/3

иг = -ед„ -=— (8)

I гЬ )

где средняя скорость Ут в поровом канале радиуса г связана с суммарной скоростью фильтрации V = Vo + соотношением

IV

г2

8^ ^ + ^ )(Ло )

(9)

К^о )

В уравнении (11) £ - коэффициент извилистости капилляра [8].

Данное выражение было получено за счет комбинации закона Пуазейля для капилляра и закона Дарси для элемента пористой среды, представленного пучком капилляров. Реальная пористая среда моделировалась системой цилиндрических капилляров различных радиусов [8,9] и использовались допущения: 1) в каждом капилляре присутствуют нефть и вода в объемах, пропорциональных их насыщенностям; 2) капиллярная разность давлений в фазах равна нулю (т.е. граница раздела между жидкостями плоская и вода вытесняет нефть из капилляра поршневым образом); 3) частицы в жидкости распределены равномерно; 4) отношение радиуса горла к радиусу канала одинаково для всех капилляров и сохраняется в процессе осаждения частиц на стенки каналов; 5) поровый канал блокируется полностью частицей, попавшей в горло, если характерный размер частицы не меньше диаметра горла; 6) собственная пористость массы осевших частиц пренебрежимо мала сравнительно с пористостью пласта [10-14].

Скорость блокирования поровых каналов ип определяется как [4]

ад

рСЛ^Мг2 з

ип = к Рк2 -V-, где V, = 4п/ /3 (10)

К^о ) О

Соотношение получено следующим образом: 1) согласно четвертому допущению радиус горла г8 = кг, где к - некоторая константа, одинаковая для всех каналов; 2) доля

блокированных капилляров радиуса г пропорциональна количеству частиц, попавших в такие каналы, размеры которых удовлетворяют условию блокирования ё > 2г, где ё = Цбу\ж -

диаметр частицы объемом V. Коэффициент пропорциональности (совместно с коэффициентом извилистости обозначим его в: в > 0 ) можно назвать коэффициентом формы и при помощи него учитывать несовершенство формы частиц и каналов.

Индивидуальность процесса для функции распределения частиц по размерам определяется величинами щ и и^, где первая величина - это скорость укрупнения частиц только за счет взаимодействия с полимером (за счет "намотки" полимера), определяющаяся в виде зависимости:

иV = Г(У * - ^(СП - С11)С11С12 (11)

Здесь индекс 7=1 соответствует полимеру, 7=2 - частицам и агрегатам, а звездочкой помечены некоторые предельные (критические) концентрация полимера и объем частиц, при достижении которых взаимодействие прекращается. Критические величины были введены исходя из экспериментальных фактов описанных в работах [1,2]. Замечено, что укрупнение

V =

т

частиц в полимере наблюдается при малых концентрациях и прекращается, если концентрация превысит некоторую критическую величину. Рост частицы не может продолжаться бесконечно ввиду ограниченного количества сорбционных центров на ней и в силу того, что присоединенные макромолекулы полимера препятствуют присоединению последующих макромолекул.

Скорость и^ с которой в потоке изменяется число частиц можно представить в виде трех слагаемых:

и^ = ^ + ^ + ^

где первое слагаемое отвечает за конвективный перенос частиц, второе - за осаждение, третье - за объединение. Конвективная составляющая этой скорости определена с использованием уравнения неразрывности для частиц одного типоразмера

д

— (^12 )+ Vw ) = -^12 (12)

дt

и уравнением (2.2) для ансамбля частиц. После несложных преобразований получим уравнение

^^ +^ = о (13)

дt

или

дщ 1

д т^

Vw grad(щ) (14)

которое может быть использовано при вычислении ^ .

Интенсивность осаждения частиц на стенки поровых каналов примем в виде

да /да

^ = qrcщ = 2m1 щ¡ гигфёг | г 2фёг (15)

о /о

Здесь принято, что скорость осаждения для частиц различного размера одинакова. Объединение агрегатов описано с использованием теории Смолуховского [15]. Согласно этой теории кинетика коагуляции частиц определяется уравнением

1 v да

- v1, v1)щ(v - v1)щ(v1)dv1 - ¡в^, v1)щ(v)щ(v1)dv1 (16)

2 о о

где в - ядро коагуляции, v, v1 - размер агрегата после коагуляции и размер присоединенного кластера соответственно.

Будем считать, что интенсивность взаимодействия частиц является постоянной величиной и возьмем ядро коагуляции в виде некоторой величины зависящей только от концентраций примеси

в = aCuCn, (17)

Численное решение.

В качестве метода решения был выбран метод конечных элементов. Область фильтрации О разбивалась на треугольные конечные элементы О1 (!=1,Р, L - количество элементов) и решение задачи на каждом элементе отыскивалось в виде

P = 1Piwi(x,У), К = 1Slwiwi(x,У), Cly = 1ClJiwi(x,У),

/е1 /Е1 /Е1

S 2w = 1 S 2wiWi (x, У), C2 J = 1 C2 JiWi (x, У), (18)

где I - множество узлов, принадлежащих I - ому элементу; wi - линейные базисные функции; Pi,

S1wI = , C1w, = , S2wI = S2w,(t) , C2wI = S2 wi() - искомые значения Давления,

насыщенностей и концентраций в /-ом узле. Для их отыскания применялся метод контрольных объемов [15,16], где интегралы от членов уравнений, содержащих временную производную, вычислялись с использованием "лампинг"- подхода [15], а конвективные слагаемые

интегрировались с учетом направления потока. Для аппроксимации по времени использовалась явная конечно-разностная схема.

Функции распределения пор и частиц по размерам также отыскивались при помощи конечно-элементного метода контрольных объемов. Для этого области решения уравнений для функций р и щ покрывались сеткой одномерных конечных элементов и использовалось линейное представление искомых функций на каждом элементе. По времени применялась неявная схема. При интегрировании конвективных членов уравнений (6) и (7) учитывались характеристические направления.

Для уравнения (6) можно записать:

(

т+1

р,

или

т+1

А,Ыг 1+—-

т+1 Л

г — г

'ир '1 J

, А,итг +1

Т+1 г ир Т д.„т+1

+ (ир - = Р —А,ип

г — г

ир 1

п

р =

р +р

т+1 Аи

ир

т+1

ир

— А и

т+1

г — г

ир 1

т+1

АыГ ,

1 +-

г — г

ир 1

где ир берется таким, чтобы направление при решении было выбрано "вверх по потоку". Аналогично аппроксимируется уравнение (7).

В целом алгоритм решения задач таков. По известным на предыдущий момент времени значениям функций распределения и по вычисленным значениям полей из уравнений (1)-(5) (давления, насыщенности и концентрации примесей) для последующего момента времени

вычисляются значения коэффициентов в уравнениях (6) и (7) -

и„

и

Затем

П ' V д-

определяются новые распределения пор и частиц по размерам и осуществляется переход к новому временному шагу.

Результаты расчетов.

В [17] описаны две серии лабораторных экспериментов. Первая серия посвящена оценке флоккулирующих свойств различных полимеров, изучению влияния дисперсной фазы на скорость образования флоккул (агрегатов) и определению распределения глинополимерных агломератов по размерам при помощи телевизионного макроскопического анализатора. Во второй серии на насыпных моделях исследовалось влияние ПДС на поровое пространство. В первой серии экспериментов образование агрегатов наблюдалось в мерном цилиндре с применением чашки из фольги и торсионных весов. Во второй серии экспериментов распределение компонентов жидкости и твердой фазы во внутрипоровом пространстве насыпной модели изучалось методом импульсного ядерного магнитного резонанса. Длина модели составляла 1 м, пористость - 0.15.

На рисунке 1. показаны начальное и конечное состояние функции распределения частиц по размерам, полученные экспериментально в мерном цилиндре.

7

-1 -о- 2

V

0,30

0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015

й

Рис.1. Функция распределения частиц по размерам: 1 - начальное распределение, 2 - экспериментально полученное распределение частиц по размерам после взаимодействия с полимером.

Следует отметить, что объемы частиц, соответствующие этим кривым, существенно отличаются. Основное внимание в эксперименте было уделено подсчету количества частиц различного размера. Их общее количество при этом бралось постоянным. При выводе же уравнения "сплошности" для функции распределения частиц по размерам предполагалось, что наблюдение ведется за частицами фиксированного объема, а подсчитываются изменения, как общего количества частиц, так и их распределения. Поэтому, экспериментальная функция распределения частиц по размерам 2 нормировалась таким образом, чтобы суммарные объемы частиц, соответствующие ее начальному и конечному состояниям, совпадали.

Численные результаты получены из решения одномерной задачи для фрагмента пласта, соответствующего насыпной модели в эксперименте. Наблюдения за изменениями в пористой среде велись в одном сеточном узле на расстоянии 0.1м от входного сечения. На рисунке 2. (слева) сопоставляются рассчитанные кривые 2, 3 с нормированной экспериментальной функцией распределения частиц по размерам (кривая - 1). Кривая 2 на этом рисунке соответствует ядру коагуляции в уравнении (16) в виде константы, зависящей только от концентрации полимера и частиц в потоке. В случае часто используемых в теории ядер, взятых в виде суммы или произведения масс взаимодействующих частиц, удовлетворительных результатов получить не удалось. Случай 3 соответствует ядру в виде 0{у, у1) = Л(у + V), где ГА1, у< 50мкм А,

А = < и — = 15. Таким образом, по рисунку видно, что ядро коагуляции в

[А2, V > 50мкм А2

уравнении (16) играет существенную роль в описании процесса объединения частиц и может являться предметом отдельного исследования.

¥

0,00030 0,00025 0,00020 0,00015 0,00010 0,00005

0,00000

/1 -о- 1 _д_ 3

ц

0.0002

0,00000

0,00005

0,00010 0,00015

Рис.2. Функция распределения частиц по размерам: 1 - экспериментальное распределение частиц по размерам; 2 и 3 - распределения, полученные расчетным путем: 2 - при постоянном ядре, 3 - для ядра, имеющего разрыв (слева). Изменение функции во времени (справа).

В общем же получено качественное и количественное совпадение расчетной и экспериментальной функций распределения частиц по размерам. Накопление крупных частиц на правой границе расчетного диапазона связано с предельным значением их размера, который определяется максимальным размером пор. В эксперименте такое накопление не наблюдалось, так как фактическим ограничением на размер частиц может служить только размер мерного цилиндра.

На рисунке 3. показано изменение функции распределении пор по размерам для различных параметров модели (образец проницаемостью 0.15мкм2):- начальное и конечное состояние функции распределения пор по размерам, полученные в результате расчетов. В левой части приведен график, где изменение функции распределения происходит только за счет блокирования пор, без учета эффекта сужения. В правой же части напротив - изменение происходит только за счет сужения поровых каналов. Из графиков приведенных на этом рисунке следует, что учет только одного механизма не позволяет получить результат подобный эксперименту.

Рис. 3. Функция распределения пор по размерам: 1 - начальное состояние, 2 - после взаимодействия ПДС; слева случай Б = 0, справа в = 0 .

Рисунок 4. соответствует случаю, когда учтено изменение структуры порового пространства, как за счет сужения поровых каналов, так и за счет их блокирования. Кривая 1 -

соответствует начальному распределению, кривая 2 - получена экспериментально, а кривая - 3 численным путем. На правой части рисунка приведена динамика изменения функции распределении пор по размерам.

0,20

0,15 0,10

0,05 0,00

0,000000 0,000002 0,000004 0,000006 у

Рис. 4. Функция распределения пор по размерам: 1 - начальное состояние, 2 и 3 - после воздействия ПДС, (2 - эксперимент, 3 - модель) (слева); изменение функции во времени

(справа).

Подбор параметров модели осуществлялся по условию наилучшего совпадения численных и экспериментальных результатов. Результаты расчетов показывают качественное и количественное совпадение экспериментальных и расчетных данных в области крупных пор. Различие эксперимента и расчета в области малых значений размера пор можно объяснить следующими причинами. В модельном представлении учтен "недоступный поровый объем [18]" (поры малых размеров г<0.5мкм, в которые ПДС проникать не может). Такие поры не сужаются, а их количество растет из-за сужения крупных пор. На практике же из-за сложной конфигурации пор в некоторые из таких поровых каналов, благодаря их связи с крупными поровыми каналами, примеси попадают. Этим можно объяснить различие кривых в области малых пор.

Отметим, что в этом примере моделировалось вытеснение нефти из насыпной образца пористой среды, времена вытеснения, размеры и параметры которого далеки от времен разработки, размеров и параметров реального нефтяного пласта. Так объем закачиваемых в образец оторочек ПДС составляет ~ 1 поровый объем. Относительные же объемы закачек реагентов в промысловых условиях на порядки меньше. По этой причине подобранные параметры модели не могу быть рекомендованы для применения при моделировании реальных залежей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Газизов А.Ш. О механизме действия полимердисперсных систем на обводненные продуктивные пласты // М.: ВНИИОЭНГ, 1986. Деп. Рук. № 1315/нг. 15 с.

2. Газизов А.Ш., Газизов А.А. Повышение эффективности разработки нефтяных месторождений на основе ограничения движения вод в пластах. М.: Недра-Бизнесцентр, 1999. 285 с.

3. Чекалин А.Н., Кудрявцев Г.В. Михайлов В.В. Исследование двух- и трехкомпонентной фильтрации в нефтяных пластах. Из-во Казанского университета, 1990. 147с.

4. Никифоров А.И., Анохин С.В., Тимошенко И.Е. О моделировании вытеснения нефти водой из пластов с изменяющейся структурой порового пространства Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 10-летию ИММ КазНЦ РАН. Казань: ИММ КазНЦ РАН, 2001.

5. Крэйг Ф.Ф. Разработка нефтяных месторождений при заводнении. М.: Недра, 1974.

192 с.

6. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.II. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,

1987. 360 с.

7. Тодес О.М. К теории коагуляции и укрупнения частиц в золях. Кинетика укрупнения частиц при "перегонке" вещества через гомогенную фазу // Журн. физ. химии, 1946. Т. 20. Вып. 7. С. 629-644

8. Ромм T.C. Структурные модели порового пространства горных пород. Л.: Недра, 1985. 240 с.

9. Хейфец Л.И., Неймарк А.В. Многофазные процессы в пористых средах. М.: Химия, 1982. 320 с.

10. Nikiphorov A.I., Nikanshin D.P. Modelling of particle transport by two-phase filtration flow in oil reservoir. ICMF'98, Lion, France. CD-version.

11. Никифоров А.И., Никаньшин Д.П. Перенос частиц двухфазным фильтрационным потоком // Математическое моделирование, 1998. Т.10, № 6. С. 42-52.

12. Никаньшин Д.П., А.И. Никифоров А.И. Моделирование переноса частиц различного размера двухфазным фильтрационным потоком. ИФЖ, 2000. Т.73. № 3. С. 497-500.

13. Никифоров А.И., О моделировании суффозии водоносных пластов. ИФЖ, 2000. Т.73. № 5. С. 497-500.

14. Nikiforov A.I., Anokhin S.V. Mathematical Model of Oil Displacement by Gel-Forming Solutions // Dynamics of Multiphase Systems. Int. Conf. on Multiphase Systems, ICMS'2000. Ufa, Russia, June 15-17, 2000. P.337-339.

15. Синайский Э.Г. Гидродинамика физико-химических процессов. М.: Наука, 1997. 339

с.

16. Флетчер Р. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с англ. // М.: Мир,

1988. 352 с.

17. Хисамов Р.С., Газизов А.А., Газизов А.Ш. Увеличение охвата продуктивных пластов воздействием. М.: ОАО «ВНИИОЭНГ», 2003. 568 с.

18. Dawson R., Lantz R.B. Inaccessible Pore Volume in Polymer Flooding // SPE J. Oct. 1972. P. 448-452.