Об эффекте Гюйгенса в непрерывной модели распределения дохода Текст научной статьи по специальности «Математика»

д2 к д

В) = ~т +

дt2 г дг

к е Р.

Обозначим через ик = ик (х,г) решение уравнения (4). Для решения уравнения (4) имеют место две фундаментальные рекуррентные формулы

ик = г1 ки2 к,

ик = гик+2.

(6)

(7)

весового сферического среднего представляют собой операторы преобразования [15-16].

В [17] доказано, что весовое сферическое среднее любой дважды непрерывно дифференцируемой функции / = /(х), четной по каждой из своих независимых переменных х,•••,хи , удовлетворяет задаче Коши

(А, ) М} (х,0 = (Бк )М} (хЛ к = п+|у|-1 (10)

Эти рекуррентные формулы позволят при помощи решения ик уравнения (4) получить решение того же уравнения, но с параметром к + 2 и 2 - к соответственно. Обе формулы присутствуют в статье А. Вайнштейна [13], но для частного случая. Формула (6) доказана в [10]. Формула (7) доказывается аналогично формуле для решения классического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу [13]. В монографии [11] приведены обобщения соотношений (6)-(7) и подобных соотношений для случая более общих уравнений, которые, однако, не включают рассмотренные в данной работе случаи.

В пространстве Р + применяется многомерный обобщенный сдвиг, отвечающий мультииндексу у

вида

у = }1тг1 } птгп

х, ... х ,

, где каждый из одномерных

1 "п

обобщенных сдвигов определен выражением

Ы/ (х;0) = /, -М} (х;г)|г=о= 0.

у дг

Будем искать решение задачи Коши

д2 к ди

А,,и = —т +--,

у дг2 г дг

и(х,0) = /(х), щ (х,0) = 0.

(11)

(12)

(13)

Пусть к > п+ | } | , } = (У1,...,Уп,Уп+1,) > Уп+1,>0 . Рассмотрим уравнение вида

Ау-и = (В ) и +...+ (В, )х и + (В ,)х ,

' '11 'п п у п+1 п+1

д2и к ди

~ дг2 г дг

у' т: /(х) =

у,. +1

Г ^Ы 1

2 1 I 2

<(х1 ,...,х,_^х,2 +х2 -2х,х,008а,,х,+1,...,хп)81пу>' 1 а,-аа,

с начальными условиями и(х1,...,хп+1,0) = /1(х1,...,хп+1),

и,(х!,...хп+! ,0) = 0. Здесь х' = (х^.хп+х) е Р++1. при к = п+ | у' | = п+ | у | +уИ+/ решением этой задачи Коши является весовое сферическое среднее

Му' (х'; г):

На основе смешанного обобщенного сдвига у Тг конструируется весовое сферическое среднее функции / :

М у (х; г ) =-1- I* уТ® / (х; у)0у ^^,

Я | 5+ (п)| J '

5 (П)|у

(8)

где

5+ (п)

= П0уг, 5+(п) = {0 :|0|=1,0еР + },

1=1

| 5]+ (п) |у вычисляется по формуле:

и(х1 ,...,хп+1, г) , х (1 п+1 ) 1(п + 1)|у- (14)

х 1+ («+1)[ у1 тг'1...упт*п уп+1' ТУ ^Я(х)](У)у'^,

У =(У1,...Уn,Уп+1')

ПГ

|ХГ (Л + 1)|у' =

_ г =1

у, +1V к - п-1 у | +1"

2п Г

п

|5+ (п)|у = | П^'Ж(У) = —

5+ (п) ! =1

2п-^| п+ | у |

(9)

[14, с. 20, формула (1.2.5)], где надо положить N = п ). Конструкции многомерного обобщенного сдвига и

Положим /1(х1,...,хп,0,...,0)= /(хъ...хп), где/функция из начального условия (13). Таким образом, и , определяемая формулой (14), оказывается функцией, зависящей только от х ,...,х , удовлетворяющей уравнению (12) и условиям (13). Имеем

ик (х,г) =

1

|5+ (п+1)|

у'

| [ ТЖхЖуУ'^у,

5+ (п+1)

г

2

х

0

2

2

а

к

2

2147

Перепишем теперь интеграл по части сферы (т) в

виде интеграла по части сферы (п) . Запишем поверхностный интеграл через кратный интеграл:

J [ yT»f (x)]( у') у' dSy, =

S+ (n+1)

= J [ yT»f(x)](1—|y|2)

b+ (n)

k—n—1 у |—1

^ г

уу dy,

где

B+ (n) = {у e R+ : ¿у2 < 1}

проекция

i =1

Sj+ (n +1) на экваториальную плоскость x„+1 = 0. Имеем

n

п

Г

uk (x, t) =

Уг + 1

Г

k — n— | у | +1 2

2n Г

(15)

к-п-|у|—1

х | [ УГ»/(х)](1-|у|2) 2 у у ду. В+ (п)

Хотя (15) было получено как решение задачи (12)-(13) при к > п+ | у | непосредственная подстановка (15) в (12)-(13) при п+ | у | -1 < к < п+ | у | дает, что (15) является решением (12)-(13) и при п+ | У |-1< к < п+ | у |.

В случае, когда к < п+ | у |-1, к Ф -1,-3,-5,..., используем рекуррентные формулы (6) и (7). Выберем положительное целое число т такое, что к + 2т > п+ | у | -1. Найдем решение задачи Коши

Л k +2т _ k + 2m . k + 2m k+2m Ayu = Щ +--— u ,

uk+2m (x,0) =

f ( x)

(k + 1)(k + 3)...(k + 2m-1)

(16)

(17)

uk+2m (x,0) =0.

По формуле (15) имеем

пг

uk + 2m (x, t ) = -

уг +1 If k + 2m — n— | у | +1

2n Г

k + 2m 2

k + 2m—n— | у |—1

< J [ yTtyf (x)](1—|y|2^ 2 уу dy.

B+ (n)

Используя (6), получим гк+2т- 1ик+2т = и2-к-2т. Применяя к последней формуле т раз формулу (7),

г I 3 I /Л+2т-1 ,к+2т\ _ 2-к -,-г

будем иметь I — I (/ и ) — и . Применяя

^ /3/ ^

к полученному выражению (6), запишем

„Л— Д— k I S I /-Д + 2m—1, k +2m\ u = t |-| (t u ),

Jdt.

(18)

что и дает решение (12)-(13) при k < n+ | у | —1, k Ф —1,—3,—5,...,. Вспомнив, что для того чтобы рассмотренное uk+2m было решением (16)—(17), достаточно, чтобы f имело непрерывную вторую

производную. Для получения решения uk в рассмотренном случае достаточно, чтобы f имела не

менее 1 (n — k + 3) непрерывных производных. В этом

случае решение рассматриваемой задачи имеет тоже

1(n — k + 3) непрерывных производных.

Получим, наконец, решение задачи Коши (12)—(13) для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при k = — 1,—3,—5,.... В этом случае решение задачи Коши

uk существует, когда f имеет -i(n — k + 3)

непрерывных производных. Однако частные

51—kuk

производные ——¡— этого решения стремятся к St1 k

бесконечности при t = 0 со скоростью logt, хотя f (x) - В-полигармоническая порядка 1 k

2

В-полигармоническая функция порядка р функция / (х) — / (х ,...ХИ ) действительных переменных, определенная в области пространства Р + , имеющая непрерывные частные производные до

2т -го порядка включительно и удовлетворяющая всюду в рассматриваемой области В-полигар-

моническому уравнению Д^и — 0, где Ду - оператор

(5). Оператор Д™ был рассмотрен в [1] и в [14] (см.

также ссылки в этих книгах).

Исключительно важная роль В-полигармонических начальных условий может быть показана следующим образом. Пусть сначала к — 1 . Предположим, что ии *(х,0) существует. Пусть / ^ 0 в уравнении

-1 -1 и-

Д.,и — и---—, т. е.

у /

Дуu 1( x,0) = lim Дуu Чx, t ) =

t^0

= limutt (x, t) — lim

t^0 t^0

ut 1( x, t) — ut 1( x,0)

2

x

k

2

x

t

2148

То, что ДуМ 1(х,0) — 0 , показывает, что /(х) должна быть такой, что Ду / — 0. Таким образом, и~ *( х, — / (х). При к — -3 имеем

utt (х, 0) = lim—^—. Тогда из общего уравнения t^0 t

Эйлера-Пуассона-Дарбу при к = —3 получим

AyU ( х,0) = utt '( х,0) + lim

t ^0

— 3

U— ( х, t)

lim

t ^0

—3

3

U— ( х, t)

lim

t ^0

2U— (X, t)

—1 —3 —1

Из (7) следует, что t ut = u и

AyU~ 3(х,0) = lim[— 2u—1(х, t )J.

t ^0

(19)

Если производная

—3

о u

dt4

существует при t = 0 и

все нечетные производные u обращаются в нуль при

о 2u-1

t = 0 , то

Ot2

тоже существует при t = 0.

Поскольку Дуи 1(х,0) — 0 , то из (19) следует, что

ДуДуи-3 (х, 0) — Дуи-3 (х, 0) — 0 . Это наблюдение

обобщается на все исключенные случаи. Тогда решение задачи Коши дается формулой

к+1

2

ч х, t) = f ( х) +£

К/

2

^ (к + 1)...(к + 2h —1)2• 4■ ....2

к = —3,—5,—7,...

В заключение следует отметить, что анализ многочисленных методов в теории дифференциальных уравнений с операторами Бесселя показывает, что почти все они в явной или неявной формах являются специальными вариантами применения метода операторов преобразования, который проявляет себя в форме использования интегральных уравнений и представлений решений, функций Грина, метода вариации постоянных, формул спуска по параметрам, сплетающих соотношений между решениями возмущенных и невозмущенных уравнений и т. д. При этом важную роль играют специальные классы операторов преобразований:

Сонина и Пуассона, а также их обобщения - Бушмана и Эрдейи. По поводу приложений теории операторов преобразования к дифференциальным уравнениям с операторами Бесселя [11; 15-16; 18-20].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997. 208 с.

2. Euler L. Institutiones calculi integralis. V. III. Petropoli, 1770. Pt. II. Ch. III, IV, V (Opera Omnia. Ser. 1. T. 13. Leipzig; Berlin, 1914. P. 212-230).

3. Poisson S.D. Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux diff r' ences partielles // J. de L'École Polytechechnique. 1823. Ser. 1. P. 215-248.

4. Риман Б. О распространении плоских волн конечной амплитуды. Сочинения. Москва; Ленинград: ОГИЗ, 1948. 543 с.

5. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. V. II. 2 ed. Paris, 1915. 579 p.

6. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1961. 588 с.

7. Цалдастани О. Одномерное изоэнтропическое течение жидкости // Проблемы механики: сб. ст. / под ред. Р. Мизеса, Т. Кармана. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. С. 519-552.

8. Weinstein A. Some applications of generalized axially symmetric potential theory to continuum mechanics // Приложения теории функций в механике сплошных сред: тр. Междунар. симп. М.: Наука, 1965. Т. 2. Механика жидкости и газа, математические методы. С. 440-453.

9. Олевский М.Н. Решение задачи Дирихле, относящейся к

уравнению p Ou для полусферической области // Au + —--= р

х х

Доклады АН СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 767-770.

10. Fox D.N. The solution and Huygens' principle for a singular Cauchy problem // J. Math. Mech. 1959. V. 8. P. 197-219.

11. Carroll R. W., Showalter R.E. Singular and Degenerate Cauchy problems. N. Y.: Academic Press, 1976. 333 p.

12. Lyakhov L.N., Polovinkin I.P., Shishkina E.L. Formulas for the Solution of the Cauchy Problem for a Singular Wave Equation with Bessel Time Operator // Doklady Mathematics. 2014. V. 90. № 3. P. 737-742.

13. Weinstein A. On the wave equation and the equation of Euler-Poisson // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. V. 5. Wave motion and vibration theory. New York; Toronto; London: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1954. P. 137-147.

14. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом. Воронеж: ВГТА, 1997. 145 с.

15. Sitnik S.M. Transmutations and Applications: a survey // arXiv:1012.3741. 2010. 141 p.

16. Ситник С.М. Операторы преобразования и их приложения // Исследования по современному анализу и математическому моделированию: сб. тр. конф. / под ред. Ю.Ф. Коробейника, А.Г. Кусраева. Владикавказ: Владикавказ. науч. центр РАН и РСО-А, 2008. C. 226-293.

17. Lyakhov L.N., Polovinkin I.P., Shishkina E.L. On a Kipriyanov problem for a singular ultrahyperbolic equation // Differ. Equ. 2014. V. 50. № 4. P. 513-525.

18. Kravchenko V.V. Applied pseudoanalytic function theory (Frontiers in Mathematics). Basel: Birkhauser, 2009. 182 p.

19. Катрахов В.В., Ситник С.М. Краевая задача для стационарного уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом // Доклады АН СССР. 1984. Т. 278. № 4. С. 797-799.

20. Катрахов В.В., Ситник С.М. Композиционный метод построения В-эллиптических, В-гиперболических и В-параболических операторов преобразования // Доклады Академии наук. 1994. Т. 337. № 3. С. 307-311.

Поступила в редакцию 24 сентября 2016 г.

3

t

t

t

t

u

Барабаш Ольга Павловна, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, магистрант по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика», кафедра математического и прикладного анализа, e-mail: [email protected]

Шишкина Элина Леонидовна, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, доцент кафедры математического и прикладного анализа, e-mail: [email protected]

2149