ОБ АППРОКСИМАЦИИ НОРМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ТЕПЛОВОГО ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ ДВУМЕРНОЙ ОБЛАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2023

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 83

Научная статья

УДК 517.956.4, 519.644.5 MSC: 31B10, 65N38, 80М15

doi: 10.17223/19988621/83/4

Об аппроксимации нормальной производной теплового потенциала простого слоя вблизи границы двумерной

области

Дмитрий Юрьевич Иванов

Российский университет транспорта, Москва, Россия, [email protected]

Аннотация. На основе кусочно-квадратичной интерполяции получены полуаналитические аппроксимации нормальной производной теплового потенциала простого слоя, сходящиеся с кубической скоростью равномерно вблизи границы двумерной пространственной области. При некоторых упрощениях доказано, что использование ряда стандартных квадратурных формул приводит к нарушению равномерной сходимости аппроксимаций нормальной производной вблизи границы области. Теоретические выводы подтверждены результатами вычисления нормальной производной решения второй краевой задачи теплопроводности в круговой области. Ключевые слова: квадратурная формула, нормальная производная, тепловой потенциал простого слоя, граничный элемент, коллокация, равномерная сходимость

Для цитирования: Иванов Д.Ю. Об аппроксимации нормальной производной теплового потенциала простого слоя вблизи границы двумерной области // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 83. С. 31-51. doi: 10.17223/19988621/83/4

Original article

On approximation of the normal derivative of the single layer heat potential near the boundary of a two-dimensional domain

Dmitry Yu. Ivanov

Moscow State University of Railway Engeneering (MIIT), Moscow, Russian Federation,

ivanovdyu@yandex. ru

Abstract. Within the framework of the collocation boundary element method, approximations of the normal derivative (ND) of the single layer heat potential (SLHP) are obtained. The approximations uniformly converge with a cubic rate near the boundary of a two-dimensional spatial domain. For this purpose, exact integration with respect to the

variable p = (r2 - d2)' is used, where d and r are the distances from the observed point

to the boundary of the spatial domain and to the boundary point of integration, respectively. Namely, the integrals on the boundary elements (BEs) arising after piecewise

© Д.Ю. Иванов, 2023

quadratic interpolation of the density function are calculated using exact integration over the variable p if the values d and p do not exceed approximately the value D-a third of the radius of the Lyapunov circle. In other cases, the integrals on the BEs are calculated using simple Gaussian quadrature formulas (SGQF). To make exact integration over p possible, the smooth parts of the integrands are approximated by quadratic interpolation in the variable p.

In particular, in this way the direct value of the ND of the SLHP is calculated when d = 0 and, on the basis of this, the boundary integral equation is approximated, which makes it possible to obtain a solution of the initial-Neumann problem for the heat equation (INPHE) at a zero initial condition. It is proved that the corresponding approximations of the ND of the INPHE's solution converge with a cubic rate uniformly in the near-boundary domain, where d e (0,D]. With some simplifications, it's proved that the calculation of integrals on the BEs exclusively with the help of the SGQF entails a violation of the uniform convergence of the ND SLHP approximations near the boundary of the spatial domain. The results of calculating the ND of the INPHE solution in the unit circle are presented, confirming the theoretical conclusions.

Keywords: quadrature formula, normal derivative, single layer heat potential, boundary element, collocation, uniform convergence

For citation: Ivanov, D.Yu. (2023) On approximation of the normal derivative of the single layer heat potential near the boundary of a two-dimensional domain. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 83. pp. 31-51. doi: 10.17223/19988621/83/4

Введение

Метод граничных элементов является одним из основных методов приближенного решения задач математической физики наряду с методом конечных элементов и методом конечных разностей. В отличие от двух последних метод граничных элементов является более аналитическим и позволяет уменьшить размерность задачи на единицу, а именно: искомая функция вычисляется в виде потенциала непосредственно в любой внутренней точке области с помощью значений так называемой функции плотности, заданной на границе области и вычисляемой, в свою очередь, с помощью граничного интегрального уравнения, размерность которого на единицу меньше размерности краевой задачи. В рамках колло-кационного метода граничных элементов (КМГЭ) для вычисления потенциала осуществляется разбиение границы области на дуги - так называемые граничные элементы (ГЭ), и на каждом из таких ГЭ осуществляется полиномиальная интерполяция функции плотности. Для вычисления получающихся после этого интегралов на ГЭ, как правило, используются простые квадратурные формулы Гаусса (ПКФГ) [1. С. 21, 173], если наблюдаемая точка, в которой вычисляется интеграл, не принадлежит ГЭ. Известно [2-4], что благодаря сингулярности ядра интегрального оператора точность аппроксимаций потенциала резко снижается вблизи границы области в случаях, когда для вычисления интегралов на ГЭ примененя-ются более или менее стандартные квадратурные формулы, например ПКФГ или квадратурные формулы Ньютона-Котеса (КФНК). В работах [2-8] для вычисления интегралов на ГЭ предлагаются специальные квадратурные формулы, позво-

ляющие увеличить точность вычисления потенциалов вблизи границы области и обеспечивающие равномерную в области сходимость аппроксимаций потенциала.

В работах [2-8] рассматривались потенциалы только для стационарных уравнений - Лапласа и Гельмгольца. В работах автора [9, 10] равномерная в области сходимость аппроксимаций потенциалов простого и двойного слоев для двумерного уравнения теплопроводности обеспечивается применением точного интегрирования по переменной р = (г2 - <2) ^ , где d и г - расстояния от наблюдаемой

точки до границы пространственной области и до граничной точки интегрирования соответственно. С помощью такого интегрирования вычисляются интегралы на ГЭ, если величины d и р не превосходят приблизительно величины D - трети радиуса круга Ляпунова, а остальные интегралы вычисляются с помощью ПКФГ. Для того чтобы точное интегрирование по р стало возможным, гладкие части подынтегральных функций аппроксимируются с помощью полиномиальной интерполяции по переменной р.

В настоящей работе аналогичный подход используется для вычисления нормальной производной (НП) теплового потенциала простого слоя (ТППС) вблизи границы двумерной пространственной области (< е (0, Б]), а также прямого значения НП ТППС при < = 0. В разделе 2 на основе кусочно-квадратичной интерполяции получены аппроксимации НП ТППС, сходящиеся к точным значениям с кубической скоростью равномерно в приграничной области < е[0, Б]. С помощью таких аппроксимаций в разделе 3 получены аппроксимации НП решений начально-краевых задач теплопроводности (НКЗТ) с граничными условиями второго рода и нулевым начальным условием, сходящиеся равномерно при < е (0, Б]

с кубической скоростью. В разделе 4 показано, что применение для вычисления интегралов на ГЭ исключительно ПКФГ или КФНК нарушает равномерную сходимость аппроксимаций НП ТППС вблизи границы пространственной области. В разделе 5 теоретические выводы подтверждены результами вычисления НП решения НКЗТ в круговой области.

В заключение отметим, что специальные квадратурные формулы для вычисления прямых значений производных логарифмических потенциалов простого и двойного слоев, а также прямых значений производных потенциалов для трехмерных стационарных уравнений были получены в работах [11-13].

1. Предварительные определения и замечания

Пусть О+ - двумерная открытая ограниченная односвязная область с границей сЮ. В декартовых координатах х = (х1,х2) зададим параметрические уравнения кривой дО.: х1=х1 (л ), х2 = х2 (.V). Параметр 5 по модулю равен длине дуги, откладываемой от некоторой фиксированной точки и заканчивающейся в точке х(5) = (х1(5),х2(5)) , с положительным направлением против часовой стрелки. Функции ^(5), х2(.\) (.V е И ). периодические с периодом 25" (5" - половина длины дО), осуществляют взаимно однозначное отображение множества /х = [-£", £) на множество дО. Условимся далее писать дО е С", если существуют непрерыв-

ные производные х'/'О) (/ = 1,2, / = 0,«, 5 е Я). Будем считать, что Ш е С2.

если не оговорено особо.

Обозначим через В замкнутый оператор в комплексном гильбертовом пространстве Ь2 = Ь2( 1Т) (1Т = [0, Т ]): (В/) (г) = /'(г), заданный на множестве Б( В) классов функций / е Ц, эквивалентных абсолютно непрерывным на промежутке /Г функциям /(г), таким что /(0) = 0 . Оператор В является генератором С -полугруппы операторов правого сдвига и(т): (и(т) /) (г) = /(г - т) при т < г, (и(т) /) (г) = 0 при т> г (/ е Ц), В/ = 11т х-1 (/ - и(т) /) (/ е ДВ) ). Заметим, что ||и(т)|| = 1 при т < Т , и(т) = О при т > Т (О - нулевой оператор).

Обозначим через И" (п е Z+) гильбертовы пространства функций / е 0{В")

+

"Ц/2

с нормами " "

I и ^m/|[

н" ~ ^^пи" / \\, (И = Ц). Введем в рассмотрение банаховы пространства Скп (50) (к, п е Ъ+) векторных функций /(х) (х е50) со значениями в пространстве И", имеющих непрерывные на множестве производные = с!1 /(¡я' (1=0,к) (непрерывность и дифференцируемость векторных функций здесь и далее предполагается в норме пространства их значений, в данном случае - И"), с нормами ||/|| . = тахзир /^.у) . Введем

11 "С"(5и) I=0,п 11 "И"

обозначения С(50) = С0°(50), Сп (50) = Ск (50), Сп (50) = С°(50). Зададим банаховы пространства Скпт (50) = Скп (50) п Сл+Ш (50) с нормами ||/|с„ (Х}} =

41 /|Сп"(50) 41 /| (50) (к," т е г+).

Пусть р е К. Зададим в области 0 ' = К2 \ 50 функцию и(х):

и(х) = ^(х) V = £ А(х,т) е"рти(т) V dт (х е0 ', V е С(50)).

Здесь А (х, т)/ = [ а т)/(У)d^' (/ е С(50)),

а0(г,х) = (471т:) 'ехр[-г2/(4т)], г = = х(5')-х . При р = 0 функция

и(х) - двумерный Т1II 1С. Производная z(х) = 5^и(х) по направлению некоторого единичного вектора т имеет вид:

z(х) = х) V = £ А(х, т) е"рти(т) V dт, (1)

А(х,т)/ g(x,У,т)/(У)ds', g(x,У,т) = а(г,т)(-тг), а(г,т) = г- 5а(г,т) .

Обозначим через п(.\) единичную нормаль к кривой с(Л, проходящую через точку х(.ч) и направленную внутрь области И : п(.\) = (-х'2(\). -^'(л)). Пусть г0 = -х(5) и г0=|г0|. Зададим на множестве ©={(5,5'): о = «'-«е/5, у е | функции ^ (у, у ') (/ = 0,2): при у ' Ф у равенствами ^ ^ , где

Фо (Л ■*") = Г1 = С5') " ^ С5)]2 + [х2 С?') ~ х2 (я)]2, ф2 (х, х')= -иО) г0 = х'2 (5) [Х; (5') - X; (5)] - х[ (» [х2 (У) - Х2 (»] , а при я' = я равенствами \|/0 (л, з) = 1, \|/2 (л, л) = 2-1 [х2 (л) ~ х"(■$■)]. В силу теоремы 1 [14] при условии дО е С"+2 (п е Z+) существуют непрерывные на множестве © производные дуг (] = 0, п , I = 0,2).

Так как контур дО не имеет точек самопересечения, то сг = у0 > 0 (сг < 1).

Местные координаты точек х(я') равны (-2 е\фп,-ф,). поэтому

г2 = |х(У) - хД.?)|2 =фо+й?2, где Фо =ф0+2с?ф2. Так как кривая сЮ и окружность радиуса с1 е 1В с центром хЛ (.V) имеют только одну общую точку лг(л'), то 2< п(^) г0 < г02, следовательно, ф' > 0 при (<, л, л') еТ , 5 ф л'. Зададим на множестве Т = /Б х © функцию р'(<, л, л'): р' = , если а > 0; р' = -^/ф^, если а < 0 (VI = 1), а также функцию у'(<,л,л') = у0 + 2<у2. Так как у0(л,л) = 1, |у2(л, л) = 2-1 К(5,5) и Б < 1/(3с^), то при (<, л) е /в х/х имеем оценку: у' (<, л, л) > 2/3 . Поэтому у' > 0 на множестве Т.

Так как г2 =ф0 + 2с?ф2 +с?2, то -и(У)г = ТхдЛг1 =ф2+с?, поэтому функция g{x, я', т) при х = хЛ (я), (с/. 5,5') е У может быть записана в следующем виде:

g(xd (5), я',х) = ах (й, р', х) 51 (й, в,я') + а2 (й, р', х) 52 (й, в,5') , (2)

а (<, р, х) = р2а (р2 + <2, х), а (<, р,х) = <а (р2 + <2,х) , §1 = у/у', = 1. Так как у' > 0 на множестве Т, то при условии дО е С"+2 (п е Z+ ) существуют непрерывные на множестве Т производные д^ (} = 0, п).

Пусть Е( - дуга кривой дО., ограниченная двумя параллельными прямыми, находящимися на расстоянии Б от прямой х(в)х1}(в), причем х(.\) е Е(. Соот-

ветствующие значения ст обозначим через Ss, границы отрезка Hs - через и Z" (< ). Введем в рассмотрение множество Y ' = {(d, s, s'): d e , s e 7S , ст e Es}.

Теорема 1 (см. теорему 5 [9]). Пусть dQ e Cn+2 (n e Z+ ). Тогда на множестве Y ' существуют положительная, ограниченная сверху функция 5(d, s,s') = ') 1 и непрерывные производные д j 5 (j = 0, n).

Следствие 1. Пусть dQ e Cn+2 (n e Z+ ). Тогда функции р s (ст) = р '(d, s, s + ст)

при любых фиксированных s e /s, d e диффеоморфно с гладкостью Cn+1 отображают множества Ss на соответствующие множества р s(Ss). Функции

51(ü?,i,p)^51(ü?,i,i + arfi(p))52, 52(ü?,s,p)^5(ß?,s,s + arfj(p)) (ст^(р) -функция, обратная к функции pr/ s (а)) имеют непрерьшные на множестве Y' = { (d, s. р):

deID , sels , peprfs(Ss) } производные 5^8,. (j = 0,n, / = 1,2).

Обозначим через Am (z) и Äm (z) (z e [a, b], m = 0,2) интерполяционные многочлены Лагранжа:

2 2 — z __2 2 — 2j

j=0 (J*m) Zm Z j j=0 (J*m) Zm Zj

z. =z+qjhz (j = 0,2).

Здесь hz=2^(b-a), z = 2^(a+b); q0=-1, ft^O, q0 = S/2, ^=0,

q2 =

Sil [16. С. 92]. Пусть /(z) - трижды непрерывно дифференцируемая на промежутке [a, fc] функция со значениями в произвольном банаховом пространстве В. Тогда для функций /¡(z) ^^/(zJAJz), /2(z) = ^=o/(zJÄ„,(z),

а также первых и вторых производных функции /, (z) при z е |a. b | имеют место оценки:

\l(z)-f(z)\<cm sup |/(3)0фг\ \f2~f\zca sup \f0)(z)\hl

(= 2^3/9, 4-1), (3)

\l (z)| < Сд m« |/ (zm )|, |/2 (z)| < 5Л тщ|/ (zm )|

(сл= 3, сл = 3-1(7 + 2^3)), (4)

I(z)| < < sup |/(1)00|, (z)| < < sup \f{2\z)\ (c'A=3, < =2"'). (5)

ze[a,b] ze[a,b]

2. Аппроксимация нормальной производной потенциала вблизи границы области

В этом параграфе будем полагать, что х = xr, (.v) (с! е / ,, . .v е Is ). z(x) = дп..и(x). Тогда функция z(x) при p = 0 - НП Till 1С. Замкнутую об-

ласть, ограниченную кривыми и , обозначим через Ов. В силу равенства (2) и следствия 1 операторы А( х, т) (х , т > 0) могут быть представлены в виде суммы: А( х, т) = ^ 3 А1 (х, т), где

(МЧ)

A(x^)f = { a,.(fi?,p,T)5,.(fi?,i,p)/(i + arfi(p))fi?p (/ = 1,2),

А3(х, т)/ = | g(x, s + а, т)/(в + а) йа.

Условимся оператор А, отображающий банахово пространство B в банахово пространство С, обозначать как А [ В —> С ], а если С = В, то А [5]. Так как любая прямая, параллельная прямой х(5)хв(5), пересекает границу сЮ внутри круга Ляпунова с центром в х(^) не более чем в одной точке, то /' > I). если

ае \ . Учитывая также следствие 1, получаем оценки норм операторов

A (x, т) [ C (Ш) ^ L2 ]:

|Ц(х,х)||<гД.о}л (/ = 1,3), л(т)^т-1/2,

y2 (d,т) = d т-32 exp[-d7(4т)], y3 = 1, (6)

+CO _

ct0= sup ISJ (/ = 1,2), c1 = (8л)1 fy2exp(-y2/4)jy = (2^V ,

+CO _

c2 =(871)"' f exp(-y2/4)jy = (4л/тт) , c30= sup |g(x,i',x)|, c3=2S .

J 4 > \ > • r>D,x>0

—да

В силу оценок (6) имеем равномерную на множестве Od ограниченность операторов G(x) [ C(5Q) ^ L, ]:

3 »

||С(дс)|| < CG ^ X С,, с, с,. 0 , С[ = 2Т1'2, с2 = \у2 (d, x)dx = 2-v/ji , с3 = Т . (7) '=1 о

Заметим, что неравенство ||G (x )|| < cG выполняется и при d = 0. В этом случае

A(x, т) = A (x, т) + A (x, т) и функция z(x) при p = 0 суть прямое значение НП

ТППС на дО.

Пусть N/2 е N, NeN , xm =mhz, гп =nhx (m,»eZt), hz =T/N, hx =hjN. Зададим функции U(x) [L2] и е(т) (x>0):

Щх) = £ С/+ ?„А )Лт(х) (хе [х2и,х2и+2], п = О,Ж/2-1),

т=0

2 _ _ _

е(т) - ХехР["^2И+1 + ?„А)_К(т) (те [х2и,х2и+2]= О.М/2-1).

т=0

В силу оценок (4) и ||С/(х)||<1, функции О(т) и е(х) ограничены:

||с/(х)|| < Сд , |е(х)| < с , е'' т. На основании оценки (3) имеем оценки:

2

U(т) ф) f - и(ф-*f | |с^ < cm В>/\\с(да) + Сл |p|3 Il f |C(в) ) h3 (8)

( f е C,(5a) ).

Далее будем считать, что величина Ne N фиксирована. Пусть L/2 s N. s, = lhs, l е Z, h = (L +1). Введем в рассмотрение пространства H векторных сеточных функций / со значениями /', s . заданными в узлах xf.v, ), с нормой |ЦЯ = max ||f||^ . Зададим проекционные операторы PL [ C(ca) ^ H ]: (P f ) =

= _/' С .s,, ) ( I Pr I < 1 ). Введем также в рассмотрение операторы PL [HL -> CÏÔQ) |:

2 _

(hfY^^f^Kis) (f*HL, s e [^/-l'^z+i] ' l = ~L/2,L/2).

m=0

В силу оценки (4) операторы PL ограничены в совокупности: Ця, || < сЛ . На основании оценки (3) имеем оценки:

IIW-/IU ^lU^ (9)

Определение 1. Будем говорить, что ограниченные операторы A [ C ^ D ] ( n е N ) сходятся при n ^ да по операторной норме к соответствующим ограниченным операторам В [ C ^ D ], если ||An f - Bn f\D ^ 0 при n ^-да равномерно в шаре ||f || < 1.

Введем в рассмотрение операторы G(x) [ HL -> L2 ] ( х e fîn ): G(x)f = А(х, х)ф) Щт)PL fdx ( / е Я£ ).

С учетом оценок (6) и |г/(т)| < сЛ, |е(т)| < сАе^т, ||^.||<сл операторы G(x) ограничены в совокупности: ||G(х)|| < cG c\ epT. С учетом оценок (8), (9) получаем неравенства

^ / - G(.)/||i2 ^ cG Cœ [(i|iï3/|c(aQ)+сЛ H/iic(sq) +d ||/- |c(aQ) ^ ;

( f е ^(Ш) ), позволяющие сделать утверждение:

Теорема 2. Пусть Ш е С2. Тогда операторы G(x)PL [ С03 3 (сЮ) -> L2 ] ( N/2 е N, L/2 е N ) сходятся при L, N ^-да по операторной норме к соответствующим операторам G(х) [ C033 (da) ^ L2 ] равномерно по х е а с порядком аппроксимации О + /г ).

Введем в рассмотрение операторы Д. (х, х) ( х e ), аппроксимирующие операторы Aj(x,x)PL \ II, L-, \ (i = 1.3 ). Для этого в вьфажениях Aj(x,x)PLf (i = 1,2 ) заменим функции 5tf ( f = Р, / . f e HL) их кусочно-квадратичными интерполянтами по переменной р :

Д(ХО/ = Yu j ai(d,p,T)BiJ(d,s,p)fdp,

L Pd, s ( «s, I+1)

a

l=-L-2 Pd,s K,l ) 2

" \Yd,s,l,m) ! 1

m=0

m=0

Pd,S,/,m = Pd,M +4mK,S,n Pd.s.l

hd,s,i - 2-1 [Pd,s Ki+1 ) - Pd,s Kl )] •

Здесь as0=0; as , = min , если sl+k > s e и /> 0, и as/=

= max j.v;i -•v.I' i . если .v, , , <Л' и /<0. Операторы А,(х,т)Рг аппроксимируем с помощью ПКФГ с у узлами:

L у

l=-L-1 j=l

ßs,l,у - ßs,i + К, Zj, % - 2-1 (ß„ + ßs,i+1), Kl - 2-1 (ß„+1 - ßs,i),

где ßsl - max{s;,s + £"}, если s; > s , и ßsl - min{s;,s + 2}, если s < s . Здесь Z - корни многочлена p(z)-[у!/(2у)!](dy/dzy)(z2 - 1)у на промежутке [-1;1] [16. С. 258]; для весовых коэффициентов ю выполняется равенство: ^^^ = 2 (ю > 0) [16. С. 255].

В силу оценок (4) операторы В,; [ //, —» Z., ] ограничены в сокупности: ||д., I < сЛсЛ сг 0 (i = 1,2), |вз, I < 2сЛ с3 0, и имеют место неравенства

IД (х,х)/Ц < с,, с. 0^ сЛсЛ Ц/Ц (¿ = 1,2), IД (х,< с3с30^сл ||/|Ц

(/еЯ£). (10)

Введем в рассмотрение операторы G(х) - ^ 3 G,. (х) (х еП„ ), где операторы С/ (х) | //, —» Z., | имеют вид:

G,(х)/ = [ Д(х,т)е(т)J7(x)/Jx (/е//,.).

С учетом неравенств (10) и ||t/(x)| < сл , |е(х)| < с, е''т имеем оценки:

||ад/|| ^ [гл (С1 с1 с1)0 + С2 с2 с20) + с3 с3 с30 ] 4 eW Ц/Ц (feHL),

на основании которых получаем утверждение:

Теорема 3. Пусть 3Qe C2. Тогда операторы G(х) [ ^ L2 ] (х eQB , L/2 е N, Ж/2 е N) ограничены в совокупности на множестве QB.

В силу теоремы 1 при условии 3Q е C3 может быть определена константа сА - sup ' |. В силу следствия 1 и неравенства r > D, имеющего место, если

(d ,s,s' )еТ'

as7S \3s, при указанной гладкости кривой SQ могут быть определены константы

с = sup (1=1,2, SneC"+z), c3J = sup feg(x,i',x)| (SO e C"+1)

(<f,i,p)ei' ' r>D, т>0

(j = 0, и , и s Z+ ).

Используя неравенства (3)-(5) и k'isl< 2-1 chks, при условиях SQs C5, / e C2 (SQ) получаем оценки:

<cm sup

(rf,i,p)eT'

h

L Pd,s 1+1)

ЗррДР^/^ + ст^Др))] 8-lc\h] £ j at(d,р,х)ф<

a

1 =-L-2 Pd, s ("s, 1 )

< с с. II /"II 2 h3 с. y..

ш i \\j lie2 (3Q) h s iSi-

Ci = Ci,3 CA + {3ci,2 C2,0 +3с,Д C2,l + Ci,0 C2,2 )CA + 3 (С,Д C2,0 + C/,0 C2,l C2,0 )СЛ ( ' = I 2 )• С1 ^

При условиях SQ s C2т+', / s C2(сЮ) имеем оценки [16. С. 259]:

\A3{x,x)PLf-A3{x,x)PLPLf\ < sup ^(xXx^P,/)(*')] Ь2;~съуъ<

11 И12 r>D,z>0 L V ' J

¿з - [(2У)!13 (2у+ 1)"1 (у!)4 [с3,2усЛ + 2ус3 2у_1 с'к + у(2у-1)с3 2у_2<] . (12) На основании оценок (11), (12) и Ць'Х'ОЦ ^ <"Л , |е(х)| < с,е''Т получаем при условиях е С2т+1, у > 2 , неравенства

||с(*)Р, / - 0{х)Рь < [ст (с, с- с, + с2 с2 с2)8-1 с1 И] + с3 с3 с3 /г2у ] с* ||/||с2(ю):

из которых вытекает утверждение:

Теорема 4. Пусть 5П е С2у+1, у > 2 . Тогда операторы 3(х)[ С2(сЮ) ^ ¿2 ] (Ц2 е N, N2 е N) сходятся при £ ^ да по операторной норме к соответствующим операторам в(х)Р1 [ С2 (Ш) ¿2 ] равномерно по /V и хе(2[1 с порядком аппроксимации О (к]).

При вычислении операторов (3 (х) интегрирование по х осуществляется точно. Затем в операторах (( (х) (I = 1,2) вычисляются интегралы по р , но не все они вычисляются аналитически. В таких случаях для точного интегрирования функции с\р(-2() и Ш{-гп) (гп = (р2 + а?2)/(4хи), п = 1,NN) заменяются многочленами, образованными первыми членами разложения этих функций в ряды Маклорена, а именно: Км +1 членами со степенями (2п)к (к = 0,Км ), а также логарифмическим членом 1п(ги) в случае ¥л(-2п). Значения ст^ ^ (р, ^, + ^,) получаются как численные решения уравнений ра х (ст) = ра 3, + цтИл 8,. Производ-

ные x (s) (i = 1,2) вычисляются аналитически, так как аналитические выражения функций x (s) считаются известными.

На основании теорем 2, 4 делаем следующий вывод:

Следствие 2. Пусть 5Q е С2т+1, у > 2 . Тогда операторы G(х)PL [ С33 (Ш) ^ L ] (L/2 е N, N/2 е N) сходятся при L, N ^да по операторной норме к соответствующим операторам G(х) [ С 3 (5Q) ^ L ] равномерно по х eQB с порядком аппроксимации O (h3 + h3).

Введем в рассмотрение банахово пространство С(Ir) классов функций f е L , эквивалентных непрерывным на отрезке Ir функциям /(t), с нормой ||/||с = sup/(t)| . Вследствие оценок

/ (t) =

J(Bf ) (t ')dt' < tJ |(Bf ) (t ')|2 dt'

1/2

<VT||/|Я1 (t е IT , f е H1) (13)

имеет место вложение Н1 с С(/г)

Введем в рассмотрение банаховы пространства Ск сеточных функций / с комплексными значениями /, заданными в узлах ти (л = 0, Ж), с нормой ||/|1 = шах|. Зададим операторы [Н1 ^ С^]: (Рн/)п = /(ти), и Рн

0<п<Ж п

[С„ ^ С( 1Т) ]:

(Рм/) (0/2п+га Л„ (0 (/ е С„ , / е[т2п, т2п+2 ], п = 0, N12 -1).

т=0

В силу неравенств (3), (4) и (13) справедливы оценки ЦрРи|| <са4Т и

Р Рм / - Л сюлТ\\/\|н4 К (/ е Н4). (14)

II ИС (1Т)

Учитывая следствие 2, оценки (7), (14) и замкнутость оператора В, приходим к следующему утверждению:

Следствие 3. Пусть 50 е С2у+', у > 2 . Тогда операторы РмРм О(х)РЬ [ С33(50) ^ С(1Т) ] (Ь/2 е N, М/2 е N) сходятся при Ь, N ^да по операторной норме к соответствующим операторам О(х) [ С33 (50) ^ С(/г) ] равномерно по х е0в с порядком аппроксимации О (К3 + К3).

Согласно следствию 3 функции ¿(х) = РыРы(И{х)Р1у являются аппроксимациями функции г(х). В силу теоремы 3 и неравенств ||РХ||< 1, ||рр||< са\Т

операторы (?(х) [ С(дО.) —> Ь2 ] ограничены в совокупности, поэтому аппроксимации 7.(х) устойчивы к возмущениям функции V в норме (\ (дО.). Сформулируем основной результат настоящей работы:

Следствие 4. Пусть дП е С2т+1, у > 2, Л > 0 . Тогда функции ?(х, I) (Ь/2 е N, N2 е N) сходятся при Ь, N ^ да с кубической скоростью к функции г (х, г) равномерно относительно (х, г) е 0В х /Г (при почти всех г) и функций V е С33 (50), удовлетворяющих неравенству ||у||, < Я . Кроме того, функции ?м(л\/) :

" "4,3

¿5 (х) = (-¡(х) , сходятся к функции г(х, /) при Ь, N —> да, 5 —>■ О равномерно относительно (х,г) е^х/Г и функций V е С,33(50), ^ е С(50), удовлетворя-

ющих условиям ||v||C^(3Q) < R , ||vs -4q(an) < 5 .

3. Об аппроксимации нормальных производных решений краевых задач

вблизи границы области

Пусть Q = R2 \ Q+ Введем в рассмотрение внутренние и внешние задачи Неймана:

V2и± (jc) = Ви± (jc) + ри± (дс) ( х е 0± ), dn(s)u±(x) = w(x) (x = x(s), s е Is). (15+ )

Здесь V = (д, д ) ; u± (x) и w(x) - векторные функции со значениями в пространстве L, заданные на множествах Q± и dQ соответственно. Векторные задачи ( 15± ) суть НКЗТ в области Qx с граничными условиями второго рода и нулевым начальным условием.

Пусть C2 (Q± ) и C (Q ) - пространства функций со значениями в L2, дважды непрерывно дифференцируемых на множестве Q± и непрерывных на замыкании этого множества Q± соответственно.

Определение 2. Решением уравнения V2u± = Bu± + pu± называется функция U е C2(Q± ) со значениями в D(B), обращающая уравнение V2u± = Bu± + pu± в истинное равенство.

Определение 3. Решением краевой задачи ( 15± ) называется функция u± е C(Q± )

, являющаяся решением уравнения V2 и± = Ви± + р и± и имеющая с внутренней (внешней) стороны дО. правильную НП (дп(1)и± (х^)) —> 3^(1)и±(х(5))

при ё ^ +0 равномерно относительно 5 е ), определяемую равенствами с„,, и = IV (х = х(\), .V е ). В случае задачи (15_) требуется также выполнение условия |х| ||и_||^ ^ 0 при |х| ^ да .

В пространстве С(дО) зададим операторы (7 = +2 / + С (/ - тождественный оператор), где (О/) (х) = О(х) / при х е50 , / е С(50).

Теорема 5. Пусть 50 е Ск+2. Тогда операторы [ Скпт (50) ] всюду определены, ограничены и ограниченно обратимы (к,п, т е Z+).

Теорема 6. Пусть 50 е С2, х е0±. При любом ю е С(50) краевая задача (15±) однозначно разрешима и решение и± (х) имеет вид: и± (х) = ((х) .

Доказательство теорем 5 и 6. Пусть р > 0 . Тогда оператор В + р I порождает экспоненциально убывающую С0 -полугруппу сжимающих операторов рхи(х), и утверждения теоремы 5 могут быть получены по аналогии со следствиями 1 и 2 работы [14], а теоремы 6 - по аналогии с заключительным утверждением работы [17]. Кроме того, обобщения данных утверждений для абстрактного гильбертова пространства вместо Ц получены в следствиях 9 и 10 работы [18].

Докажем утверждения теорем 5 и 6 для произвольных р е Я . Обозначим через С0 (х), С± и (х), операторы ((х), ( при р = р' е Я и р = р" > 0 соответственно. Пусть функции и± и и"± являются решениями краевых задач (15±) с граничными функциями ю' е С(50) и ю" е С(50) при р = р' и р = р" соответственно. Ограниченный оператор : (Ер--р'/) (х, 0 = ехр [(р± - р')/] /(х, /) биективно отображает пространство С^ (50) само на себя при любых к, п, т е Z+. Имеем равенства ((х) = Ер± _р(±±(х)Е— ±, (х) = Е ±((х)Е-1 из которых следуют утверждения теоремы 5 для произвольных р е Я, а также равенства

и; (х) = Ер,-р,и±"(х) = Ер,-р,а± (х) (( )-1 = од (е±)-1 ^, при условии что ю' = Е , , ю±, из которых следуют утверждения теоремы 6 для произвольных р е Я. Теоремы 5 и 6 доказаны.

Зададим в пространстве //, операторы 6 = +2 I I 6. где () = )]/

при 1 = - L/2, L/2 , / s Hx. По аналогии с теоремой 6, доказанной в работе [19], имеем следующее утверждение:

Теорема 7. Пусть SQ s C2. Тогда существует Nmin s N, такое что при

N/2 е Nmm = {.\mm. Л mm +1,...}, L/2 е N операторы G± \ II, | обратимы, и обратные операторы G- ограничены в совокупности.

С учетом следствия 2 и теорем 5, 7 делаем следующий вывод: Следствие 5. Пусть SQ s C2y+1, у > 2 . Тогда операторы G- PL [ C33 (SQ) ^ HL ] (L/2 s N, N/2 s ) сходятся при L, N ^ да по операторной норме к соответствующим операторам PLG— [ C03,3 (SQ) ^ HL ] с порядком аппроксимации O (k\ + k3).

Введем в рассмотрение операторы R (х) = (¡(х) (i и R (х) = P,.P,.(i(x)G 1PL (x s = Q± n>QD). С учетом следствий 3, 5 и теорем 3, 5 получаем следующее утверждение:

Следствие 6. Пусть 3Q е С2у+1, у > 2 . Тогда операторы R (х) [С33 (3Q) —» С(/г) ] (L/2 s N, N/2 s Nmm) сходятся при L, N ^ да по операторной норме к соответ-

ствующим операторам Я± (х) [ С3(60) ^ С(/г) ] равномерно по х еПд с порядком аппроксимации О (к3 + А3).

0 равномерно относительно (х, ?) е0—Х и функций ^ е С33(50), ^ е С (50), удовлетворяющих условиям 3 (0П) < Л и - (ап) < 5 .

4. Квадратурные аппроксимации как причина отсутствия равномерной сходимости в области

Вычислительные эксперименты показали, что скорость сходимости аппроксимаций НП решений краевых задач существенно снижается по мере приближения точки х к границе сЮ, если для аппроксимации всех интегралов

У,(х,т) = ^ g(x,s',т)f(s')ds' (1 = -Ь-\,Ь, хеПп, / = Р£/, /еЯ£)исполь-

зовать ПКФГ. Покажем отсутствие равномерной по й е 1В сходимости аппроксимаций НП ТППС в случае, когда аппроксимируются (с помощью квадратурной формулы типа ПКФГ или КФНК) только интегралы у,(х, т) на ближайшей

к точке х дуге [х(.\г , 2). х(.\г , 2 )) при х е [0, т1/2 ], а в остальных случаях интегралы у (х, т) вычисляются точно. Также с целью упрощения считаем, что р = 0 , и вместо кусочно-квадратичной рассматриваем кусочно-постоянную интерполяцию:

И=0 ¡=-1-1

+12 Тл+1/2

'¿„.М^АА)^ | йМ^^'А)^', йМ^^'А) = |

31-12 тп-1/2

ти±1/2 = (п - 2-1) к , Я±1/2 = (I - 2-1) к, при этом полагаем: g = 0 при т < 0, и учитываем, что и (Тд,) = О .

Пусть / е С022 и С3. Введем в рассмотроение векторную функцию к(х,я',т) со значениями в пространстве ¿2: к = g(х,я',т)и(т)/(я') при т>0,

h = 0 при т < 0 (x , s' e Zs). Для любой замкнутой области Q!D с могут быть определены постоянные

cifi= sup |5'Tg(x,i',x)| (¿ = 0,2), c0J = sup (у =1,2)

xeQ'D, s'elb,, TeR xeQ'D, s'elb,, TeR

и существуют непрерывные производные д\h (i = 0,2), дjh (j = 1,2) при (x, s' , t) e D!d x 7S x R. Учитывая, что U(т) = O при т > T , имеем G(x) f = i dт i h(x, s' , t) ds'. С помощью формулы Тейлора с дополнитель-

т-1/2 JlS

ным членом в виде определенного интеграла [20. С. 146] можно получить оценки: ||ё(дс)/ - G{x)f\^ <\2-l(T + hx)S {сх h2 + с, h]),

сЛ/А) - *2,о ||В/||с(ап) К +2clj0 ||В/||с(ап) +с0)0 ||в2/||с(ап),

СЛ/А) -||/(1)||с(ап) К +2С0Д |/«|c(aQ) \\Г%(8а),

согласно которым операторы G(x) [С022 (сЮ) —>Т,2 ] сходятся по операторной норме при L, N ^да к соответствующим операторам G(x) [ C22(dQ) ^ L2 ] с порядком аппроксимации o{h: + h2) равномерно по х е (Л'Г1. Обозначим через G(xd (s)) оператор G(xd (s)) (s e f s. d e /„ ). в котором интеграл g0, (s £ [■V]/2,5V+1/2)) заменен квадратурной аппроксимацией gor достаточно высокого порядка. Тогда при достаточной гладкости кривой oil операторы G(xd (.v)) [ C22(dQ) ^ L ] сходятся по операторной норме при L, N ^ да к соответствующим операторам G(xd (\)) [ С022 (д(Л) —> L, | с порядком аппроксимации o{h2 + /г j равномерно по (|d|, s)e [d0, D] x 7S для любого d0 e(0, D). В то же время справедлива теорема:

Теорема 8. Пусть остаточный член квадратурной формулы, используемой для аппроксимации интеграла gol, (s е ^.s,, , 2. sr , 2 j. deID), имеет вид:

Rm [ f ] = cm (b - a)2m1 f *2m)(^) (£,e[a, b]), где f - подынтегральная функция, [a, b] - промежуток интегрирования, cm - константа, зависящая только от те Z+. Пусть cfl е С2'" 2. Тогда при L,N —»да отсутствует равномерная по |d|e(0,d0] сильная сходимость операторов G(xr/(s)) [ Ckn (SQ) -» L2 ] к соответствующим операторам G(xd(i)) [ Ckn (5Q) —> L2 ] для любых фиксированных k, n e N, s e 7S , d0 e(0, D] .

Доказательство. Пусть s e 7S фиксировано. Заметим, что

goj' = 80(d,s,s + a,hx)d<5, где Е = sy+1/2 -s e (О,hs], g0=-(2тг)"' exp[-(aV; + d2)j(l\)] (aV2 + d)!(a\V'0 +d2).

Достаточно ограничиться рассмотрением значений d > 0. С помощью равенств rm=Rm[g0] (те Z+), где hx=2~lcxd2, d = Khs, с^=2Т/S2, зададим функции rm (K, h, о) при K е N, h 6 (0, D/K] и ae[Z- hs, Z]. Пусть \¡>ó(К,/? .а) = \|/¡,(Кh .s.s + g) . Учитывая, что inf \|/¡, > 0 и существуют непре-

рывные производные: дjyó на Т, дjy2 на © (j = 0,2m), можно представить функции rm в виде:

m

rm(K,hs,°) = ~cmKh2r2 exp [-(aavj/¿ +K2h2)l(cxK2h2s)] ЕНГ* +om,

k=0

- -2-2i wr* и;+K2h2fm+^,

и=0

где атАи - постоянные коэффициенты (аткп >(2л) 22т к е%п (2т - к - п)!),

от(К,^,а) -> 0 при /? —» 0 и фиксированном /С е N равномерно по а е [2 -,2].

Пусть с = иКЛ^) = гт(КА,бЬ5),

Тогда

ч2 т-к

т,к т '

2 т-к

Кк - ехр["С" +1)]а—Г — (vpjf X (a'AT^ +l)

n=0

где om(K,hs,o) —> 0 при Л,-» 0 и фиксированном е N равномерно по ст е [Z -1, Z]. Заметим, что слагаемые к (К, hs, а) при к < т стремятся к нулю при ^—»оо равномерно по /? е (0.0/ К \. сте[£-1,£]. Так как vj/„=l при o = d= 0 и £<1, то Smm(KA6)>c'm^2-m-1exp(-2/cz)amm0>0 при Ке N, ае[£ —1,£]. Поэтому существуют постоянные Кт е N, hme(0,D/Km] и с"т е(0,с'т), такие что при hs e(0,hm], се[Ё-1,Ё] имеет место оценка:

Пусть L'c N такое, что hse(0,hm] при L=L',L' +1,... Тогда если d=Kmhs, h% = 2~1cTd2 при L = L',L' +1,..., то

Обозначим через GL(5), G, (.v) (I. = /Л/.' +1....) операторы G(xd(5)), G(jcdO)) [ Ckn (5Q) —> Z,2 ], где d = Kmhs, hT = 2"1 cT d2, £,weN. Пусть /¡(>') = 1 (s'els), f¡еЯи, ||/2||^ =1. Тогда f\ f2 eCk(dQ.) и имеют место оценки: ¡ВД/-^)/^ =K[g0]|>CI'. в силу оценок (7), ||£/(т)||<1 справедливы оценки:

\\GL(X)f-G(X)f\l < cG (||В/||С(Ш) К +||/«||с(го) Л,) < cG ||/2||я1 2-ЧВД •

k =0

При достаточно большом натуральном Ь">Ь' получаем неравенство ^ (Ь=Ь",Ь" + 1,...). В результате имеем оценки:

cG| f2 и Я1 Ст к к < c

результате

GL(x)f-G(x)f\ >Txc'l (L=L",L" +1,... )• Теорема доказана.

tf-1

5. Вычислительные эксперименты

Численную проверку эффективности предлагаемой аппроксимации НП ТППС осуществляем здесь с помощью соответствующей аппроксимации НП решения краевой задачи (15) внутри единичного круга при условии, что p = 0 и граничная функция и>(ф, t) = t2 (1 -1)2 cos ф (ф - полярный угол с полюсом в центре круга). Точные значения функции г+ при этом вычисляем с помощью рядов:

L » J (М) ^(-1)'+1 [f (°(t) - f)(0)exp (-^t)]]

z+ (ф,t) = 2cos ф]-2-1 f(t) + У 1 X-— V /JI

[ k=1 J1(^k) (ht -1) '=1

где f (t) = t2 (1 -1 )2, J (z) - функция Бесселя, ^ - положительные корни уравнения J[(z) = 0 , R - полярный радиус. Для данной геометрии имеем D = 2/(3л), 2" = -X' = arcsin(2/(37i)) (.v е Is). Аппроксимации z+ вычисляем при значениях у = 6 и К,, =10. Кроме того, вычисляем функции г, = Р PKGt(x)G 'Р, w (г =1,2,3), при этом операторы G (х) отличаются от операторов G(x) только тем, что операторы А] , (х, x)PL, где Д_2 (х, т) = Д (х, т) + Д (х, т) (х е Q„). вычисляются не с помощью интегрирования по переменной р, а с помощью ПКФГ

с у^_^ =12 , 24, 48 узлами соответственно по аналогии с AAx.x)Pj . Вычисления

осуществляем с двойной точностью при значениях параметров Т = 1, N = 1. Для определения погрешностей аппроксимаций z+, z, находим их относительные среднеквадратичные отклонения от точной функции z+ : Sz+ = ||г+ - z+ ||/||г+1|, 5г,+ = ||z, -z ||/||z ||, при этом ||-|| — среднеквадратичная норма, вычисляемая при фиксированных значениях d = 1 -R в точках xd (л, , 2 ) (/ = -L -1. /,). В таблице

в каждой основной ячейке представлены значения 5z+, f>z, , f>z2 , 8z3+ в соответствующем порядке сверху вниз.

Относительные среднеквадратичные отклонения

d 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-15

К = 1/16 6.68^10-3 6.97^10-3 7.00^10-3 7.00^10-3 7.00^10-3 7.00^10-3

7.33-10-3 2.99-10-1 1.14100 1.24-10° 1.25^100 1.25-100

К =V7 6.68^10-3 4.1310-2 8.20^10-1 1.21-10° 1.25^100 1.25^100

6.68^10-3 6.97^10-3 7.33^10-2 1.08^ 100 1.24^100 1.25^100

Окончание таблицы

d 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-15

h, = 1/32 h3=n/15 6.34-10-4 6.34-10-4 6.34-10-4 6.34-10-4 7.08^10-4 3.02^10-2 2.49^10-3 7.09^10-4 7.17^10-4 1.02^10° 4.49^10-1 5.93 10-2 7.17-10-4 1.23^ 100 1.16100 9.03^10-1 7.17^ 10-4 1.25-100 1.24^100 1.22^100 7.17^10-4 1.25^100 1.25^100 1.25-100

h = V64 hs=%! 31 6.26-10-5 6.26^10-5 6.26^10-5 6.26^10-5 7.93^10-5 3.23^10-2 1.0510-4 7.93^10-5 8.1410-5 7.80^10-1 4.04^10-2 2.48^10-3 8.1610-5 1.20100 1.07^ 100 5.74^10-1 8.1610-5 1.25^100 1.23^100 1.18100 8.1610-5 1.25^100 1.25^100 1.25^100

h = 1/128 hs = n/ 63 6.24^10-6 6.24-10-6 6.24^10-6 6.24^10-6 9.1710-6 2.55^10-3 1.0010-5 9.1710-6 9.66^10-6 3.94^10-1 5.50^10-2 5.70^10-4 9.73^10-6 1.15100 8.79^10-1 1.49 10-1 9.74^10-6 1.24^100 1.22^100 1.10100 9.74^10-6 1.25^100 1.25^100 1.25^100

Можно заметить, что аппроксимации г+ обладают кубической скоростью сходимости, сохраняющейся даже при очень малых по модулю значениях с!. Близкие результаты получены и при выборе других точек наблюдения хг1 (5).

Скорости сходимости аппроксимаций снижаются от кубической до нулевой по мере приближения к границе ЭО при фиксированных \, \ и восстанавливаются до кубической по мере уменьшения \, \ при фиксированных ё . При приближении точки х к узлу квадратурной аппроксимации оператора /1, , (л\ х)Рг. а именно: точки х, (л,) к точке л*(\,) в случае использования КФНК замкнутого типа, возникают проблемы вычислительного характера: ~ сГх —> оо при с/ 0 и фиксированных /?_ > 0. и ошибки

приобретают катастрофический характер. Близкие результаты были получены и для аппроксимаций НП решений краевой задачи (15 ) г и во внешности единичного круга. Так как аппроксимации г± и отличаются только способом вычисления операторов х), определяющих НП I III 1С вблизи границы ЭО, то сделанные на основе численных экспериментов выводы относительно аппроксимаций НП решений краевых задач можно перенести на соответствующие аппроксимации НП ТППС.

Заключение

В рамках коллокационного метода граничных элементов на основе кусочно-квадратичной интерполяции получены аппроксимации НП ТППС, равномерно сходящиеся с кубической скоростью вблизи границы двумерной пространственной области. Для этого используется точное интегрирование по переменной р -компоненте межточечного расстояния г, обладающей достаточно гладкой зависимостью от параметра 5. Показано, что использование вместо такого интегрирования широкого круга квадратурных формул, в частности ПКФГ и КФНК, влечет нарушение равномерной сходимости аппроксимаций НП ТППС вблизи границы

пространственной области. Заметим, что аналогичная аппроксимация может быть использована для вычисления НП логарифмического потенциала простого слоя.

Список источников

1. Бреббия К., ТеллесЖ., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М. : Мир, 1987. 524 с.

2. Sladek V., Sladek J., Tanaka M. Optimal transformations of the integration variables in com-

putation of singular integrals in BEM // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2000. V. 47 (7). P. 1263-1283.

3. Gu Y., Chen W., Zhang J. Investigation on near-boundary solutions by singular boundary

method // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. V. 36 (8). P. 1173-1182.

4. Крутицкий П.А., Федотова А.Д., Колыбасова В.В. Квадратурная формула для потенциала

простого слоя // Дифференциальные уравнения. 2019. Т. 55, № 9. С. 1269-1284.

5. Крутицкий П.А., Колыбасова В.В. Численный метод решения интегральных уравнений

в задаче с наклонной производной для уравнения Лапласа вне разомкнутых кривых // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 9. С. 1262-1276.

6. Sladek V., Sladek J., Tanaka M. Numerical integration of logarithmic and nearly logarithmic

singularity in BEMs // Applied Mathematical Modelling. 2001. V. 25. P. 901-922.

7. Johnston P.R., Elliott D. A sinh transformation for evaluating nearly singular boundary ele-

ment integrals // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2005. V. 62 (4). P. 564-578.

8. Fu Z.J., Chen W., Qu W. Numerical investigation on three treatments for eliminating the sin-

gularities of acoustic fundamental solutions in the singular boundary method // WIT Transactions on Modelling and Simulation. 2014. V. 56. P. 15-26.

9. Иванов Д.Ю. Уточнение коллокационного метода граничных элементов вблизи границы

области в случае двумерных задач нестационарной теплопроводности с граничными условиями второго и третьего рода // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 57. С. 5-25.

10. Иванов Д.Ю. Уточнение коллокационного метода граничных элементов вблизи границы двумерной области с помощью полуаналитической аппроксимации теплового потенциала двойного слоя // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. № 65. С. 30-52.

11. Крутицкий П.А., Резниченко И.О., Колыбасова В.В. Квадратурная формула для прямого значения нормальной производной потенциала простого слоя // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56, № 9. С. 1270-1288.

12. Бахшалыева М.Н. Квадратурная формула для производной логарифмических потенциалов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. № 68. С. 5-22.

13. Khalilov E.H. Cubic formula for the normal derivative of a double layer acoustic potential // Transactions of NAS of Azerbaijan, series of physical-technical and mathematical sciences. 2014. V. 34 (1). P. 73-82.

14. Иванов Д.Ю. Устойчивая разрешимость в пространствах дифференцируемых функций некоторых двумерных интегральных уравнений теплопроводности с операторно-полугрупповым ядром // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 38. С. 33-45.

15. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : Наука, 1981. Т. 4, ч. 2. 551 с.

16. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с.

17. Иванов Д.Ю. Решение двумерных краевых задач, соответствующих начально-краевым задачам диффузии на прямом цилиндре // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 8. С. 1094-1103.

18. Иванов Д.Ю. Решение краевых задач для двумерного эллиптического дифференциально-операторного уравнения в абстрактном гильбертовом пространстве с помощью метода граничных интегральных уравнений // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 60. С. 11-31.

19. Иванов Д.Ю. О решении плоских задач нестационарной теплопроводности коллокаци-онным методом граничных элементов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. С. 9-29.

20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М. : Физматлит, 2001. Т. 2. 863 с.

References

1. Brebbia C.A., Telles J.C.F., Wrobel L.C. (1984) Boundary Element Techniques. New York:

Springer-Verlag.

2. Sladek V., Sladek J., Tanaka M. (2000) Optimal transformations of the integration variables

in computation of singular integrals in BEM. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 47(7). pp. 1263-1283. DOI: 10.1002/(SICI)1097-0207(20000310)47:7%3 C1263::AID-NME811%3E3.0.C0;2-I

3. Gu Y., Chen W., Zhang J. (2012) Investigation on near-boundary solutions by singular boundary

method. Engineering Analysis with Boundary Elements. 36(8). pp. 1173-1182. DOI: 10.1016/j.enganabound.2012.01.006.

4. Krutitskii P.A., Fedotova A.D., Kolybasova V.V. (2019) Quadrature formula for the simple

layer potential. Differential Equations. 55(9). pp. 1226-1241. DOI: 10.1134/s0012266119090106.

5. Krutitskii P.A., Kolybasova V.V. (2016) Numerical method for the solution of integral equa-

tions in a problem with directional derivative for the Laplace equation outside open curves. Differential Equations. 52(9). pp. 1219-1233. DOI: 10.1134/s0012266116090135.

6. Sladek V., Sladek J. and Tanaka M. (2001) Numerical integration of logarithmic and nearly

logarithmic singularity in BEMs. Applied Mathematical Modelling. 25. pp. 901-922. DOI: 10.1016/s0307-904x(01)00021 -x.

7. Johnston P.R., Elliott D. (2005) A sinh transformation for evaluating nearly singular boundary

element integrals. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 62(4). pp. 564-578. DOI: 10.1002/nme.1208.

8. Fu Z.J., Chen W., Qu W. (2014) Numerical investigation on three treatments for eliminating

the singularities of acoustic fundamental solutions in the singular boundary method. WIT Transactions on Modelling and Simulation. 56. pp. 15-26. DOI: 10.2495/BEM360021.

9. Ivanov D.Yu. (2019) Utochneniye kollokatsionnogo metoda granichnykh elementov vblizi

granitsy oblasti v sluchaye dvumernykh zadach nestatsionarnoy teploprovodnosti s granich-nymi usloviyami vtorogo i tret'yego roda [A refinement of the boundary element collocation method near the boundary of domain in the case of two-dimensional problems of non-stationary heat conduction with boundary conditions of the second and third kind]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 57. pp. 5-25. DOI 10.17223/19988621/57/1.

10. Ivanov D.Yu. (2020) Utochneniye kollokatsionnogo metoda granichnykh elementov vblizi granitsy dvumernoy oblasti s pomoshch'yu poluanaliticheskoy approksimatsii teplovogo po-tentsiala dvoynogo sloya [A refinement of the boundary element collocation method near the boundary of a two-dimensional domain using semianalytic approximation of the double layer heat potential]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 65. pp. 30-52. DOI: 10.17223/19988621/65/3.

11. Krutitskii P.A., Reznichenko I.O., Kolybasova V.V. (2020) Quadrature formula for the direct value of the normal derivative of the single layer potential. Differential Equations. 56(9). pp. 1237-1255. DOI: 10.1134/s001226612009013x.

12. Bakhshaliyeva M.N. (2020) Kvadraturnaya formula dlya proizvodnoy logarifmicheskikh potentsialov [A quadrature formula for the derivative of logarithmic potentials]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 68. pp. 5-22. DOI: 10.17223/19988621/68/1.

13. Khalilov E.H. (2014) Cubic formula for the normal derivative of a double layer acoustic potential. Transactions of the National Academy of Sciences of Azerbaijan, series of physical-technical and mathematical sciences. 34(1). pp. 73-82. http://imm.az/journals/AMEA_ xeberleri/ cild34_N1_2014/meqaleler/73-82.pdf.

14. Ivanov D.Yu. (2015) Ustoychivaya razreshimost' v prostranstvakh differentsiruyemykh funktsiy nekotorykh dvumernykh integral'nykh uravneniy teploprovodnosti s operatorno-polugruppovym yadrom [Stable solvability in spaces of differentiable functions of some two-dimensional integral equations of heat conduction with an operator-semigroup kernel]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 38. pp. 33-45. DOI: 10.17223/19988621/38/4.

15. Smirnov V.I. (1981) Kurs vysshey matematiki [A course of higher mathematics]. Vol. 4. Part II. Moscow: Nauka.

16. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobel'kov G.M. (2008) Chislennyye metody [Nimerical methods]. Moscow: BINOM. Laboratoriya znaniy.

17. Ivanov D.Y. (2010) Solution of two-dimensional boundary-value problems corresponding to initial-boundary value problems of diffusion on a right cylinder. Differential Equations. 46(8). pp. 1104-1113. DOI: 10.1134/S0012266110080045.

18. Ivanov D.Yu. (2019) Resheniye krayevykh zadach dlya dvumernogo ellipticheskogo differen-tsial'no-operatornogo uravneniya v abstraktnom gil'bertovom prostranstve s pomoshch'yu metoda granichnykh integral'nykh uravneniy [Solution of boundary problems for a two-dimensional elliptic operator-differential equation in an abstract Hilbert space using the method of boundary integral equations]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 60. pp. 11-31. DOI: 10.17223/19988621/60/2.

19. Ivanov D.Yu. (2017) O reshenii ploskikh zadach nestatsionarnoy teploprovodnosti kollo-katsionnym metodom granichnykh elementov [On the solution of plane problems of non-stationary heat conduction by the boundary element collocation method]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 50. pp. 9-29. DOI: 10.17223/19988621/50/2.

20. Fikhtengol'ts G.M. (2001) Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischisleniya [A course of differential and integral calculus]. Vol. 2. Moscow: Fizmatlit.

Сведения об авторе:

Иванов Дмитрий Юрьевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

«Высшая математика» Академии базовой подготовки Российского университета транспорта, Москва, Россия. E-mail: [email protected]

Information about the author:

Ivanov Dmitry Yu. (Candidate of Physics and Mathematics, Moscow State University of

Railway Engeneering (MIIT), Moscow, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 08.09.2021; принята к публикации 01.06.2023 The article was submitted 08.09.2021; accepted for publication 01.06.2023