Об инвариантах Лапласа гиперболического уравнения со смешанной производной и квадратичными нелинейностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2024, Том 26, Выпуск 2, С. 113-121

УДК 517.956

DOI 10.46698/m1855-1369-1428-v

ОБ ИНВАРИАНТАХ ЛАПЛАСА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ И КВАДРАТИЧНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

И. В. Рахмелевич1

1 Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, Россия, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 E-mail: igor-kitpd@yandex. ru

80-летию проф. Г. Г. Магарил-Ильяева посвящается

Аннотация. Исследуется двумерное нелинейное гиперболическое уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, левая часть которого содержит квадратичные нелинейности по искомой функции и ее производным. Рассматривается множество линейных мультипликативных преобразований неизвестной функции, сохраняющих вид исходного уравнения. Аналогично линейным уравнениям, инварианты Лапласа определяются как инварианты этого преобразования. Получены выражения для инвариантов Лапласа через коэффициенты уравнения и их первые производные. При этом рассмотрен как общий случай, так и случаи, когда некоторые коэффициенты уравнения равны нулю. Доказана основная теорема, согласно которой два нелинейных гиперболических уравнения рассматриваемого вида могут быть связаны с помощью линейного мультипликативного преобразования искомой функции в том и только в том случае, если инварианты Лапласа для обоих этих уравнений имеют одни и те же значения. Для рассматриваемого уравнения найдены эквивалентные системы уравнений первого порядка, содержащие инварианты Лапласа, в общем случае и в случае, когда некоторые коэффициенты уравнения равны нулю. Получены дополнительные условия на инварианты Лапласа и коэффициенты уравнения, при выполнении которых может быть получено решение исходного уравнения в квадратурах.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение в частных производных, гиперболическое уравнение, инвариант Лапласа, линейное мультипликативное преобразование, квадратичная нелинейность. AMS Subject Classification: 35G20.

Образец цитирования: Рахмелевич И. В. Об инвариантах Лапласа гиперболического уравнения со смешанной производной и квадратичными нелинейностями // Владикавк. мат. журн.—2024.—Т. 26, вып. 2.—С. 113-121. DOI: 10.46698/m1855-1369-1428-v.

Введение

При исследовании свойств симметрии и классификации линейных гиперболических уравнений с переменными коэффициентами весьма эффективным является подход, основанный на использовании инвариантов Лапласа [1, с. 66-67], [2, с. 175-180]. Как известно, инварианты Лапласа — это функции коэффициентов уравнения и их производных, которые являются инвариантными относительно линейного мультипликативного преобразования, которое переводит исходное дифференциальное уравнение в уравнение того

© 2024 Рахмелевич И. В.

же вида. Первоначально эти инварианты были найдены для двумерного линейного гиперболического уравнения с переменными коэффициентами:

иху + а(х, у)и'х + Ь(х, у)п'у + с(х, у)и = 0. (0.1)

Здесь и ниже приняты обозначения и'х = ди/дх, и'у = ди/ду, иХу = д2и/дхду и т. д. Для данного уравнения инварианты Лапласа имеют вид

Н = а'х + аЬ — с, к = Ь'у + аЬ — с. (0.2)

В дальнейшем инварианты Лапласа были найдены для различных типов линейных уравнений как второго, так и более высоких порядков [3-6]. Также в ряде работ инварианты Лапласа и их обобщения применялись к исследованию некоторых классов нелинейных уравнений в частных производных [7-9]. Целью данной работы является нахождение инвариантов Лапласа для двумерного нелинейного гиперболического уравнения второго порядка со смешанной старшей производной и переменными коэффициентами, содержащего квадратичные нелинейности по искомой функции и ее первым производным.

1. Постановка задачи. Вычисление инвариантов Лапласа

Рассмотрим нелинейное гиперболическое уравнение второго порядка относительно неизвестной функции и = и(х, у):

иХ у + Ьци'хи'у + Ьо1ии'Х + Ьо2ии'у + Ьоои2 + а1и'Х + а2и'у + аои = 0. (1.1)

Левая часть уравнения (1.1) представляет собой полином второй степени по неизвестной функции и ее производным, причем коэффициенты полинома предполагаются заданными функциями независимых переменных а1 = а1 (х,у), Ь^ = Ь^(х,у).

Применим к уравнению (1.1) мультипликативное преобразование искомой функции, которое имеет вид

и(х,у) = Х(х,у)у(х,у). (1.2)

Подставив (1.2) в уравнение (1.1), после дифференцирования и элементарных преобразований получаем уравнение относительно новой неизвестной функции ь(х,у):

+ Ь\1у'х ь'у + ЬоютХ + Ьо2^у + Ьооь2 + а1< + а2У'у + аоУ = 0. (1.3)

Здесь и всюду далее знаком «тильда» отмечены величины, относящиеся к преобразованному уравнению. Найдем, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты уравнений (1.1), (1.3), чтобы одно из этих уравнений можно было привести к другому с помощью преобразования (1.2).

Коэффициенты преобразованного уравнения (1.3) определяются выражениями:

Ьц = \Ьц, Ьо 1 = АЬо1 + Х'у Ьц, Ьо2 = АЬо2 + КЬп,

- , , КК (ы)

&оо = А&оо + Аж6о1 + \Ьо2 Н---— Ьц.

^у \Х ~ ^Х ^у ^Х у /-,

аг = + а2 = а2 + -^, а0 = а0 + + -^а2 + —р. (1.5)

л л л л л

Из формул (1.5) получаем

^=а2-а2, —^ = а1-аь (1.6)

лл

Из соотношений (1.6) находим

АХУ = ((Й2 - «2)У + («1 - Й1)(а2 - «2^ А, (1.7а)

Кх = ((«1 - «1)Х + («1 - а1)(«2 - «2)) а. (1.7б)

На основании теоремы о равенстве смешанных производных из (1.7 а, б) следует

(«1 - Й1)Х = (Й2 - (12)'у- (1.8)

Далее, подставляя (1.6), (1.7б) в (1.5), получаем

«о - ао = («1 - а1)Х + («1 - а1)(Й2 - (12) + 01(02 - «2) + 02(^1 - «1)- (1-9)

После некоторых элементарных преобразований (1.9) приводится к виду

«0 - «0 = («1 - «1)Х + («^ - a1a2). (1-10)

Преобразуем (1.10) так, чтобы в левой части были только слагаемые, относящиеся к исходному уравнению, а в правой части — относящиеся только к преобразованному уравнению:

- «0 + = - «0 + a/1ж. (1-11)

Из (1.11) следует, что функция

/1 = - «0 + (1-12)

не изменяется при преобразовании (1.2) и поэтому является инвариантом уравнения (1.1) относительно данного преобразования.

Далее, соотношение (1.9) с учетом (1.8) можно переписать в виде

«0 - «0 = («2 - «2)У + («1 - - «2) + al(a2 - «2) + a2(al - «1). (1-13)

В результате рассуждений, аналогичных приведенным выше, (1.13) преобразуется к виду

- «0 + = - «0 + . (1-14)

Из (1.14) следует, что функция

/2 = - «0 + a/2y (1-15)

также является инвариантом уравнения (1.1) относительно преобразования (1.2). Инварианты /1, /2 уравнения (1.1), определяемые формулами (1.12), (1.15), с точностью до обозначений совпадают с инвариантами (0.2) линейного гиперболического уравнения (0.1).

Далее рассмотрим преобразование коэффициентов нелинейной части уравнения (1.1) по формулам (1.4).

Случай 1. Ь11 = 0.

Тогда из (1.4) получаем

&01 = &01 + ^ Ьо2 = ЬО2 + А^ (116)

Ь11 Ь11 А Ь11 Ь11 А

Введем следующие обозначения:

& = = г = 0,1,2. (1.17)

Ъ11 Ъц

Учитывая (1.17), соотношения (1.16) перепишем в виде

(1.18)

Разделив почленно четвертое равенство (1.4) на первое и используя обозначения (1.17), имеем

+ + + (1.19)

Подставляя (1.18) в (1.19), после некоторых элементарных преобразований получаем

в1в2 - во = в1 в2 - во. (1.20)

С учетом (1.17), из (1.20) следует, что функция

т Ъ01Ъ02 — Ъ00Ъ11 f, \

Н = -72--(1-21)

Ъ11

также является инвариантом уравнения (1.1) относительно преобразования (1.2).

Для нахождения остальных инвариантов необходимо учесть, что функция А(ж,у), входящая в преобразование (1.2), должна удовлетворять одновременно уравнениям (1.6) и (1.18). Сравнивая эти уравнения, находим

Й1 - = в1 - в1, «2 - Й2 = в2 - в2

или

Й1 - /?1 = - в1, «2 - в2 = «2 - в2- (1-22) Из (1.22) получаем, что функции

г Ъ01 г Ъ02 осЛ

/4 = 01-7—, /5 = 02-7— (1-23)

Ъц Ъц

также являются инвариантами уравнения (1.1) относительно преобразования (1.2). Случай 2. Ъ11 = 0, Ъ01 + Ъ^2 > 0.

Без ограничения общности предположим, что Ъ01 = 0. Тогда для коэффициентов нелинейной части преобразованного уравнения из (1.4) находим

Ъц = 0, Ъ01 = АЪ01, Ъ02 = АЪ02, Ъ00 = АЪ00 + А^Ъ01 + А^ Ъ02- (1-24)

Разделив почленно третье уравнение (1.24) на второе, получаем

^ = (1.25)

Ъ01 Ъ01

Далее, преобразуем четвертое уравнение (1.24) с учетом (1.6) и второго уравнения (1.24):

boo = т^-{Ьоо + b0i(a2 - a2) + 602(01 - oi)}- (1-26)

Ъ01

Учитывая (1.25), уравнение (1.26) путем несложных преобразований приводим к виду

Ьоо Ьо2~ _ Ьоо Ьо2 ,л

~---«2 = 7--7— «1 - «2- (1-27)

Ьо1 Ьо1 Ьо1 Ьо1

Из (1.25) и (1.27) следует, что функции

г(1) _ &02 .(1) _ ЬОО &02 , *

/3 "Ь? ^ (1-28)

в рассматриваемом случае являются инвариантами уравнения (1.1) относительно преобразования (1.2).

Используя соотношения (1.6), нетрудно выразить функцию л(х, у), определяющую вид преобразования (1.2), через коэффициенты уравнений (1.1), (1.3):

\(х,у) = ло ехр | ^ ((а2 — а2)^х + (а1 — а1)^у^ , (1.29)

где ло — произвольная постоянная.

Итак, в результате проведенных рассуждений доказана следующая теорема.

Теорема 1. Уравнение (1.1) может быть приведено с помощью преобразования (1.2) к другому уравнению (1.3) того же вида в том и только в том случае, если:

1) при Ь11 = 0 инварианты /1, 12, /3, /4, /5, определяемые формулами (1.12), (1.15), (1.21), (1.23), одинаковы для обоих уравнений;

2) при Ь11 = 0, Ьо1 = 0 инварианты 11, 12, /3, /4, определяемые формулами (1.12), (1.15), (1.28), одинаковы для обоих уравнений.

При этом коэффициент л(х,у) преобразования (1.2) определяется формулой (1.29), а для коэффициента уравнения Ь11 справедливо преобразование Ь11 = лЬ11.

Замечание. В случае Ьц = 0, Ьо2 = 0 нетрудно получить выражения для инвариантов, которые аналогичны (1.28):

Л2) _ Ьси Л2) _ Ьоо Ъо1

Н - Т- > Ч -Т--1 ~~ 2 А '

Ьо2 Ьо2 Ьо2

2. Эквивалентные системы уравнений

Теорема 2. 1. В случае Ьц = 0 уравнение (1.1) эквивалентно каждой из следующих систем уравнений относительно неизвестных функций и(х, у), ш(х, у):

\и'у + а1и = ш, (2 1)

\ш'Х + (а2 + Ьо2и + Ьц и'Х) ш = 11и + ЬцЬииХ + (Ьц/з + Ьо2^4)и2;

2 (22)

{и' + а2и = ш,

ш'у + (а1 + Ьо1и + Ьц^) ш = /2и + Ьц15ии'у + (Ьц /3 + Ьо1 /б)и 2. В случае Ьц = 0, Ьо2 = 0 уравнение (1.1) эквивалентно следующей системе:

{и'„ + а1и = ш,

у (2 3)

ш' + (а2 + Ьо2и) ш = /1и — Ьо2 /32) ии' — Ьо^ а2/32) + /42)) и2.

3. В случае Ь11 = 0, 601 = 0 уравнение (1-1) эквивалентно следующей системе: (и'х + «2^ = ад,

|ад' + («1 + 601и) ад = /2и - Ь01/.(1)ииу - 601 ^«^З1» + и2.

Инварианты /З1'2^ в правых частях систем уравнений (2.3), (2.4) определяются

формулами (1-28), (1.30).

< 1. Рассмотрим нелинейный дифференциальный оператор

Р\[и] = ^^ +ро + Р\и + Р2и'т^ +и +гои +Г\ии'х +г2и2, (2.5)

где р0'1'2(х,у), з(ж,у), г0Д'2(ж,у) — пока неопределенные коэффициенты, которые будут определены ниже. Раскрывая скобки, преобразуем оператор (2.5):

Р1[и] = иХУ+Р2иХиУ + (г1 +р2^)ииХ +Р1ииУ + (Г2 +Р1^)и2+диХ +Р0иУ + (г0 +Р09+зХ )и. (2-6)

Приравнивая выражение (2.6) к левой части уравнения (1.1), получаем

Р0 = «2, д = «1, р1 = 602, Г0 + + зХ = «0, (2.7а)

Р2 = 611, Г1 + Р29 = 601, Р1 = 602, Г2 + Р13 = 600- (2.7б)

Предполагаем, что Ь11 = 0. Тогда из (2.7а,б) с учетом (1.12), (1.21), (1.23) находим

Г0 = -/1, Г1 = -611/4, Г2 = -Ьи/з - 602/4- (2-8)

Коэффициенты р0Д'2(ж,у), з(ж,у), г0д,2(ж,у) найдены в предположении, что Р1[и] совпадает с левой частью уравнения (1.1). Поэтому, если и(ж,у) удовлетворяет уравнению (1.1), то из (2.5), (2.7а, б), (2.8) следует

(^ж + + + ^п-и^ (Ц/ + а1и) = + ЬпЬии'х + (611/3 + 602/4)и2. (2.9) Далее, вводя новую неизвестную функцию

ад(ж, у) = иУ + «1и,

получаем из (2.9), что функции и(ж,у), ад(ж,у) удовлетворяют системе уравнений (2.1). Для нахождения системы (2.2) рассмотрим дифференциальный оператор

ЛгМ = ^^ +Ро + ^^ + и + г0-и + г\ии'у + г2-и2. (2.Ю)

Проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше для оператора Р1[и], находим

Р0 = «1, Р1 = 601, Р2 = 611, д = «2, (2.11)

Г0 = -/2, Г1 = -611/5, Г2 = -611/3 - 601/5- (2-12)

Коэффициенты р0д,2(ж,у), д(ж,у), г0д,2(ж,у) найдены в предположении, что Р2[и] совпадает с левой частью уравнения (1.1). Поэтому, если и(ж,у) удовлетворяет уравнению (1.1), то из (2.10), (2.11), (2.12) следует

(ъу + а1 + + (и'х + а2-и) = 1211 + Ъц15ии'у + (6ц/з + Ъо115)и2. (2.13)

Далее, вводя новую неизвестную функцию

w(x, y) = u'x + a2u,

получаем из (2.13), что функции u(x,y), w(x,y) удовлетворяют системе уравнений (2.2).

2. Пусть Ъц = 0, bo2 = 0. В этом случае используем оператор Pi[u], определяемый формулой (2.5). Тогда из (2.7а,б) с учетом (1.30) находим

ro = -Ii, ri = bo2lf\ Г2 = bo2(a2lf] + if). (2.14)

Далее, рассуждая аналогично п. 1 доказательства, из (2.6), (2.7а,б), (2.14) получаем систему (2.3).

3. Пусть Ъ11 = 0, Ъ01 = 0. В этом случае используем оператор P2[u], определяемый формулой (2.10). Тогда из (2.11) с учетом (1.28) находим

ro = -I2, ri = boiI(1), Г2 = boi(aiI(1) + I^). (2.15)

Рассуждая аналогично п. 1 доказательства, из (2.10), (2.11), (2.15) получаем систему (2.4). >

В приведенных ниже примерах с помошью систем (2.1), (2.2) получено общее решение уравнения (1.1) в квадратурах в некоторых частных случаях.

Пример 1. I1 = I3 = I4 = 0, bo2 = a1 =0, b11 = const = 0. Тогда, решая второе уравнение системы (2.1), находим

w(x, y) = Vo(y) exp ^—b11u — J a2 dx^ , (2.16)

где Vo(y) — произвольная функция. Подставляя (2.16) в первое уравнение системы (2.1), находим общее решение уравнения (1.1)

и(х,у) = { Ъц

Uo(x) + J Vo(y) exp ^ — У a2 d^j dy

(2.17)

где Uo(x), Vo(y) — произвольные функции.

Пример 2. I2 = I3 = I5 = 0, boi = a2 = 0, b11 = const = 0. Тогда, решая второе уравнение системы (2.2), находим

w(x,y) = Uo(x)exp^—b11u — У a1dy^ , (2.18)

где Uo(x) — произвольная функция. Подставляя (2.18) в первое уравнение системы (2.2), находим общее решение уравнения (1.1):

Vo(y) + J Uo(x) exp ^ — J aid^j dx где Uo(x), Vo(y) — произвольные функции.

u(x,y) = ^-ln<j 6n

(2.19)

Литература

1. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3, ч. 1.—М.-Л.: ГИТТЛ, 1933.

2. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1957.

3. Джохадзе О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения.—2004.—Т. 40, № 1.—С. 58-68.

4. Миронов А. Н., Миронова Л. Б. Об инвариантах Лапласа для уравнения с доминирующей частной производной третьего порядка с двумя независимыми переменными // Матем. заметки.—2016.— Т. 99, № 1.—С. 89-96. DOI: 10.4213/mzm10613.

5. Миронов А. Н., Миронова Л. Б. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными // Изв. вузов. Математика.—2014.—№ 10.—С. 27-34.

6. Миронов А. Н., Миронова Л. Б. К инвариантам Лапласа для одного уравнения с доминирующей частной производной с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения.—2019.— Т. 55, № 1.—С. 67-73. DOI: 10.1134/S0374064119010072.

7. Кузнецова М. Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения // Уфимский матем. журн.—2009.—Т. 1, № 3.—С. 87-96.

8. Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи матем. наук.—2001.—Т. 56, № 1 (337).—С. 63-106. DOI: https://doi.org/10.4213/rm357.

9. Старцев С. Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой // Теор. и матем. физика.—1999.—Т. 120, № 2.—С. 237-247. DOI: 10.4213/tmf772.

Статья поступила 25 июля 2023 г.

РАХМЕЛЕВИЧ Игорь ВЛАДИМИРОВИЧ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского,

доцент кафедры математического моделирования экономических процессов РОССИЯ, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23 E-mail: igor-kitpd@yandex. ru

Vladikavkaz Mathematical Journal 2024, Volume 26, Issue 2, P. 113-121

ON LAPLACE INVARIANTS OF A TWO-DIMENSIONAL HYPERBOLIC EQUATION WITH MIXED DERIVATIVE AND QUADRATIC NONLINEARITIES

Rakhmelevich, I. V.1

1 Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, 23 Gagarin Ave., Nizhny Novgorod 603950, Russia E-mail: igor-kitpd@yandex.ru

Abstract. We study two-dimensional nonlinear hyperbolic equation of the second order with variable coefficients. The left side of this equation contains quadratic nonlinearities on unknown function and its derivatives. We consider a set of linear multiplicative transformations of unknown function which keep a form of initial equation. By analogy with linear equations, the Laplace invariants are determined as the invariants of this transformation. Expressions for the Laplace invariants over the coefficients of the equation and their first derivatives are obtained. We consider both the general case and the case when some coefficients of the equation equals to zero. The main theorem about Laplace invariants is proved. According to this theorem, two nonlinear hyperbolic equations of the considering form can be connected with the help of linear multiplicative transformation if only if the Laplace invariants for both equations have the same values. We have found the equivalent systems of the first order equations, containing the Laplace invariants, for considering equation in general case and in the case when some coefficients of the equation equals to zero. It is shown that the solution of the initial equation can be received in quadratures if some additional conditions on the coefficients and on the Laplace invariants are fulfilled.

Keywords: partial differential equation, hyperbolic equation, Laplace invariant, linear multiplicative transformation, quadratic nonlinearity.

AMS Subject Classification: 35G20.

For citation: Rakhmelevich, I. V. On Laplace Invariants of Two-Dimensional Hyperbolic Equation with Mixed Derivative and Quadratic Nonlinearities, Vladikavkaz Math. J., 2024, vol. 26, no. 2, pp. 113-121 (in Russian). DOI: 10.46698/m1855-1369-1428-v.

References

1. Goursat, E. Cours d'Analyse Mathématique, Paris, 1933.

2. Tricomi, F. Lectures on Partial Differential Equations, Moscow, IL, 1957 (in Russian).

3. Dzhokhadze, O. M. Laplace Invariants for Some Classes of Linear Partial Differential Equations, Differential Equations, 2004, vol. 40, no. 1, pp. 63-74. DOI: 10.1023/B:DIEQ.0000028714.62481.2d.

4. Mironov, A. N. and Mironova, L. B. On Laplace Invariants for Equations with Dominating Third-Order Partial Derivative and Two Independent Variables, Mathematical Notes, 2016, vol. 99, no. 1-2, pp. 110-115. DOI: 10.1134/S0001434616010119.

5. Mironov, A. N. and Mironova, L. B. Laplace Invariants for a Fourth-Order Equation with Two Independent Variables, Russian Mathematics, 2014, vol. 58, no. 10, pp. 22-28. DOI: 10.3103/ S1066369X14100041.

6. Mironov, A. N. and Mironova, L. B. Laplace Invariants of an Equation with a Dominating Partial Derivative and Three Independent Variables, Differential Equations, 2019, vol. 55, no. 1, pp. 68-74. DOI: 10.1134/S0012266119010075.

7. Kuznetsova, M. N. Laplace Transformation and Nonlinear Hyperbolic Equations, Ufimskii Matema-ticheskii Zhurnal, 2009, vol. 1, no. 3, pp. 87-96 (in Russian).

8. Zhiber, А. V. and Sokolov, V. V. Exactly Integrable Hyperbolic Equations of Liouville Type, Russian Mathematical Surveys, 2001, vol. 56, no. 1, pp. 61-101. DOI: 10.1070/RM2001v056n01ABEH000357.

9. Startsev, S. Y. Laplace Invariants of Hyperbolic Equations Linearizable by a Differential Substitution, Theoretical and Mathematical Physics, 1999, vol. 120, no. 2, pp. 1009-1018. DOI: 10.1007/BF02557408.

Received Jule 25, 2023 Igor V. Rakhmelevioh

Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, 23 Gagarin Ave., Nizhny Novgorod 603950, Russia, Associate Professor E-mail: igor-kitpd@yandex. ru