Об асимптотической устойчивости одного класса дифференциально-разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

А.С. БАЛАНДИН Пермский государственный технический университет

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Исследуется дифференциально-разностное уравнение нейтрального типа. Получен эффективный достаточный признак экспоненциальной устойчивости решения.

Пусть □ - множество натуральных чисел, □ о = □ и {0}, □ - множество

действительных чисел, □ + - множество неотрицательных действительных чисел,

Д = {(7, е □ + : I > ^|, Ь¥ - пространство функций измеримых и ограниченных

в существенном на □ +, Ьр (1 < р < ж) - пространство измеримых функций

с нормой у =

оператор , определенный для И є □

1|у(з)|р ds

V 0 У

равенством [1, с. 20]

(? ил IУ( - И) , ; - И - 0,

№'у)(;) = 1 0 , ; - И < 0.

Отметим, что степень оператора 8и определяется выражением

Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение нейтрального типа

+

7=1

( М

х(;) = X Ът8т х(;) + /(;): ;є □ +: (1)

V т=0

где J є □ , М є □ 0, а7, Ът, гт, И є □ +, функция / : □ + ® □ суммируема на каждом

конечном отрезке [0,1].

Под решением уравнения (1) будем понимать абсолютно непрерывную на каждом конечном отрезке [0,1] функцию х : □ + ® □ , удовлетворяющую (1) почти всюду

на □ + .

Как известно [1, с. 84, теорема 1.1], уравнение (1) с заданными начальными условиями однозначно разрешимо и его решение представимо в виде

;

x(;) = X(;)x(0) +1C(;, з)/(з^э, (2)

0

© Баландин А.С., 2009

где X : □ + ® □ называется фундаментальным решением, а С : Д ® □ - функцией

Коши уравнения (1).

В работе устанавливаются условия, при которых уравнение (1) является экспоненциально устойчивым, то есть существуют такие Ы, а > 0, что функция Коши и фундаментальное решение уравнения (1) имеют следующие экспоненциальные оценки:

\х(г)| < Ыв~ш, \С(г, < Ыв~а((-5). (3)

Рассмотрим вспомогательное уравнение

( ж ^

х(г) = X Ьт£гт х(гX г е □ +, (4)

V т=0 )

где 0 < гт < Р0 + рт , 0 < Ьт <Р0е_Ь1т , Р0, Р1, Р0, Р1 > 0. Разрешимость уравнения (4) также понимается в классе локально абсолютно непрерывных функций.

Найдем достаточные условия экспоненциальной устойчивости уравнения (4). Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют соотношению

¥

X Ь г < — (5)

ит'т ^ 2 ' ^ '

т=0

Тогда найдутся такие Ы, а> 0, что фундаментальное решение уравнения (4) имеет экспоненциальную оценку

\х (г )| < Ыв~ш. (6)

Перед доказательством теоремы обоснуем возможность применения преобразования Лапласа к уравнению (4) и докажем вспомогательные леммы 1, 2

о свойствах полученных Лаплас-образов. Известно, что [2] фундаментальное решение

уравнения (4) имеет экспоненциальную оценку |Х(г) < Ы^01, N1, а1 > 0 . Тогда, если на

¥

любом конечном отрезке [0,1] ряд X ЬтХ(г -гт) будет равномерно сходиться к его

т=0

сумме £ (г), то сумма £ (г) является непрерывной функцией на каждом конечном отрезке [0,1 ], а значит, и на всей оси. Очевидно, что £ (г) = 0, г < 0

и |£ (г) < , г > 0, N2, а 2 > 0. Следовательно, к сумме ряда £ (г) применимо

преобразование Лапласа. Оценим изображение остатка этого ряда для Яе р > Яе Р0 > 01:

| X ЬтХ(г - гт ) е

0 т=т0

¥ ж 1 ¥

< I X ЬтЫ1е<а1-КеР'"-ГтсИ <—-Я— X ЬтЫе

0 т=т0 а1 Яе р0 т=т0

¥

Очевидно, что в области Яер > Яеро изображение остатка ряда X ЬтХ(і -гт)

т-

т=то

можно сделать сколь угодно малым при т0 ® ¥ , то есть знаки интеграла и суммы

можно переставлять местами. Применим преобразование Лапласа к уравнению (4),

¥ ¥ -1

со ( оо \

получим Рх0(Р) -1 = X ЬтХ0(Р)е~РГт , откуда Х0(р) = Р - X Ьте~РГт

т=0 V т=0

ОО

Обозначим ф(р) = Р + X Ьтв~РГт ,

т=0

йе= {р е □ : -е < Яе р < 0}, £>е = {р е □ : -е < Яе р}.

Лемма 1. Пусть коэффициенты уравнения (4) удовлетворяют соотношению (5). Тогда существует такое е > 0, что в области £>е функция ф аналитична и не имеет нулей.

Доказательство. Разделим область Бе на две подобласти: правую полуплоскость Яе р > 0 и полосу йе . Покажем аналитичность и отсутствие нулей функции ф в обеих областях.

Рассмотрим правую комплексную полуплоскости Яе р > 0. Аналитичность

оо

функции ф в этой области вытекает из сходимости ряда X Ьт . Покажем, что функция

т=0

ф не обращается в нуль. Для этого используем доказательство теоремы 3.2.1 из работы [3] и перенесем его на случай, когда функция ф является заданным функциональным рядом.

Пусть р движется по контуру Кя комплексной плоскости, содержащему отрезок

ІЯ : р = -/О), (-Я < ю < Я), и полуокружность Ск : р = Яет, (-р < ю < р).

По принципу аргумента для доказательства достаточно показать, что АЛг§ ф(р) ® 0 при движении р по Кя при Я ® ¥ . Это будет означать отсутствие

корней ф в правой полуплоскости. Очевидно, АЛг§ ф(р) ® я при движении р по Ся ,

если Я ® ¥ . Рассмотрим движение по отрезку р = -/ю, (0 < ю < Я) . Обозначим

¥ ¥

и(ю) = Яе ф(-/ю) = X Ьт оо^(югт), у(ю) = Іт ф(-/ю) = -ю+ X Ьт 8Іп(югт).

т=0 т=0

Покажем, что из условий и(ю) = 0, ю > 0 следует у(ю) < 0, ибо тогда я

АЛг§ ф( р) ® - — при движении р по отрезку р = -/ю, (0 <ю< Я), Я ® ¥ и вследствие

симметрии АЛг§ ф(р) ® -я на 1я , а поэтому АЛг§ ф(р) ® 0 на Кя .

я

Очевидно, что выполняется неравенство і + СОБ і - — БІП і > 0, і > 0 . Пусть и (ю) = 0 .

Подставляя в неравенство і = югт, умножая обе части неравенства на Ьт, просуммируем по т от 0 до ¥ , имеем

Р

X Ъшгшю + X Ъш С08(ШГда ) - - X Ъш ) > 0 .

т=0 ш=0 2 ш=0

¥ ¥

Так как X Ъшгш < у и и(ю) = 0, то получим ю- X Ът ^т(югш) > 0, вследствие

ш=0 ш=0

чего у(ю) < 0 и функция ф не имеет нулей в правой полуплоскости.

Теперь зафиксируем любое £0 е( 0, Г1) и рассмотрим область ёе0 на комплексной

Р1

плоскости. В этой области оценим ряд

Х Ъше

ш=0

-рш

£ X

ш=0

Ъ е~рш

иш^

: х р0е_р1ш е£0(р0+р1ш) = X р0е£0р0е-(Р1-£0р1)ш

ш=0 ш=0

Этот ряд сходится равномерно относительно р, следовательно, функция ф аналитична. Заметим, что ф имеет конечное число нулей в области ёе^ , так как

|ф(р)| ®¥ при |р| ®¥. Осталось выбрать ее (0,£0) так, чтобы в области ёе у функции ф нулей не было, следовательно, функция ф аналитична в области Пе и не имеет нулей. ▲

Лемма 2. Пусть в области £>е, е > 0, функция g(р) аналитична и ограничена, а функция р + g(р) не имеет нулей. Тогда имеет место оценка интеграла

-£+;¥ ер1:

-е-/¥ р + g(р)

ёр

£ Ые

-е/

(7)

Ъ + 1¥ ер/

Доказательство. Заметим, что для любого Ъ < 0 интеграл | ------------ёр сходится

Ъ-¥ Г

[4, с. 464-465] и равен нулю. Отсутствие нулей у функции р + g(р) гарантирует конечное значение интеграла (7) вдоль любого конечного отрезка интегрирования. Оценим интеграл вдоль всей прямой интегрирования

-£+*¥

е

р/

ёр

-£+/¥ ер(

£ е

-е-¥ р + g( р)

-е/ _е+'¥ ^(р^ ё (р )

I ----Ф

р

— е—/¥

Г+

£

-е+/¥

g ( р)

— е—/¥

р+g(рХ р

-е-,¥( р + g(р) ) р

\-2 \ ,/т \ -е/

?р/ф

£

| О((1тр) 2) ё(1тр)

у —¥

■■Ые

-е/

▲

Доказательство теоремы 1.

По лемме 1 существует такое е > 0, что в области Пе функция ф аналитична и не имеет нулей, причем функция g(р) = ф(р) - р аналитична и ограничена, то есть функция g(р) удовлетворяет условиям леммы 2. По лемме 2 имеет место оценка интеграла (7), который с точностью до постоянного коэффициента является формулой обращения изображения Xд(р) = (ф(р)) 1 решения уравнения (4). Получим оценку фундаментального решения X уравнения (4)

Iх (і >і=2Р

-Є+/¥ ^рі

-Є-і¥ Ф(Р)

ёр

< Ыв

- £/

▲

Как показано в работе [5], необходимым условием экспоненциальной устойчивости уравнения (1) является ограниченная обратимость оператора при производной в пространстве Ь^. Покажем, что ограниченная обратимость оператора при производной в уравнении (1)

Е - X а^ік

І=1

(8)

в пространстве Ь влечет ограниченную обратимость этого оператора в любом пространстве Ьр (1 < р <м) и определяется расположением относительно единичного круга р < 1 корней характеристического многочлена

1 - X аіг:!.

І=1

(9)

Лемма 3. Пусть 8Г : Ь р ® Ь р, 1 < р < ¥. Тогда о( 8Г) = {|1| £ 1,} • Доказательство. Множество о(8Г ) = Ор (Хг )иос (8Г), где Ор (8Г) и ос (8Г)

соответственно точечный и непрерывный спектр.

При 1ф 0 уравнение 1у^) - Sry(t) = 0 имеет только тривиальное решение:

у{1) = 0 ; при 1 = 0 уравнение Sry(t) = 0 имеет нетривиальное решение. Таким образом, О р (Sr )={0} .

Рассмотрим уравнение Ау(/) - 8гу^) = /(t) при 1 ф 0. Легко видеть, что его

(V) ^)

решение представимо в виде у(і) = — X

.[ І ]

Рассмотрим случай |1| < 1. Пусть /^) = 1г J, очевидно, что для любого р > 1

кр

¥

имеем ||/||р = Л/(і)|р ё = X |1|к < ¥, то есть / є Ьр.

0 к=0

Оценим функцию у(і)

1 Мг ] і^/г ]-І 1 х 1і

1 1 -1

2[//г ]+2

1[і/г ]+1 1-12

>

1 1 -|1|'

І1І

[^г]+1

2

II II м р ¥ 1 1 -11|2

Следовательно, у = І у(іЖ ёХ > X—п-------------^г®¥, то есть у ї Ьр,

р 1л к+1 л |л |2 Г

0 к=0 1 1 +1

и множество {Ц < 1,1є □ ]сос ($,г) .

Так как спектр - замкнутое множество [6, с. 220], тогда граница множества {Ц < 1,1е □ } - единичная окружность - тоже принадлежит спектру. При Ц > 1

и любой / е Ьр получим

(V) о)

1

<

1

р

£

1=0

<

1 ¥ £ К IIр 1

1 1=0 11 = 1

л

1

р Т-Ти

< ¥

то есть у є Ьр; значит, в силу теоремы Банаха об обратном операторе [6, с. 213] все Ц > 1 являются регулярными, а о(їг ) = {|1|< 1,1є □ } .▲

Лемма 4. [7] Оператор (8) представим в виде произведения:

Е - £11 = Е - £1к = а3 П (1 1е - ^ ).

1=1

где 11 - корни многочлена (9).

1=1

1=1

Лемма 5.[7] Оператор (8) обратим тогда и только тогда, когда обратимы все операторы (11Е - ї), где 11 - корни многочлена (9), 1 = 1,2,..., 3.

Пользуясь леммами 3, 4, 5, легко получим следующую теорему.

Теорема 2. Для любого 1 < р <¥ следующие утверждения эквивалентны: Г 3 Л

1. оператор

Е - £ а Л

1=1

1 Г1

имеет в пространстве Ьр ограниченный

обратный;

2. оператор (1Е - їг), где 1 - любой корень многочлена (9), имеет в пространстве Ьр ограниченный обратный;

3. все корни многочлена (9)расположены вне единичного круга |г| < 1.

Таким образом, требование ограниченной обратимости оператора (8) в пространстве Ь1 можно заменить любым утверждением теоремы 2, каждое из которых является необходимым условием экспоненциальной устойчивости.

Г Т л-1

Обозначим Е (г) =

1 - Ха.г-1

1=1

Теорема 3. Пусть выполнено любое из утверждений теоремы 2 и

^ ¥ Л ( ¥ ^

Е(1)к £ Ът +Е(1) £ Ътгт

V т=0 у V т=0 у

Тогда уравнение (1) является экспоненциально устойчивым.

Доказательство. Выберем Я так, чтобы 1 < Я < |1|, где 1 - минимальный по модулю корень многочлена (9), по теореме 2 |1| > 1. Следовательно, функция р аналитична в круге \г\ < Я, представима в виде ряда Тейлора

-1

Е ( г):

1 - £ а.г-1 1=1

(

£

к=0

3

£ 1

V і=1

£ Е(к)(0) к

к=0

к!

(11)

и для коэффициентов ряда выполнены неравенства Коши [4, с. 58-59]

Е(к}(0)

к!

< ыя~к.

(12)

Рассмотрим оператор при производной уравнения (1). Построим к нему обратный

Г з Л

Е - £ аі$ік 1=1 у

-1

(

= £

к=0

£ аЛ

= £ Е(к)(0)

к=0

к!

(13)

Подействуем на обе части уравнения (1) оператором (13) и перепишем уравнение (1) в виде (4):

¥ е (к) (0) ^ ¥ Л Л

х(і) = £ п

к=0 к!

-я

кк

£ ЪтЯГт х(і) + л (і)

ЧЧт=0 у

Далее, меняя порядок суммирования, имеем

і є □

¥¥

т = I I(е□ +.

т=0к=0 к! к=0 к!

Применяя теорему 1, получим достаточное условие экспоненциальной оценки (6) фундаментального решения уравнения (1).

р(к >(0)

¥¥

£ £ , . -т

т=0 к=0 к !

Ът (кк + гт ) < 0 .

2

Для того чтобы привести это неравенство к виду (10), осталось поменять порядок суммирования и использовать соотношение (11):

Е(к )(0)

£ к!

к=0 к!

Е(к )(0)

кк £ Ът + £ , . £ Ътгт < ~ .

т=0 к=0 к! т=0 2

Как показано в работе [8], между фундаментальным решением и функцией Коши уравнения (1) существует следующая связь:

X (і) =

Л

Е - £ аГЧ

У (і), У (і - ^) = С (і, ^).

V ]=1

Подействуем на фундаментальное решение X оператором (13), используя (12) и (6), оценим значение функции У при к^И < I < + И :

к

(

со

к

+

У (і) =

^ Е<‘>(0) „4Л

£ ГІ як

к=0 к!

Я - е

ак

я

X (і)

„ак Л

< £ Е(к)(0)|X(і-кк)< £ мНе~а(і-кк) = к=0 к! к=0 як

,а^к

Як°

= #1е

-а/

+ Ы2 Я

-і

Переобозначая а = 1п Я , если 1п Я < а, получим экспоненциальную оценку функции Коши уравнения (1). Следовательно, в условиях ограниченной обратимости оператора (8) получается, что для уравнения (1) из экспоненциальной оценки фундаментального решения следует экспоненциальная оценка функции Коши. ▲

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

е

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991. - 280 с.

2. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. - Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. - 230 с.

3. Вагина М.Ю., Локальная устойчивость некоторых видов логистического уравнения динамики популяции с запаздываниями: дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Челябинск, 2004. - 97 с.

4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного: учеб. пособие для ун-тов. - 5-е изд. - М.: Наука, 1987. - С. 688.

5. Симонов П.М., Чистяков А.В. Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем // Изв. вузов. Математика. 1997. - № 6. -С. 37-49.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1972. - 496 с.

7. Баландин А.С, Малыгина В.В. О разрешимости одного класса разностных уравнений // Вестник ПГТУ. - 2006. - № 4. - С. 67-72.

8. Баландин А.С., Малыгина В. В., Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Изв. вузов. Математика. 2007. - № 7 - С. 17-27.

Получено 01.05.2009.