PAДiOEЛEKTPOHiKA ТА ТЕЛЕКОМУШКАЦН
РАДИОЕЛЕКТРОНИКА И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ
КАБЮ ЕЬЕСТИОШСБ AND ТЕЬЕСОММиШСАТЮ^
УДК 621.391
Б. Н. Бондарев, Д. М. Пиза
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ В РАДИОТЕХНИКЕ И ЭЛЕКТРОСВЯЗИ
Проведен анализ использующихся понятий и определений для спектров сигналов. Показано, что при определении спектра сигнала на большом временном интервале, не связанном с параметрами электрических цепей, можно получить искаженные результаты. Поскольку любая электрическая цепь имеет конечное время «памяти», то и определение спектра сигнала должно производиться с учетом этого интервала.
ВВЕДЕНИЕ
В радиотехнике и электросвязи широко используется спектральный анализ сигналов (ряд и интеграл Фурье). При исследовании процессов прохождения сигналов через линейные электрические цепи используются спектральный метод и метод интеграла наложения (интеграла Дюамеля). При этом спектральные и временные функции (£(/ю) и S(t), К(/ю) и д(Ь)) сигналов и цепей связаны между собой парами преобразования Фурье [1]. К спектрам сигналов и их временным функциям на входе и выходе линейной электрической цепи применим принцип суперпозиции (суммирования).
В настоящее время общепринятым является определение спектра сигнала через интеграл Фурье с пределами интегрирования на всем интервале времени воз© Бондарев Б. Н., Пиза Д. М., 2006
можного существования сигнала. Это является естественным в случае простых импульсных (одиночных) сигналов. Однако в последнее время все большее применение находят различные сложные, широкополосные сигналы, в том числе «составные» в виде псевдослучайных импульсных последовательностей. Спектры (энергетические) таких сигналов получают путем усреднения на больших интервалах времени. В то же время линейные электрические цепи имеют конечные полосы пропускания, импульсные реакции конечной длительности и, следовательно, конечное время «памяти». Результаты вычислений спектров сигналов на больших временных интервалах для таких цепей трудно использовать на практике, поскольку они могут не соответствовать действительности.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В фундаментальной по спектральному анализу работе [1] дополнительно к обычному определению спектра приведены другие. Одним из них вводится понятие текущего спектра
£
S(jm, £) = | 5(£)• ехр(-/ю£)й£ (1)
-ад
с изменяющимся верхним пределом интегрирования.
Другой из них называется мгновенным спектром и определяется интегралом с постоянным интервалом интегрирования Т:
£ + Т
5т(/ю, £) = | S(£)• ехр(-/ю£)й£. (2)
£
Заметим, что вычисление текущего спектра по выражению (1) не вызывает принципиальных затруднений. Однако вычисление мгновенного спектра по выражению (2) затруднительно, т. к. этой формулой сигнал как бы «разрывается» из-за того, что предшествующая часть сигнала совсем не учитывается. Выражение (2), с учетом (1), удобнее переписать в виде
£ + Т
Sт(/ю, £) = | S(£)• ехр (-/ю £)й£ -
-ад
£
- | 5(£)• ехр(-/ю£)й£, (3)
-ад
т. е. представить в виде разности двух текущих спектров.
В [1] предложено также еще одно выражение для определения спектра сигнала
ад
5(/ю, £) = | 5(т) • д(£ - т) • ехр(-/ют)йт, (4)
-ад
где д(т) - некоторая весовая («скользящая») функция, учитывающая все прошлое процесса в электрических цепях, определяющая время «памяти цепи».
Очевидно, что существуют различные подходы к спектральному анализу при проектировании различных систем. Выбор метода должен определяться типом сигналов (простые, сложные), назначением системы (извлечение информации, передача и прием информации) и т. д. Поэтому представляет интерес провести
анализ разных подходов и разработать рекомендации по их использованию.
РЕШЕНИЕ
Целесообразность использования выражений (2) или (4) можно пояснить следующим примером. На приведенном ниже рис. 1 сплошной линией показан некоторый сигнал в виде последовательности нескольких элементарных прямоугольных импульсов. На этом же рисунке пунктирной линией показан сигнал на выходе некоторой линейной (интегрирующей) электрической цепи минимально-фазового типа. Выходной сигнал оказывается искаженным по сравнению с входным. Однако принципиально более важным для нормального функционирования радиотехнических систем различного назначения является явление наложения соседних импульсов друг на друга, называемое межсимвольной интерференцией. Интерференционные явления определяются соотношением между шириной спектра сигнала и полосой пропускания цепи, а также типом цепи (канала, линии связи).
Для систем передачи информации явление межсимвольной интерференции необходимо рассматривать как случайный процесс. Для случайных процессов используется понятие усредненного спектра - спектра средней мощности (энергетического спектра). Однако энергетический спектр не может быть использован для расчетов переходных процессов (как и вообще для расчетов формы сигналов на выходе цепей).
Обратим снова внимание на временные диаграммы рис. 1. К моменту прихода сигнала Я^(£) переходные процессы от сигнала Я\(£) полностью закончены. При этом спектры сигналов Я\(£) и Я^(£) на входе, как и их спектры после прохождения линейной электрической цепи, существуют неодновременно. И хотя с уменьшением полосы пропускания канала (электрической цепи) длительность переходных процессов увеличивается, в формировании отклика в каждый момент времени участвует лишь конечное число соседних импульсов. Поэтому возникает возможность и необходимость вычисления спектров на интервалах времени с учетом длительности переходных процессов в цепи (канале).
Электрические цепи неминимально-фазового типа позволяют независимо формировать амплитудно-час-
к
Б2(Г) въ(г) 54«) з5(0 ЗД) ад
\ 1 1 1
У \ > Г 1 ^ ■ 1 ✓ 1 У 1 ч ' г у У Ч
:-1- "Ч -Ь—.-1
0 Ти 2ти Ти 4Ти 5Ти 6Ти 7Ти 8Ти
Рисунок 1
1
тотную и фазочастотную характеристики и ослабить явление межсимвольной интерференции в определенные (тактовые, отсчетные) моменты времени. Поэтому в реальных частотно-ограниченных (особенно проводных) каналах часто производят коррекцию амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик с помощью цепей (звеньев) неминимально-фазового типа [2, 3].
Отметим также, что в абсолютном большинстве работ по теории помехоустойчивости, в том числе и в классических [4], предполагается бесконечно большая полоса пропускания каналов. Частотная ограниченность реальных каналов приводит, как отмечалось выше, к переходным процессам (межсимвольной интерференции) и к существенному снижению помехоустойчивости [5].
В [5] для характеристики случайных сигналов (информационных последовательностей) используются понятия: зависимые сигналы и независимые сигналы. Термин «зависимость» означает, что поведение (форма, вид) текущего элемента (символа) последовательности зависит от предыдущих символов. Наличие зависимости позволяет улучшить спектральные характеристики сигналов.
Одним из основных требований, предъявляемых к радиосигналам, является требование минимума внепо-лосного излучения (межканальные и межсистемные помехи). Это требование обычно обеспечивается выбором и сглаживанием формы сигналов. Так, например, в [6] сужение полосы занимаемых частот обеспечивается сглаживанием закона изменения огибающей (при АМ) или частоты (при ЧМ). В [7] предлагалось сглаживание (по разным траекториям) закона изменения фазы (при ФМ). Такое сглаживание используется и при формировании сигналов М8К и ОМ8К [8, 9].
Проанализируем спектры двух прямоугольных импульсов при разных временных интервалах между ними. В этом случае для одного импульса длительностью ти (рис. 1) комплексная спектральная плотность будет определяться известным выражением
Комплексная спектральная плотность суммы двух указанных импульсов, согласно [1], будет определяться выражением
SE(ja) = Si (]№)■[ 1 + exp (-ja T3)] = [ 1 - exp(-ja ■ти)]
h ■
ja
[ 1 + exp(-jaT3)]. (7)
После несложных преобразований вместо (7) получим
sin ( a • т и / 2 ) /а тз,
SzOa) = hти m ■ т / 2 ■ cos( — I x
x exp I -■
Ja ■ т
■ exp
j a T.
(8)
Замечаем, что выражение (7) состоит из двух сомножителей. Первый сомножитель представляет собой спектральную плотность одиночного импульса (в общем случае произвольной формы). Второй сомножитель отражает факт суммирования спектров двух (в общем случае нескольких) одинаковых импульсов. В [6] первый сомножитель выражения (7) назван фактором формы импульса, а второй (в виде суммы) - фактором повторения.
Спектральная плотность амплитуд суммы двух несоприкасающихся импульсов (Т3 > ти) вместо (7) будет определяться более простым выражением
sin(a ■ ти/2)
Sy(a) = h ти-—--cos (a T3 / 2). (9)
и a ■ т„/2 3
и
Для двух соприкасающихся импульсов (Т3 = ти), т. е. для одного импульса удвоенной длительности из (7) получим
S1( j a) = h
1 - exp ( -j 2 ю ■ т и) ja
sin (a ■ ти)
= 2hT-■ exp (-ja ■ ти), (10)
S( ja) = h
1 - ex p ( j ■ т и ) j a
sin (a ■ ти/2)
hT •• T ■ exp(-ja ■ ти72), (5)
a ■ т„/2
где h - амплитуда импульса.
Для k-го импульса, сдвинутого относительно первого на произвольное время Тз, комплексная спектральная плотность будет равна
Sk (j a) = S (j a) ■ exp (-j a T 3).
(6)
т. е. спектр будет убывать в 2 раза быстрее, что и следовало ожидать.
На рис. 2, в соответствии с (6) и (9), пунктирной линией показана спектральная плотность ^(ю) для одного из прямоугольных импульсов длительностью ти (рис. 1), а сплошной линией - спектральная плотность 52(ю) для суммы двух импульсов (^(О и £5(0) при Тз = 4ти (к = 5).
Приведенный график спектра суммы двух импульсов при Тз >> ти с математической точки зрения не вызывает существенных возражений. Однако с физической точки зрения он не всегда имеет смысл, поскольку отклики цепи на сигналы ^(О и £5(0 (см. рис. 1) су-
г
ч8(г)
а)
г
--------^
б)
Рисунок 3
щественно разнесены по времени. Разнесены во времени на величину Тз = 4£и и их амплитудные спектры.
Сумму спектров двух (или более) импульсов необходимо рассматривать с учетом алгоритмов обработки (приема) сигналов и поставленных задач. Например, при так называемом «поэлементном» приеме [4] в «своей» системе или при определении уровня внеполосного излучения для других систем можно использовать спектры, вычисленные на интервале, равном длительности одиночного импульса ти.
В случае использования зависимых, сложных составных сигналов и при приеме «в целом» (на согласованный фильтр), спектры необходимо вычислять на больших интервалах, равных времени памяти устройств обработки сигнала (не меньшем длительности всего сигнала). Однако при определении уровня внеполосно-го излучения для других систем и для таких сигналов корректным будет вычисление спектра на малых интервалах.
Некорректность вычисления и усреднения спектров для больших интервалов времени можно просто проиллюстрировать и с помощью следующего примера (рис. 3). Две информационные последовательности, условно записанные как
а) 11111111111111
б) 10101010101010
имеют совершенно различные числовые (временные) и спектральные характеристики.
Теперь отметим следующий интересный факт. Понятие, близкое к понятию текущего спектра по определению (2) уже давно используется в теории цифровой обработки сигналов (с целью сокращения объемов вычислений). Так, в [10] со ссылкой на [11] и предположением нестационарности речевых сигналов использованы понятия «кратковременный спектр» и «кратковременный спектральный анализ». При этом в формулу дискретного преобразования Фурье (ДПФ) вводится некоторая весовая функция, называемая «временным окном». Формы «окон» могут быть разными [11, 12].
В [11] для сигналов, спектр которых меняется во времени, предложен способ измерений (вычислений) спектра, названный «скользящим» спектральным измерением. Этот способ предполагает постоянное смещение временного окна на один отсчет вперед. Более того, для сокращения вычислений с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ) там же вместо «скользящего» БПФ предложен метод «скачущего» БПФ (без перекрытия (рис. 4, а) или с частичным перекрытием (рис. 4, б, в)). Используется также термин «кратковременное преобразование Фурье» и указаны области его применения: графическое изображение речи с помощью спектрограмм и анализ-синтез речи (фазовые вокодеры).
БПФ 1^*- БПФ 2^*- БПФ БПФ 4^ • • • Нет перекрытия
а)
БПФ 1^4- БПФ
БПФ 2БПФ
Перекрытие 2:1
б)
К
БПФ 1
н
и- БПФ 4-И
БПФ 2
БПФ 3-
в)
Перекрытие 4:1
Рисунок 4
Все вышеизложенное указывает на целесообразность перехода к использованию мгновенных спектров, определяемых выражениями (2) или (3).
ВЫВОДЫ
Проведен анализ использующихся понятий и определений для спектров сигналов. Показано, что определение спектра сигнала на большом временном интервале, не связанном с параметрами электрических цепей (каналов), дает в некоторых случаях искаженные результаты. Поскольку любая электрическая цепь имеет конечное время «памяти», то и определение спектра сигнала должно производиться с учетом этого интервала. Вычисляемые при этом спектры в [1] названы мгновенными.
Мгновенные спектры и определяемые на их основе энергетические спектры позволяют более точно оценить уровни внеполосного излучения в широкополосных системах, уровни межканальных и межсистемных помех.
Доказательством некорректности вычисления спектра на неограниченном интервале времени являются приводимые во многих источниках графики спектров зависимых сигналов М8К и ОМ8К [9], на которых отмечается минимум спектральной плотности при = = 0,75/ти. В то же время интервал корреляционной обработки этих сигналов равен трем длительностям импульсов (тактовым интервалам). Проведенные авторами «эксперименты» (на персональных компьютерах) показывают отсутствие ярко выраженной особой точки на оси частот. Но это является материалом следующей статьи.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Харкевич А. А. Спектры и анализ. - М.: Физматгиз,
1962. - 236 с.
2. Кисель В. А. Синтез гармонических корректоров для высокочастотных систем связи. - М.: Связь, 1979. -230 с.
3. Михайлов А. В. Высокоэффективные оптимальные системы связи. - М.: Связь, 1980. - 344 с.
4. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сигналов. -2-е изд. - М.: Советское радио, 1970. - 728 с.
5. Макаров С. Б., Цикин И. А. Передача дискретных сообщений по радиоканалам с ограниченной полосой пропускания. - М.: Радио и связь, 1988. - 304 с.
6. Гуревич М. С. Спектры радиосигналов. - М.: ГИТЛ,
1963. - 308 с.
7. Петрович Н. Т., Размахнин М. К. Фазовая телеграфия с плавной манипуляцией фазы // Фазовая и относительная фазовая телеграфия. Сборник статей. - М.: Связь, 1967. - С. 23-29.
8. Немировский Э. Э., Портной С. Я. Полосно-эффектив-ное кодирование и модуляция для гауссового канала связи. Ч. II. Полосно-эффективная модуляция. // Зарубежная радиоэлектроника. - 1985. - № 6. - С. 30-42.
9. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра. - М.: Радио и связь, 2000. - 520 с.
10. Цифровые фильтры в радиотехнике и электросвязи. / А. В. Брунченко, Ю. Т. Бутыльский, Л. М. Гольденберг и др. / Под ред. Л. М. Гольденберга. - М.: Радио и связь, 1982. - 224 с.
11. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.: Мир, 1978. - 848 с.
12. Мейстер Ю. Л., Пиза Д. М. Весовые функции для малоточечных ДПФ в системах приема и обработки радиолокационных сигналов // Радюелектрошка. ¡нфор-матика. Управлшня. - 2001. - № 1. - С. 8-12.
Надшшла 30.01.06
Проведено анал1з понять, що використовуються, г ви-значень для спектргв сигналгв. Показано, що при визна-ченнг спектра сигналу на великому часовому гнтервалг, не пов'язаному з параметрами електричних кгл, можна отримати спотворет результати. Остльки будь-яке електричне коло мае кгнцевий час «пам'ятг», то й виз-начення спектра сигналу повинне вироблятися з ураху-ванням цього гнтервалу.
О. Ю. Воропай: ПРИЗНАЧЕННЯ 1НТЕРВАЛЬНИХ ДОПУСК1В ДЛЯ НЕМОНОТОННИХ ВИХ1ДНИХ ФУНКЦ1Й
The analysis of used concepts and definitions for signal spectra is accomplished. It is shown that the definition of the signal spectrum in large time interval not connected with the electric circuit parameters gives in some cases sen-
seless results. As any electric circuit has finite «memory» time, the definition of the signal spectrum should be made in view of this interval.
УДК 621.396.6.004 : 004.942
О. Ю. Воропай
ПРИЗНАЧЕННЯ ШТЕРВАЛЬНИХ Д0ПУСК1В ДЛЯ НЕМОНОТОННИХ
ВИХ1ДНИХ ФУНКЦ1Й
Розроблено метод призначення оптимальных гаранто-ваних допуств для euxidmux функцш з екстремумами. Умовна оптuмiзацiя об'ему допусковоЧ областi зведена до задачi безумовноЧ оптuмiзацiï, для чого запропоновано алгоритм пошуку точок дотику областей працездатностi та допускiв.
ВСТУП
Створення сучасно!' та конкурентноздатно!' радю-електронно!' продукци е неможливим без застосування технологш наскр1зного проектування i шдтримки життевого циклу виробiв - CALS технологи. Вона пе-редбачае використання однieï програмно!' системи для автоматизаци проектування пристрою i розробки його опису на вих етапах життевого циклу. Використання CALS технологГ! дозволяе пiдвищити яюсть i знизити собiвартiсть виробiв, однак потребуе автоматизаци кожно!' проектно!' процедури, в тому чи^ i процедури призначення допусюв. Таким чином, використання ушверсальних i ефективних алгоритмiв призначення допусюв робить САПР систему комерцшно бiльш успiшною.
Серед методiв призначення допускiв найбiльш ефек-тивними е методи, заснованi на використанш лiнiйних iнтервальних моделей [1, 2]. Проведення зовшшньо!' iнтерполяцiï при побудовi моделi [3] дозволяе враху-вати нелшшшсть вихiдноï функцИ, а иерацшш процедури - отримати результат необхщно!' точностi. При цьому використовуеться властивiсть монотонностi ви-хiдноï функци на iнтервалi допуску вхiдних парамет-рiв. Основний недолiк таких методiв - неможливiсть роботи з вихщними функцiями, якi мiстять один чи де-кiлька екстремумiв в iнтервалi ïï допуску. На практицi таю вихщш функци зустрiчаються доволi часто, на-приклад, при роботi з пристроями радючастотно!' се-лекци. Iснуючi методи дозволяють проводити аналiз допусюв для такого класу вихiдних функцш [4], алго-ритми ж допускового синтезу дои залишаються не роз-робленими.
© Воропай О. Ю., 2006
Метою дано!' роботи е розробка точного i ефектив-ного методу призначення допусюв для будь-якого класу вихщних функцiй. Для виршення поставлено!' за-дачi необхщно розробити форму опису обмежень об-ластi працездатностi, найбiльш придатно!' для макси-мiзацiï об'ему допусково'! обласп, а також врахувати особливостi цих обмежень при пошуку оптимального ршення. Для з'ясування ефективноси розроблено!' методики необхщно провести чисельний експеримент.
1 ОСОБЛИВОСТ1 0ПТИМ13АЦ1ЙН01
ЗАДАЧ1
Задача призначення допусково!' обласи максимального об'ему ставиться як задача оптимiзацiï за наяв-шстю обмежень у виглядi нерiвностей. Цiльова функ-щя мае вигляд:
n
G(wxi, ... wxn, wxi, ... wxn) = П ■ wXi ^ max,
i = 1 (1)
при обмеженнях:
Ф( xi, . xn) = f( xi, . xn) - y > 0; Ф( xi, ... xn) = f( xi, ... xn ) - y < 0;
Vxi e [xir - wx{, xir + wxj] ; (2)
wx{ < wxib; wx{ < wxib, (3)
де n - кiлькiсть вхiдних параметрiв; X = (xi, ...xn) -вектор вхщних параметрiв; wxi = x^ - xi, wxi = xi -- xir - ширина вщхилення вхщного параметру; Xr = = (xir, .xnr), X = (xi, .xn), X = (xi, .xn) - векто-ри номiнальних, нижнiх та верхшх значень вхiдних параметрiв; f(xi, .xn) - вихщна функцiя системи, що