Научная статья на тему 'Об эффекте Гюйгенса в непрерывной модели распределения дохода'

Об эффекте Гюйгенса в непрерывной модели распределения дохода Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
52
7
Поделиться
Ключевые слова
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДА / МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Т. ПУ / ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА / LINEAR EQUATION OF RETURN DISTRIBUTION / T. PUU'S MACROECONOMIC MODEL / HUYGENS'S EFFECT

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Азарнова Татьяна Васильевна, Гоголева Татьяна Николаевна, Половинкин Игорь Петрович, Рабееах Светлана Александровна, Щепина Ирина Наумовна

Рассматривается макроэкономическая модель Т. Пу, описывающая колебания валового дохода в заданном регионе. Согласно принципу Гюйгенса, имеющему место при особом сочетании норм сбережений и инвестирования, отклонения дохода будут иметь место лишь в течение конечного промежутка времени, после которого доход вернется к стационарному состоянию. Результаты исследования модели с помощью статистических методов анализа данных позволяют говорить о правдоподобности гипотезы о наличии эффекта Гюйгенса в определенные периоды истории отечественной экономики.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Азарнова Татьяна Васильевна, Гоголева Татьяна Николаевна, Половинкин Игорь Петрович, Рабееах Светлана Александровна, Щепина Ирина Наумовна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

On Huygens’ effect in the continual model of distribution

The macroeconomic model of T. Puu, which describes fluctuations of gross revenue in the set region is considered. According to Huygens’s principle, which takes place at a special combination of norms of savings and investments, the deviations of the return will take place only for a limited period after the return will get back to a steady state.The results of the researched model by using statistical methods of data analysis suggest the plausibility of a hypothesis existence of Huygens’s effect during certain historical periods of Russian economics.

Текст научной работы на тему «Об эффекте Гюйгенса в непрерывной модели распределения дохода»

д2 к д

В) = ~т +

дt2 г дг

к е Р.

Обозначим через ик = ик (х,г) решение уравнения (4). Для решения уравнения (4) имеют место две фундаментальные рекуррентные формулы

ик = г1 ки2 к,

ик = гик+2.

(6)

(7)

весового сферического среднего представляют собой операторы преобразования [15-16].

В [17] доказано, что весовое сферическое среднее любой дважды непрерывно дифференцируемой функции / = /(х), четной по каждой из своих независимых переменных х,•••,хи , удовлетворяет задаче Коши

(А, ) М} (х,0 = (Бк )М} (хЛ к = п+|у|-1 (10)

Эти рекуррентные формулы позволят при помощи решения ик уравнения (4) получить решение того же уравнения, но с параметром к + 2 и 2 - к соответственно. Обе формулы присутствуют в статье А. Вайнштейна [13], но для частного случая. Формула (6) доказана в [10]. Формула (7) доказывается аналогично формуле для решения классического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу [13]. В монографии [11] приведены обобщения соотношений (6)-(7) и подобных соотношений для случая более общих уравнений, которые, однако, не включают рассмотренные в данной работе случаи.

В пространстве Р + применяется многомерный обобщенный сдвиг, отвечающий мультииндексу у

вида

у = }1тг1 } птгп

х, ... х ,

, где каждый из одномерных

1 "п

обобщенных сдвигов определен выражением

Ы/ (х;0) = /, -М} (х;г)|г=о= 0.

у дг

Будем искать решение задачи Коши

д2 к ди

А,,и = —т +--,

у дг2 г дг

и(х,0) = /(х), щ (х,0) = 0.

(11)

(12)

(13)

Пусть к > п+ | } | , } = (У1,...,Уп,Уп+1,) > Уп+1,>0 . Рассмотрим уравнение вида

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ау-и = (В ) и +...+ (В, )х и + (В ,)х ,

' '11 'п п у п+1 п+1

д2и к ди

~ дг2 г дг

у' т: /(х) =

у,. +1

Г ^Ы 1

2 1 I 2

<(х1 ,...,х,_^х,2 +х2 -2х,х,008а,,х,+1,...,хп)81пу>' 1 а,-аа,

с начальными условиями и(х1,...,хп+1,0) = /1(х1,...,хп+1),

и,(х!,...хп+! ,0) = 0. Здесь х' = (х^.хп+х) е Р++1. при к = п+ | у' | = п+ | у | +уИ+/ решением этой задачи Коши является весовое сферическое среднее

Му' (х'; г):

На основе смешанного обобщенного сдвига у Тг конструируется весовое сферическое среднее функции / :

М у (х; г ) =-1- I* уТ® / (х; у)0у ^^,

Я | 5+ (п)| J '

5 (П)|у

(8)

где

5+ (п)

= П0уг, 5+(п) = {0 :|0|=1,0еР + },

1=1

| 5]+ (п) |у вычисляется по формуле:

и(х1 ,...,хп+1, г) , х (1 п+1 ) 1(п + 1)|у- (14)

х 1+ («+1)[ у1 тг'1...упт*п уп+1' ТУ ^Я(х)](У)у'^,

У =(У1,...Уn,Уп+1')

ПГ

|ХГ (Л + 1)|у' =

_ г =1

у, +1V к - п-1 у | +1"

2п Г

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

п

|5+ (п)|у = | П^'Ж(У) = —

5+ (п) ! =1

2п-^| п+ | у |

(9)

[14, с. 20, формула (1.2.5)], где надо положить N = п ). Конструкции многомерного обобщенного сдвига и

Положим /1(х1,...,хп,0,...,0)= /(хъ...хп), где/функция из начального условия (13). Таким образом, и , определяемая формулой (14), оказывается функцией, зависящей только от х ,...,х , удовлетворяющей уравнению (12) и условиям (13). Имеем

ик (х,г) =

1

|5+ (п+1)|

у'

| [ ТЖхЖуУ'^у,

5+ (п+1)

г

2

х

0

2

2

а

к

2

2147

Перепишем теперь интеграл по части сферы (т) в

виде интеграла по части сферы (п) . Запишем поверхностный интеграл через кратный интеграл:

J [ yT»f (x)]( у') у' dSy, =

S+ (n+1)

= J [ yT»f(x)](1—|y|2)

b+ (n)

k—n—1 у |—1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ г

уу dy,

где

B+ (n) = {у e R+ : ¿у2 < 1}

проекция

i =1

Sj+ (n +1) на экваториальную плоскость x„+1 = 0. Имеем

n

п

Г

uk (x, t) =

Уг + 1

Г

k — n— | у | +1 2

2n Г

(15)

к-п-|у|—1

х | [ УГ»/(х)](1-|у|2) 2 у у ду. В+ (п)

Хотя (15) было получено как решение задачи (12)-(13) при к > п+ | у | непосредственная подстановка (15) в (12)-(13) при п+ | у | -1 < к < п+ | у | дает, что (15) является решением (12)-(13) и при п+ | У |-1< к < п+ | у |.

В случае, когда к < п+ | у |-1, к Ф -1,-3,-5,..., используем рекуррентные формулы (6) и (7). Выберем положительное целое число т такое, что к + 2т > п+ | у | -1. Найдем решение задачи Коши

Л k +2т _ k + 2m . k + 2m k+2m Ayu = Щ +--— u ,

uk+2m (x,0) =

f ( x)

(k + 1)(k + 3)...(k + 2m-1)

(16)

(17)

uk+2m (x,0) =0.

По формуле (15) имеем

пг

uk + 2m (x, t ) = -

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

уг +1 If k + 2m — n— | у | +1

2n Г

k + 2m 2

k + 2m—n— | у |—1

< J [ yTtyf (x)](1—|y|2^ 2 уу dy.

B+ (n)

Используя (6), получим гк+2т- 1ик+2т = и2-к-2т. Применяя к последней формуле т раз формулу (7),

г I 3 I /Л+2т-1 ,к+2т\ _ 2-к -,-г

будем иметь I — I (/ и ) — и . Применяя

^ /3/ ^

к полученному выражению (6), запишем

„Л— Д— k I S I /-Д + 2m—1, k +2m\ u = t |-| (t u ),

Jdt.

(18)

что и дает решение (12)-(13) при k < n+ | у | —1, k Ф —1,—3,—5,...,. Вспомнив, что для того чтобы рассмотренное uk+2m было решением (16)—(17), достаточно, чтобы f имело непрерывную вторую

производную. Для получения решения uk в рассмотренном случае достаточно, чтобы f имела не

менее 1 (n — k + 3) непрерывных производных. В этом

случае решение рассматриваемой задачи имеет тоже

1(n — k + 3) непрерывных производных.

Получим, наконец, решение задачи Коши (12)—(13) для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при k = — 1,—3,—5,.... В этом случае решение задачи Коши

uk существует, когда f имеет -i(n — k + 3)

непрерывных производных. Однако частные

51—kuk

производные ——¡— этого решения стремятся к St1 k

бесконечности при t = 0 со скоростью logt, хотя f (x) - В-полигармоническая порядка 1 k

2

В-полигармоническая функция порядка р функция / (х) — / (х ,...ХИ ) действительных переменных, определенная в области пространства Р + , имеющая непрерывные частные производные до

2т -го порядка включительно и удовлетворяющая всюду в рассматриваемой области В-полигар-

моническому уравнению Д^и — 0, где Ду - оператор

(5). Оператор Д™ был рассмотрен в [1] и в [14] (см.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

также ссылки в этих книгах).

Исключительно важная роль В-полигармонических начальных условий может быть показана следующим образом. Пусть сначала к — 1 . Предположим, что ии *(х,0) существует. Пусть / ^ 0 в уравнении

-1 -1 и-

Д.,и — и---—, т. е.

у /

Дуu 1( x,0) = lim Дуu Чx, t ) =

t^0

= limutt (x, t) — lim

t^0 t^0

ut 1( x, t) — ut 1( x,0)

2

x

k

2

x

t

2148

То, что ДуМ 1(х,0) — 0 , показывает, что /(х) должна быть такой, что Ду / — 0. Таким образом, и~ *( х, — / (х). При к — -3 имеем

utt (х, 0) = lim—^—. Тогда из общего уравнения t^0 t

Эйлера-Пуассона-Дарбу при к = —3 получим

AyU ( х,0) = utt '( х,0) + lim

t ^0

— 3

U— ( х, t)

lim

t ^0

—3

3

U— ( х, t)

lim

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

t ^0

2U— (X, t)

—1 —3 —1

Из (7) следует, что t ut = u и

AyU~ 3(х,0) = lim[— 2u—1(х, t )J.

t ^0

(19)

Если производная

—3

о u

dt4

существует при t = 0 и

все нечетные производные u обращаются в нуль при

о 2u-1

t = 0 , то

Ot2

тоже существует при t = 0.

Поскольку Дуи 1(х,0) — 0 , то из (19) следует, что

ДуДуи-3 (х, 0) — Дуи-3 (х, 0) — 0 . Это наблюдение

обобщается на все исключенные случаи. Тогда решение задачи Коши дается формулой

к+1

2

ч х, t) = f ( х) +£

К/

2

^ (к + 1)...(к + 2h —1)2• 4■ ....2

к = —3,—5,—7,...

В заключение следует отметить, что анализ многочисленных методов в теории дифференциальных уравнений с операторами Бесселя показывает, что почти все они в явной или неявной формах являются специальными вариантами применения метода операторов преобразования, который проявляет себя в форме использования интегральных уравнений и представлений решений, функций Грина, метода вариации постоянных, формул спуска по параметрам, сплетающих соотношений между решениями возмущенных и невозмущенных уравнений и т. д. При этом важную роль играют специальные классы операторов преобразований:

Сонина и Пуассона, а также их обобщения - Бушмана и Эрдейи. По поводу приложений теории операторов преобразования к дифференциальным уравнениям с операторами Бесселя [11; 15-16; 18-20].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997. 208 с.

2. Euler L. Institutiones calculi integralis. V. III. Petropoli, 1770. Pt. II. Ch. III, IV, V (Opera Omnia. Ser. 1. T. 13. Leipzig; Berlin, 1914. P. 212-230).

3. Poisson S.D. Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux diff r' ences partielles // J. de L'École Polytechechnique. 1823. Ser. 1. P. 215-248.

4. Риман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды. Сочинения. Москва; Ленинград: ОГИЗ, 1948. 543 с.

5. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. V. II. 2 ed. Paris, 1915. 579 p.

6. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 588 с.

7. Цалдастани О. Одномерное изоэнтропическое течение жидкости // Проблемы механики: сб. ст. / под ред. Р. Мизеса, Т. Кармана. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. С. 519-552.

8. Weinstein A. Some applications of generalized axially symmetric potential theory to continuum mechanics // Приложения теории функций в механике сплошных сред: тр. Междунар. симп. М.: Наука, 1965. Т. 2. Механика жидкости и газа, математические методы. С. 440-453.

9. Олевский М.Н. Решение задачи Дирихле, относящейся к

уравнению p Ou для полусферической области // Au + —--= р

х х

Доклады АН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 767-770.

10. Fox D.N. The solution and Huygens' principle for a singular Cauchy problem // J. Math. Mech. 1959. V. 8. P. 197-219.

11. Carroll R. W., Showalter R.E. Singular and Degenerate Cauchy problems. N. Y.: Academic Press, 1976. 333 p.

12. Lyakhov L.N., Polovinkin I.P., Shishkina E.L. Formulas for the Solution of the Cauchy Problem for a Singular Wave Equation with Bessel Time Operator // Doklady Mathematics. 2014. V. 90. № 3. P. 737-742.

13. Weinstein A. On the wave equation and the equation of Euler-Poisson // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. V. 5. Wave motion and vibration theory. New York; Toronto; London: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1954. P. 137-147.

14. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом. Воронеж: ВГТА, 1997. 145 с.

15. Sitnik S.M. Transmutations and Applications: a survey // arXiv:1012.3741. 2010. 141 p.

16. Ситник С.М. Операторы преобразования и их приложения // Исследования по современному анализу и математическому моделированию: сб. тр. конф. / под ред. Ю.Ф. Коробейника, А.Г. Кусраева. Владикавказ: Владикавказ. науч. центр РАН и РСО-А, 2008. C. 226-293.

17. Lyakhov L.N., Polovinkin I.P., Shishkina E.L. On a Kipriyanov problem for a singular ultrahyperbolic equation // Differ. Equ. 2014. V. 50. № 4. P. 513-525.

18. Kravchenko V.V. Applied pseudoanalytic function theory (Frontiers in Mathematics). Basel: Birkhauser, 2009. 182 p.

19. Катрахов В.В., Ситник С.М. Краевая задача для стационарного уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом // Доклады АН СССР. 1984. Т. 278. № 4. С. 797-799.

20. Катрахов В.В., Ситник С.М. Композиционный метод построения В-эллиптических, В-гиперболических и В-параболических операторов преобразования // Доклады Академии наук. 1994. Т. 337. № 3. С. 307-311.

Поступила в редакцию 24 сентября 2016 г.

3

t

t

t

t

u

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Барабаш Ольга Павловна, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, магистрант по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика», кафедра математического и прикладного анализа, e-mail: ilina_dico@mail.ru

Шишкина Элина Леонидовна, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, доцент кафедры математического и прикладного анализа, e-mail: ilina_dico@mail.ru

2149