Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.4

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

© И.И. Матвеева, Е.Ю. Балакина, K.M. Дулина

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом; периодические коэффиииенгы; асимптотическая устойчивость; функционал Ляпунова-Красовского.

Рассматривается один класс систем дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями. Установлены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения и получены оценки, характеризующие скорость убывания решений на бесконечности.

!. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе мы рассматриваем системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом следующего вида

^-y(t) = A(t)y{t) + al

+F(t,y(t),y(t-Xl),...,y(t-xm)), (1.1)

/> T = Tm >...>т, >0,

где A(t) - матрица размера их я с непрерывными Г-периодическими элементами, т. е. A(t + Т) = A(t), Т> т, F(t,u,vx,...,vm) - вещественнозначная непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая условию Липшица по и и

И'. и, у......vj|| S q\\u\\ + ||v, I + ... + gM||vm||, (1.2)

<7> Qj >0, j = \,...,m.

Мы исследуем асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.1) и получаем оценки решений системы (1.1), характеризующие скорость убывания при t —> ».

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

В настоящее время имеется очень большое число работ но изучению устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом (см., например, 11-8] и библиографию в этих источниках). Особый интерес представляют уравнения с переменными коэффициентами.

В случае периодических коэффициентов для систем линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в работе [9] были установлены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения и получены оценки экспоненциальною убывания решений на бесконечности. Приведем

из работы [9] формулировку теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения следующей линейной системы

= + f > т > 0, (2.1)

dt

где A(t + T) = A(t), B(t + r) = ß(t), Т >i.

Теорема 1. Предположили, что существуют матрицы

H(t) = //*(г) 6 С1 [О,Г] и K{s) = K'(s)eC.][0,т] такие, что

Я(0) = Я(Г)>0, K(s)> 0, — А-(5)<0, s е [0,т],

ds

и составная матрица

С(о = -i л т + Щ,)А(0 + А'{,)Н(,) + *(0)

B'(t)II(t) -К(т) у

положительно определена на [0, Т]. Тогда нулевое решение системы (2.1) асимптотически устойчиво.

При доказательстве этого результата использовался модифицированный функционал Ляпунова-Красовского, введенный в [9],

vit>y) = (H(t)y(t)M ')>+

I 1-Х

Отметим, что различные модификации функционала Ляпунова-Красовского активно применяются для исследования устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом. С использованием функционала (2.2), опираясь на результаты из [10, 11], в работах

|12, 13] были проведены исследования асимптотической устойчивости нулевого решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим ар] у ментом следующего вида

dt

Л0 = A(t)y{t) + ВЦ) yit - х) + Fit, y{t), y(t - т)),

где А{1 + T) = A(t), B{t + T) = Bit), T> т , и вектор-функция F(!,u,v) удовлетворяет оценке ||F(i,M,v)|s

<с/|г<|'+° +9i||v||, СО > 0. В этих работ были указаны

области притяжения нулевого решения и получены оценки экспоненциального убывания решений на бесконечности. В настоящей работе мы продолжаем исследования в этом направлении. Мы исследуем асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.1) с несколькими запаздываниями и получаем оценки экспоненциального убывания решений системы (1.1)при /->оо.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В этом параграфе мы устанавливаем основные результаты работы. В теореме 2 мы указываем достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1.1), в теореме 3 - оценки, характеризующие скорость убывания решений системы (1.1) на бесконечности.

Теорема 2. Предположим, что существуют матрицы

Я(0 = Я*(0еС'[0,Г],

Kj(s) = Kj(s) е С1 [0,Ту], j = 1.....т,

такие, что

Я(0) = Я(Г) > О, Kj(s)> 0,

^-KAs)<0, *е[0,т,], j = l,...,m, as

и матрица

(3-D

(3.2)

Lit) = //(/)-H(t)A(t)- A'(t)H(f)- YКj(0) dt %

удовлетворяет неравенству

О < L(t) < Кj(ij), te[0,T], j = l,...,m.

Если для минимального собственного значения /min (/) матрицы L(t) выполнено неравенство

/„ ип(0-

||Я(/)|| > 0, ts [0,7], (3.3)

тогда нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. В силу положительной определенности матрицы L(t) имеем

-Н(() + Н(1)А({)+А №«) =

ш

т

м

на [0,Г]. Поскольку Я(0) = Н(Т) > 0, то матрица Н(1) является решением краевой задачи для дифференциального уравнения Ляпунова

^-Н(0 + Н(1)А(1)+А\1)Н(1) = Ж

т

= -Д0-1^(0)<0, о < / < г,

Я(0) = Я(7*)>0.

Следовательно, И(1) > 0 на [0, Г] (см. [10]). Продолжим матрицу Н(/) периодическим образом на всю полуось {/ > 0}, сохраняя то же обозначение для продолженной матрицы.

Пусть >'(/) - решение начальной задачи для систе-мы (1.1)

dt

y(t) = A(t)y(t) +

Х') = Ф(0, /е[0,т], у0 + 0) = ф(т),

где ср(/)еС[0,т] - заданная вещественнозначная вектор-функция. По аналогии с [9, 12], используя матрицы Hit), Kt(j),...,Km(s), рассмотрим функционал следующего вида

v(t,y) =< H(t)y(t),y(t)> +

т V

+ Z J< ^(i - J)y(i), > л.

(3.5)

В силу условий (3.1) и (3.2) этот функционал является положительно определенным. После дифференцирования имеем

4 Ли У) =< [-f Hit) + НЦ)Ait) + A\t)Hit) + dt dt

J-'

m

кjiZj)yit -T j),yit-Xj)> +

j' I

+ 2Re < H(t)F(t, yit),yit - x,).....yit - tm)),yit) > +

т • .

£ —К,(/> А.

>=1 1—1

Пусть 1тЫ(1) > 0 - минимальное собственное значение матрицы ¿(/), к -щтЬ > 0 - минимальные собственные значения матриц К) (т. J ) . Тогда, очевидно, получаем

I

* -/тш(ф(')||2 - -

м

+ 2Ке< ЯО.Я' - т,).....у(1 - хт)),ЯО > +

-я ' , у=1

Ь

В силу (1.2) имеем

— У(Л>0 < -/тш(/)||Я0||2 - X

У=1

Х^11я/)||||я'-ху)|||//(/)1+

О +2

1-Х,

Очевидно, справедливо неравенство

7=1

т

01Г+Х Цу(/-т,

ч >='

Тогда

ш

'тт(0"

V V

т

-I

А . -

./,01111

1 + +

В силу (3.3) и условий на мат рицу ¿(/) имеем ||Я(/)||, 7 = 1,...,/я

(3.6)

/1- > лу, 111111

1=1

Тогда с учетом условий теоремы функционал удовлетворяет условиям теоремы Красовского об асимптотической устойчивости [11. Следовательно, нулевое решение системы (1.1) асимптотически устойчиво.

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Обозначим через к) > 0 максимальные числа такие.

—Kj(s) + kJKj(s)< 0, ¿е[0,т,], 7=1 ,...,т. (3.7)

Тогда для решения начальной задачи (3.4) имеет место оценка

||Я')|2 5 Л„"1(0ехРи

х[<Я(т)ср(т),ф(т)> +

т т

+ Е Г > ' > (3.8)

М т-т,

где

е(/) = гтп{/тЬ,(/)-

1=1

\т\.

(3-9)

Лт;п(/) > 0 - минимальное собственное значение матрицы Я(/).

Доказательство. Пусть v(t,y) - функционал, определенный в (3.5). При доказательстве теоремы 2 была установлена оценка (3.6). Используя (3.7), приходим к неравенству

Л

у(/,у)<;-

1т н,«-

т '

Следовательно,

х<я(0Я0.Я')> +

/ -

•ч я2+±я?

|я(0||

г

+ ^ |< к, С - *)Я*)> Я*) > < о.

У=1 г-т,

В силу определения функционала (3,5) получаем неравенство

где е(0 определено в (3.9). Отсюда вытекает оценка

\

у \

V(i,y)scxp Очевидно,

(t)v(t,y)< А"!„(0ехр

!mr j

б. Kolmmorskii У.В., Myshkis A.D. Introduction to lite theory and applications of functional-differential equations. Mathematics and I Applications, 463 Dordrecht Kluwcr Academic Pubiishers. 1999.

I. Gu K., Kharitunov V.L., Chen J. Stability of time-delay systems. Control Engineering. Boston, MA: Hi UkiUS6T, 2003.

в. Michiels W„ Niculeseu S.I. Stability and stabilization of time-delay systems. An eigenvalue-based approach. Advances in Design and Control, 12 Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2007

9. Делшдеико Г.В., Матвеева И.И. Асимптотические свойства решении дифференциальных уравнений с ^шаллипаюшим аргументом // Вестник ИГУ. Серия Математика, механика, информатика. 2005. Т. S Вил. 3. С. 20-28

10. Демиденко Г.В.. Матвеена ИИ. Об устойчивости решений линейных систем с периодическими к0"*ффиине1ггнмн // Сиб. мат. ллрн. 200!. I 41. №>2 С 332-348.

II. Деладенко l'.H. Матвеева И.И. Об veioi.чипсет решений kd.i линейных периодических еиегх'м дифференциальны* уравнений И Сиб, мат. журн 2(Ю4. Т 45. №6 С. 1271-1264.

12. Демиденко Г.В., Матвеева И.И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом н периодическими коэффициентами в линейных членах // Снб. мат. журн. 2007. Т 48. № S С 1О25-КИ0.

13. A&iiveeva 1.1., Finagcnko LA., Lashina E.A. On asymptotic stability of solutions to almost linear delay differential equations with periodic coefficients in linear terms I/ J. Comput. Math. Optim. 2010. V. 6 № 1. P. 13-21

В силу (3,5) имеем »Члу) =< #(т)ф(т),ф(т) > +

и 1

Тогда последнее неравенство дает оценку (3.8). Теорема доказана,

ЛИТЕРАТУРА

1. Красавский НИ Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Фнзмагтгиз, 1959.

2. Эпьсгащ Л.Э.. Маркин СБ. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся ар^меигом М.: Наука. 1971

3. КагмаиоасхиЯ ВВ. Носов В.И. Усгойчивосзъ и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

4. Хейп Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М : Мир, 19Й4.

5. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем ери случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наукова лучка, 1989

БЛАГОДАРНОСТИ: Авторы выражают глубокую благодарность профессору Г.В, Демиденко за полезные дискуссии.

Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (государственный контракт № 16.740.11.0127), Российского фонда фундаментальных исследований (проект Ki ¡0-0100035) и Сибирского отделения Российской академии наук (междисциплинарный проект N» 107),

Поступила в редакцию 29 августа 2011 г.

Matvecva LI., I3alakina E.Yu., Dulina K.M. ON ASYMPTOTIC STABILITY OF SOI.UTIONS TO ONE CLASS OF SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH SEVERAL DELAYS

One class of systems of differential equations with several delays is studied. We establish sufficient conditions for asymptotic stability of the zero solution and obtain estimates characterizing the decay rate of solutions at infinity.

Key words: delay differential equations; periodic coefficients; asymptotic stability; Lyapunov Krasovskiy functional