Об аппроксимации конфликтно-управляемых функционально-дифференциальных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

The main result of this paper is the following statement.

Theorem. Let conditions (f 1) — (f3) and (M) hold. In addition, assume that there exist R0 >r0 > 0 such that

(w,f (t,w))H < 0. for all w € H: r0 < \\w\\H < R0 and a.e. t € I.

Then problem (1)-(2) admits a solution satisfying ||x(t)||H ^ R0, Vt € [0,T].

Sketch of the proof. Let r* € (ro, Ro) be an arbitrary number and denote Q = {x € C ([0, T ]; H): \\x(t)\\H < r*, t € [0,T]}.

For each n € N set Q(n) = Q П C([0,T]; Hn) and consider the problem

x'(t)= Pnf (t,x(t)), for a.e. t € [0, T],

x(0) = PnMx, (3)

whose solution is considered in the space C([0, T]; Hn).

It is shown that problem (3) has a solution xn € Q(n. The existence of a solution of problem (1)-(2) is obtained from the weak convergence of the set {xn}.

REFERENCES

1. J. Andres, L. Malaguti, V. Taddei, On boundary values problems in Banach spaces, Dyn. Sys. Appl., 18 (2009): 275-302.

2. Nguyen Van Loi, Method of guiding functions for differential inclusions in a Hilbert space, Differ. Uravn. 46 (2010), no. 10, 1433-1443 (in Russian); English tranl.: Differ. Equat. 46 (2010), no. 10, 1438-1447.

3. N.V. Loi, V. Obukhovskii, P. Zecca, Non-smooth guiding functions and periodic solutions of functional differential inclusions with infinite delay in Hilbert spaces, Fixed Point Theory, 13(2), 565-582, 2012.

Лой Н.В. О НЕЛОКАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

С помощью метода непрерывности, метода ограничивающей функции и метода приближений, доказывается теорема существования для класса нелокальных дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах. Ключевые слова: нелокальное дифференциальное уравнение; ограничивающая функция.

УДК 517.977

ОБ АППРОКСИМАЦИИ КОНФЛИКТНО-УПРАВЛЯЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

© Н.Ю. Лукоянов, А.Р. Плаксин

Ключевые слова: теория управления; уравнения с запаздыванием; уравнения нейтрального типа.

Для конфликтно-управляемых систем функционально-дифференциальных уравнений рассматриваются процедуры управления с поводырем, движение которого описывается аппроксимирующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

2579

Эта работа, восходящая к [1-3] и посвященная процедурам управления c поводырем [4], инициирована работой [5], в которой предложено использовать в качестве поводырей систем дифференциальных уравнений с запаздыванием аппроксимирующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений из [1-3]. Цель работы — развитие подобной процедуры управления для достаточно общего класса функционально-дифференциальных систем.

Пусть движение динамической системы, описываемая уравнением запаздывающего типа

x[t] = f (t, xt[-],u, v), t € [t0, T], x[t] € Rn, u € U,v € V, xt0[$] = z[$], $ € [—h, 0]. (1)

Здесь t — время; x[t] — вектор состояния в момент t; h = const > 0; xt[-] — история движения на [t — h, t] : xt[$] = x[t + $], $ € [—h, 0]. Функция z[-] лежит в компакте Z С C([—h, 0], Rn), u — управление, v — помеха, U и V компактны. Допустимы измеримые реализации u[t0[-]T ) = {u = u[t] € U, t0 ^ t<T} и v[t0[-]T ) = {v = v[t] € V, t0 ^ t<T}. Отображение f : [t0,T] x C([—h, 0], Rn) x U x V^ Rn непрерывно, справедлива оценка

Ilf(t,xM,u,v)|| ^ c( 1+ max ||x[$]||), c = const > 0,

4

для любого компакта D С C([—h, 0], Rn) существует такое A(D) > 0, что

max tfe[-M]

f {t,x/[-],u,^ — f(t,x//[],u,v) W ^ Л(D) max Wx/[$] — x//[^]W, x^ \,x//[• ] Є D,

и для всякого s Є Rn имеет место равенство

minmax ( f(t,x[^\,u,v),s) = maxmin ( f(t,x[^\,u,v),s).

ueU veVXJy’ h ' veV u£V U’ ’ h '

yi0][t]= f{t,S(Y[t])[^],u,v), yii][t] = (yii 1][t] — yii][t])/Ah, і = 1,m, t Є [to, Т ], yii][t] Є Rn, u Є U, v Є V, yii][to]= yii], ||yii] — z[—і Ah] У < n, і = 0,m.

Возьмем т Є М, АН = Н/т и определим аппроксимирующую систему:

^ (2)

Здесь У [і] = {у°Щ,у1 Щ,... ,утЩ), Б (У [£])[•] — линейный сплайн с узлами —іАН на [—Н, 0] и со значениями в узлах Б {У [і])[—іАН] = у[і][і].

Базируясь на разбиении А^ = {і^ : 0 < і^+1 — і^ <5, і = 0,к — 1,ік = Т} , будем формировать кусочно-постоянные реализации и[і°[^]Т) и У[і°[^]Т) согласно правилу

иЩ = и° Є arg тп тах <,Хіі [•},u, у), х\Ъ) — у0[^]),

уЩ= у° Є а^тахтт </(,Б(у [Щз ])1],и,у),хЩ ] — у% ]>, і Є [^ ^+і)' (3)

ує¥ иёи

Т еоремаї. Для любого є> 0 найдутся такие 5> 0, п> 0 и М Є М, что для всех я[-] Є Z, т>М и любых допустимых реализаций и[Щ°[-]Т), у[і°[^]Т), при реализациях и[і°[^]Т), У[і° [-]Т), формируемых согласно (3), для решений х[Щ] и У [і] задач (1) и (2) будет справедлива оценка ||х[і] — у[°][і]|| ^ є, і Є [і°,Т ].

Отметим, что данный результат устойчив к неточностям измерений и вычислительным погрешностям.

Пусть теперь движение исходной системы описывается уравнением нейтрального типа

Х[і] — С[і]Х[і — Н] = А[і]х[і] + В[і]х[і — Н] + БЩи + Е[і] у + /[і], і Є [і°,Т], и Є и, V Є V, х[і] Є Rn, х[і° + &] = ш[&], ||Ц&]|| ^ Я°,& Є [—Н, 0], ||Ц&]|| ^ Я° п.в. & Є [—Н, 0], (4)

где функции А[і],В [і],С [і],/ [і] ограничены и измеримы, 0[і] и Е [і] непрерывны.

2580

Рассмотрим аппроксимирующую систему

y[0] [t] = A[t]y[0] [t] + B[t]y[m [t] + C [t](y[m-1] [t] — y[m] [t])/Ah + D[t]U + E [t]v,

y[q[t] = (y[i-1][t] — y[i][t])/Ah, i = 1m, t € [t0,T], u € U, v € V, (5)

y[i][t] €Rn, y[i][t0]= y[i], ||y[i] — w[—iAh]\| ^ nAh, i = 0,m.

Пусть K [t] — n x n -матрица-функция такая, что dK [t]/dt = —A[t]K [t], K [t0] —единичная матрица, и y[0][£ — h] = w[£ —10], y[0][£ — h] = w[£ —10] при £ € [t0,t0 + h). Положим

u[t] = u° € argmiii <K[tj\D[tj]u, g[tj]>,

v[t]= v° € argmax <K[tj]E[tj]v, g[tj]>, t € [tj,tj+l) (6)

где ^eV

t t

g[t] = K [t](x[t] —y[0][t])—У K [£]B [£](x[£—h]—y[0][£—h]) d£—J K [£]C [£}(x[£—h] —y [0][£—h]) d£.

to to

Теорема 2. Для любого e> 0 найдутся такие 5 > 0, n> 0 и M € N, что для всех m>M и любых допустимых реализаций u[t0[-]T), v[t0[-]T), при реализациях u[t0[-]T), v[t0[-]T), формируемых согласно (6), для решений x[t] и Y[t] задач (4) и (5) будет справедлива оценка || x [t] — y[0][t]|| ^ е, t € [t0,T].

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. матем. и мех. 1964. Т. 28. Вып. 4. С.716-724.

2. Репин Ю.М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // Прикл. матем. и мех. 1965. Т.29. Вып.2. С. 226-235.

3. Куржанский А.Б. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3. С. 2094-2107.

4. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 458 c.

5. Красовский Н.Н., Котельникова А.Н. Стохастический поводырь для объекта с последействием в позиционной дифференциальной игре // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17. №

2. С. 97-104.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН «Динамические системы и теория управления», при финансовой поддержке УрО РАН (12-П-1-1002), а также при поддержке РФФИ (12-01-00290-а).

Lukoyanov N.Yu., Plaksin A.R. ON APPROXIMATION OF CONFLICT-CONTROLED FUNCTIONAL DIFFERENTIAL SYSTEMS

For conflict-controlled functional differential systems, control procedures with a leader described by an approximating system of ordinary differential equations are considered.

Key words: control theory; delay equations; neutral equations.

2581