Об инфинитезимальных автоморфизмах почти симплектических структур Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 147, кн. 1

Физико-математические науки

2005

УДК 514.16

ОБ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫХ АВТОМОРФИЗМАХ ПОЧТИ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ СТРУКТУР

В. И. Панъженский

Аннотация

Указана максимальная размерность алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов римановой и почти симплектической структур, естественным образом возникающих на касательном расслоении гладкого многообразия, наделенного почти симплектической структурой и линейной связностью, согласованной с этой структурой.

Введение. На касательном расслоении ТМ гладкого п-мерного многообразия М, наделенного почти симплектической структурой ш и линейной связностью V, согласованной с этой структурой, возникает риманова метрика О, которая является эрмитовой относительно канонической почти комплексной структуры 3. Фундаментальная 2-форма П почти эрмитовой структуры (0,3) определяет на ТМ почти симплектическую структуру. Линей пая связность V базисного многообразия М порождает на ТМ вполне приводимую связность V, согласованную с О и П.

В настоящей работе доказано, что полный лифт Xс векторного поля X базис-М

структуры О или почти симплектической структуры П на ТМ тогда и только тогда, когда X есть инфинитезимальный автоморфизм почти симплектической структуры ш, сохраняющий связность V. Размерность алгебры Ли таких автоморфизмов не превосходит п(п + 3)/2. Наиболее общие автоморфизмы, сохраняющие слои, определяются проектируемыми векторными полями. Доказано, что размерность алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов, сохраняющих слои и связность V те превосходит 3п(п + 1)/2 для римановой структуры О и п(п + 3) для

П

1. Пусть ш — невырожденная 2-форма, определяющая на п-мерном гладком многообразии М почти симплектическую структуру. Векторное поле X на М является инфинитезимальным автоморфизмом почти симплектической структуры, если производная Ли от ш вдоль X обращается в нуль: Ьхш = 0. В локальных координатах эти уравнения имеют следующий вид:

£к дк шц + шц дг £к + ш{к дц £к = 0, (1)

где ш = шу ¿хг л ¿хц , шу = — шцг, ¿вЬцшу || = 0, X = £кдк, дк = д/дхк; • • • =

= 1 ,п. Если структура симплектическая: ¿ш = 0, то имеем

дк шу + дг шцк + ду шкг = 0. (2)

Каждому векторному полю X соответствует 1-форма а = 1х ш. Если X - инфинитезимальный автоморфизм симплектической структуры, то форма а = шу £гв,х3

является замкнутой: ¿а = 0, что немедленно следует из (1) и (2). Обратно, КЙЖДОИ невырожденной 1-форме а = а, ¿х1 соответствует векторное поле X, такое, что а = 1х ш, т. е. X = и>%3а,дг и из ¿а = 0 и ¿ш = 0 следует, что Ьхш = 0, т. е. X - инфинитезимальный автоморфизм. Поэтому алгебра Ли всех инфиннтезималь-ных автоморфизмов симплектической структуры как векторное пространство изоморфна векторному пространству замкнутых 1-форм и, следовательно, является бесконечномерной [1].

2. Линейная связность V согласован а с ш, есл и Ух ш = 0 для любого векторного поля X или в локальных координатах

дк- шр, гр - ш»ргк, = 0> (3)

где Гк — коэффициенты связности: Vдi д, = Г1 д^. Циклируя (3) и складывая, получаем

+ Шррг^р, + = дк + д», + д,ш^г , (4)

где = Гк — Гк - компоненты тензора кручения 5(X, У) = VхУ — VYX — [X, У] связности V. Из (4) следует, что если структура почти симплектическая (¿ш =

= 0)

Компоненты любой связности, согласованной с почти симплектической структурой, имеют вид [2]

(5)

где Пи» _ произвольная совокупность функций, симметричная по первым двум индексам: п, = П,Рг • Справедливость равенств (3) проверяется непосредственно подстановкой (5) в (3).

3. Рассмотрим инфинитезимальные автоморфизмы почти симплектической структуры, сохраняющие линейную связность, согласованную с этой структурой. Такие автоморфизмы назовем абсолютными. Для них Ьхш = 0 и Ьх V = 0. Тогда кроме уравнений (1) еще имеем

£рдрГк + дг£рГ^ + д, £р Гкр — др £к Гр. + д, £к = 0. (6)

Из уравнений (3) следует, что

дк = шр, гк + гк, • (7)

Кроме того, имеем

д £к = V» £к — £ Т* • (8)

Подставив (7) и (8) в (1), получим

(V £к — £р ^рН, + (V, £к — £рБкр )ш»к = 0. (9)

Пусть

£к = V, £к — £р Бкр, (10)

тогда уравнения (1) примут вид

£к + Ик £к = 0. (11)

Аналогично, заменив в уравнениях (6) частные производные ковариантными, получим

V.*,

V» V, £к — VI £р Я* — £р + £рК* = 0, (12)

К к = д■ гк — д гк + гк Гя — гк Гя

гЦр г 3р 3 1р< зр Цв гр \

суть компоненты тензора кривизны К(X,У= VхVY2 — VyVх2 — V[х,Y]Z связности V. Учитывая (10) и (12), получим, что уравнения (6) примут вид

Vi£k + £р К3р = 0. (14)

Наряду с неизвестными функциями £к (х) — компонентами абсолютного инфи-нитезимального автоморфизма почти симплектической структуры - введем дополнительные функции

£г3 = £ршрз . (15)

Из (10), (11), (14) и (15) следует, что для того чтобы векторное поле X являлось абсолютным автоморфизмом почти симплектической структуры, необходимо и достаточно, чтобы функции £к и £у являлись решениями уравнений

£гз — £зг = 0, (16)

Vз £к = шк £ц + £р Бкр, (17)

Vз £зк = —£рКгзкр, (18)

где Кукр = шзкКЦр, шквш8ц = 6к. Уравнения (17) и (18) представимы в каноническом виде, т. е. в виде, разрешенном относительно первых производных от п + п2 неизвестных функций £к, £у, а уравнения (16) накладывают на £у п(п — 1)/2

£к (х)

п2 + п — п(п — 1)/2 = п(п + 3)/2 произвольных постоянных [3]. Следовательно, справедлива

Теорема 1. Размерность алгебры Ли абсолютных инфинитезималъных автоморфизмов почти симплектической структуры не превосходит п(п + 3)/2.

ТМ М

почти симплектической структурой ш и согласованной с ней связностью V, расО

О^ Л,у Л) = о^ у ,Уу) =0, О^ к,Уу )= ш^У^, О^у ,УЛ) = —ш^У)", (19)

где горизонтальное лифтирование ведется относительно симметрической части связности V. В координатах метрика О имеет вид

О = шгу вхг < вх3 — шгу 6уг < 6у3, (20)

где 6уг = вуг +г*крурвхк, г*кр = 2г(кр) _ компоненты линейной связности V — симметрической части связности V (хг ,хп+г = уг) = (хА) - естественные локальные ТМ

почти комплексной структуры 3

.IXЛ = X " .X ь = —X (21)

т. е. G(JX, Jy) = G(X,y) для любых векторных полей X,y на TM. Фундаментальная 2-форма fi(X,y) = G(X, Jy) почти эрмитовой структуры (G, J) определяет на TM почти симплектическую структуру

fi(X h) = П(Х v ,Уv) = "(X,Y)v,

П(Х ) = П(Х v ,Yh) = 0. (22)

В координатах

П = "j Л + "j ¿у" Л ¿yj. (23)

Ha TM рассмотрим линейную связность V:

VX h Уh = (VX VX v = Vx- = 0, VX н = (VX . (24)

Если VgA ¿в = ГКв ¿к; где ¿a = (¿i ) - локальный базис векторных полей на TM, адаптированный к связности V, то ненулевые компоненты этой связности имеют вид

yk _ Г^ yn+k _ rk

Г ij Г ij, Г in+j Г ij. V ^v

Заметим, что V является вполне приводимой связностью Шапукова [4] с формами связности

"4 = ( "f "j) ■ <26>

где "k = rkj ^ж" - формы связи ости V Нетрудно убедиться, что связность V согласована как с G, так и с П: VG = 0, VП = 0.

Векторное поле X = £^"¿4 на TM является инфинитезимальным автоморфизмом римановой структуры G (почти симплектической структуры П), если LjG = 0 (LjfП = 0). В адаптированном базисе (¿4) уравнения инфинитезималь-ных автоморфизмов имеют следующий вид:

£C (¿сGAB - GPBRCA - GAPRCB) + ¿A£PGPB + ¿в£PGAP = 0 (27)

G

£C (¿сПАВ - ПрвRCA - ПАР^CB) + ¿4£PПрв + ¿в£PПАР = 0 (28)

для П, где R4b _ компоненты объекта неголономности, входящие в структурные уравнения: [¿4,¿в]= ЯаВ¿с-

Пусть Xс = £i(ж^ + ykVk£idn+i — полней лифт векторного поля X = £"(ж^ базисного многообразия M. Поле Xс назовем естественным автоморфизмом структуры G (П) на TM^ ети LXсG = 0 (LXсП = 0). Расписывая уравнения (27) и (28) для различных серий индексов, можно убедиться, что LxcGab = 0 (LXс ПаВ = 0) тогда и только тогда, когда LX"j = 0 и LXГ- = 0. Поэтому имеет место

Теорема 2. Для того чтобы полный лифт Xс векторного поля X почти

M

G П TM

X

"

Из этой и предыдущей теорем следует

Теорема 3. Размерность алгебры Ли естественных автоморфизмов римано-вой структуры О или почти симплектической структуры П на ТМ не превосходит п(п + 3)/2.

ТМ,

ТМ

фпзмы, сохраняющие слои, определяются проектируемыми векторными полями на ТМ [5]. Векторное поле X на ТМ является проектируемым, если вп]( - есть векторное поле на М (п : ТМ ^ М — каноническая проекция расслоения). Такое поле в координатах имеет вид

XX = £г (х) 6 г + £п+г (х,у)дп+г. (29)

ТМ

морфизмы римановой структуры О и почти симплектической структуры П. Тогда имеем

Ьх оав =0 (30)

для римановой структуры,

Ьх Пав = 0 (31)

для почти симплектической структуры и

Ьх гАв = 0 (32)

для обеих структур. Так же, как и в случае инфинитезимальных автоморфизмов базисного многообразия, введем новые переменные

£В = v в £с — £Р вВВР. (33)

Уравнения (30) и (31) примут вид

£ав + £ва = 0, (34)

£ав — £ва = 0, (35)

где £ав = £а Орв в уравнениях (34) и £ав = £а прв в уравнениях (35). Уравнения (32) представимы в виде, разрешенном относительно ковариантных производных от функций £В

V а£в' = —£Р КА'ВР,, (36)

где К'вр — компоненты тензора кривизны связности V. Если условия интегрируемости уравнений (36) и уравнений

v в £В = £В + £Р $вр (37)

выполняются тождественно, то размерность алгебры Ли инфинитезимальных автоморфизмов максимальна и равна г = п2 + п — в, где в - число независимых

О

симплектической структуры п. Так как векторное поле XX является проектируемым, то, как нетрудно проверить, £^+3 = 0, а в = п2 + п(п + 1)/2 - для (34) и в = п2 + п(п — 1) - для уравнений (35) и, следовательно, г = 3п(п + 1)/2 - для римановой структуры О и г = п(п + 3) — для почти симплектической структуры П

Теорема 4. Размерность алгебры Ли абсолютных инфинитезималъных автоморфизмов, сохраняющих слои касательного расслоения, не превосходит 3п(п+ +1)/2 - для римановой структуры Си п(п + 3) - для почти симплектической структуры П.

Summary

V.I. Panzhenskii. Oil infinitesimal automorphisms of almost symplectic structures.

On the tangent bundle TM of a manifold M endowed with an almost symplectic structure ш and a linear connection V compatible with ш, we consider the Riemannian metric G which is Hermitian with respect to the canonical almost complex structure J and the corresponding almost symplectic structure П. We study the infinitesimal automorphisms of

TM

natural automorphisms of G and of П is less than or equal to n(n + 3)/2.

Литература

1. Libermann P. Automorphismes infinitesimaux d'une structure symplectique // C. R. Acad. Sci. - 1956. - V. 242, No 9. - P. 1114-1117.

2. Левин Ю.И. Об аффинных связностях, присоединенных к кососимметрическому тензору // Докл.АН СССР. - 1959. - Т. 128, № 4. - С. 668-671.

3. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. - М.: ИЛ, 1947.

4. Шапуков В.Н. Линейные связности векторного расслоения // Тр. геом. сем. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. - Вып. 8. - С. 118-131.

5. Шапуков В.Н. Автоморфизмы расслоенных пространств // Тр. геом. сем. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. - Вып. 14. - С. 97-108.

Поступила в редакцию 25.12.04

Паньженский Владимир Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры Пензенского государственного педагогического университета.