CC BY
24
Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)
УДК 517.958
© А.Ю. Сазонов, Ю.Г. Фомичева
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА1
Для В-эллиптического оператора второго порядка с особенностями по нескольким переменным получены формула Грина, интегральное представление гладких функций. Установлен принцип максимума и единственность классического решения задачи Дирихле для таких операторов.
Ключевые слова: В-эллиптический оператор, формула Грина, принцип максимума.
Пусть X = (ж', у') Є Яп+т, Xі = (жі, . . . ,Хп), Vі = (уі, . . . ,Ут),
я++т — часть пространства уі > 0,..., ут > 0, 0+ — ограниченная область в Л++т прилегающая к к гиперплоскостям уі = 0,..., ут = 0, Г+ — произвольная поверхность типа Ляпунова, часть границы области 0+, расположенная в
пп+т
Л+ .
В 0+ рассматривается оператор
*>»■
пт ^
а? = а?*, Е а?аіаз + 52 ЬіаП+і ^ 5 \а\ , для любого а = (аі,..., ап+т), \а\ > 0, 5 > 0.
і,?=і і=1
Для функции и Є С2 (0+) П С имеет место
(иВу,Н - НВу/и) УЇК.. у\™ йП = - Н(х, 0^ УЇ1 • • • Укш <£Г.
При уі = 0,...,ут = 0, Н(ж',£) = С = (Сі,...,Сп,Пі,...,Пт).
пт
Е А-іАі?(& - Х*)(С? - X) + Е Ь--\2 і,?=і і=і
1 — п — кі —... — кт 2
В области уі > 0,... ,ут > 0 Н(ж,£) = ТЩ1,...,Н(ж,С),
= Скі ^ + г?г2 - 2щщ соэ віп** агіа,
/о
ТуІ /(Пі) — оператор обобщенного сдвига [1],
Г
&г + 1
2 ,
С к- = ----т—т-| ^ = (ач)> — алгебраическое дополнение элемента ец,-,
(|)
V — внешняя нормаль к Г+ : п асо8(^,Жі) = ^2 аі? со8(пж,Хі), ?=і а ^(^уі) = Ьі со8(пж,уі),
2
пп
а2 = ^ ^аі? ^(пж,Хі) + ^ Ьі ^2(пж,уі),
і=і \ ?=і / і=і
хРабота поддержана РФФИ (гранты №№ 11-01-00-626, 11-01-00-645), Министерством образования и науки РФ (проект № 1.1877.2011, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы», ГК № 14.740.11.0349).
т
пх — внешняя нормаль к Г+ в точке ж. Пусть Бу/и = 0, тогда справедливо представление вида
«(ж) = /
JT+
тт. du dH(ж,О
Н(х,0~г ~и—^
dv dv
nk1 •••nkm dr
Теорема 1. Функция и(ж), удовлетворяющая уравнению Ву/ и = 0 в 0+, непрерывная вплоть до Г+ и не равная тождественно константе достигает максимального (минимального) значения на Г+.
Следствие 1. Задача
nil du
By'U = f, и |г+=¥>, ^
не может иметь более двух решений [2].
д«
= °> • • • ’ я-
yi=0 dym
= 0
ym =0
Список литературы
1. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // УМН. 1972. Т. 6. № 2. С. 102-143.
2. Сазонов А.Ю., Фомичева Ю.Г. О единственности классического решения первой краевой задачи для эллиптического уравнения, вырождающегося на гиперплоскостях // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2008. Т. 13. Вып. 1. С. 36-38.
Поступила в редакцию 15.02.2012
A. Yu. Sazonov, Yu. G. Fomicheva
On integral representation of functions for a second order singular elliptic operator
For a second order B-elliptic operator with singularities by several variables, we receive Green’s formula and integral representation of smooth functions. The maximum principle and uniqueness of a classical solution of the Dirichlet problem for such operators are established.
Keywords: B-elliptic operator, Green’s formula, maximum principle.
Mathematical Subject Classifications: 35J75
Сазонов Анатолий Юрьевич, к.ф.-м.н., доцент, кафедра алгебры и геометрии, Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, 392000, Россия, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33. E-mail:
sazonov.anatol@yandex.ru
Фомичева Юлия Геннадьевна, к.ф.-м.н., доцент, кафедра алгебры и геометрии, Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина, 392000, Россия, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33. E-mail:
fomichevajulia@mail.ru
Sazonov Anatolii Yur’evich, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Algebra and Geometry, Tambov State University, ul. Internatsional’naya, 33, Tambov, 392000, Russia
Fomicheva Yuliya Gennad’evna, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Algebra and Geometry, Tambov State University, ul. Internatsional’naya, 33, Tambov, 392000, Russia
