ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ВЕЛИЧИН, СВЯЗАННЫХ С ГАММА-ФУНКЦИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 4 (2021). С. 51-64.

УДК 517.581

ОБ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ВЕЛИЧИН, СВЯЗАННЫХ С ГАММА-ФУНКЦИЕЙ

A.B. КОСТИН, В.Б. ШЕРСТЮКОВ

Аннотация. Изучается круг вопросов, связанных с интегральными представлениями гамма-функции и ее отношений. Основу нашего исследования составляют два классических результата теории функций. Один из них — широко известная первая формула Бине, другой — менее известное представление Мальмстена. Эти специальные формулы выражают значения гамма-функции в открытой правой полуплоскости через соответствующие несобственные интегралы. В работе показано, что оба результата допускают распространение на мнимую ось с исключенной точкой z = 0. В процессе такого распространения применяются различные методы вещественного и комплексного анализа. Отсюда, в частности, получены интегральные представления для аргумента комплексной величины, являющейся значением гамма-функции в чисто мнимой точке. На основе упомянутой формулы Мальмстена в точках z = 0 из замкнутой правой полуплоскости дан подробный вывод интегрального представления для заданного через гамма-функцию специального отношения D(z) = Г(г + 1/2)/Г(х + 1). Такой факт на положительной полуоси отмечен без доказательства в небольшой заметке Душа-па Славича 1975 года. В той же работе приведены при х > 0 двусторонние оценки величины D(x), которая в натуральных точках совпадает с нормированным центральным биномиальным коэффициентом. Эти оценки означают, что D(x) обвертывается на положительной полуоси своим асимптотическим рядом. В настоящей статье кратко обсуждается вопрос о наличии данного свойства у асимптотического ряда функции D(z) в замкнутом угле | arg z\ ^ к/4 с исключенной вершиной. Из новой формулы, представляющей D(z) на мнимой оси, получены явные выражения для величины \D(iy)\2 и для множества Arg D(iy) при у > 0. Указан метод доказательства второй формулы Бине, использующий аппарат простых дробей.

Ключевые слова: гамма-функция, центральный биномиальный коэффициент, асимптотическое разложение, интегральное представление, формулы Бине, Гаусса, Мальмстена, обвертывающий ряд в комплексной плоскости.

Mathematics Subject Classification: ЗЗВ15, 11В65

1 15 И К.(Kl 11 I к

Настоящая статья мотивирована известной задачей об асимптотически точных двусторонних оценках центрального биномиального коэффициента

С?т, m G N, (1.1)

имеющей многовековую историю. Важную роль в известных подходах к этой задаче играют различные интегральные представления для отношения значений гамма-функции (см., например,

А.В. Kostin, V.B. Sherstyukov, Integral representations of quantities associated with Gamma function.

© Костин А.В., Шерстюков В.Б. 2021. Поступила 12 июля 2021 г.

статьи [1], [2]; см. также «свежий» обзор [3] с обширной библиографией). Так, в краткой заметке Славича [1] приводится (без доказательства) неочевидная формула

Г(х + 1/2) 1 J f th t -4tx

Г(х + 1) л/х ' I J 2t \ 0

которая после подстановки х = m G N дает полезное равенство

ехМ - ^Те dtf> х> 0, (1.2)

22m I th t

= ex^ - e-4mtdt } , m G N. (1.3)

/жт I ] 2í 0

Как указано в [1] (подробное доказательство см. в [4]), формула (1.3) служит источником для универсальных двойных неравенств

2

2m I 2М -1

( 2М-1 h 1 22m ( 2М h )

У <C2m < /= exp У , (1.4)

V^m - I m2k-1 j 2m у/™ m 1 J

справедливых для всех m G N при любом выборе параметра М G N Коэффициенты bk выражаются через числа Бернулли B2k по формуле

' «k ^^^^ * G N.

В недавней работе Попова [2] для получения как (1.4), так и новых, более тонких оценок величины (1.1), вместо (1.2) существенно использовалось при вещественных z = х > 0 другое соотношение

ВД = exp| in,-* + 2 / } ■ «G П+, (1.6)

известное в литературе как вторая формула Бине (см. [5, глава 12, §12.33]). Для сокращения записи здесь и далее через

П+ = [z G C : Rez > 0}

обозначаем открытую правую полуплоскость, а символом П+ — ее замыкание без точки z = 0, т.е. множество

П+ = [zg C \[0} : Rez ^ 0} . (1.6)

Логарифм in z и корень /z всюду в работе берутся только для z G П+ и понимаются, как обычно, в смысле их главных значений

z

inz = in |z| + iargz = J d-, /z = у/Щ e 2 argz = e1 lnz, -ir/2 ^ argz ^ n/2.

1

Точно так же, арктангенс в формуле Бине (1.5) означает однозначную аналитическую функцию

U

d

arctgU = -, U G 11+,

je + 1' + 0

определенную интегралом по отрезку.

Как оказалось, удобным инструментом при доказательстве формулы Славича (1.2) является представление Мальмстена

r(^=expW (e-Z +(z - 1) d}, ZG П+. (1.7)

1- e-t ' v" '' ' ) t

Компактная формула (1.7) привлекательна отсутствием в ее записи внеинтегральных слагаемых. Отметим, что в классической книге Уиттекера и Ватсона [5, глава 12, §12.31] результат (1.7) приведен без комментариев, лишь с указанием на авторство Мальмстена. Благодаря задачнику [6], нам удалось найти оригинальную работу [7], где опубликовано доказательство формулы (1.7) для положительных значений переменной. Кстати, многие замечательные аналитические достижения Мальмстена были незаслуженно забыты и впоследствии неоднократно переоткрывались (см. по этому поводу фундаментальную обзорную работу Благушина [8]).

Авторы не нашли в литературе строгого доказательства формулы (1.2) из заметки Славича, что послужило одним из поводов для написания этой статьи. Тем самым, помимо прочего, будет устранена неявная лакуна в рассуждениях нашей работы [4], где при изучении поведения величины Г(х + 1/2)/Г(х + 1) на положительной полуоси х > 0 формула (1.2) использовалась как хорошо известный факт.

Статья состоит из введения (текущий §1) и двух «рабочих» параграфов 2, 3. Во втором параграфе предложен вывод формулы Мальмстена (1.7), опирающийся на так называемую первую формулу Бине

= ^ ехр|, 1п, -г + + (1 - 1 + ^ | , (1.8)

справедливую при всех г € П+ Фактически, обе классические формулы (1.7), (1.8) дают чуть разные по своей структуре, но эквивалентные представления для гамма-функции. Вообще, первая формула Бине (1.8) является опорной в нашей работе, и, по сути, из нее будут аккуратно выведены интересующие нас соотношения (1.2), (1.7). Выбор представления (1.8) в качестве базового удобен тем, что именно оно строго доказано в [5, глава 12, §12.31] на основе классического разложения гамма-функции в бесконечное произведение Вейерштрасса

те

П{0 + Э о"**} ■ " (!■»)

п= 1

где 7 — константа Эйлера - Маскерони.

Отметим еще, что элементарный вывод формулы (1.7) возможен интегрированием по переменной ( от 1 до г € П+ формулы Гаусса [5, глава 12, §12.3] для пси-функции

3Ш = / (т- 1-р)* С€п+

Указание на этот способ есть в [9, теорема 1.6.2], и именно так «вещественную» версию формулы (1.7) доказывал сам Мальмстен [7]. Однако, для того чтобы распространить равенство (1.7) на мнимую ось, мы поступаем иначе. Сначала доказываем, что формула (1.8) справедлива на множестве (1.6), а затем для тех же г € П+ выводим формулу Мальмстена.

Третий параграф посвящен обоснованию формулы Славича (1.2) в ее общей, «комплексной» форме записи на множестве П+. Кроме того, здесь кратко описан новый способ для вывода второй формулы Бине (1.5) (ср. с [5, глава 12, §12.33]). Обсуждается также возможность переноса в комплексную область результатов [1] об обвертывании величины (1.2).

Работая с классическими представлениями (1.5), (1.7), (1.8), мы, в отличие от [5] и многих современных источников, используем нотацию, при которой через несобственный интеграл выражается сама гамма-функция, а не ее логарифм. Такой подход, восходящий к основополагающему мемуару Бине [10], имеет свои преимущества.

2. Первая формула Бине и представление Мальмстена Рассмотрим вспомогательную функцию

3 (1 -1 + гт-г) ? '> 0 "<°> 3 Й0»<'> = п• (2Л)

На луче t ^ 0 функция (2.1) строго убывает, непрерывно дифференцируема и удовлетворяет соотношениям

9® - 1, 212' ^ (2'2)

Проверка всех указанных свойств функции д(Ь) элементарна. При этом полезно иметь в виду разложение (см. [11, задача 6.45])

^ 2

а® = Е 2 + Аж2п2 > 0 0 (2-3)

п= 1

из которого, например, следует, что

те .

З'^ = - Е (,2 + 4 2 2^2 < 0> *> 0> 9'(°) = 0 (2.4)

п=1 (£2 + 4ж2п2)

Покажем сначала (предложение 2.1 ниже), что первая формула Бине (1.8) справедлива не только при г € П+ но и на множестве П+ Затем для тех же значений г € П+ выведем представление Мальмстена (1.7) (см. предложение 2.2).

Предложение 2.1. Первая формула Бине (1.8) верна на множестве (1.6), т.е.

= ^ еХр + /,„) ^ Щ • (2,>

В частности, для чист,о мнимой переменной имеем,

|Г( гу)1 = У^1 exp | - ^ + j 9(t) cos(yi) dt | , у > 0,

(2.6)

а также выражение для, одного из значений аргумента

i 4

0

Здесь символом Arg Г(гу) при заданном у > 0 обозначено множество всех значений аргумента комплексного числа, Г(гу). Кроме того, тождество (2.6) дает формулу

wy_ _ 1 2 2

у in у -у- 4 -J g(t) sin(уí) dt G Arg Г(г у), у> 0. (2.7)

У g(t) cos^i) dt = 12 - |ш(2s^i^)), у > 0. (2.8)

( )

Доказательство. Ясно, что функция

— Г(,г) exp [z - zin z} 2 i

непрерывна на множестве П+. Отсюда, учитывая классическое представление (1.8), заключаем, что интеграл

z

У g(t) e-zt dt

имеет предел при х ^ г у, г € П+ в каждой точ ке г у = 0, принадлежащей мнимой оси. Поэтому для обоснования формулы (2.5) достаточно проверить, что справедливо соотношение

11ш [ д(г) е-(х+у)ь(И = [ д(Ъ) е"уЬ М,

у у

(2.9)

считая вещественное у = 0 произвольно зафиксированным. Ввиду гладкости функции (2.1) и свойства (2.2) можем утверждать, что интеграл

о

сходится для любого х ^ 0, и справедливы формулы интегрирования по частям

I д($ е-(х*у)*М = ( 1+1 д'(Ъ) е-(х+у)*М | , х > 0,

У х + 1у I 12 у

оо

У д(1) е-гу*М = 1 ( 12+1 ^ )

оо Из этих равенств видно, что для доказательства (2.9) осталось обосновать предельный переход

11ш [ д'а) е-(х+у)*М = [ д'и) е-у* М.

у у

(2.10)

Учитывая (2.4), запишем оценку

I д'(г) е-(х+у) а - I д'($) е-у* М ^^ (-д'(^) (1 - е-хЬ) М, (2.11)

верную при любом х > 0. Далее зададим произвольное е > 0 и выберем значение а > 0 настолько большим, что д(а) < е/2. Это возможно, поскольку д(Ь) ^ 0 при í ^ (Если е ^ 1/6, то можно

а > 0 а > 0

неравенство 1- е-а& < 6е. Тогда, согласно выбору чисел а, 6 и свойствам функции д(Ь), имеем,

во-первых,

/ (-</(*)) (1 - е-х1) (1 ^ I (-д'$)) а = д(а) < 2, х > 0

(2.12)

и, во-вторых,

У (-9'(^ ) (1 - е-х') М < (1 - е-а6) I (-д'(1))а < 6ед(0)

2,

(2.13)

0 < х < > 0 > 0

0< х<

а

(-д'(г) ) (1 - е-х<) а = + < 2 + 2 = е.

о а

С учетом оценки (2.11) ПрИХОдИМ к (2.10). Тем самым, формула (2.5) доказана.

а

а

Посмотрим, что дает первая формула Бине при г = гу, где у > 0. Подставив такое значение в (2.5), запишем тождество

Г(гу) = ехР i W У) У + J 9(t) е iyt dt

эквивалентное системе соотношений (2.6), (2.7). Для получения (2.8) нужно дополнительно учесть явную формулу

о Ж

|Г(гу)1 2 = —^—г, у> 0, (2.14)

1 ( У)1 увЪ(жу), у , к '

которая легко выводится из разложения (1.9) и имеется в справочниках (см., например, [12, гл. 6, формула 6.1.29]). Предложение 2.1 доказано. □

Замечание 2.1. Для сравнения укажем прямой способ вычисления интеграла в (2.8), основанный на разложении (2.3). Считая у > 0 и учитывая, равномерную сходим,ость при t ^ 0 ряда, простых дробей (2.3), запишем

+те те +те те +те

/ ^««мл = £ / Л = £ / р-00^ *■

0 п=1 0 п=1 -те

С помощью вычетов найдем, интеграл,

+те

Г оов(у^ е-27Тпу 1 уу ' Лг =-, пе N.

t2 + 4тг2п2 2п '

Окончательно для всех у > 0 имеем,

+те

I g(t) cos(yt) dt = £ ^Пт- = - 2 1n С1 - ^) = T - 11n(2 *h(*y)). 0 -=1

Тождество (2.8) пол,учен,о. В то же время, интеграл вида

+те

f sin(wi)

1 ' dt, у > 0, п £ N,

J t2 + 4^2п2

о

не допускает, явного вычисления, что и приводит, к определенному различию в характере формул (2.7), (2.8). Наконец, отметим для, полноты изложения, что ввиду равенства

r(-iy) = r(iy), у = 0,

возможен общий (более громоздкий) вариант, записи для (2.6)-(2.8), учитывающий также и значения z = г у, где у < 0.

Приступим к задаче о распространении формулы Мальмстена (1.7) на мнимую ось. Понадобятся вспомогательные утверждения (леммы 2.1, 2.2 ниже).

Лемма 2.1. Справедливы равенства

+те

f e-t - cost , „ -—-dt = 0, (2.15)

о

+те

I' (1 1 е~ \ dt 1

J [l- F—-Г - Т) 7 = 11п <2Л6>

о

Доказательство. Сходимость интеграла (2.15) очевидна. Вычислим его методами комплексного анализа.1

Для произвольно зафиксированного числа R > 0 выберем положительно ориентированный

(1) (2) (3) (1)

контур 7д, состоящий го трех кривых 7R , 7R , 7R , где 7R — отрезок вещественной прямой

(2)

от точки z = 0 до точки z = R 7R — дуга окружности |z| = R от точки z = R до точки z = R(1 + i)/^2; 7R — отрезок, соединяющий точки z = R(1 + i)/V2 и z = 0. Рассмотрим интеграл от целой функции F(z) = (e-z — eiZ) /z, взятый по контуру 7r. С одной стороны,

R > 0

[ e-z — e%z , -dz = 0.

1R

F( )

(1) (2) (3)

7R ' 7R ' 7R ' т'е' ВЬ1Ражение

R ^ /4 R

R p-t _ pit r . . . N R „-i(1+i)/^2 _ „ii(1+i)/^2 i — * + , / — d, — -^-d,

Поскольку, как несложно видеть,

тг/4

lim

0

J (e-Reiv — eiRe^) d, = 0,

то нужный результат — равенство (2.15) — следует из соотношения

.— <—

[ e-t — cost , [ e-t — еи , [ e-t(1+i)^2 — (1+i)^2 , -—-dt = Re -—-dt = Re -—-dt = 0.

0 0 0

Для вычисления интеграла (2.16) используем инструменты вещественного анализа. Прежде всего обозначим через h(t) подынтегральную функцию в (2.16) и, привлекая конструкцию (2.1), запишем представление

(1 1 e-i \ 1 1 — e-t

h(t)s U— —— -)i = — — 9(t)- ty0'

с обычным соглашением

1 — p-t 5 h(0) = lim h(t) = lim--g(0) = —.

w w t^0 2t 12

2h( ) > 0

,2, = 2eV — 1 — t) — t( e* — 1) = ( e * — 1 — t )(2e * — t ) — t2 h() 2 e*( e* — 1) 2 e*( e* — 1) ,

допускающему очевидную оценку

t2(2 +1) — 212 t3 t2h(t) > \ .. ' = —t-t-- > 0, t> 0.

4e*( e* — 1) 4 e*( e* — 1)

1 Возможен и «вещественный» подход к этой задаче, который основан на работе с интегралом

Г е-(1+<Ф — e—i cost , -dt,

зависящим от параметра е > 0.

Следовательно, функция Н(£) положительна при всех £ ^ 0. Кроме того, она непрерывна на этом промежутке и подчинена асимптотике

Н(Ъ) ~ -2, £ ^ +гс>. г2

Из сказанного ясно, что интеграл (2.16) сходится. Однако нахождение его значения потребует некоторых дополнительных усилий.

Введем вспомогательное семейство функций

_ Р-(1+е)г

Не(I) = е-ЕЬк(1 ) =----е-е*д(1), 0,

с параметром е > 0. Отметим, что

0 < Н£ (г) < Н(£), £ ^ 0,

причем на любом отрезке неотрицательной полуоси Н£(£) сходится к Н(£) равномерно при е ^ 0+. Тогда (см., например, [13, Отд. II, гл. 3, §1, задача 115] )

Иш+ У Н£(*) М = J Н(Ь) М. (2.17)

о о

При фиксированном е > 0 найдем интеграл

с С р-^ _ р-(1+еЦ С

Н£= ---М - е-е д(г)М. (2.18)

о о о

По формуле Фруллани

г _ Р-(1+е)* 1 1 + р

----^ = , е> 0. (2.19)

ц 2^ 2 £

о

=

У е-£*д($СИ = 1пГ(е) - (е - 0 1пе + е - е> 0.

о

Подставив (2.19), (2.20) в (2.18), получим соотношение

У Не (г)М = 11п(1 + е) +е1пе -е- 1п(еГ(е)) + 11п2тт, е> 0,

(2.20)

22

о

правая часть которого при е ^ 0+ стремится к (1/2) 1п2^, поскольку, как известно,

Иш еГ(е) = Нш Г(1 +е) = 1.

С учетом (2.17) имеем равенство (2.16). Лемма 2.1 доказана. □

Лемма 2.2. Справедливы представления

/р ^ _ р ^ ^ _

---сИ, ге П+, (2.21)

о

, I' ( г е--*1 - 1\ м -о ,п пп.

х\пх -х = ( г е- +---) —, хе П+. (2.22)

о

Доказательство. Формула (2.21) для значений г из открытой полуплоскости П+ доказана в книге [5, раздел 6.222, пример 6]. Проверим напрямую (ср. с доказательством предложения 2.1), что эта формула действует и при г = г у, где у = 0. Для таких г соотношение (2.21) распадается на две части

= 1п|»|, » = 0, (2,23)

0

J —р (Ц = ^п у, у = 0. (2.24)

0

Вторая из выписанных формул хорошо известна (интеграл Дирихле). Поэтому нужно доказать только первую. Не ограничивая общности, считаем, что у > 0. По формуле Фруллани

М = 1п у, у > 0.

Но тогда

,

Iе -^)м =! е -е м +! е -^ш = 1пу, 0 0 0

поскольку (см. равенство (2.15) из леммы 2.1)

I = | ^С^^^О^ л = 0, у> 0.

00

Проверка формулы (2.23) завершена. Тем самым, нужное соотношение (2.21) выполнено для точек £ = 0 на мнимой оси, а значит, и для всех г € П+.

Перейдем к доказательству формулы (2.22). Проведем его в два этапа. Сначала убедимся в справедливости (2.22) в открытой правой полуплоскости П+, а затем отдельно разберем случай

Интеграл в правой части (2.22) запишем в виде

I («' + ^) ? = I --1)-(-1)

00

и возьмем по частям, что при любом г € П+ даст выражение

I

1 - е~хЬ Л [ - — ге~хЬ , + ---М.

4=0 ■> Ъ

0

Подстановка обращается в нуль, а интеграл с учетом формулы (2.21) равен

Г — г

---М — г ^ = г1п г — г, г € П+.

Значит, соотношение (2.22) для г € П+ выполнено.

Пусть теперь г = гу, где у = 0. Обоснуем (2.22) для таких г. Другими словами, требуется доказать следующие два равенства

С = ? чп». У = 0, (2.25)

[ ( у. )\ а ,. . У [уе---у = у\п 1у1-у, у = 0.

о

(2.26)

Формула (2.25) верна, поскольку она сводится к (2.24) интегрированием по частям. Проверим формулу (2.26), считая у > 0, что очевидно не нарушит общности рассуждений. Преобразуем левую часть (2.26), используя формулу (2.23). Имеем

■ ^ С. = 1 ^ -у{е-, )ё ^

оо

I (,е-< - * = I (в1п(,,,) -„ге->)¿(!)

о

-уе-) Г + у {уе-(1 -()-усоа(у1 ))с±

0

ее

Т

I е ь - еов(у1) , = У -т-СЪ-у е а = у\пу-у.

о о

Соотношение (2.26) получено.

В результате вывели тождество (2.22) для г е П+. Лемма 2.2 доказана. □

Сочетание лемм 2.1, 2.2 с предложением 2.1 позволяет дать анонсированный во введении «расширенный» вариант представления Мальмстена.

Предложение 2.2. Формула (1.7) верна на множестве (1.6), т.е.

Г( г) = ехр < | -е! +(г - 1) е" ге П+. (2.27)

В частности, для чист,о мнимых значений переменной извлекаем из (2.27) соотношения

Г - 1 Ш = у> 0, (2.28)

о

ё - 1 г 2 вЦку)'

8т(^) \ а

' I Ус

о

Уе~* - Г-Й ) 7 е Arg Г(гу), у > 0. (2.29)

Доказательство. После проведенной подготовительной работы вывод нужного представления Мальмстена для г е П+ будет простым. Возьмем в качестве отправного результата первую формулу Вине из предложения 2.1 (см. (2.5))

Г( г) = ехр 11 1п2^ - 1 1п г + (г 1п г - г) + + д(г )е ~хЬ сй| , ге П+, ( )

интегральными представлениями (2.16), (2.21), (2.22) соответственно. Сложив четыре интеграла,

получим, что

J С(г, г) г€ П+,

где функция , г) при всех Ь > 0 -2 € П+ задана развернутой формулой

1 1 ^ ^ ^ ^ _ ^ _ 1

С(1, х) = ^ - - ------ + ^^ + -\- + ^.

( )

ведем , г) к компактному виду

р _ р ^

0(1, = + (* - 1)е"4.

Представление (2.27) получено.

При г = г у, где у > 0, формула (2.27) записывается так

/ (- е-) * + • J — ^М) Ü , .

0 0

Теперь соотношение (2.29) очевидно, а для получения тождества (2.28) достаточно представить 1п |Г( гу)1 в форме

(cos(yt) — е г -Л dt f cos(yt) — 1 dt f e 1 — cos(yt)

J ^ 1 — — 6 ) T J e* — 1 J — .1 0 0 0

V 1 — J t J pJ — 1t J t

00

и привлечь (2.23), (2.14). Предложение 2.2 доказано. □

В заключение этого раздела отметим, что при заданном у > 0 оба соотношения (2.7), (2.29) из предложений 2.1, 2.2 выделяют в множестве Arg Г(гу) одно и то же значение, не совпадающее, вообще говоря, с заключенным в промежутке (—т, т] главным значением arg Г(гу). Вопрос о нахождении точного интегрального выражения для последней величины в зависимости от па-

Как будет показано в следующем параграфе, формула Мальмстена (2.27) позволяет быстро вывести комплексный вариант результата Славича для специального отношения гамма-функции.

3. Формула Славича и заключительные замечания Рассмотрим величину

ад - ГЩг, ^ п+. м

Докажем утверждение, распространяющее формулу Славича (1.2) на множество (1.6). Предложение 3.1. Для отношения (3.1) справедливо интегральное представление

-/ ^ е~Ш<1*}> ^ € П+, (3.2)

совпадающее с формулой (1.2) при г = х > 0. В другом частном случае — чист,о мнимых значений переменной — имеем,

(

2 Щку) 1

■ — — ехр ч -

о

№)|2 = = 1 ехр \- ! ^ ео8(4^) ^ , У> 0, (3.3)

У ^ 81п(4^)^ - 4 е А^ О(гу), у > 0. (3.4)

о

Доказательство. Заменим в (2.27) переменную г на г+ 1/2. Скомбинируем результат с исходным представлением (2.27) и получим, что

ВД = ^ + 1/2) = Г(* + 1/2) = 1 ехр [ НШ Ст>

Щх) - Г(г + 1) = =^ехр ' -

где

е-(х+1/2)т _ е-хт р-т

Н(т, г) - -- + —, г > 0, г е П+

Выражение для Н(т, г) преобразуем следующим образом:

' 1

2 1 + е ~т/2~ 2 V1 + е ~т/2 2

Заметив, что

1 1 11 - е~т/2 1 ет/4 - е"т/4 1 , г ___=__=__= _ —

1 + е~т/2 2 2 1 + е~т/2 2 ет/4 + е~т/4 2 4' Н( , )

тт, \ е~т-е~хт Л(т/4) Н (т, г) =-2---2 е"

Но тогда для отношения (3.1) получим представление

у е-^р^Ст - I е-*т<Ст), ге П+. (3.5)

оо Для всех г е П+, во-первых, по формуле (2.21) имеем

1 I+Ге~т - е~гт I 1 г 1 1 1

-ехр |у 2г СТ | = геХ^\21пг/ = , (3'6)

а во-вторых,

+ Л|/4) е^ = + Ше_ЫЛ (3 7)

00 Подставив (3.6), (3.7) в (3.5), получим (3.2).

При г = г у, где у > 0, формула (3.2) приобретает вид

- У ^ еой(4у^) йъ + I (у ^ й1п(4^) а - 4

что влечет как (3.4), так и «интегральную» часть формулы (3.3). Для того чтобы завершить проверку (3.3), запишем

1ЭД/)12 = !Г + *у)[2, У > 0,

1 ( УЛ У2 | г(»у)|2 , У ,

е~т е~гт е~т-е~гт /1 1\

а затем при тех же у > 0 применим вместе с (2.14) еще одну известную явную формулу

2

2 + '' 1'

Ж (3.8)

сЪ(тту)

(по поводу (3.8) см. [12, гл. 6, формула 6.1.30]). Предложение 3.1 доказано. □

Замечание 3.1. Попятно, что формула (3.3) из предложения 3.1 фактически содержит в себе косинус-преобразование Фурье функции именно,

J cos(yt) dt = ln (cth , y> 0.

0

Укажем, еще па формулу

I £ е-„+1,2<Л

аналогичную (3.2), по действующую па более широком множестве

{ге С \ {-1/2} : Яв г ^ -1/2} Э П++.

Такое представление выводится, из (2.27) тем же способом,, что и (3.2), по без применения связи Г( г + 1) = -гГ( г).

Завершим статью коротким обсуждением некоторых оставшихся в стороне вопросов, связанных со второй формулой Вине и формулой Славича.

Сравнение формул (1.8) и (1.5) показывает, что для доказательства последней достаточно установить равенство интегралов

о о

( )

ми в правой полуплоскости П+, поэтому обоснование равенства (3.9) достаточно провести для г = х > 0. Тогда после подстановки в правую часть (3.9) вместо д(Ь) ее разложения на простые дроби (2.3), нетрудно убедиться в законности почленного интегрирования, приводящего к левой части (3.9). Такой способ вывода второй формулы Вине нам не встречался. Отметим, что привлечение разложения (2.3) оказывается полезным и в другой задаче — о вычислении интеграла (2.16), решенной иначе в лемме 2.1 (близкий интеграл изящным приемом Прингсгейма посчитан в [5, глава 12, §12.31]).

Обращаясь к формуле Славича (1.2), напомним о ее роли в получении двусторонних оценок типа (1.4) (см. [1], [4]). Фактически речь идет о том, что асимптотический ряд

£

k=i

(2 k - 1) B2k 1

k(2k - 1) x2k-1

обвертывает на луче x > 0 функцию 1n(-y/XD(x)). Но теперь, благодаря общему интегральному представлению (3.2) из предложения 3.1, оказывается возможным доказать наличие подобного свойства выписанного ряда уже в комплексной области, точнее — в угле | arg ^ ^/4 с исклю-

D( )

угле будет действовать асимптотически точная комплексная версия двусторонних оценок (1.4). Подробное изложение описанных здесь результатов требует отдельной публикации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. D.V. Slavic. On inequalities for Г(ж + 1)/Г(ж + 1/2) // Publikacije Elektrotehnickog fakulteta. Serija Matematika i fizika. 498/541, 17-20 (1975).

2. А.Ю. Попов. Двусторонние оценки центрального биномиального коэффициента // Челяб. физ.-матем. журн. 5:1, 56-69 (2020).

3. И.В. Тихонов, В.Б. Шерстюков, Д.Г. Цветкович. Сравнительный анализ двусторонних оценок центрального биномиального коэффициента // Челяб. физ.-матем. журн. 5:1, 70-95 (2020).

4. А.В. Kostin, V.B. Sherstvukov. Asymptotic Behavior of Remainders of Special Number Series // J. Math. Sci. 251, 814-838 (2020).

5. E.T. Whittaker, G.N. Watson. A Course of Modern Analysis. 2, Cambridge University Press, Cambridge (1927).

6. H. Masavoshi. Problems And Solutions In Real Analysis (Second Edition). On Number Theory And Its Applications. 14, World Scientific Publishing Company, Singapore (2016).

7. C.J. Malmstén. Sur la formule hu'x = Aux - f Au'x + Au" - AuxV + etc. // J- Reine Angew. Math. 35:1, 55-82 (1847). ' '

8. I. Blagouchine. Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results // The Ramanujan J. 35:1, 21-110 (2014).

9. P. Аски, P. Рой, Дж. Эндрюс. Специальные функции. МЦНМО, Москва (2013).

10. J. Binet. Mémoire sur les intégrales définies eulériennes et sur leur application á la theorie des suites ainsi qu'á revaluation des fonctions des grandes nombres // J. l'Ecole Polvtechnique. 16:1, 100-149 (1838-39).

11. Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович. Сборник задач, по теории функций комплексного переменного. Наука, Москва (2014).

12. М. Абрамовиц, И. Стиган. Справочник по специальным, функциям,. Наука, Москва (1979).

13. Г. Полна, Г. Сеге. Задачи, и, теоремы из анализа,. Часть первая. Ряды. Интегральное исчисление. Теория функций. Наука, Москва (1978).

Андрей Борисович Костин,

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Каширское шоссе, 31, 115409, г. Москва, Россия E-mail: abkostiiK3yandex.ru

Владимир Борисович Шерстюков,

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Каширское шоссе, 31, 115409, г. Москва, Россия E-mail: shervb73@gmail. com