Об интегрировании автоморфных систем конечномерных групп Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 108-114.

УДК 517.9

ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ АВТОМОРФНЫХ СИСТЕМ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ГРУПП ЛИ

А.А. ТАЛЫШЕВ

Аннотация. Настоящая работа содержит некоторые результаты об интегрировании и понижении порядка автоморфных систем конечномерных групп Ли.

Ключевые слова: симметрии Ли, автоморфные системы, дифференциальные инварианты.

Mathematics Subject Classification: 34A05, 35B06, 58A15, 58A17

ВВЕДЕНИЕ

Система дифференциальных уравнений называется автоморфной относительно группы Ли G, если любое решение этой системы получается из одного фиксированного решения посредством действия преобразований группы G [1, §25].

В работе [2] показано, что некоторое конечное продолжение (как правило, нулевого порядка) всякой автоморфной системы конечномерной группы Ли является вполне интегрируемой системой.

В настоящей работе для вполне интегрируемых систем Пфаффа доказаны теоремы: о понижении порядка систем, допускающих симметрию Ли, о последовательном понижении порядка систем, допускающих более, чем однопараметрические симметрии Ли, и об интегрирующем множителе для одномерных систем.

Первая и третья теоремы являются непосредственным обобщением соответствующих теорем для обыкновенных дифференциальных уравнений, описанных в [1, §8]. Другие способы использования допускаемой симметрии Ли для понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений описаны в работах [3], [4], [5].

Вычисление допускаемой группы для вполне интегрируемой системы Пфаффа (также как и для системы обыкновенных дифференциальных уравнений), вообще говоря, не проще интегрирования исходной системы. Но автоморфная система конечномерной группы Ли G допускает группу Ли, которая дается «даром»: является ограничением действия группы G на многообразие, определяемое системой.

В дальнейшем все построения локальны, причем в окрестностях точек общего положения, и все рассматриваемые функции достаточно гладкие.

1. СИММЕТРИИ СИСТЕМ ПФАФФА

Рассматривается вполне интегрируемая система Пфаффа

и = dy — <^l(x, y) dx1 — ■ ■ ■ — ipn(x, y) dxn = 0, x G Rn, y G Rm. (1)

Система (1) называется вполне интегрируемой в некоторой области пространства Rn х Rm, если через каждую точку этой области проходит n-мерная интегральная поверхность системы (1) (в этом случае через каждую точку проходит только одна такая

A.A. Talyshev, On integration of automorphic systems of finite-dimensional Lie groups.

© Тадышеб А.А. 2014.

Поступила 25 ноября 2013 г.

поверхность) [6, §23]. Согласно теореме Фробениуса [6, §26], система (1) вполне интегрируема тогда и только тогда, когда внешние производные du принадлежат идеалу, порожденному формами и. Последнее верно тогда и только тогда, когда du|^=0 = 0. А это условие эквивалентно следующим выражениям:

[Di,Dj ] = 0, i,j = 1,...,n, (2)

где

Di = dxi + pi ■ dy, i = 1,... ,n. (3)

Действительно,

du|^=0 = — DjpidxjЛ dxi = — Djpi — Dipj) dxjЛ dxi.

i,j j>i Однопараметрическая группа с инфинитезимальным оператором

L = i(x,y) ■ dx + n(x,y) ■ dy (4)

допускается системой (1) тогда и только тогда, когда

[L ,Di] = 0, i =1,...,n, (5)

где

L = L — t'D-i------------CDn =(n — tV-------ГPn) ■ dy = П ■ dy. (6)

Этот факт можно установить непосредственно или воспользоваться аналогичным утверждением для обобщенных симметрий [3, Лемма 5.12]. Дело в том, что для системы (1) обобщенные симметрии совпадают с точечными.

Из соотношений (5) и (6), в частности, следует, что любая линейная комбинация операторов (3) с коэффициентами, зависящими от переменных x, у, допускается системой (1),

и эти линейные комбинации образуют идеал алгебры, допускаемой системой (1). Также, очевидно, что компонента £ поля L является произвольной вектор-функцией переменных x, y.

2. Понижение порядка систем Пфаффа

Теорема 1. Пусть система Пфаффа (1) вполне интегрируема и допускает однопараметрическую группу Ли с инфинитезимальным оператором (4). Тогда, если m > 1, то знание универсального инварианта оператора (6) позволяет понизить на единицу размерность системы (1).

Доказательство. Универсальный инвариант оператора (6) можно выбрать в виде:

x1,... ,xn, J 1(x,y),..., Jm-1(x, у).

Если одномерное отображение ф(x,y) таково, что Lф = 1, то rank д(J,ф)/ду = m [1, стр. 108], и потому для каждого x отображение

у' = J(x,y) = (J 1(x,y),.. .,Jm-1(x,y)), y" = ф(x,y) (7)

будет локальным преобразованием пространства Rm. В силу (5), операторы (3) являются операторами инвариантного дифференцирования для алгебры, порожденной оператором (6). Поэтому отображение DJ является инвариантом этой алгебры и выражается через ее универсальный инвариант, т.е. существует такое отображение в, что DJ = 0(x,J). С учетом этого факта система (1) в переменных x, y', y'' запишется в виде:

dy' = Jxdx + Jydy = DJdx = e(x, y')dx, (8)

dy'' = Dx^dx = $(x,y', y'')dx. (9)

Система (8) состоит из m — 1 уравнения на m — 1 функцию. Уравнение (9) следует интегрировать после интегрирования системы (8). I

Замечание. Если функция ф удовлетворяет дополнительным условиям

D-іф = 0, г = 1,... ,n,

то уравнение (9) принимает вид dy'' = 0, т.е. может быть записано в виде конечного соотношения y" = const. Очевидно, что функция ф, удовлетворяющая дополнительным условиям (10), всегда существует. Вопрос только в том, чтобы найти ее аналитическое представление. Но этот вопрос касается и универсального инварианта.

3. Дальнейшее понижение порядка

Лемма 1. Пусть операторы L1 = £1 ■ dz, L2 = £2 ■ dz, D = п ■ dz действуют в пространстве Rk и удовлетворяют условиям

[L1, D] = 0, [L2, D] = 0.

Также пусть отображения ф : Rk ^ Rk-1, ф : Rk ^ R удовлетворяют условиям

Действительно, Оф является инвариантом оператора Ь\ и потому выражается через универсальный инвариант ф. Далее

Очевидно, что [Ь'2,О'] = 0, и, следовательно, ограничение этого коммутатора на многообразие М также равно нулю. I

Из леммы 1 следует теорема, которая позволяет производить последовательное понижение порядка системы при достаточно широкой группе.

Теорема 2. Любая симметрия системы (1), подвергнутая преобразованию (7) с последующим ограничением на пространство переменных (х,у'), допускается системой (8).

Теорема 3. Пусть система Пфаффа (1) вполне интегрируема, допускает однопараметрическую группу Ли с инфинитезимальным оператором (4) и т = 1, т.е. имеется одно уравнение Пфаффа. Тогда ^ = 1/П является интегрирующим множителем для этого уравнения Пфаффа.

Доказательство. Для доказательства теоремы требуется установить существование такой функции и(х,у), что

L1ф = 0, L1ф = 1, Dф = 0, rank дф/дx = к — 1,

тогда

[L2 \ М ,DIM] = [L2,D]IM = °

где многообразие M = {z Є Rk : ф(z) = 0}. Доказательство. После замены переменных

4. Первый порядок (m = 1)

ди 1 ди рг

дy Ї)7 дxг п ’

В свою очередь, такая функция u существует, если

г = 1,... ,n.

дxг п дy п ’ дxj п дxг п

д 1 д юг д ю% д

+ = — Г- — —Г-

0, г,j = 1,... ,n.

(11)

Эти условия выполняются в силу (2), (5). Действительно, левая часть первого из выражений (11) после проведения дифференцирования записывается в виде Г)-2(г)Х1 + щрг — ргуП) и с точностью до множителя совпадает с левой частью выражения (5). Левая часть второго из выражений (11) после проведения дифференцирования записывается в виде п)-2(ргХ.п — ргг)Хз — рХх,г) + ррГ)Х.) и после подстановки выражений г)Х1, П)Х^ из (5) и <рг из (2) обращается в ноль. I

5. АВТОМОРФНЫЕ СИСТЕМЫ

Ограничение системы Пфаффа

П

йуа — ^Уа+1:)&хр = 0, 0 ^ |а| <к

р=1

на многообразие, определяемое автоморфной (относительно г-параметрической группы Ли От) системой порядка к, дает вполне интегрируемую систему Пфаффа [2]. Здесь а = (а\,... ,ап) — мультииндексы, |а| = а\ + • • • + ап и |^г| = 1, причем единице равна компонента с номером г.

Ограничение к-го продолжения группы Ог на многообразие, определяемое автоморфной системой, очевидно, будет допускаться системой Пфаффа. Применение теорем 1-3 позволяет понизить порядок этой системы Пфаффа (или полностью проинтегрировать при достаточном ранге группы).

6. ПРИМЕР 1

Система Пфаффа

йп = — ^п + с^ф) щйЬ + щйх,

йр = — (р + п(о2 — 7 + 1)/с^р3/р^ щйЬ +

+ (о2 — 7 + 1)/е^ р3 /рихйх, (12)

йр = — (тр + пс^рр) щйИ + с^ррщйх, йщ = — (у +1)/2п\йИ эквивалентна автоморфной системе

щ + ппх + р-1рХ = 0, рг + прХ + рпх = 0, рг + прХ + '-урпХ = 0,

Рх = с^ррпх, Рх = (с2 — 7 + 1)/сл/ р3 /рпх, пхх = 0

из примера 1 работы [2]. Здесь константа с4 (с% = 7) из [2] заменена на константу с. Далее рассматривается случай 7 = 1.

Ограничения первых продолжений операторов допускаемой группы на многообразие, определяемое системой, запишутся в виде:

Ь1 = дt, Ь2 = дх, Lз = Ьдх + дu, Ь4 = + хдх — п1ди11

= Ьдг — пди + 2рдр — п\ди1, Ь6 = рдр + рдр.

Ниже для понижения порядка системы последовательно используются операторы Ь6, Ь3 и Ь2. На каждом шаге указываются универсальный инвариант, функция ф, новые представления операторов Ог, ОХ и оставшихся операторов Ь. Новое представление системы Пфаффа не указывается — оно вполне определяется операторами Ог, ОХ. Верхний индекс обозначает номер шага. При написании универсального инварианта сразу вводятся обозначения новых переменных. Функция ф на каждом шаге удовлетворяет условиям (10).

Шаг первый (оператор L6).

Универсальный инвариант: t, x, u, ui,pi = p/p.

ф1 = lnp - 2(c2 - y + 1)/(y - (2c^pjpj + 2(c2 - 7)/(y + 1)lnui,

D\ = dt - ui(cjpi + u)du - u21(y +l)/2dui + piui(1 - 7)(1 + u/(c^pi))d1

D\ = dx + uidu + Piui(y - 1)/(c^pi)dpi,

LI = (1 - tui)du + (pitui(1 - y))/(c^pi)dpi,

L2 = -uidu - piui(7 - 1)/(c^pi)dPi.

Шаг второй (оператор Li).

Универсальный инвариант: t,x,ui,p2 = 2^Jpi - tuui(j - 1)/(c(tui - 1)).

ф2 = u - 2c^pi/(7 - 1),

D2 = dt - u2(7 +1))/2dui + (Jp2ui(7 - 1))/(2(tui - 1))dP2

Dx = dx + (ui(-7 + 1))/(c(tui - 1))d L2 = (ui(y - 1))/(c(tui - 1))dP2.

Шаг третий (оператор L2).

Универсальный инвариант: t, x, ui .

ф3 = (2cp2tui - 2cp2 - 72tui + 2yuix + 2y + tui - 2uix - 2)/(2ui(y - 1)),

Dt = dt - u\(y +1)/2dui,

DX = dx.

В итоге получается одномерная система Пфаффа

dui + u\(y + 1)/2 dt = 0,

которая легко интегрируется: ui = 2/((7 + 1)t + c4), где c4 — некоторая константа.

После возвращения к исходным переменным с использованием выражений для инвариантов и соотношений фг = ci, i = 1, 2, 3, где ci — некоторые константы, получается общее решение системы (12):

u = (02(7 - 1)t + 2x + c4 - 2c3 + c2c4)/((7 + 1)t + c4),

p = ci(4c2pi)c2/(l-i')-iu2i('Y-c')/('1+i\ p = pip, ui = 2/((y +1)t + c4), где pi = (y - 1)2(x - c21 + cA/2 - c3)2/(c(c4 + (y + 1)t))2.

7. Пример 2

В работе [7] найдена допускаемая группа и построено групповое расслоение для уравнения Кармана-Гудерлея

uxuxx + uyy + uzz — 0 (13)

по бесконечномерной части допускаемой группы. Здесь для построения автоморфной системы используется конечномерная подгруппа допускаемой группы, которая порождается операторами

Li dxi L2 dy, L3 dz, L4 zdy ydz, (14)

L5 = ydy + zdz - 2udu, L6 = xdx + 3udu. ^ '

Решения уравнения (13), которые под действием группы, порожденной операторами (14), образуют в продолженных пространствах шестимерные орбиты, удовлетворяют одной из следующих двух автоморфных систем.

пх = (3/2)2/3(пу + п1)1/3, пхх = (3/2)1/3(п2у + п1)2/3/п, пХу = (3/2)2/3 (■и2 + п\ )1/3Пу/п, пх2 = (3/2)2/3(п2у + П2)1/Зп2 /п, (15)

уу = 3/2 п/п, пуг = 3/2 пупг/п, пгг = 3/2 п^/щ

п

пх = (3/2)1/3(п2у + п1)1/3, пхх = (3/2) 1/3(п2у + п1)2/3/п,

пху = (3/2)1/3(п1 + п\ )1/3 пу )/п, пхг = (3/2)1/3(п2у + п1)1/3пг /п, (16)

пуу (3пу п 2^/ (2п') , пух (2пу п2 ')/пі пхх ( пу + 3п2)/(2п).

Далее для понижения порядка автоморфной системы (15) последовательно используются операторы Ь2, Ь4. Систему Пфаффа, эквивалентную системе (15), можно записать в виде:

іп — (3/2)2/3(ь2 + и2)1/3іх — ьіу — иіг = 0, <іь — (3/2)2/3(ь2 + и2)1/3ьйх — 3 / (2п)ь2 іу — 3 / (2п)ьиіг = 0, іи — (3/2)2/3(ь2 + и;2 )1/3иіх — 3 / (2п)ьиіу — 3/(2п)и2іг = 0.

Тогда ограничения первых продолжений операторов Ь2, Ь4 на многообразие, определяемое системой (15) с последующей факторизацией по идеалу, запишутся в виде.

Ь2 = —ьди — 3/(2п)(ь2дГ€ + ьиди,), Ь 4 = (—ьг + иу)ди + (2пи — 3ь2г + 3ьиу) / (2п)ду + + (—2пь — 3ьиг + 3и2у)/(2п)дш.

Шаг первый (оператор Ь2).

Универсальный инвариант: х,у,г,ь1 = ь/п3/2,и1 = и/п3/2. ф1 = 2п/ь + у + ги/ь,

О1,, = дх + (3/2)2/3(у21 + и1)1/3(ди + У1дЬ1 + ),

В = ду, = дх, Ь4 = и1дЬ1 — Ь1дШ1.

1

Шаг второй (оператор Ь4 Универсальный инвариант: х,у,г,ь2 = л/ь‘2 + и‘2.

гф2 = аг^ (ь1/и1) + 32/32-5/3х — 3/2(ь1 + и\)-1/3, Б2х = дх — (3/2)2/3/2ьъ!3д,02, В = ду, БІ = дх.

В итоге получается одномерная система Пфаффа іь2 + (3/2)2/3/2ь^5,/3іх = 0, которая легко интегрируется: ь2 = (х/+ с3)-3/2. После возвращения к исходным переменным с использованием выражений для инвариантов и соотношений фг = Сі, і = 1, 2, где Сі — некоторые константы, получается общее решение системы (15):

п = 4(х/\Z~Y2 + С3)3 / (у 8Іп(с2) + г сов(с2) + С1)2. (17)

Аналогичным образом можно получить общее решение системы (16):

п = 2/9(х + с1)3/((у + с2 )2 + (г + с3)2). (18)

Замечание. Представленные примеры решений демонстрируют применение результатов этой заметки и не претендуют на то, что не могут быть получены какими-либо другими известными методами. В частности, решения (17), (18) при с1 = с2 = с3 = 0 равны

x3/(3z2), 2/9x3/(y2 + z2), соответственно, и являются автомодельными решениями уравнения (13). Таким образом, решения (17), (18) могут быть получены из автомодельных решений действием преобразований сдвигов и вращения.

При проведении объемных вычислений использовалась система аналитических вычислений «Reduce 3.8» (http://reduce-algebra.sourceforge.net).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978. 400 с.

2. Талышев А.А. Об автоморфных системах конечномерных групп Ли// Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4, № 4. C. 130-138.

3. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Пер. с англ. М.: Мир.

1989. 639 с.

4. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание. 8. 1989.

5. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:

Знание. 7. 1991.

6. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Гостех-издат, 1947. 354 с.

7. Головин С.В. Групповое расслоение и точные решения уравнений трасзвукового движения газа// ПМТФ. 2003, Т. 44. №3 С. 51-63.

Александр Алексеевич Талышев,

Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2,

630090, г. Новосибирск, Россия E-mail: tal@academ.org