Об эндохронном подходе при макроскопическом моделировании длительной вязкоупругопластичности и прочности свинца Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ОБ ЭНДОХРОННОМ ПОДХОДЕ ПРИ МАКРОСКОПИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ДЛИТЕЛЬНОЙ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ И ПРОЧНОСТИ СВИНЦА

© Г.Д. Федоровский

Ключевые слова: свинец; нелинейная упругость; длительная нелинейная ползучесть; долговечность; обобщенное время ползучести и долговечности; «горизонтальный» и «вертикальный» масштабы обобщенных времен. Построены математические модели, определяющие уравнения эндохронного типа нелинейной упругости, длительной нелинейной ползучести и долговечности свинца.

Известно, что свинец проявляет нетривиальные нелинейные свойства в упругой и неупругой области деформирования и при разрушении. По данным длительных (до 5-6 лет) испытаний растяжения образцов материала [1] построены математические модели описания его механических свойств на базе эндохронного подхода (концепции обобщенного времени) [2-4]. Анализируются особенности применения «горизонтального» и «вертикального» масштабирования времени.

На рис. 1 и 2 приведены экспериментальные данные и приближения характеристик свинца [1].

Рис. 1. Экспериментальные зависимости деформации е ползучести свинца от логарифма времени t при различных постоянных напряжениях а (точки соответствуют разрушению, а прямая - приближению зависимости деформации разрушения е от логарифма времени tc )

В результате обобщенной, перекрестной обработки экспериментальных данных установлено, что в широкой области изменения параметров испытаний, вплоть до разрушения, при постоянных значениях условного напряжения a(t) = const к материалу применимы эндохронные уравнения нелинейной ползучести с мгновенной нелинейной упругостью s(t, о) = P(t, о)о = = P0 (о) Pt (t, о)о = P0 (o)Pt (£,)о (1) экспоненциальнопоказательного вида. Здесь P(0, о) = P0 (o)Pt (0) =

=-------= exp(ab° ) - мгновенная податливость, соот-

Е(о)

ветствующая нелинейной упругости с модулем Е(ст) ;

а = -6,79 и Ь = 0,945. Р( (/, ст) = Р(^СТ) = ехр[с^, ст)] =

Р0(ст)

= ехр^ (ст)/] = р [§(/, ст)] (Р( (0) = 1) - временная часть податливости; £, - обобщенное время, а

g(ст) = Сст-1 - его «простой» (зависящий лишь от ст ) показательного вида масштаб; £(ст*) = 1 в области линейной ползучести при ст<СТ; = ст* = 1 МПа; с = = 6,49 10-6 и С = 8,935 - постоянные. Константы а , Ь , с и С соотношения (1) получены при ст , 8 и (, соответственно, в МПа, безразмерной форме и в часах. В (1) вместо 8, { ист можно использовать безразмерные величины 8 /8о, t /^ , ст/сто , как на рис. 1 и 2.

Рис. 2. Зависимость напряжения разрушения стс от времени до разрушения ^ свинца в логарифмических шкалах (точки -эксперимент, прямая - приближение)

Соотношение (1) может быть тождественно записано и в традиционной форме суммы упругой деформации и деформации ползучести: 8=8у +8п, где

8у = р0 (ст)Р (0)ст = р0 (ст)ст , 8п = Ро (ст)р © - Р (0)]ст = = р (ст)[р (£,) - 1]ст . В области линейной ползучести

1774

Pt (Е) = exp(c^) = Pt (t) = exp(ct) . Поскольку эта область соответствует малым напряжениям, то в ней допустимо ограничиться мгновенной линейной упругостью и принять P0(o)Pt (0) = const = P0 =

= exp(ab) = 1,63 • 10~3 (МПа-1); El0 = 613 МПа. Таким

образом, e(t, ст) = P(t)CT = P0 • Pt (t)CT . При использовании «вертикального» и «горизонтального» масштабов (1) может быть также записано:

s(Y,ст) = gv (ст) • Pt (Eh ) •ст = gv (ст) • Pt [g* (ст) • t\ ст , (2)

гДе gv(ст) = ^0(ст) , ^ = Е , gh(ст) = g(ст) - масштабы.

Следовательно, основными определяющими параметрами уравнений (1) и (2) являются квазилинейная временная составляющая Pt (Е) податливости уравнений в пространстве обобщенного времени = Е с «простым», зависящим лишь от напряжения ст «горизонтальным» масштабом времени g* (ст) = g(<j) = dст-1, а также множитель к Pt (Е) - gv (ст) = P0 (ст) - безразмерный «вертикальный» масштаб, дополнительно корректирующий функцию Pt (Е), и, кроме того, однозначно описывающий мгновенную нелинейную упругость. Определяющие функции Pt (Е) (Pt (t) ),

gh (ст) = g^) и gv (ст) = Po(ст) (рис. 3) находят по кривым рис. 1. Горизонтальные начальные участки масштабов рис. 3 относятся к области линейной упругости и ползучести.

Рис. 3. Определяющие функции деформативности свинца:

P[lgt/10)], lg gh(ст) и lg gv(ст)

В соответствии с рис. 2 уравнение длительной прочности имеет степенную зависимость:

стc = q(tc )

(3)

где ст с и tc - напряжение и время разрушения; q = 6,9 и г = -8,787 • 10-2 - постоянные, полученные при вышеупомянутых размерностях стс, 8с и tc .

«Обратное» (3) соотношение - для времени до разрушения - имеет вид:

tc =

V

стс

Эндохронная модификация (4) может быть представлена выражением:

Ес = Ес (ст, 0 = gc (ст)?*

(5)

где Ес = tc - время до разрушения при данном ст , а и = ^(*) - любое произвольно выбранное время до разрушения при некотором другом ст* . Полученный по (4) и (5), масштаб gc имеет степенную форму:

gc (ст) =

tc (ст) ^(*)(ст*:>

( ^ ст„

gc = 1 .

(6)

На рис. 4 изображена точка кривой длительной прочности свинцастс (Ес ) при tc(*)=100 ч (стс(*) =

= 4,6 МПа), а также зависимость логарифма масштаба gc от напряжения ст при данном нормировочном

значении стс(*).

(4)

Рис. 4. Точка (ос(* ^, tc(-*)) кривой длительной прочности (рис. 2) при tc(*)= 100 ч и зависимость логарифма масштаба от о

ЛИТЕРАТУРА

1. Темпов О.В., Федоровский Г.Д. Экспериментальное исследование и макроскопическое эндохронное описание длительной ползучести и долговечности свинца // Морские интеллектуальные технологии. 2011. № 3 (спецвыпуск). C. 36-39.

2. Федоровский Г.Д. Определяющие уравнения реологически сложных полимерных сред // Вестник Ленинградского университета. Матем., механ., астрон. 1990. Вып. 2. № 15. С. 87-91.

3. Уржумцев Ю.С., Максимов Р.Д. Прогностика деформативности полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1975. 416 с.

4. Федоровский Г.Д. Эндохронные модели длительной прочности, структурных переходов и повреждаемости сплошных сред. Механика деформируемого твердого тела // Вестник Нижегородского университета. 2011. № 4 (4). С. 1822-1824.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Госбюджетной темы № 6.37.137.2011 и гранта № 13-01-00598.

Поступила в редакцию 10 апреля 2013 г.

Fedorovsky G.D. ABOUT ENDOCHRONIC APPROACH AT MACROSCOPICAL MODELING OF LONG TENACITY-ELASTICITY-PLASTICITY AND DURABILITY OF LEAD

The mathematical determining equations of endo-chronic type of nonlinear elasticity, long nonlinear creep and durability of lead are constructed.

Key words: lead; nonlinear elasticity; long nonlinear creep; durability; generalized time of creep and durability; “horizontal” and “vertical” scales of generalized times.

ст

c(*) ,

Г

1775