Об исследовании автоколебаний в системе генератор - двигатель с машинами последовательного возбуждения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 97 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1959 г

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ ГЕНЕРАТОР —ДВИГАТЕЛЬ С МАШИНАМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

И. С. АВРААМОВ (Представлено научным семинаром электромеханического факультета)

В современной технике используется система генератор—двигатель с машинами последовательного возбуждения (рис. 1), особенно в маломощных приводах металлорежущих станков, а также в электроприводах самолетных агрегатов [1, 12]. Положительные качества системы —широкий диапазон регулирования скорости, отсутствие возбудители

Рис. 1.

и чрезвычайная простота и надежность схемы управления—сделали довольно распространенной. Однако мощность применяемых машин ограничивается большими потерями в регулировочных реостатах, а также возможностью возникновения колебаний тока и скорости двигателя. Возникновение колебаний в мощных приводах может привести к тяжелым авариям.

В настоящее время в литературе опубликованы немногочисленные работы, касающиеся системы генератор—двигатель с машинами последовательного возбуждения [1, 2, 3, 4, 5, 6, 12]. В основном в этих работах рассматриваются статические механические характеристики системы. Вопрос же исследования колебаний освещен совершенно недостаточно. В некоторых работах указывается только возможность возникновения колебаний без всякой попытки анализа их. Только в работе [7] приведен математический анализ колебаний; при этом система рассматривалась как линейная, а колебания как гармонические, что совершенно неудовлетворительно объясняет механизм возникновения их. В работе [1] была сделана первая попытка исследовать систему

как нелинейную, в ней дан аналитический метод исследования статических механических характеристик, но рассчитанные характеристики в области малых токов имеют большое расхождение с опытными, что не позволяет правильно судить о тех процессах, которые происходят в машинах при малых токах.

В настоящей работе сделана попытка исследовать возникающие в данной системе колебания с учетом нелинейных параметров, определить характер колебаний и выяснить условия устойчивой работы данной системы. Кроме того, исследование нелинейных систем является в настоящее время исключительно важной задачей. В статье члена корр. Акад. наук СССР проф. Л. Р. Неймана [8] говорится: „Значительно менее разработанной и вместе с тем приобретающей в настоящее время исключительно большое значение является теория нелинейных электрических и магнитных цепей, параметры которых резко зависят от интенсивности происходящих в них процессов . . . Если ранее нелинейность учитывалась в теории цепей как осложняющий фактор, то теперь по возможности полная разработка теории нелинейных цепей приобретает первостепенное значение в электроавтоматике, телемеханике, электроизмерительной технике, радиотехнике, электроэнергетике и др. областях".

Исследование колебаний электромеханической системы со многими нелинейностями представляет интерес и с точки зрения идеи колебательной взаимопомощи различных областей физики и техники. В силу того, что „учение о колебаниях объединяет физические явления, одинаковые по форме управляющих ими закономерностей" [9j, исследования колебаний в нелинейной электромеханической системе могут быть использованы в других областях физики и техники.

В настоящей работе исследуется электромеханическая система с нелинейной электродинамической емкостью, нелинейными характеристиками намагничивания машин и с нелинейной зависимостью падения напряжения в контакте между коллектором и щетками.

Статические механические характеристики

Уравнение статической скоростной характеристики может быть получено из уравнения электрического равновесия системы

с, IR с()н (/)-£-, (1)

dt

где

ег = /(1)— э. д. с. генератора~-нелинейная функция тока в силу насыщения генератора;

Ifl = /•"(/) — падение напряжения в активном сопротивлении силовой цепи—нелинейная функция тока в силу нелинейности сопротивления в переходном слое „щетка—коллектор";

¿(7)—общий коэффициент самоиндукции системы:

/— ток, протекающий по силовой цепи;

едв = се .Фдв-п — противо э. д. с. двигателя, равная произведению дв

коэффициента Ср , зависящего от конструктивных данных машины,

дв

магнитного потока и скорости двигателя.

Для статического режима следует положить в (1) — -- = 0.

LLL

Подставляя в (1) значение е^вУ полагая L (I) —— 0 и решая полу-

at

3. Изв. ТПИ, т. 97.

33

(2)

ченное уравнение относительно п, получим окончательно уравнение статической скоростной характеристики

Л Ш едА_=Ь{Г)_

сед** . ?(/) '

В числителе или /(У) —/=■(/) = 6 (/)—нелинейная характе-

оистика и пот и во э. ц. с. двигателя. В знаменателе — величина „вольт 1 Е

на оборот". Характеристика ——-?(/) представляет собой кри-

вую намагничивания двигатели. Для построения скоростной характ

е-

о)

д Т'\ ; i ¡

¡60 --: —л. L ..

140 _ ¡ ■ i &/0) .

120 '•-i..... i

'00 ------- —X—V /1 i О \

60 ______ f/\ ¡ ^S-flU

60 —У r\ -j ! IR - F(lj

40 7П г :

20 1 // {тг~~ •.....| - 4-.... í—

0 1 I 1 i la ! ¡ , /

6j

DJ4

ОД DJ 0,08 0t0S

0,04 >Щ

О

Г/Г)Г"Т T '-ñ¡ i 1

í j /С (Ю=кЪ

1 , 1 / / i

... _______

0 I 1

i

О 20 40 60 ДО ¡00 120 а

и 20 40 60 80 fOO /20 а

Рис. 2.

ристики

необходимо знать зависимости е£ ~ |—"" ^ ^

IR--- F(¡)4 которые могут быть получены из опыта (рис. 2 а, 2 б). Зависимость ед{1 - 6(7)" получается в результате вычитания ординат

характеристики IR И{1) из ординат характеристики ег = /(7), взятых при одинаковых токах. На рис. 3 показана статическая скоростная характеристика п — Рх (7), рассчитанная согласно изложенной методике и построенная по точкам дли системы рис. 1 при RpZ = со , Rpd = со.

Поскольку для регулирования скорости двигателя необходимо шунтировать обмотки возбуждения машин, построение искусственных характеристик в этом случае производится таким же образом, но с учетом уменьшения токов возбуждения генератора или двигателя. Рассмотрим случай, когда R & = RP? < га. Обозначим через рг отношение общего тока 7 (рис. 1) к току, протекающему через обмотку возбуждения генера i opa

7

V-z = — - ■

40 вО Рис. 3.

При подключении сопротивления Ярг, параллельно обмотке возбуждения генератора, общее сопротивление цепи возбуждения будет

Тогда можно написать

Р _ _

"общвг п \ п "вг + R

Не-

откуда

пли

fRoúiuez ~~ 1рЯрг ^ez-Rez > _/__ ^вг + Rpz __ „

RPz

Iх г

R

вг i

я

i.

(3)

рг

При подключении сопротивления изменится и общее сопротивление цепи, которое теперь равно

Roúiu ~ R>¡¿ Roóu{ вг-

Построение характеристик ведется следующим образом.

1. Выбрав сопротивление реостата Rp2, по уравнению (3) определяем iv

2. Задаемся произвольными значениями тока / в силовой цепи и определяем для каждого его значения ток, протекающий через обмотку возбуждения генератора

/ -Л.

1 вг —

Iх г

По характеристике ez—f{I) величина э. д. с. генератора будет соответствовать теперь току 1вг. Вследствие того, что е^ определяется графически, как разность ординат характеристик ег f(I в г) и IR = F(I), необходимо пере- ег строить характеристику намагничивания генератора в оси координат ег, / (рис. 4).

3. Строим новые характеристики [R0()wr^ F] (I) и е()в = (/), где R06ue\ — общее сопротивление силовой цени при подключенном параллельно обмотке возбуждения генератора •сопротивлении R 2.

Е

4. Определяем значения e(jí} (/) и

п

и

■40

'20 • i :П

и и во А

00 /

40 Г

20 /

О

6г\

/Ове)

~ ср (/) для различных токов и по уравнению -(2) находим точки искусственной скоростной характеристики.

Искусственные скоростные характеристики при подключении сопротивления, параллельно обмогке возбуждения двигателя могут быть построены тем же способом, но с учетом ослабления магнитного потока двигателя. Построение ведется в следующей последовательности.

1. Выбрав сопротивление реостата Rp¿) по уравнению, аналогичному уравнению (3), определяем значение ^ для двигателя

40 60 80 ,100 120 О I

,М: Í. 6 Рис. 4.

2. Задаемся произвольными значениями тока / в силовой цепи и определяем для каждого его значения ток, протекающий через обмотку возбуждения двигателя

¡вд =---------

ние

3. По характеристике намагничивания двигателя определяем зпаче-/ В

п

j, соответствующее

4. Строим новые характеристики Ш0бщ-2 = Р2(1) и = <Ь2 (/)..

где Иобщ-, ~~ общее сопротивление силовой цепи, при подключенном

параллельно обмотке возбуждения двигателя сопротивлении Рр(}.

¡Е\

5. Определяем значения е$в — (/) и I —— 1= <? (/в£>) для разных.

токов, и по уравнению (2) находим точки скоростной характеристики.

На рис. 3 для испытываемых машин построены искусственные характеристики при ослаблении магнитного потока генератора п = Р2{1)

и двигателя п = Р3 (/) и л = Р4 (/). Получи гь механические характеристики из скоростных можно, используя переходную кривую М = Ф(/) (рис. 5), которая

с'

строится по выражению М— м о (/)*/.

дв

Последняя получается из М — с'м с учетом,что Ф^б определяется из выра-

Е

жения С'*-, .Фдв =-= © (/). Мехаии-

( п

ческая характеристика п~Р{(Ж) при Рро—

— со и Ррг7^ 00 представлена на рис. 3.

Совместное исследование статической

механической характеристики двигателя

О 20 40 60 во iOO 120 а

Рис. 5.

и механизма показывает, что на участках, где

. dM ^ dMcm drt dn

наблюдается устойчивая работа привода [4]. Из рис. 3 видно,, что при Мст = const это условие выполняется на участке п0 — k\ и участке вправо от точки к\ характеристики п = РХ(М). Участок же — k't, расположенный между двумя экстремальными значениями механической характеристики, соответствует неустойчивой работе при-

dM ^ кмГл

вода в силу того, что не удовлетворяется условие----<------

dn dn

Таким образом, точки k\ и А'2(рис. 3), в которых п — пМЯКС и п=пыни являются точками смены устойчивости. Этим точкам на характеристике п = Pi (/) соответствуют точки kx и k2.

Колебания в системе генератор — двигатель с машинами последовательного возбуждения

Для исследования динамики данной системы необходимо иметь дифференциальное уравнение движения. Во всех дальнейших выводах, с целью их упрощения, нелинейные характеристики ег = /(/) и 1R = F(I\

заменяются одной нелинейной характеристикой 6 (/)=/(/) — показанной на рис. 2а. В связи с этим уравнение (1) перепишем с учетом выражения е/)б = у (1)п и характеристики <1* (/) следующим обра-

-зом:

❖ (/) — —(/) -55- = 0 . (1а)

ах

Принимая во внимание, что

Ф

дв

С.

ов

м

¡cm (О

Смф()в1; Мст

С'мЪдв.1ст{1)

М Г'

IVI ст. L>

с .„.?(/)

(4)

и рассматривая случай, когда Мст = const, на основании уравнения

.. .. GD* dn

движения привода М—Мст—---получим:

375 dt

I = 7

GD2.Cf„

едв

dn

375. СЛ(. ?(/) dt

(5)

Дифференциальное уравнение для тока получится, если уравнение (1а) разделить на о (7) (чтобы освободиться от переменного коэффициента при п)у продифференцировать и производную- заменить

dt

из выражения (5). Окончательно выражение для тока будет следующим:

й! . ?'(/ЖЛ

dt-

L'il)

dt

L(I)

dl

+ I ~/cm (/)

?(/J 375 [?(/)]

gz)2 c.

dt = 0.

-4-

(6)

dt LfQc^J/)

de

В уравнении (6) У (/) —индуктивность якорей и обмоток возбуждения генератора и двигателя является нелинейной функцией тока в силу насыщения магнитной системы аов электрических машин. Зависимость У (У) приведена на рис. 6.

Коэффициент при ^ в уравнении

dt

(6) является диссипативным членом, состоящим из нелинейных функций У (/), ?(/), '!)(/) и их производных. Коэффициент при [/— /¿77г (/)] является величиной обратной электродинамической емкости

375.С'*[<Р(/)Р _ 1

Q06 ЦЫ

QP2 О

мое яоо

1ЭОО

800 ьоо Loo 300-

о ■

Л

1

V (D

N

c^u-i/A

vGi* Юшг*

20 ¿О 60 во 'СЮ №

Рис. б.

CiD\C

дв

С дин (У)

1

фарад

Зависимость нелинейной электродинамической емкости С()пн (I) показана на рис. 6. В силу сказанного, уравнение (6) является дифференциальным уравнением движения системы с нелинейными электродинамической емкостью, индуктивностью и дпссипативным членом.

Исследование механического переходного процесса

Уравнение механического переходного процесса, в котором учитывается лишь механическая инерция привода, получается из уравнения (6), полагая /,(/)-- 0:

г (Л

dl

dt

- +

I-IcmV)

375.С'

<7)Р

GD-.C'.

= 0. (7)

да

dl

Напишем (7) относительно —*-— с учетом (2) и исследуем полученное-

dt

уравнение

dl = 375<„[? (/)F [ / ~ Icm (/)|

dt GD\c'e 10' (Л —s' (l).n \

дв '

(Ь)

Согласно уравнению (4) 1ст(1) при Мст = const принимает в зависимости от тока / разные значения (рис. 5). При условии М - Мст

об/ /мин

/Д00-

с',., .'1>(М./,„г (/),

О в ()в

откуда следует, что /—1ст (/). Следовательно, по уравнению

(8)——- —= 0. Если величина Мст обуславливает работу си-а t

стемы па участках устойчивой работы скоростной характеристики (//-о—к1 и к->—а) (рис. 7). то двигатель будет работать с постоянной скоростью и током.

0 ¿о 40 60 SO юо а Рис. 7.

= 0 , сИ ■ }

Знаменатель уравнения (8) также может принимать в зависимости от тока разные значения. Так, при / > 1К, ил11

[■У (/)-?'(/)■"] <0;

при 1 — 1к или 1 = /,^, когда система пришла на границу устойчивости,

[У (/)-?' Ни,] = 0

и при 1К < /</,<■„

[f (7)-'/(/)•«] >0.

Данные выводы сделаны на основании анализа характеристик (рис. 2 а, 2 б и 3) и доказываются ниже. В таблице 1 показаны результаты обработки опытных и расчетных характеристик, приведенных на рис. 2 а, 2 б и 3. Из таблицы 1 видно, что вблизи значений токов --25 -: 30 а и 1К- ^--6:8а знак

н. 2 I

у [<]/(/) — ъ'(1)п\ меняется с минуса на плюс, проходя через нуль, и наоборот. Что (<К(7)— — (I) п\ — 0 при подстановке I --- 1К и I — 7/Л) видно так же и из следующего. Продифференцировав (1 а) по току с учетом, что /,(/)—- О, получим

учитывая, что в критических точках кх и к->, когда 7 — 1К или 1 — [}<е)У скорость по скоростной характеристике имеет свое максимальное или минимальное значение, когда /?/ —0, будем иметь ф' (7^) — 0. Итак, при токе, равном 1К{ или

знаменатель уравнения (8) обращается в нуль, а первая производная тока по времени в бесконечность. Это говорит за то, что ток в точках скоростной характеристики к:> или к1 должен мгновенно изменить свое значение. Поскольку мы положили 7 (7) = 0 и изменение тока теперь не связано с изменением энергии магнитного поля, то нового состояния, соответствующего точке б или а (рис. 7), система достигнет в результате „скачка", при котором ток 7 может измениться мгновенно, а скорость остается неизменной. Проследим возможные движения в системе при условии №К ' Мст <М V,' когда возможное состояние равновесия при М = Мст является неустойчивым. При включении рубильника Р (рис. 1) двигатель подключается к генератору и начинается процесс возбуждения машин, сопровождающийся броском тока при неподвижном якоре двигателя. При некотором значении момента двигатель начнет разгоняться. В процессе разгона 7 спадает и двигатель стремится к состоянию равновесия, при котором М — Мст и 1=1ст% Как только скорость двигателя достигнет значения лмнкс> соответствующего точке &.>, уравнение движения (8) теряет

свою аналитичность, так как ^ со. Дальнейшее движение определяется условием скачка: ток изменяется мгновенно, скачком, а скорость двигателя мгновенно измениться не может, поскольку ее изменение связано с изменением кинетической энергии привода

ОП* -- , 7200.^

В противном случае потребовалась бы система бесконечной мощности. Поэтому скорость до скачка, соответствующая точке к,, должна быть равной скорости после скачка, т. е. скорости в точке б скоростной характеристики (рис. 7) или

«А-о ^ П'б •

После скачка тока и точку б дальнейшее движение будет происходить непрерывно и описываться уравнением (8). Движение будет прохо-

Таблица 1

I

/ ! [-у(/) — ?(/)м]

2 | -0,70

10 -. 0,0]

15 о,ю

20 - 0,044

25 : 0,001

■'Ю —0,14

60 —0,39

дить но устойчивому участку характеристики в сторону увеличения тока, так как М < Мст и /</сш(/), до тех пор, пока система не придет в точку к{. В точке 1гх снова обращается в бесконечность,

йЬ

что вызывает последующий скачок тока до значения 1а. Условие скачка в этом случае будет

пк1 ' па-

После скачка система снова будет стремиться к состоянию равновесия, повторяя движение по участку характеристики а — и т. д. Чередование описанных движений, сопровождающихся скачками тока, приводит к возникновению в системе „разрывных" автоколеба-ний для тока и непрерывных для скорости. Построенная на рис. 7 замкнутая кривая къ а, к2 является динамической скоростной характеристикой при принятой идеализации. На рис. 8 приведена осцилло-

грамма переходного процесса скорости и тока для схемы рис. 1 при и Rpd~oc. На рис. 7 (кривая 2) показан тот же переходный процесс в осях скорость — ток, полученный путем обработки указанной осциллограммы. Как видно из сравнения кривых 1 и 2, расчетная характеристика 1 удовлетворительно отражает качество переходного процесса. Количественное расхождение приведенных характеристик обусловлено той идеализацией, которая применялась при исследовании.

Электромеханический переходный процесс

Исследование электромеханического переходного процесса проводится по уравнению (б), в котором L (/), <?(/), $(1) и С^ин(1) являются нелинейными функциями, а Мст ~ const.

Интегрирование дифференциального уравнения (6) аналитическими методами оказывается невозможным. В силу указанных обстоятельств для исследования данной динамической системы можно применить методы качественного интегрирования, из которых наиболее подходящим для данной системы является метод изоклин [10, 111. Указанный метод позволяет построить фазовый портрет для тока. Однако учет всех указанных нелинейностей приводит к очень сложному уравнению изоклин. Поэтому решение уравнения (6) проводим только с учетом существенных нелинейностей ф(/) и С^ин(1)у а характеристики /,(/) и ?(/) принимаем линейными

L (/) = const ,

Нелинейную характеристику ф (/) аппроксимируем полиномом второй степени

<М/) = а/-ЗЛ, (9)

где аир постоянные коэффициенты, величина которых определяется характеристикой. Численные значения аир следующие:

а = 2,65,

3 = 0,02.

Подставляя (9) в (6), производя замену переменных са Ф I йу йу

-= у; -— —^— = —у — в.у

сИ (И2 М й! У

и разрешая полученное уравнение относительному, будем иметь уравнение изоклин:

в ,3/

V — /

Л 2 2.1

V

Л - м У2 ] ^д.Р.Ъ1Ъ.с'м кд.375 м

2 ^ 2Х / СО\С' вОКЪ ' ст

(10)

Задаваясь различными значениями тока / и Н --- ^ , на фазовой

плоскости строим семейство изоклин (рис. 9).

Определяем начальные условия из уравнения (1). Полагаем п = 0 [е(-)в = 0) и 1= 1Тр = 1ст{1), тогда

аг \ = егТр- !ТрЯ

) Трог Ь

сг определяем из характеристики ег=/(1) (рис. 2а). Пользуясь

известным методом [11], строим интегральную кривую переходного процесса на фазовой плоскости (рис. 9). Наличие замкнутой интегральной кривой (предельного цикла), источника энергии, не обладающего колебательными свойствами (асинхронный двигатель), а также нелинейного ограничителя колебаний (нелинейная характеристика генератора) позволяет сделать вывод — возникающие в системе колебания являются автоколебаниями. Предельный цикл автоколебаний дает возможность непосредственно определить амплитуду колебаний, период которых определится при построении переходного процесса во времени. Развертку фазового портрета во времени делаем по формуле [11]

1,+1

__ 4+1—л >'/+1

п

У У Ж — Уг У<

Переходный процесс /(¿) приведен на рис. 9.

Фазовый портрет для скорости двигателя в данной системе получить затруднительно в силу того, что дифференциальное уравнение

движения для скорости является функцией трех переменных: скорости, производной скорости и тока. Поэтому для исследования переходного процесса n(t) поступаем следующим образом. Из уравнения (1) после подстановки ег /(/) и е()в -- ? (1)л имеем:

f(I) — /R (I) — L (/)

dl

dt

(11)

пдин

В уравнении изоклин ¿(7)-const. Для большей точности в (11) полагаем 7(7) нелинейной функцией, изображенной на рис. 6. Для за-

/4 сек

Рис. 9.

данных значений тока 7,(7) определяется по рис. 6, —1~ш) фазо-

с! Ь

вому портрету (рис. 9),/(7) и (7)—по рис. 2 а, а ср (7)—по рис. 2 6. Динамическая скоростная характеристика п()пн(1) построена согласно (11) на рис. 10. Имея характеристику 7(¿) и п()ин(1), строим характеристику переходного процесса которая приведена на рис. 11.

Проведенные выше исследования позволяют сделать следующие выводы.

1. Колебания, возникающие в системе генератор — двигатель с машинами последовательного возбуждения (электромеханическая система с нелинейной электродинамической емкостью), являются автоколебаниями, а сама система—автоколебательной.

2. Возникновение колебаний происходит в результате перехода системы из устойчивой зоны характеристик машин в неустойчивую и обратно, причем для системы генератор— двигатель с машинами последовательного возбуждения при отсутствии сопротивлений, шун-

гг

тирующих обмотки возбуждения машин, ток и скорость изменяются в области положительных значений. В этом случае колебании происходят без перемагиичивания генератора и реверса двигателя.

3. Анализ разрывных колебаний в системе позволяет выявить в первом приближении влияние нагрузки (Мст) на колебания. Колебания в системе возникают в случае, если <Мст < М^,. Во- всех других случаях наблюдается устойчивая работа системы с постоянными п, / и Ж, которые определяются нагрузкой, и. механической характеристикой системы.

4. Исследование механического переходного процесса, когда L (/) = 0, не прибегая к интегрированию нелинейного дифференциального уравнения (7), дает представление о характере колебаний в системе генератор—двигатель с машинами последовательного возбуждения. Для более точного количественного и качественного исследования колебаний в этой системе необходимо исследовать электромеханический переходный процесс;

5. Данная методика исследования электромеханического переходного режима удовлетворительно отражает как качественную, так и количественную сторону процессов, происходящих в системе.

6. С помощью данного метода можно строить динамические скоростные и механические характеристики системы.

7. При помощи данного метода появляется возможность более подробного исследования влияния нелинейных параметров и нагрузки на автоколебания и выявления физики автоколебаний.

Автор выражает благодарность доц. Ганджа JI. И. за ряд указаний, которые были учтены при подготовке статьи к печати.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ca ндл ер А. С., Соколов Н. Г. Статические характеристики сериесного двигатели, питаемого от сериесного генератора. „Электричество", № 10, 1948.

2. Чили кип М. Г. Общий курс электропривода. Изд. 2, 1953.

3. Пресс С. А. Электрическое оборудование металлорежущих станков. Маш-гиз, 1949.

4. Попов В. К. Основы электропривода. ГЭИ, 1951.

5. Голован А. Т. Электропривод, ГЭИ, 1948.

6. Kokichi Nitta, „Elektrotechnische Zeitschrift", 1955, ausgabe A, Band 76, Heft 14.

7. Ш у л e й к и н М. О свободных колебаниях в цепи сериесный генератор- и мотор. Изд. С. Петербургского политехнического института, т. XI, вып. 2, 1909.

8. Нейман Л. Р. Теоретические проблемы современной электротехники. „Электричество", № 7, 1955.

9. Соло м о п о в и ч А. Е. Об электрическом и механическом феррорезонансе. „Успехи физических наук-, т. XXXIV, выи. 3, 1948.

10. Андропов А. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний. Часть 1, ОНТИ, НКТП, 1937.

11. Физические основы электротехники. 1 ЭИ, 1950.

12. Кулебакии В. С., На горе кий В. Д. Электропривод самолетных агрегатов и механизмов. ГИОП, 1958.