CC BY
1
Научная статья
УДК 517.9
ББК 22.161.6
У 95
DOI: 10.53598/2410-3225-2023-2-321-19-26
Об автоколебаниях одной кинетической модели
(Рецензирована)
Адам Дамирович Ушхо
Адыгейский государственный университет, Майкоп, Россия, uschho76@mail.ru
Аннотация. Методами качественной теории дифференциальных уравнений рассмотрено поведение кинетической модели, в частности, фазовый портрет на диске Пуанкаре. Приведен пример системы с устойчивым циклом.
Ключевые слова: кинетическое уравнение, модель Селькова, модель Чумакова-Слинько, сфера (диск) Пуанкаре, кубическая автономная динамическая система на плоскости, состояние равновесия, фокус, узел, седло
Original Research Paper
On self-oscillations of one kinetic model
Adam D. Ushkho
Adyghe State University, Maikop, Russia, uschho76@mail.ru
Abstract. With the use of methods of qualitative theory of differential equations, the article examines the kinetic model behavior, in particular, the phase portrait on the Poincare disk. An example of a system with a stable cycle is given.
Keywords: kinetic equation, Selkov model, Slinko-Chumakov's model, Poincare sphere (disk), cubic autonomous dynamical system on a plane, equilibrium, focus, node, saddle
Введение
В 1968 году была рассмотрена математическая модель, основанная на бимолекулярной реакции [1]. Соответствующая система нелинейных дифференциальных уравнений относительно концентраций получила название кинетические уравнения [2]. При этом нелинейность представлена многочленами третьей степени в правых частях.
В это же время советским (российским) ученым Е.Е. Сельковым была предложена нелинейная модель, описывающая фосфофруктокиназную фазу гликолитической реакции [3], получившая название по фамилии автора, модель Селькова. Аналогичные модели, расширяющие спектр действия модели и поэтому названные «модели Слинько, Чумакова-Слинько», получили свое развитие в работах [4-6]. Например, в работе [7] дано качественное исследование системы Чумакова-Слинько, адекватно описывающей химические процессы в реакции окисления молекулярного водорода на поверхностях металлических катализаторов . Модель Селькова получила также свое расширение на стохастический случай [8].
Несмотря на достаточную временную историю, в данной нелинейной модели ос-
* Отметим одну из недавних работ в Journal of Differential Equations. 2019. Vol. 266, Iss. 11. P. 7638-7657, где представлено доказательство гипотезы Артеса-Льибре-Вальса о единственности предельных циклов для системы Хиггинса-Селкова и системы Селкова. При этом используется теорема о несуществовании предельных циклов системы Лиенара.
тались некоторые вопросы, требующие своего разрешения, особенно в математическом плане. В частности, не рассмотрено поведение решений системы в так называемом круге Пуанкаре. Данная работа и посвящена этому вопросу.
Основные результаты
**
Рассмотрим систему
dx dt dy dt
= a - bx + fy + cx2 y, = d + (b + к)x - fy - cx2y, ck Ф 0.
(1)
Единственным состоянием равновесия системы (1) в ограниченной части фазо-
(
вой плоскости является точка А
a + d - ak2 - bk (a + d) к ' fk2 + c(a + d)2
. Пусть a + d = -к, тогда
имеем точку А
b - a
' r f+c.
. После переноса начала координат в точку А (сохраняя обо-
значения фазовых переменных х и у ) получим систему:
dx Ьс - Ь/ - 2ас . Ьс - ас 2 Л 2
— =---х + (/ + с)у +-х2 + 2сху + сх2у,
dt / + с / + с
dy 2ас - Ьс + 1Ь + {к + ск . ас - Ьс 2 „ 2
— =-----х - (/ + с)у +-х2 - 2сху - сх2у.
dt / + с / + с
Определитель матрицы линейного приближения системы (2) равен
Д(0,0) = -к (/ + с).
Дивергенция векторного поля системы (2) в точке 0(0,0) равна
ст(0,0) =
- f2 - (2c + b) f + bc - 2ac - c2
f+c
(2)
(3)
(4)
Рассмотрим случай, когда величины (3) и (4) положительны. Для определенности положим выполненными неравенства / + с > 0, к < 0. Неравенство ст(0,0) > 0 при выполнении условия / + с > 0 равносильно неравенству
f2 + (2c + b) f + c2 + 2ac - bc < 0.
(5)
Пусть / < 0, тогда в силу неравенства / + с > 0 выполняется условие с > 0. Потребуем, чтобы точка А была расположена в первом квадранте. Тогда по необходимости будет выполнено неравенство Ь - а > 0. Таким образом, неравенство (5) выполняется при условии
/1 < / < Л, (6)
где f1,2 =
- 2c - b + Jb2 + 8c (b - a)
2
Условие / + с > 0 достаточно для выполнения неравенства
f >■
- 2c - b -Jb2 + 8c(b - a)
Действительно,
неравенство
(7)
равносильно
(7)
неравенству
Заметим, что система с меньшим числом параметров рассмотрена в работе Ушхо А.Д., ДегтяревДЮ. Об автоколебаниях в кинетической модели гликолиза Селькова // Труды ФОРА. 2022. № 27. С. 29-34.
2
f + c >•
-b b2 + 8c (b - a)
2
правая часть которого является отрицательным числом.
Тем самым доказана
Теорема 1. Если / < 0, с + / > 0, Ь - а > 0, к = -(а + ё) < 0, то единственное
состояние равновесия А
С
1.
b-a 1+~c,
Л
системы (1), расположенное в ограниченной части
фазовой плоскости, является простым неустойчивым топологическим узлом.
Замечание 1. По терминологии [9] простым топологическим узлом называется простое состояние равновесия типа «узел» или «фокус».
Далее исследуем поведение траекторий системы (1) в бесконечно удаленных частях фазовой плоскости.
1 и
Преобразование Пуанкаре [9, 10] х = —, у = — переводит систему (1) в систему:
г г
— = -cu - си2 + (b + k)z2 + (b - f )uz2 + dz3 - fu2 z2 - auz3 dt
dz 3 r 3 4
— = -cuz + bz - fuz - az . dt
(8)
Состояниями равновесия системы (8) при г = 0 являются точки: Щ (и = г = 0) - сложное состояние равновесия с отличной от нуля дивергенцией, Щ2(и = -1, г = 0) - простое состояние равновесия. Для определения типа состояния равновесия Щ1(и = г = 0) вначале перепишем систему (8), вводя новый масштаб времени по формуле ёт = -cdt:
ёи 2 (Ь + к) 2 (Ь - /") 2 ё 3 / 2 2 а 3
— = и + и2 -- г2 -— иг2--г3 +—и2 г2 +—иг3,
ёт с с с с с
ёг Ьг3 f 3 а 4
— = иг---иг + — г .
ёт с с с
С помощью преобразования и = г, г = и приведем систему (9) к виду:
ёи _ Ь.
ёт с
(9)
w™ - „ —3 f —3— a —4 — —
— = uz —u л—uz +—u = P2(u,z),
■ = z + z --
c c
' —2 1 -u2 +-
dz _ —2 (b + k) —2 (f - b)_2_ d_3 f-2-2 a_3_ _ __
2 v '-2 ' J u2z--u3 +—u2z2 +—u z = z + Q2(u,z).
(10)
ёт с с с с с
Решение уравнения г + Q2(и, г) = 0 можно представить в виде ряда
_ (b + k)_
(p(u ) =
u +..., а P2 также в виде
k
P2(u ,((u )) = — u +...
(11)
Из (11) согласно теореме 65 [10] следует, что точка Щ1(и = г = 0) - топологическое седло, если кс < 0, и топологический узел, если кс > 0.
Замечание 2. Топологический узел Щ будем называть сложным топологическим узлом в отличие от простого топологического узла (см. замечание 1).
Чтобы установить тип состояния равновесия Щ2 (и = -1, г = 0), совершим в сис-
Ги = и -1,
теме (8) параллельный перенос \ ~ и результат запишем в переменных и и г :
I г = г,
c
c
du dt dz dt
= cu + F2 (u, z), = cz + G2(u, z),
(12)
где F2 (и, г), G2 (и, г) - многочлены второй степени, не содержащие свободных и линейных членов.
Из (12) следует, что ^2(и =-1, г = 0) - простой устойчивый (неустойчивый) узел, если с < 0 (с > 0).
Теорема 2. Для системы вида (8), если с > 0, к > 0 (с < 0, к < 0), то точка Ж1(и = г = 0) - сложный топологический узел, а Ж2(и = -1, г = 0) - простой неустойчивый (устойчивый) узел, если с < 0, к > 0 (с > 0, к < 0), то точка Щ(и = г = 0) -топологическое седло, а Ж2(и = -1, г = 0) - простой устойчивый (неустойчивый) узел.
V 1
Второе преобразование Пуанкаре [9, 10] х = —, у = — приводит систему (1) к
г г
системе:
= cv2 + fz2 + cv3 + (f - b)vz2 + az3 - (b + k)v2z2 - dvz3 = P(v, z),
dv dt
dz ~ — = cv2z + fz3 - (b + k)vz3 - dz4 = Q(v, z). dt
(13)
Состояние равновесия = г = 0) системы (13) сложное, причем правые части этой системы не содержат линейных членов. Направления, в которых траектории системы (13) стремятся к точке W3(v = г = 0), удовлетворяют уравнению [11]:
г(су2 + /г2) = 0. (14)
Очевидно, уравнение (14) не имеет вещественных корней, отличных от г = 0, если с/ > 0. Это означает, что любая траектория системы, входящая в точку Ж3, касается в этой точке прямой г = 0. Если с/ < 0, то критическими направлениями сис-
темы (13) в точке Ж3 являются направления г = 0, г = ±
c
--v.
f
Следуя работе [11], изучим поведение траекторий системы (13) в окрестности точки Ж3 при выполнении условий:
а > 0, Ь - а > 0,
/ < 0, с + / > 0,
d > 0, к = -(а + d),
Ь + к > 0,
(15)
a < -f
b V c ,
b + k V c
Покажем, что в направлении г = 0 в точку Ж3 входят только две траектории. Составим функцию
-си - /ии3 + Ьu3v - аи^
y/(u, v) = ^vU) - u = P (v, uv)
,3,,2 •
c + fu2 + cv + ( f - b)u 2v + au v - (b + k)u2v2 - du v
Из (16) следует неравенство
щ'и (0,0) = -1 < 0. (17)
В силу работы [11] с учетом неравенства (17) делаем вывод, что в точку Щ3
входит в точности одна положительная полутраектория и выходит из нее в точности одна отрицательная полутраектория. Указанные полутраектории совпадают с прямой г = 0 для V е (-е, + е), е - сколь угодно малое положительное число.
Из условий (15) с учетом теорем 1 и 2 следует, что точки: A
f, b - a л
f + с
простой
неустойчивый топологический узел, Щ - топологическое седло, Щ - простой неустойчивый узел. Следовательно, индекс Пуанкаре состояния равновесия Щ3 равен нулю [12].
е - к
Воспользуемся формулой Бендиксона [10] I = 1 +—^—, где е(И) - число эллиптических (гиперболических) секторов, примыкающих к состоянию равновесия. При I = 0 имеем равенство
к = е + 2. (18)
Во избежание громоздких аналитических вычислений, связанных с методом Фроммера [11], воспользуемся геометрическим способом доказательства отсутствия эллиптических секторов в окрестности точки Щ3.
Изобразим расположение главных изоклин системы (1) в круге Пуанкаре (рис. 1).
Рис. 1. Расположение главных изоклин системы (1) в круге Пуанкаре
Fig. 1. Main isoclines of the system (1) in the Poincare disk model
f Г
е а = 1
1 V
а 1 f
= J--
V с
f с
Введем следующие обозначения односвязных областей, на которые разбит круг Пуанкаре главными изоклинами.
G1 - область, ограниченная дугой Щ Щ окружности круга Пуанкаре и кривой /100;
G2 - область, ограниченная кривыми /1°0 и /10;
G3 - область, ограниченная дугой Щ Щ3 окружности круга Пуанкаре и кривы-
00 ми /1 , /2 ;
G4 - область, ограниченная кривыми /2° и ;
G5 - область, ограниченная дугой Щ Щ окружности круга Пуанкаре, кривой /2°°, дугами ЛЩ3 и ЛЩ1 кривых /3ад и /30 соответственно;
G6 - область, ограниченная дугой ЛЖ3 кривой /3ад и дугой ЛЖ3 кривой /30; G7 - область, ограниченная дугой ЛЩ1 кривой /3ад и дугой ЛЩ1 кривой /30; G8 - область, ограниченная дугой ЩЩ3, дугой ЛЖ3 кривой /30 и дугой ЛЩ1
»-» /ад
кривой /3 .
Символом /° (/ад), 1 = 1,3 обозначена ветвь изоклины нуля (бесконечности) системы (1).
тг йх йу . Для дальнейшего анализа укажем знаки производных — и — в областях _ Ж Ж
G1 (1 = 1,8).
^ йх „ йу „ йх ^ йу йх ^ йу йх ^ йу
G1 : — < 0, — > 0; G2 : — > 0, — > 0; G3 : — > 0, — < 0; G4 : — > 0, — > 0;
Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж Ж
йх йу йх йу йх йу йх йу
G5 : — < 0, —— > 0; G6 : — > 0, — > 0; G7 : — < 0, — < 0; G8: — > 0, — < 0.
ж ж ж ж ж ж ж ж
Из рисунка 1 видно, что гиперболический сектор может примыкать к состоянию равновесия Щ3 в двух случаях: а) располагаясь в первом квадранте и пересекая дугу
ЛЩ3 изоклины бесконечности /3ад и дугу ЛЖ3 изоклины нуля /30; б) располагаясь в четвертом квадранте справа от изоклины бесконечности /ад.
Впрочем, случай б) объясняется тем, что траектория, исходящая из точки Щ2, не может пересечь изоклину бесконечности /2ад .
Так как число гиперболических секторов, примыкающих к состоянию равновесия Щ3, равно двум, то согласно (18) эллиптических секторов нет в окрестности Щ3. Таким образом, справедлива
Теорема 3. Если коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям (15), то эта система имеет на экваторе сферы Пуанкаре три состояния равновесия: Щ1(и = г = 0) - топологическое седло, Щ2(и = -1,г = 0) - простой неустойчивый узел, щ3(у = г = 0) - сложное состояние равновесия, к которому примыкают два гиперболических сектора при отсутствии эллиптических секторов, а в ограниченной
' Ь - а ^
Т+~с,
стой неустойчивый топологический узел, окруженный хотя бы одним устойчивым предельным циклом.
Фазовый портрет системы изображен на рисунке 2.
Пример 1. Система дифференциальных уравнений
йх 1 2
— = 1 - 3х--у + 2х у,
йу 1 5 1 2
— = — + — х + — у - 2 х2 у Ж 3 3 2
удовлетворяет условиям теоремы 3 и имеет неустойчивый топологический узел
Г 4 ^
Л1 1,— I, окруженный хотя бы одним устойчивым предельным циклом.
части фазовой плоскости - единственное состояние равновесия Л
1,
v
про-
1. Lefever R. Stabilité des structures dissipatives // Bulletin de la Classe des Sciences. 1968. Vol. 54. P. 712-719. DOI: https://doi.org/10.3406/barb.1968.62173
2. Strogatz S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. Second Edition. Boca Raton London; New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2015. 513 p.
3. Selkov E.E. Self-oscillations in glycolysis. 1. A simple kinetic model // Eur. J. Biochem. 1968. Vol. 4. P. 79-86.
4. Кинетическая модель автоколебательной гетерогенной реакции / Г.А. Чумаков, М.М. Слинько, В.Д. Беляев, М.Г. Слинько // Доклады Академии наук СССР. 1977. Т. 234, № 2. С. 399-402; Чумаков Г.А., Слинько М.Г., Беляев В.Д. Сложные изменения скорости гетерогенной каталитической реакции // Доклады АН СССР. 1980. Т. 253, № 3. С. 654-658.
5. Лашина Е.А., Чумаков Г. А., Чумакова Н.А. Максимальные семейства периодических решений кинетической модели гетерогенной каталитической реакции // Вестник НГУ. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 5, вып. 4. С. 42-59.
6. Чумаков Г.А. Динамика нелинейной системы дифференциальных уравнений // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 5. С. 1180-1195.
7. Потапов В.И. О бифуркациях в динамической системе Чумакова-Слинько // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 2 (1). С. 146-155.
8. Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic sensitivity and variability of glycolytic oscillations in the randomly forced Sel'kov model // The European Physical Journal. B. 2017. Vol. 90. P. 17. URL: https://doi.org/10.1140/epjb/e2016-70674-4
9. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Москва: Наука, 1976. 496 с.
10. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. Москва: Наука, 1966. 568 с.
11. Фроммер М. Интегральные кривые обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный характер // Успехи математических наук. 1941. Вып. 9. С. 212-253.
12. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1947. 392 с.
1. Lefever R. Stabilité des structures dissipatives // Bulletin de la Classe des Sciences. 1968. Vol. 54. P. 712-719. DOI: https://doi.org/10.3406/barb.1968.62173
2. Strogatz S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. Second Edition. Boca Raton London; New York: CRC Press, Taylor &
%
Примечания
References
Francis Group, 2015. 513 p.
3. Selkov E.E. Self-oscillations in glycolysis. 1. A simple kinetic model // Eur. J. Biochem. 1968. Vol. 4. P. 79-86.
4. Kinetic model of an auto-oscillating heterogeneous reaction / G.A. Chumakov, M.M. Slin-ko, V.D. Belyaev, M.G. Slinko // Reports of the Academy of Sciences of the USSR. 1977. Vol. 234, No. 2. P. 399-402; Chumakov G.A., Slinko M.G., Belyaev V.D. Complex changes in the rate of a heterogeneous catalytic reaction // Reports of the Academy of Sciences of the USSR. 1980. Vol. 253, No. 3. P. 654-658.
5. Lashina E.A., Chumakov G.A., Chumakova N.A. Maximal families of periodic solutions in a kinetic model of a heterogeneous catalytic reaction // Bulletin of NGU. Ser.: Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2005. Vol. 5, Iss. 4. P. 42-59.
6. Chumakov G.A. Dynamics of a nonlinear system of differential equations // Siberian Mathematical Journal. 2007. Vol. 48, No. 5. P. 1180-1195.
7. Potapov V.I. On bifurcations in the Chumakov-Slinko dynamic system // Bulletin of Nizhny Novgorod University named after N.I. Lobachevsky. 2011. No. 2 (1). P. 146-155.
8. Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic sensitivity and variability of glycolytic oscillations in the randomly forced Sel'kov model // The European Physical Journal. B. 2017. Vol. 90. P. 17. URL: https://doi.org/10.1140/epjb/e2016-70674-4
9. Bautin N.N., Leontovich Е.А. Methods and techniques of the qualitative study of dynamical systems on the plane. Moscow: Nauka, 1976. 496 p.
10. Qualitative theory of second-order dynamical systems / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A G. Maier. Moscow: Nauka, 1973. 568 p.
11. Frommer M. Integral curves of a first-order ordinary differential equation in a neighborhood of a singular point that has a rational character // Successes of Mathematical Sciences. 1941. Iss. 9. P. 212-253.
12. Poincare A. On curves defined by differential equations. Moscow; Leningrad: Gostekhiz-dat, 1947. 392 p.
Статья поступила в редакцию 11.04.2023; одобрена после рецензирования 10.05.2023; принята к публикации 11.05.2023.
The article was submitted 11.04.2023; approved after reviewing 10.05.2023; accepted for publication 11.05.2023.
© А.Д. Ушхо, 2023
