Об аппроксимации интегралов типа Коши с весовыми функциями на отрезках интегрирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 516.642.7

ОБ АППРОКСИМАЦИИ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА КОШИ С ВЕСОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ОТРЕЗКАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

© 2013 г. Ш.С. Хубежты, Л.Ю. Плиева

Хубежты Шалва Соломонович - доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Южный математический институт ВНЦ РАН и Правительства Республики Северная Осетия-Алания, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027; профессор, кафедра математического анализа, СевероОсетинский государственный университет, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, 362025, e-mail: shalva57@rambler.ru.

Плиева Любовь Юрьевна - младший научный сотрудник, Южный математический институт ВНЦ РАН и Правительства Республики Северная Осетия-Алания, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027; ассистент, кафедра математического анализа, СевероОсетинский государственный университет, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, 362025, e-mail:plieva-21@mail.ru

Khubezhty Shalva Solomonovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Leading Researcher, Southern Mathematics Institute of VSC RAS and the Government of the Republic of North Ossetia-Alania, Marcus St., 22, Vladikavkaz, Russia, 362027; Professor, Department of Mathematical Analysis, North Ossetian State University, Vatutin St., 46, Vladikavkaz, 362025, e-mail: shalva57@rambler.ru.

Plieva Ljubov Jurevna - Junior Researcher, Southern Mathematics Institute of VSC RAS and the Government of the Republic of North Ossetia-Alania, Marcus St., 22, Vladikavkaz, Russia, 362027; Assistant, Department of Mathematical Analysis, North Ossetian State University, Vatutin St., 46, Vladikavkaz, 362025, e-mail: plieva-21 @mail. ru

Рассматривается вопрос приближенного вычисления интегралов типа Коши, встречающихся в задачах плоской теории упругости. С помощью свободных параметров строятся квадратурные формулы повышенной точности. Даются равномерные оценки погрешностей.

Ключевые слова: квадратурные формулы, интерполяция, аппроксимация, интегралы типа Коши, остаточный член, равномерные оценки.

The question of the approximate calculation of Cauchy integrals appearing in the problem of the plane theory of elasticity. With the help of the free parameters of the quadrature formulas are constructed of high accuracy. Give uniform error estimates.

Keywords: quadrature formulas, interpolation, approximation, integrals of Cauchy type, remainder term, uniform estimates.

Задачи плоской теории упругости сводятся к решению сингулярных интегральных уравнений

4о Мо)+^ А +11К ' № Л = I (*0);

t - tn

вычислению потенциалов по методу Д.И. Шермана

Ф(г) = ^ ^Л,

2 л/ - 7

^ )=-Л-^ л+-!- ^ ¿1--!-л;

2л/ ^ - 7 2л/ ^ - 7 2л/ L (/ - 7)2

нахождению компонентов напряжений и смещений по формулам Колосова-Мусхелишвили Хх + ¥у = 4Яе Ф(г),

¥у - Хх + 2/Ху = 2[7Ф"(7)+¥'(*)],

2ц(и + iv) = k®(z ) - z Ф'(z) - T(z),

Х + 3ц „ „

где к =-= 3 - 4ст > 1; ст =

Х + ц

коэффициент Пуассона; X, ц - постоянные Ламе.

Таким образом, в задачах теории упругости и многих задачах гидро- и аэродинамики встречается необходимость вычисления интегралов типа Коши [1, 2]

1 1 ,лф(0

S(0) (Ф; z) = — J p(t)

2лi -i t - z

s(1)(ф; z) = Jp(t)Ф«

dt,

2лi

dt,

-1

t-z

S(2)(ф; z) = -Lj p(t

2лi -i (t - z)2

■dt,

S(3) (ф; z) = -M p(t)

2лi

-1

t>(t) (t - z)2

dt,

e [-1,1]; p(t) = (1 -1 )a (1+t)ß; (a, ß > -1) -

(1)

весо-

Х 1

-г, 0 <ст < —, ст -

2(Х + ц) 2

где 7

вая функция Якоби; 7 - комплексный параметр; ф(/)- непрерывная функция.

Обычно такие интегралы вычисляются с помощью аппроксимации плотности ф(/) на отрезках интегрирования интерполяционными многочленами. Полученные приближенные квадратурные формулы можно успешно применять для различных значений 7 е В, 7 й [-1,1]. Но как только 7 окажется близко к отрезку интегрирования, точность результатов вычисления существенным образом понижается.

В настоящей работе предлагается новый метод, не имеющий указанный недостаток. Кроме того, для построенных квадратурных формул получаются равномерные оценки (относительно параметра 7) погрешностей. А это немаловажно в теории приближения.

В [3] рассмотрены интегралы (1) в случае весовой функции р(/) = 1 и на замкнутых контурах интегрирования, а в данной работе - эти же интегралы с весовыми функциями Якоби на отрезке интегрирования.

Построение квадратурных формул

Разделим отрезок [-1,1] на n частей точками

2

Xj =-1 + hj , j = 0,1,..,n , h = —. Пусть J n

t е[Хст, Хст+1], to e[xu, хи+1](ст, u = 0,1,...,n-1) . По-

L

строим линейный интерполяционный многочлен

lo0 (t)Ф(хо ) + lc>1(tЖxo+1 Xt е [xa , xo+1 ]' где

WO = t Xg+1 , ЫО- t Ха

Xa Xa+1

Xa+1 Xa

(ct = 0,1,...n-1).

Плотность ф(0 аппроксимируем следующим образом:

Ф(0 « (ф; to) + (t -to) ZW(t) ф(х"+k)-(Ф;t0), (2)

k=0

Xa+k -t0

где Lak (ф; to) =

Ф(0 « Lu(ф; to) + (t - to)

, ^VC^u-L^^VCto) ,

'u-1,0 (t )-+

+lu-u(t)

ф( xu ) - l, (ф; tp)

Xu -10

Xu-1 -10

t0 Ф xu, a = и -1;

T ^ Ф(хи+k ) - Lu (Ф; t0)

Ф(t) = Lu (Ф; t0) + (t -10 ) 2 luk (t)---,

Xu+k -10

k=0

t0 Ф Xu , Xu+b

Ф(t) - Lu (ф; t0) + (t -10)

, ^ф(хи+1) - Lu (ф; tu) ,

'u+1,0(t)--h

Xu+1 -10

+1 (t) Ф(xu+2) -Ф(^>> t

+ lu+1,1(t>-T- > t0 ф xu+b

. xu+2 -10 . ) CT = u +1 (o = 0,1,...,n-1).

Очевидно, что при и = 0 первое равенство отсутствует, а при и = n -1 - третье.

Рассмотрим прежде всего интеграл S(0)(ф; z), заменим в нем функцию ф^) по приближенной формуле (2). Получим

S(0) (ф; z) = -!- X 2га

1 Ф(t) 1 n-1 xa+1 1

X j p(t)dt« — Z J p(t)-— (Lu(ф;t0) +

-1

t - z 2mi a-0 * t - z

dt -

+ (t -10 )2 lak (t) Ф(Xa+k ) - Lgk (Ф; ^

k-0 Xa+k -10

= Lu (ф; t0)y 0( z) +

+ Ï 2 ^ÎW) (t -10 )lak (t)dt Ф(Xa+k) -Lak (Ф; t0)

a-0 k-02mi v t - z

- ч 1 1 dt

где y0 (p, z) - — J p(t)--:

2mi _1 t - z

poxz)jp(t)

- 1 (t -10 Xk (t)

t - z

dt.

ф(/0 ), ст + к Ф и, и +1, ¿и (ф; to), ст + к = и, и +1,

¿и (ф; ^ ) = 1и0 (t0 )ф(хи ) + 1и1 (t0 )ф(хи+1 )

Остаточный член представления (2) имеет вид

я«ст (ф; п )=Ф(to) - ¿и (ф; to) +(t - to кст (ф; t; to

где

г„ст(ф;Г;to)=ф?,^)- 2 1стк(0ф(хст+к)-^(ф;to);

к=0 хст+к -10

ф(t; to)- разностные отношения.

Для более подробного представления основанных на формуле (2) приближенных выражений выпишем раздельно формулы, соответствующие значениям

ст + к = и, и +1:

Для погрешности имеем Я^ (ф; ^; г) =

1 П-1 Хст+1 Я (ф- t■ ^)

= ^2 /р(0Япст (ф; ^t0) Л.

2л/ ст=0 Хп - г

Аналогично вычисляется интеграл 5(1)(ф; г).

(2)

Переходим к вычислению интеграла 5 (ф; г). Для него, полагая вновь t е [хст, хст+1 ] (ст = 0,1,,.../? -1), будем аппроксимировать плотность ф^) следующим образом:

ф(0 иф(to) + (t - t1) +

+(t - т - tl) Е 1стк (/)ф( хст+к, ^-ф(to,tl), (4)

к=0 хст+к - <0

где to Ф tl - произвольные параметры из отрезка [ хи, хи+1] , ф(^0, tl) ; ф(хст+к, tl) - разделенные разности 1-го порядка.

Далее разделенную разность

ф(хст+к, t1) = ф(х"ст+к)—в в^1ражении (4) заме-

хст+к -11

ним, полагая ст + к = и, и +1, отношением

ф(Xa+k ) - Lak (Ф; t1), (Xa+k Ф t1), а ф(?0, t1 ) прибли-

Xa+k -11

зим выражением

ф U ), а ф(<0, lu (ф; t1) - lu (ф; t0)

t1 -10

В результате будем иметь аппроксимацию ф^) по

схеме

ф(t) ) + (t - to) ¿и(ф; V - ¿и(ф; to) + t1 - ^

+(t - to )(t - ч )х

х ^ 1стк(t) Гф(хст+к)-¿стк(Ф; tl) ¿и(Ф; tl) -¿и(Ф; to) 1 (5)

к=0 хст+к -10 ^ хст+к - Ь Ь - ^ )

где подразумевается

t е[хст, лстиЬ t1 е[хи, хи+1^ ^ Ф t1 (0, ст = 0,1,,...П-1).

После внесения (5) в выражение для 5(2)(ф; г) будем иметь

5 (2)(ф; г) = у 2( р, z)ф(to) +

Lu (ф; t1) - Lu (ф; t0) (y 0( р, z) + (z -10 )y 2 ( p, z)) + t1 -10

n-1 1 n, 1

+ 2 2 pa^(t0, t1, z)-

a-0 k-0 Xa+k -10 V Xa+k -11

z -10 )y2 ( p, z)

Ф(xa+k ) - Lak (Ф; t1)

lu (ф; t1) - lu (ф; t0)

л

Xa+k -10

- Lu (Ф, t0)y0 (p, z) +

t1 - tç) ,

- ^П2)(ф; z )+42)(ф; t0, t1, z )

+ r(2)(ф; t0, t1, z ) -

(6)

n—1 1

+ 2 2 pO^ z)-

a-0 k-0 Xa+k -10

фОа+k ) - Lak (Ф; t0)

- ^П0)(ф; z ), (3)

где

Pa2k)(t0, t1, z) Jp(t)

_ 1 (t -10 )(t -11 )lak (t)

2^i

dt,

(t - z)2

X

a

X

a

, ч 1 1 ^ dt

Y2(P z) =— 1 P(t)-T

2ra _i (t - z)2

| p^i,0(t0, ti, z) (ф(Хц+2) _9(ti) фС^+О _ф()^ +

Л 1 P(t)

2ni

-1

t _ to (t _ z)2

-dt = уo(p, z) + (z_to)у2(P, z),

хи+2 _ t0 ,(2)c

хи+2 _ t1

хи+1 хи

/ е[ха, Хс+!], ?о,^ е[Х„, Хи+1] (?о *

В выражении (3) преобразуем члены, соответствующие а + к = и, и +1. Воспользуемся равенствами

ф(хи) -^(ф; Го) _ ф(хи+1) -ф(хи)

ст=0 хст+к _ to

ст^ и, и±1

+ PCTk (t0, t1, z) [фСХст+^Ьф^) _ ф(Хи+1) _Ф(Хи) | +

XCT + k _ t1

xu+1 хи

+Я^ (ф; Го, /1,7) = 42)(ф; 7)+^Пп2)(ф; /о, ¿1,7). (8)

В последнем выражении /о,/1 е [хи, хи+1] (/о */1). Но можно рассматривать и случай /о = ¿1. Тогда ко-

хи _ t0

хи+1 хи

эффициенты р¿1, в (8) примут вид

1 - /о )2 ¡ак (/)

ф(х„+1) - (ф; ^ ) = ф(х„+1) -ф(х„)

хи+1 - ¿о Тогда (3) примет вид

хи+1 хи

т- 1 p(t)

2га „

(t _ z )2

dt (ст = 0,1, ...,n-1, к = 0,1),

S (0)(ф; z) = Zu (ф; t0 )у 0 (Pz) + pU-\, 0 (t0, z)

;; ф(хи_1) _ ф(/0 ) +

хи_1 _ t0

+ (pU°??1 0 (t0, z) + pU0)0 (t0, z) + pU01 (t0, z) +

+ pU0+1,0(t0, z)) ф(X"+1)_ф(x") +

хи+1 хи

+ pU0+1 1(t0, z)ф(хи±2)_ф(^0) +

n—1

= Z p*^ z)-

CT = 0 хст + к _ t0

CT^Ü, ܱ1

хи+2 _ t0 ,ф(хст+к ) _ Ф(t0)

(7)

+ ЯП0) (ф; /о, 7) = 4%; 7) + Я(ф; /о, 7).

Такой вид имеет то преимущество по сравнению с (3), что в последнем выражении правая часть определена и для /о = х„, /о = х„+1 в явном виде.

Для дальнейшего преобразования (6) заметим, что

^(ф; /о) - ^(ф; /1) = (_/о-^ ф(хи) + ф(хи+1) ]х

/о /1 Vхи хУ + 1 хи+1 ху )

t0 _ t1

ф( х 1) — ф( хи ) хи+1 _ хи

Кроме того, для каждого /о ,/1 имеем 'ф(хи)- ^ (ф; /1) ью (ф; /о)" ^ (ф; /1) ^ 1

хи _ t1

t0 _ t1

хи _ t0

= о (/о * хи ).

Таким же образом ( ф( хи+1) - (ф; /1) (ф; /1) - (ф; /о) ^

си+1 _ t1

t1 _t0

си+1 _ t0

= 0(t0 * хи+1).

Тем самым соответствующая (6) приближенная формула примет вид

5 (2)(ф; 7) = у 2( р, 7)ф(/о) + (у о (р, 7) + (* - /о )у 2 (р, 7)) Х

^ф(хц+1) -ф(хц )

хи+1 - хи

ри—1,о (/о, /1, 7) ( ф(хи_ 1) - ф(/1) ф(хи+1) - ф(хи ) ^

хи—1 _ t0

хи—1 _ t1

хи+1 хи

и У

и они легко вычисляются. В остальном трудности нигде не возникают. Формула (8) применяется и для

вычисления интеграла 5(з)(ф; 7).

Покажем, как вычисляются коэффициенты

ракЧ, 7), рОк>(/о, /1,7) (а = о, 1,...,п-1, к = о, 1) .

Рассмотрим случай p(t) =

1

-Л— t2

■. Тогда

pcto (t0, z) = — —12 +(z — t0 — хст+1) ajcsint +

+(z —10 )(z —хст+1)

(

1

Vi—z 2

rln

1 — zt + 7(1 — z 2 )1 — t2)

t —z

хст+1

х

pS!'<to, z)=2b,'— ^

+(z — t0 X^^x

(

1 — t +(z —10 — хст) arcsin t +

1

Vi— z 2

rln

1 — zt ^(1 — z 2 )(l — t2)

t — z

хст+1 хст

pCT20)(t0, t1, z) =

/1 — t +(2 z—t0 —t1 _xст+1)alcsin t +

=—^ [—л/1—72

+ ((z —10 )(z — хст+1 ) + (z —11)(z — хст+1 ) + (z —10 )(z —11))x

1

z2

rln

1 — zt + 7(1 — z 2 )1 — t2)

t —z

+ (z —10 )(z —11)(z —хст+1 )>

' 2 i z —1

Vj—t2

t — z

- ln

1 z 2

1 — zt + >/(1 — z 2 )1 — t2 )

t — z

хст+1

pCT? (to, t1, z) = ^ лЯ—/2 +(2z — to —11 — ха )arcsin t + f((z —10 )(z — xст)±(z — t1)(z — хст)+ (z —10 )(z — t1))x

' 1 ln1 —ztW(1 —z2)1 —12)'

V1 — z2

t —z

+ (z —10 )(z —11)(z —хст)х

CT

x

x

x

1

x

+

x

x

1

1

z

х

CT

z 2 -1

1 -12 t - z

VT-zz

-zt ^(l - z 2 Л -12) t - z

ха+1 ха

Функции У0(р, г), у2(р, г) легко вычисляются [4, 5]. Вот их значения для некоторых весовых функций:

1 /

Р(0 = I , У0(Р, г) =

Л-12

Y2(P, z) =-

2^z2 -1)3

p(t) ^Vl-t2 , Yo(p, z) = - (z -Vz2 -1);

2 ^^ -J;2-!

Y2(p, z) =-

1 -

,4 1 +1 ч 1

p(t) ^^JIJ ' Yo(p, z) = 2

1 -

z +1 z -1

Y2(p, z) =

1

2Vz+I^/ (z -1)3

, ч , 11 1 - z

p(t) = J-, Y0(p, z) = — - + J-

V1 +1 2 V1 + z

Y2(P, z) =-

271-77 (1 + z )3

Очевидно

КЛф; t, to ) =

o(h2) max U"(to)|. 'to 4-1,1]

p('o)-¿и(ф; to) = o(h2) max lp"(to)|, to el"1,1!

Ф(t, to)- Z ^ ф(х*+k)-^(ф; to) к=o ха+к -to

'to e[-1

Можно выразить гио(ф; t, to) через функцию ф" (t)

(ф;

;t, to ) =

2(t -т) )(to - u)ф" (u)du ф" (t)

= j (to-т)3

-lö1(t)x

to -т

dT-

J

2(xg+1 -t) to

(to -т):

3

o (to - u)ф" (u)du - x"+1 тф" (т)

t) t

'n -T

(9)

x d%, oiu, и ±1.

Это доказывается с помощью следующего разложения функции ф^):

p(t) = p('o)+ (t - to )ф(t, to)=p('o)+(t - to )x ( t ^ x Ф(ха, to)+(t - ха Мха, to) + i(t - tVfc to)dT

V ха

= p(to )+

( 1 to + (t-to) Ф(ха,to)-(t-xv)--^ i(to --сУеО«^

V

(

^ t )2 JV<o (ха - to ) ха

' / \ 1 'o/ \?

+ j (t — t) - --— J(to - u)2 ф"'(u)du

i \3 J v'o

(t- to )3 T

Л ^

dT

J J

= Х(ф; t, to ) + (t - to )x

2(t -t) 'j(to -u)ф"(u)du - ——p"(t) 'o -t

t

x J

Л

(T-'o)3

o) T

dT

Оценка погрешности квадратурных формул

Всюду в дальнейших рассуждениях будем считать, что на отрезке [-1,1] функция ф(:) имеет ограниченную производную 3-го порядка. Займемся оценкой порядка погрешности, возникающей в результате

замены интегралах функций 5(0)(ф, г), 5(2) (ф; г) их приближенными выражениями (7) и (8). С этой целью подобно тому, как это делается в теории обычных квадратурных формул [6, 7], укажем интегральное представление членов, используя принятое выше относительно ф(:) предположение.

где

х(ф; t, /0 ) = ф(/0 -1:0 )ф(хст, к)+ (хст - ^ ) хст

В этих преобразованиях использована формула [4]

ф(п)(/, к) = .(- 1)"и+1 tí0 (^ - и) ф{п+%)^ . (t -10 ) t

Так как здесь выражение Х(ф; t, to ) является многочленом 2-й степени, представление (9) очевидно.

При ст = и, и +1 можно убедиться в справедливости формул

г„и-1(ф; ^ to )=ф(:, to)-/и-1,0 Ь )ф(хи-1 )-ф(/0 ) -

- 1и-1,1(t)

Ф(ти+1 )-Ф(ти)

хи-1 - 'o

ти+1 ти

' e [хи—1, хи],

Uv t, to) = p(t, to)-ф(хи+1)-ф(хи), t e [хи, Хи+1], Хи+1 хи

г„и+1(Ф; t, to )=v(t, to)-iu+1,o (t )ф(х:+1 )-ф(хи)-

' e [хи+1, хи+2]

^ ^ ^ ^ хи+1 хи

- lи+1,1(t)-и+2-ф-^, t е [хи+1, хи+2 ]

хи+2 -10

(и = 1,...,п - 2).

Для оценки указанных величин воспользуемся представлением ф(1) по формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме

ф(:) = ф(:0) + ^ - :0)ф'(:0) + | (t - u)ф"(u)du.

Ввиду того, что в^1ражение гпст обращается в нуль на линейных функциях, имеем, например, при

] = и 1

г«и- 1(ф; 'o

t - tn

J (t - u)p"(u) —и 1, o ( ) J (1xu—1 -u)p"(u)du -

хи-1 - 'o tn

1и-1,1 (t)

хи+1 хи

' * 'o,

хи+1

J (хи+1 - u)p"(u)du - J (хи - u)p"(u)du

V 'o

1

1

z

х

a

z

1

x

T

x

х

t

o

x

x

х

х

a

o

аналогично для остальных гпу, у = и, и +1.

На основе указанного выше представления Я^ (ф; /о, 7) общая оценка остаточного члена ап-

проксимации 5(о)(ф; z) приводится к оценке суммы

п 1 ха+1 (/ - / )

Е 1 р(/)^—^ г„а (ф; /, /о)Л/ =

а=о х

п-1

= Е а=о

t — z

хст+1

1 p(t)rnct (ф; t, to)dt+(z - to)x

' V хст

x ^ p(t) rnCT(ф; t, t0)dt dt

xr

CT

/ - 7

Оценку суммы

п-1 ха+1

Е 1 Гпа (ф; /, /о)Л/ = Е + Е

можно полу-

сти оценки O

h2 M

M = max U"(t)|

to e[—1,1]

выполняю-

/ \ CT+1

(z — to ) 1 p(t)-

Дф: t, t0 )

dt

Ввиду

t—z этого

= O(1) J+ p(t)|Гпст(ф: t, to)dt.

для

n—1

XCT+1

z1 (z—to)!' p(t) r

т(ф : t, t0)

ф(t, to bCfa;t, to)+

+1

2(t — t)

0 (to — и)ф"(и)dw — ———ф"(т) di, t e [xст,xCT+^

tn —t

(to —t)3 I

С(ф; t, to) = ^xct) —'ф('0) + t — x° 'j(to — u)ф'(м)du .

xCT — 'o

(t0 — хст) хст

Заменяя / о на /1 , также получим формулу для ф(/, /1), после чего будем иметь

Ф(/, /1 )-Ф(/, /о ) = Ха (ф; ^ /1 )-Х*а(ф; ^ /о ) +

+ 1

хст V , (

-^ЦЗ J (t1 — u У (u )du — (t)

(t1 —t)3 I t1—I

— 1

2(t — t)

ct V(to — t)3 I

di —

/ (to — u )ф " (u )du — ——— ф" (t)

'o —t

di. (10)

чить, используя (9) и остальные представления для гпа (ф; /, /о). В результате убеждаемся в справедливо-

( \

щейся равномерно относительно /о .

Будем считать, что /о, до сих пор считавшаяся произвольно выбранной точкой /о е[-1,1], в интегра-

ха+1 Г (ф' / /п)

ле вида 1 р(/)——' ' о Л/ подобрана таким обра-

ха / - 7

зом, чтобы для заданного 7 расстояние между 7 и /о не превышало бы минимального расстояния между 7 и точками отрезка [-1,1]. Тогда для каждого рассматриваемого а

Используя (10) в представлении

Гпа(ф; /, /о, /1 ) = фЦЬф/^ -/1 - /о

- Е/ак(/) ф(ха+к, /1 )-ф(ха+к, /о) (а = о, 1,, ...,п-1) к=о /1 - /о

и проведя аналогичные для ЯП0) (ф; /о, 7) рассуждения, докажем, что

Яп2) (ф; /о, /1, г) = о(к2 м, М = |ф '(/) .

1 /е[-1,1]

Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.

Теорема. Если ф(/) имеет ограниченную 2-ю производную, то для приближенных квадратурных формул (7) и (8) при соответствующем выборе параметров /о , /1 для остаточных членов справедлива оценка

S (^(ф; z) — sji )(ф; z) < o(h2 )м (i = 0,1,2,3), max

te[—1

где M = max 1ф" (t)|

-1,1]

суммы

Л/ получаем аналогич-

а=о ха / - 7

ную указанной выше оценку. Окончательно, если принять во внимание оценку

|ф(/о)-£и(ф; /о) = о(г2)м М = тах 1ф"(/) , можно

сказать, что для любого 7 е В (имея в виду и точки, сколь угодно близкие к отрезку) соответствующим

подбором / о можно получить оценку о(г2 )(п ^да)

для остаточного члена ЯП(о)(ф; /о, 2) на вышеупомянутом классе функций. Постоянную, входящую в оценку, можно подразумевать не зависящей от 7 и /о .

Оценим погрешность Я\2 (ф; /о, /1 , г) формулы (8)

аппроксимации 5(2)(ф; г). В этом случае аналогичными рассуждениями доказываются представления

Литература

1. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравне-

ния. М., 1966. 512 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи мате-

матической теории упругости. М., 1966. 720 с.

3. Хубежты Ш.С. К приближенному вычислению инте-

гралов типа Коши // Метод дискретных особенностей в задачах математической физики: тр. XIII междунар. симп. Харьков; Херсон, 2007. С. 308-311.

4. Хубежты Ш.С. Квадратурные формулы для сингуляр-

ных интегралов и некоторые их применения. Владикавказ, 2011. 239 с.

5. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных урав-

нений и численный эксперимент. М., 1995. 520 с.

6. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов

типа Коши. Новосибирск, 1980. 120 с.

7. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.,

1967. 500 с.

Поступила в редакцию

8 апреля 2013 г.

t

ст=0 х ст^и, и±1 ст=и, и±1

х

х

CT

CT

и