Научная статья на тему 'Об инвариантной мере для нелинейного уравнения Шредингера'

Об инвариантной мере для нелинейного уравнения Шредингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
68
19
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Проблемы анализа
WOS
Scopus
ВАК
MathSciNet
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Соболев С. И.

В работах [1]-[3] рассматриваются различные аспекты построения инвариантной (или квазиинвариантной) меры для нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Для уравнения Эйлера движения идеальной жидкости инвариантная мера типа меры Гиббса была построена С.Альбеверио, М.Фариа, Р.Хоег-Кроном [4]. Из рассмотрения задач евклидовой квантовой теории поля ряд важных результатов получен И.Д.Чешуевым [5]. В данной работе конструкция [2] переносится на случай нелинейного уравнения Шредингера. Для гамильтоновой динамической системы, порожденной этим уравнением, на расширенном фазовом пространстве строится инвариантная мера типа меры Гиббса. Доказывается слабая сходимость к этой мере последовательности ее конечномерных аппроксимаций. Возможны обобщения этой конструкции и на другие бесконечномерные гамильтоновы системы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Об инвариантной мере для нелинейного уравнения Шредингера»

12. Schwartz L. Theorie generate des fonctions moyenne-periodiques // Arm. of Math. 1947. V.48. №4. P.857-929.

13. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.:Наука, 1973.

14. Платонов С. С. Подпространства, инвариантные относительно обобщенных сдвигов // Мат. заметки. 1990. Т.47. Вып.6. С. 91-101.

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 2, 1995

ееее

УДК 517.956.35

ОБ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

В работах [1]—[3] рассматриваются различные аспекты построения инвариантной (или квазиинвариантной) меры для нелинейного уравнения Клейна—Гордона. Для уравнения Эйлера движения идеальной жидкости инвариантная мера типа меры Гиббса была построена С.Альбеверио, М.Фариа, Р.Хоег-Кроном [4]. Из рассмотрения задач евклидовой квантовой теории поля ряд важных результатов получен И.Д.Чешуевым [5].

В данной работе конструкция [2] переносится на случай нелинейного уравнения Шредингера. Для гамильтоновой динамической системы, порожденной этим уравнением, на расширенном фазовом пространстве строится инвариантная мера типа меры Гиббса. Доказывается слабая сходимость к этой мере последовательности ее конечномерных аппроксимаций. Возможны обобщения этой конструкции и на другие бесконечномерные гамильтоновы системы.

Рассмотрим кубическое уравнение Шредингера

где ^ — комплекснозначная функция, < > 0, х £ (0,7г).

Положим гр = и + IV, где и = 11е1р,ь = 1тгр,]л перепишем уравнение (1) в виде гамильтоновой системы

С.И.Соболев

ггрг = -фхх + Ш2ф, ^|*=о = Фх=ж = О,

(1)

Ь V

/> и

(6) С.И.Соболев, 1995

с гамильтонианом

+(£) +<",+”г)2

йх.

(3)

Поскольку Н1(0,7г) С Ь4(0,7г), то энергетическим фазовым пространством этой системы является гильбертово пространство

М = #о(0, 7г) X #о(0, тг).

(4)

Обозначим у = (и, г>) и перепишем (2) в виде у = ги(у).

Гамильтонова система (2) определяет в фазовом пространстве М поток {й'г} : уо = у(<), где у( ) — решение с начальным условием

2/(0) = Уо-

Мера ц на фазовом пространстве М называется инвариантной мерой гамильтоновой системы (2), если для любой непрерывной ограниченной функции / на пространстве М

(5)

Если функция / дифференцируема по Фреше на пространстве М, то дифференцируя равенство (5), получаем, что

/

м

{я,/М<ЭД = о,

(6)

где

№Л-/

6Н <5/ дН 6/

6ь(х) 8и(х) 6и(х)6у(х)

(ІХ

скобка Пуассона гамильтониана Н и функции /. Мы построим меру ^ на расширении

Мх = Я‘-*(0,тг) х.Я'-'ІОд), где 8 > I

фазового пространства М, для которой выполняется равенство

У{Я,/Ыйу) = 0, (7)

м,

являющееся аналогом равенства (6).

Перейдем к координатному представлению. Рассмотрим орто-

нормированный базис {е*(ж) = в пространстве і2(0,7г).

Отождествим функции пипс наборами их коэффициентов Фурье:

и = (Щ, . . .,«ЛГ, . . .), = (»!, . . . . .).

Гамильтониан перепишем так:

Я(у) = Н0(у) + У(у),

где

1 00

но(у) = +

*=і

У(у)

А!

Ч*=1

и=і

(8)

(9)

сіх. (10)

Норма ІІуЦі элемента у пространства Мі определяется равенством

ОО

ІМІі = £*2(1-,)(«ї + »2)- (п)

к = \

Построим по гамильтониану Я последовательность мер {/г /у ) на пространстве М\. Положим

МЫ = {тЛ =(уь...,т/лг,0,0. )(

Будем записывать у^ так же, как у^ (и1* , ), I и

и* = («1,... ,идг,0,0,, ,), и* (И|, .('/у.О,!!, I

Определим борелевскую меру рлг на пространстве М\, положив для любого борелевского подмножества А пространства М\

/ е~н(у")<1у”

М„(А) = --------------. (12)

М"

Мера цн сосредоточена на пространстве Мы. Функция на пространстве М\ по этой мере интегрируется так:

У 1{у)^{<1у) = *# ■ / /{/')е~Щу")<1у1*,

М, М"

где

Ед,= У е-н(у"иу”.

м»

Предложение 1. Для последовательности мер {/ллг} справедлива оценка

I Пкгы^т(*/) < с п *-<«*+*),

•* к (Ь<Л/

где а к и 01с — неотрицательные целые числа, к = 1,2,...,

м — £ а* < +оо, \р\ = рк < +оо и константа С зависит только к к от |а| и \(3\.

Перед доказательством этого предложения докажем следующие леммы.

Лемма 1. Для гамильтониана Н(у) справедлива оценка Но(у) < Н(у) < #1(2/),

где

1 00

Я°Ы = о XI *2(м* + к=1

Об инвариантной мере для нелинейного уравнения Шредингера 117 и

оо

Л^у) = Я0(1/) + С +«,*).

к = 1

Доказательство. Эта оценка следует из оценки

ОО

О < У(у) < С^2к2(ик + «*)> к=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

доказательство которой

у(у) = \ ! [«2(х) + 1)2(а;)]2 <1х <

О

Г

< / [«4(х) И(а?)] Лх < С^2к2(и4к + у%)

О к = 1

получается путем применения неравенства Пэли:

} ~

/ |и(х)|р £*х < Ср ^ Р 2|«к|р, где р > 2 О * = 1

(см. [6]).

Лемма 2. Последовательность

I е-н°(у"иу”

РМ ~ )е-н'(УыиУ"

ограничена.

Доказательство. Поскольку и и V входят в выражения для #о(у) и #1(5/) равноправно, то рлг = <г%, гДе

N <• 2

П|е 1 аи

4=1 /е-**а“а-с*а“4йи'

Достаточно доказать, что последовательность 1п<тлг ограничена. Это вытекает из следующих оценок:

'Г', /«-**■*.

* ( 1е~^ [1 ~ е-ск~*и4\ с1и\

=£'"('+ )£

Ы Г е_5и2 [1 — е~Ск 2“4 Ии

< у---------Ц------------------— =

~£г[ /е-^-с^ёи

= С\ [е-^^2[1-е~Ск'^} Ли< к=\

оо

= С2 У е-^2 I (1 - е~Сг~^) (1гс1и =

О

00 о л

/г 1 _ --Сги /•

е_2и I -----------(Ис1и=Сз I е~?и и2(1и = С4.

о

Так же, как по гамильтониану Н мы определили меры определим по ’’свободному” гамильтониану Я о меру цо^-

/ е-н°(у"Чу”

/ ЛПМ"

/■‘о.лгМ) ~

^ е Н0(у" )(^yN М"

Заметим, что

/ /ШоМ*у) = £о,* / Яу")е-н°(уЫ)<1у",

Е0 * = I е-н°(УЫиу" =

• ] у (ЛП)2

Лемма 3. Предложение 1 верно для мер цо,ы-

Доказательство. Из определения мер /^о,лг с помощью замены переменных получаем

/П К^М^/ЧагИу) < I ПМ“Ч»Ло,^у") =

•'к ^ к<Ы

■рг / \и\аке~Ък*и2 <1и -Лг / \у\/3ке~^к2'1^ ^

к=[ I £~1 /

N N N

= П *-(«»+*) П 1(ак) П /(/?*), к=1 к=1 к=1

где

,м=ж.1

ьи\уе *и’2 (1хи.

Заметим, что отличных от 1 чисел /(<**) у нас не больше, чем |а|, и что наибольшее из них не превосходит 7(|а|). Аналогично для чисел /(/?*)• Поэтому

N N

/П КГЫ^о.^у) < С П к~^+^\ (13)

и _ 1 I -1

к=1 к = 1

где константа С зависит только от |а| и \/3\.

Доказательство предложения 1. Используя леммы 1,2 и 3 (оценка 13), получаем

/ п КГ Ы%*(Лу) < [ П кг м0кЫ<1у") = к к=1

1е~Н(У")с1уN

/ Па:=1 \ик\ак\Ук\0ке Я°(у иу" _

1е-Н1(у")(1уN * N N

— рт^ I П Ы^Ы^^оАЛу") < сП *-("‘+'Ч } к=1 к 1

где константа С зависит только от |а| и |/?|.

Предложение 2. Семейство мер {мм} на пространстве М\ — Я(!_5(0,7г) х Н,7г), где я > слабо компактно. Доказательство. Достаточно установить (см. [7, гл. 6]) выполнение следующих двух условий:

1) Нт вир/^({у| Ц2/Ц1 > Я}) = 0;

Я-.+ОС /V

2) для любого /2 > 0 ряд

00 г

^2 I + ь1)цн((1у)

*=1|М|.<Я

сходится равномерно по N.

Используя технику неравенства Чебышева, имеем

ин({у\ 1Ы11 >/?})= 'I ^ыЫу) < ! ^-~цы((1у) < J ^^-^^N(dy) =

1М1.>Я 1М|1>я

= ■^2 / Пу|1?^лг(«гу) = -^2 I +»1)^м{(1у) <

к = 1

- Д2 2^ - Д2 'с Д2

£ = 1 * = 1

Здесь мы воспользовались предложением 1, из которого следует, что [(и\ + ь1)цм(с1у) < при к < N, и сходимостью ряда

Е°° I —2.1 ^ 1

к=1 ПРИ в > 5-

Далее, так как

J + У2к)цы(с1у) <

1|у||.<я

< I к2(1-’Ци1 + у\)цы(Ну) < Ск~2\

ОО

а Ряд ’ ПРИ в > I сходится, то по признаку Вейерштрасса

условие 2) тоже имеет место.

Поскольку последовательность мер {рлг} по доказанному слабо компактна, то из нее можно выбрать подпоследовательность {рлп}, слабо сходящуюся при Л/7 —» оо к некоторой борелевской мере р на пространстве М\.

В дальнейшем нам потребуется следующее предложение о предельном переходе, доказательство которого см. в [2].

Предложение 3. Пусть последовательность {цNl} мер на пространстве М\ слабо сходится к мере р при Ы' —► оо, а функция Ф на пространстве М\ непрерывна, ограничена на каждом шаре и такова, что

Примерами функций, удовлетворяющих условиям предложе-

Действительно, такая функция Ф непрерывна на пространстве Мі, так как является одночленом от конечного числа переменных «г, иг,..і>і, «2,..по этой же причине она ограничена на каждом шаре пространства М\. Кроме того, используя неравенство Чебыше-

ІМІі>я

Тогда

ния 3, являются функции Ф(у) = Пк- и£"), где а„ и /?„ — неотри-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

П

П

цательные числа, п = 1,2,..|а| = £ а„ < +оо и|/?| = £а,< +оо.

П

П

ОО

из которой следует, что

Я—» + 00 ]уі J

||у||.>П

для нашей функции Ф.

Теорема. Пусть М\ = Я1-а(0,7г) х Я1_’(0,7г), где 1 < 2в < |, и пусть мера ц — любая предельная точка последовательности борелевских мер (12) на пространстве М\. Тогда для любой функции /(у) = <р(щ,..и„; VI,..г>„), где у £ С~(М2"), выполняется равенство

I {я,/мл/) = о.

м,

Доказательство. Заметим, что 1тт п =

\дьк дик дикдьк) для выбранной нами функции / и что

{{Н,/}р„(<1у) = О

из определения мер ^дг в силу интегрирования по частям (см.[2]).

Если функция Ф = {Я,/} удовлетворяет условиям предложения 3, то, применяя это предложение, мы получаем

[{Н,/}^{<1у) = Нгп /{Н,1}цц\<1у) = Нт 0 = 0,

J Ы'—юо J N'—+00

что и требовалось доказать.

Чтобы доказать, что функция Ф = {Я, /} удовлетворяет условиям предложений 3, в силу выбора функции / достаточно доказать, что таковыми являются частные производные и где к — 1,2, — Поскольку и и V входят симметрично в выражение для гамильтониана Я, проведем доказательство для

дН /*

= к2ик + 2 J (и2(х) + у2(х)) и(х)ек(х) с1х.

о

Первое слагаемое как одночлен удовлетворяет условиям предложения 3. Докажем то же для функции

ф(у) = J (и2(х) + г>2(я)) и(х)ек(х) с1х.

о

Заметим, что отображение /'’(и, ь) = (и2 + у2)и переводит пространство £,3(0,7г) х £3(0,7г) в пространство /у1 (0,7г), а функция

е^(х) = непрерывна и ограничена. Следовательно, по те-

ореме Красносельского [8] функция Ф непрерывна на пространстве 1,3(0, яг) х Ь3(0,7г) и ограничена на каждом шаре этого пространства. В силу непрерывности вложения Я1-а(0, я-) С Ь3(0,7г) функция Ф непрерывна на пространстве М\ и ограничена на каждом шаре. Сделаем оценку сверху |Ф(у)|. Используя неравенство Пэли (см. [6])

и элементарные неравенства, получим

|*(У)| < С J [|и(х)|3 + |и(а:)|и2(я)] Нх

О

= 1М11» + Н«»21и» < Ци|Цз + 1МЫМ1Ь <

Применим технику неравенства Чебышева и предложение 1:

I №(у)\рн{4у) < ! ||у||?|Ф(г/)|/М<*у) <

||»1|1>Я

Следовательно, lim sup / |Ф(у)|/iw(dy) = 0. Итак, функция Ф

Я—оо jv J

1М1>>л

удовлетворяет всем условиям предложения 3 и теорема доказана.

Литература

1. Friedlander L. An Invariant Measure for the Equation utt — и» + ti3 = 0 // Commun. Math. Phys. 1985. V. 98. №1.

P. 1-16.

■ 2. Соболев С.И. Пример инвариантной меры для динамической системы, порожденной нелинейным гиперболическим уравнением // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Изд-во ЯрГУ, 1985.

3. Andersson L. Prequantization of Infinite Dimensional Dynamical Systems // Journ. Funct. Anal. 1987. V. 75. JM. P. 58-91.

4. Albeverio S., De Faria M. and Hoegh-Krohn R. Stationary measures for the periodic Euler flow in two dimensions // Journ. Stat. Phys. 1979. V. 20. P. 585-595.

5. Чуешов И.Д. Равновесные статистические решения для динамических систем с бесконечным числом степеней свободы // Ма-тем. сборник. 1986. Т. 130. №3. С. 394-403.

6. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2-х т. М.: Мир,

1965.

8. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. М.: Наука, 1971.

9. Красносельский М.А. Непрерывность одного оператора // Доклады АН СССР. 1951. 77. №2. С. 185-188.

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 2, 1995

УДК 515.13

О ФУНКЦИОНАЛЬНО-КОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Н. С. Стреколовская

В статье изучаются свойства топологических пространств,

обозначенных в заглавии.

В работе [1] Б.А.Пасынков ввел понятие функционально-компактного топологического пространства (т.е. такого, в котором из любого покрытия функционально открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие). Известно (см.[1]), что в классе тихоновских пространств функциональная компактность совпадает с компактностью, в классе функционально-хаусдорфовых пространств функционально-компактные пространства абсолютно замкнуты. Непрерывный образ функционально-компактного пространства функционально компактен.

Нерешенными вопросами (см.[1]) являются следующие: будет ли произведение двух (любого числа) функционально-компактных пространств функционально-компактным пространством, будет ли предел обратного спектра из функционально-компактных пространств функционально-компактным.

В §1 эти вопросы решаются положительно для класса пространств, произведение которых обладает свойством прямоугольно-сти [2].

В §2 изучаются свойства относительной ра«мерно» ти, оирсде

ленной Чсрсм конечны»' фуНКНИННП'Н.Ни mnpwn.tr Н'1к|1М1ИИ

(П) II (' I I |||.цм||1П1 пая, |ВВй

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.