CC BY
8
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 3 (2020). С. 71-82.
УДК 517.929
ОБ АНТИПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Г.Г. ПЕТРОСЯН
Аннотация. Рассматривается краевая задача для полулинейного дифференциального включения с дробной производной Капуто и отклоняющимся аргументом в банаховом пространстве. Предполагается, что линейная часть включения порождает ограниченную Co-полугруппу. Нелинейная часть включения представляет из себя многозначное отображение, зависящее от времени и предыстории функции до данного момента времени. Краевое условие является функциональным и антипериодическим, в смысле равенства одной функции другой, взятой с противоположным знаком. Для разрешения поставленной задачи будет использоваться теория дробного математического анализа, свойства функции Миттаг-Леффлера, а также теория топологической степени для многозначных уплотняющих отображений. Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего многозначного интегрального оператора в пространстве непрерывных функций. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего мультиоператора будет использоваться обобщенная теорема типа Б.Н. Садовского о неподвижной точке. Поэтому мы показываем, что разрешающий интегральный муль-тиоператор является уплотняющим относительно векторной меры некомпактности в пространстве непрерывных функций и преобразует замкнутый шар в этом пространстве в себя.
Ключевые слова: дробная производная Капуто, полулинейное дифференциальное включение, краевая задача, неподвижная точка, уплотняющее мультиотображение, мера некомпактности.
Mathematics Subject Classification: 34G25, 34К09, 34К37, 47Н04, 47Н08, 47Н10
1. Введение
Исследование управляемых систем с нелинейными звеньями является сложным и чрезвычайно важным разделом современной математической теории управления и гармонического анализа, имеющим многочисленные приложения и привлекающим в настоящее время внимание очень многих ученых, как в нашей стране, так и во всем мире. В свою очередь, развитие теории дифференциальных включений связано с тем, что они являются удобным и естественным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального управления, математической физики, радиофизики, акустики и др. Однако
G.G. Petrosyan, On antiperiodic boundary value problem for a semilinear differential
inclusion of fractional order with a deviating argument in a banach space.
© Петросян Г.Г. 2020.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-31-60011.
Поступила 16 января 2020 г.
решение этих задач в рамках имеющихся теорий часто является весьма сложной проблемой, поскольку многие из них находят достаточно адекватное описание в терминах дифференциальных уравнений и включений с дробными производными. Многие физические, экономические, биологические и инженерные задачи, в первую очередь связанные с протеканиями процессов в динамических системах, приводят к необходимости исследований краевых задач для дифференциальных уравнений и включений дробного порядка (см, монографии [8, 16, 19, 20, 23], статью [17]), В последние годы исследование целого комплекса задач, связанных с уравнениями и включениями дробного порядка, очень интенсивно ведется в России и за рубежом (см, статьи [1]-[5], [10]-[15], [21, 22]),
В настоящей работе исследуется разрешимость краевой задачи для полулинейного дифференциального включения дробного порядка в сепарабельном банаховом пространстве Е следующего вида
х(ь) е Ах(г) + Р(г,х^, г е [0,т], (1.1)
с граничным антипериодическим условием
хо = — хт. (1.2)
Здесь символом сИ4 обозначается дробная производная Капуто порядка д е (0,1), А: И (А) С Е ^ Е линейный оператор, порождающий ограниченную С0-полугруппу (подробные сведения о теории полугрупп операторов можно найти в монографии [6]), Р: [0,Т] х С([—Ъ, 0]; Е) ^ Е нелинейное многозначное отображение и функция х^ определяет предысторию решения до момента Ь е [0, Т], т.е., х4(в) = х(£+з), в е [—Ъ, 0], 0 < к < Т, соответственно предполагается, что х0, хт е С([—Ъ, 0];Е). Для разрешения поставленной задачи будет использоваться теория топологической степени для многозначных уплотняющих отображений. Идея решения состоит в следующем: исходная задача сводится к задаче о существовании неподвижных точек соответствующего разрешающего многозначного интегрального оператора. Для доказательства существования неподвижных точек разрешающего мультиоператора будет использоваться обобщенная теорема типа Б.Н. Садовского о неподвижной точке.
2. Предварительные сведения
2.1. Дробный интеграл и дробная производная. Вначале введем необходимые понятия и обозначения из дробного математического анализа (более подробные сведения можно найти в следующих монографиях [16, 19, 23]).
Е
Определение 2.1. Дробным интегралом порядка д е (0,1) функции д : [0,Т] ^ Е называется функция Iяд следующего вида:
1 Г*
Iя 9 (*) = щ/о(* — 5 У-19 ( я )<18,
где Г гамма-функция Эйлера
Г(д) = хд-1е-Хйх.
0
Определение 2.2. Дробной производной Римана-Лиувилля порядка д е (0,1) непрерывной функции д : [0,Т] ^ Е называется, функция Ояд следующего вида:
1 в
^^ГОГ—Й ШI— ^
при условии, что правая часть корректно определена.
Определение 2.3. Дробной производной Капуто порядка д € (М — функции
д Е См([0,Т]; Е) называется функция сБ09 следующего вида:
С9(Ь) = -п,^-) ¡'(1 — в)"--1д™(в) йв Г(Ж — а) ^
при условии, что правая часть корректно определена.
Дробная производная Капуто порядка q Е (0,1) для непрерывной фупкции д : [0, Т] ^ Е связана с дробной производной Римана-Лиувилля порядка д € (0,1) следующим соотношением:
сБ*д(1)= (VШ — д(0))) (I).
Большим преимуществом дробной производной Капуто, по сравнению с дробной производной Римана-Лиувилля, является сохранение основных свойств производной целого порядка, например равенство нулю производной от константы.
Определение 2.4. Функция вида
ж п
,,=„ Г(1п + е У
называется, функцией Миттаг-Леффлера.
Как правило, функцию Ед>1 обозначают более просто Ед. Функция Миттаг-Леффлера имеет большое значение в дробном исчислении. Например, рассмотрим задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения дробного порядка
св4х(г) = \х(г) + f(г), г Е [0,Т], (2.1)
ж(0) = х0, (2.2)
где А Е К, $ : [0,Т] ^ М. непрерывная функция. Решением данной задачи является непрерывная функция х : [0,Т] ^ К удовлетворяющая условию (2.2), для которой дробная производная Капуто сх также непрерывна и удовлетворяет уравнению (2.1). Известно (см. [16], Пример 4.9), что единственным решением данной задачи является функция
х(г) = Е,(\?)х0 + /V — зу-1Е^(\(г — 8)1)!(з) ¿8. (2.3) ./о
В дальнейшем нам понадобятся следующие соотношения (см. [7])
1
т
г?-1 Ед>р (ХР )<И = / (Хгя). (2.5)
ЕчФ (г) = + ¿К/з+я (г), (2.4)
4,1
I о
2.2. Меры некомпактности и уплотняющие отображения. Пусть Е банахово пространство. Введем следующие обозначения:
• Р (Е) = [А СЕ : А = 0} ;
• РЪ(Е) = [А Е Р(Е) : А ограничено };
• Рь(Е) = [А Е Р(Е) : А выпукло};
• К(Е) = [А Е РЪ(Е) : А компактно};
• КУ(Е) = РУ(Е) П К(Е).
Определение 2.5. (См. например [9у. Пусть (А, частично-упорядоченное множество. Функция ¡3 : РЬ(Е) ^ А называется мерой некомпактности (мнк) в Е, если для, каждого П Е РЬ(Е) выполняется:
¡3 (соП) = ¡3 (П),
где соП обозначает замыкание выпуклой оболочки П. Мера некомпактности 3 называется:
1) монотонной, если для любых По, П G Pb(£), включение По С П влечет неравенство 3(По) ^ 3(П);
2) несингулярной, если для любого a G £ и любого П G PЬ(£) выполняется равенство 3({а} и П) = 3(П).
Если Л конус в банаховом пространстве, то мера некомпактности 3 называется:
3) правильной, если равенство 3(П) = 0 эквивалентно относительной компактности множества П G Pb(£);
4) вещественной, если Л подмножество действительных чисел R с естественным порядком;
5) алгебраически иолу аддитивной, если 3(П0 + П1) ^ 3(П0) + 3 (П1), для всех По, П1 GPЬ(£).
Примером вещественной мнк, удовлетворяющей всем вышеперечисленным свойствам, является мнк Хауедорфа х(П)
х(П) = inf{е > 0, для которых П имеет конечную е-сеть в £ }.
Отметим, что мнк Хауедорфа удовлетворяет также свойству полуоднородности:
х(АП) = |А|х(П),
для всех А G R и П G P(£). Более того, если С : £ ^ £ линейный ограниченный оператор, то
х(С(П)) = ||С||х(П)
для любого П G P(£),
Норма множества М G PЬ(£) определяется по формуле:
||М|| = sup ЦхЦе .
хем
2.3. Многозначные отображения. Следующие понятия и утверждения можно найти в монографиях [9, 18].
Определение 2.6. Пусть X замкнутое подмножество £, [3-мнк в £. Многозначное отображение (мультиотображение) Т : X ^ К(£) называется уплотняющим отно-
3 3 П G P ( X),
относительно компактным, выполняется:
3(F(П)) > 3(П).
X
Т : X ^ P(£) называется, полунепрерывным сверху (пн.св.), если,
Т-1(V) = {х GX : Т(х) С V} является, открытым, подмножеством X, для каждого открытого множества V С £.
Теорема 2.1. (См. Следствие 3.3.1 из [9]J. Пусть М - ограниченное выпуклое замкнутое подмножество £ и Т : М ^ Kv(М) - пн.св., 3-уплотняющее мультио-3 £. Fix Т = {х : х G Т(х)} суть непустое множество.
Определение 2.8. Для 1 ^ р ^ <х>, мультифункция G : [0, г] ^ К(£) называется:
• Lp-интегрируемой, если, она, допускает Lp-интегрируемое по Бохнеру сечение, т.е. существует функция g G Lp ((0, г); £) такая, что g(t) G G(t) для, п.в. t G [0, г];
• Ьр-интегрально ограниченной, если существует функция £ Е Ьр((0,т)) такая, что
\№)\\ ^ т
для, п.в. Ь Е [0, г].
Множество всех ¿р-интегрируемых сечений мультифункции С : [0, г] ^ К(Е) будем обозначать следующим образом БЦ[0,т].
Определение 2.9. Интеграл, для, Ьр-интегрируемой мультифункции С : [0,т] ^ К(Е) определяется, следующим образом,:
г-т
¿в :
G(s) ds = [ f (s) ds : f eSpG[0,r]}.
Е
и С : [0, т] ^ К(Е) интегрируемая, интегрально ограниченная мультифункция такая, что
х(С(г)) ^ у(г) для п.в. г Е [0,т],
где х мнк Хаусдорфа в £ и v Е L+(0,r). Тогда,
х( í G(s) ds) ^ í v(s) ds.
о
3. Существование решений
В дальнейшем для краткости будем обозначать С := С([-h, 0]; Е). Будем полагать, что оператор А подчинен условию
(А) А : D(A) С Е ^ Е линейный замкнутый (не обязательно ограниченный) оператор, порождающий ограниченную С0-полугруппу {U(í)}t>0 линейных операторов в Е.
На многозначный оператор F : [0,Т] х С ^ Kv(E) наложим следующие условия:
(F1) для любо го £ Е С мультифунк ция F (■,£) : [0,Т ] ^ Kv (Е) допускает измеримое сечение;
(F2) для п.в, t Е [0, Т] мультиоператор F(t, ■) : Е ^ Kv (Е) пн.св,;
(F3) существует функция а Е L^([0, Т]) такая, что для каждого £ Е С мы имеем неравенство
\\F(í,£)\\e ^ a(t)(1 + \\£\\с) для п.в. t Е [0,Т],
(F 4) существует фун кция ^ Е L^°([0, Т]) такая, что для каждого ограниченного множества А С С выполняется:
X(F(t, А)) ^ y(t)<p(A),
для п.в, t Е [0,Т], где р(А) = supx(A(s)), % мнк Хаусдорфа в Е, A(s) = {y(s): у Е А}. '
Для функции х Е С([-h,T]; Е) рассмотрим мультифункцию
Ф : [0,Т] ^ Kv(E), &(t) = F(t,xt).
Из условий (F1) — (F3) следует (см. [9], Теорема 1,3,5), что мультифункция Ф является ¿^-интегрируемой, поэтому суперпозиционный мультиоператор V^ : С([—h,T]; Е) ^ Р(L^([0,T]; Е)) может быть определен следующим образом:
V^?(x) = S£[0,T ].
Определение 3.1. Интегральным решением, включения (1,1) называется, функция х е С([—Ъ,Т];Е), удовлетворяющая равенству
х(0 = д(г)х(0)+[ (г — 8)д-1Т(г — 8)ф(з)<18, ге [0,т], (з.1)
0
где ф е Р£?(х),
Л<те /»те
о(*)= / &(0)и(14)сШ, Т(г) = д в^(в)и(14)йв, 00
& (в) = -0-1-1 ф ч(в-1/*),
те
ф яГ ^ !
^ ^—' И!
га=1
Замечание 3.1. (См. например [21,23],). Справедливы, следующие выражения
/те лте 1
& (в)м = 1, ^ ^ = .
(0) = 1 V(—1)га-1 ^га-1 Г(И 9 +1) 8т(птгд),в е К+.
•7Г -^ Г) I
Замечание 3.2. (См. например [17],). В скалярном случае, когда, Е = К и и(¿) = е ^ с г] > 0:
^(¿) = Ед(—^), Т(1) = Ед>д(—^), г е [0,Т], поэтому справедливы следующие равенства:
тете
Ед(—г) = &(0)е~гвсШ, Ед>д(—г) = дв£д(0)е"^0,
00
из которых следует, что
Ед (г) > 0, ЕдЯ (г) > 0 для г < 0. (3.2)
Лемма 3.1. (см,. [23, 21\) Оператор-функции, Я иТ удовлетворяют следующим условиям:
1) для, любо го Ь е [0,Т], 0 (¿) и Т(£) являются, линейными ограниченными операторами
и( )
\\и(¿)|| ^е, ^ 0, (3.3)
> 0,
\\д(*)\\ ^ Ед(—пР) ^ 1, 1е [0,Т], (3.4)
\\Т(*)\\ ^ Ем(—пР) ^ , I е [0,Т]; (3.5)
2) оператор-функции 0(•) и Т(•) являются, сильно непрерывными, т.е. функции Ь е [0,Т] ^ 0(¿)х и Ь е [0,Т] ^ Т(¿)х непрерывны для, всех х е Е.
Для разрешения поставленной задачи будем полагать, что выполняется следующее условие:
1 е вР[—о (т)]. (з.б)
Рассмотрим мультиоператор С : С([—Ъ,Т];Е) ^ Р(С([—Ъ,Т];Е)), заданный следующим образом:
С(х) = {у},
для всех функций у вида
fT
\-i
y(t) = - Q(t) (I + Q(T))-1 (T - 8)q-1T(T - 8)ф(8)й8
Ю
+ f(t - s) q-1T(t - s)<f>(s)ds, t e [0,T], ^
Jo
[y(s) = - y(T - s), s e [-h, 0],
где ф e Vp(x).
Корректность определения мультиоператора С справедлива в силу следующей леммы. Лемма 3.2. Если у Е С(х) длях Е С ([—к,Т];Е ),то у(0) = —у (Т) и поэтому у0 = — ут. Доказательство. Действительно,
¡■Т гТ
у(т ) = — д (т )(1 + д (т ))-1 (т — 8) *-1Т(т — 3 )ф( 8 )й8+ (т — 8) *-1т(т — 8 )ф( 8
¿0 ¿0
т
- 8)4 1 I (Г - 8)ф(8)а8
(- q(Т)(i + д(Т))-1 + 1) / (Т - 8)Ч-1Т(Т - 8)ф(8)ds
= (1 + д(Т))-1 Г(Т - 8) 1-1 Т(Т - 8)ФШ8 = -у(0). o
Равенство у0 = -yT будет следовать из определения G. □
Теорема 3.1. Неподвижные точки м,ультиоператора, G являются, интегральными, решениями задачи (1.1) —(1.2), обратно интегральные решения задачи (1.1) —(1.2) явля,-
G.
Доказательство. Пусть x интегральное решение задачи (1.1)—(1.2), тогда для t e [0,Т] имеет место выражение
x(t) = g(t)x(0) + f (t - s)q-1T(t - s)<f>(s)ds,
o
где ф e Vp(x). Тогда из условия (1.2) будет следовать, что
x(0) = -x(T) = -g(Т)x(0) - f (T - s)i-1T(T - s)<l>(s)ds,
o
из которого следует равенство
fT
x(0) = - (1 + g(Т))-1 (Т - s)i-1T(T - s)<f>(s)ds,
o
благодаря которому мы для t e [0,Т] получаем, что
x(t) = -g(t)(I + g(T))-1 f (T - s)q-1T(T - s^(s)ds+ f (t - s)q-1T(t - s^(s)ds, (3.8)
oo
следовательно, x e Fix G.
Обратно, пусть функция x e Fix G^ ^^^^^ она для t e [0,T] удовлетворяет уравнению (3.8) с ф e Vp(x), откуда и следует, что данная функция - интегральное решение включения (1.1). В свою очередь справедливость условия (1.2) следует из леммы 3.2. □
G.
G
ния.
Доказательство. Очевидно, что утверждения достаточно доказать для сужения .мулы но-ператора G на пространство С([0, Т]; Е), Обозначим это сужение через G.
Мультиоператор G: С([-h, Т]; Е) ^ Р(С([0, Т]; Е)) может быть представлен в виде композиций:
G(x) = a о е о д öS oVJ?(x), (3.9)
где
S : L~([0,T];E) ^ С([0,Т];Е),
S(<)(t) = f (t - s)q-lT(t - s)<(s)ds, J 0
д: С([0, T]; E) ^ С([0,Т];Е) x С([0,T];E), д(и) = (и, и),
е: С([0,Т]; Е) x С([0,Т];Е) ^ С([0,Т];Е) x С([0,Т];Е),
е(и, v) = (w, v),
w(t) = -Q (t)(I + Q (Т ))-1и(Т), a: С ([0, Т]; Е) x С([0,Т];Е) ^ С ([0,Т];Е), а(и, v) = и + v.
В работе [10] было доказано, что мультиоператор S о Vp является пн.св. и имеет компактные значения. Теперь, учитывая, что д, е и a линейные ограниченные операторы, мы получаем желаемый результат. □
G
рение конус
R+ = (С = (<1, <2): <1 ^ 0, (2 ^ 0}, (3.10)
при этом считая R+ линейно упорядоченным множеством с естественным порядком и в пространстве С([-^Т];Е) введем меру некомпактности
и: Р (С ([-h, Т]; Е)) ^ R+,
определенную как
!/(П) = (р(П), modc(П)) , где ^(П) - модуль послойной некомпактности
р(П) = sup Х((У(t): У^ П}),
te[-h,T ]
а вторая компонента есть модуль равностепенной непрерывности:
mod с(П) = lim sup max ||и(£ 1) - и(£2)||.
Теорема 3.2. При выполнении условий (А), ( F1) - ( F4), а также следующего условия (А1) полугруппа, U подчиняется оценке (3.3) для, некоторого rj > 0. Если
< 1, (3.11)
где ß(^) функция из условия (F4), то мультиоператор G является, и-уплотняющим.
Доказательство. Пусть П С С([-h,Т];Е) непустое ограниченное множество, для которого
и(G(^) ^ и(П). (3.12)
П
Из (3,12) следует, что
П)) ^ П). (3.13)
Пусть 0 ^ Ь ^ Т. Используя оценки (3,4)-(3,5), свойство (Р4), и обозначая для 0 ^ э ^ Т, П. С С,
П. = (ж.: х Е П},
мы получаем
х (С(П)(г)) Ы — д(г)(1 + д(т))-1 Г(т — а)*-1Т(т — 8)р(а, п.)^
(
)
^ W-QWW ||(/ - (-Q С0))-1|| x(Jo(T - 8)q-1T(T - s)F(8, ns) da) + x([(t - 8) q-1T(t - s)F (8, Qs) ds)
T
o
+ (t - s)q-1T(t - s)F(s, Qs)ds o
T
< 1 -i--^ J, (T - S)q-1E™ - (T - ds
+ f (t - S) q-lEq,q (-П (t - s)q)n(s)p (Qs) ds o
^ 1 1И- sup x(^(t)) Г(T - s)q~1Eq,q(-n(T - s)q)ds
1 - Eq(-V1 q) te[-h,T] Jo
+ 1И - sup X(m)f(t - s) q~lEq,q (-n(t - s)q)ds. te[-h,T] Jo
Для дальнейшей оценки x (G(Q)(t)), t e [0,T], вычислим интегралы в последней оценке с помощью формулы (2.5):
Г (Т - s) q-1Eq,q (-П (Т - s)q)ds = - Г (Т - S) q-1Eq,q (-V(T - s)q)d(T - S) oo
= Г yq-1Eq,q (-vyq)dy = TqEq>q+1(-VTq). o
Аналогичным образом получаем
Г (t - S) q-1Eq,q (-П (t - s)q)ds = tqEqiq+1(-r]tq).
o
Теперь заметим, что если возьмем 0 = 1 в формуле (2.4), то мы получим
1
гЦ)
Таким образом, мы получаем следующие равенства
E, (-Vt') = ^ - r1tqEq,q+1 (-Vtq) = 1 - VtqEq,q+1(-r]tq).
T 1 1 (T - a)q-1Eq,q(-V(T - s)q)ds = Tq— (1 - Eq(-VTq)) = - (1 - Eq(-VTq)) lo 11 1
1
(t - a) q-1Eq,q (-V (t - s)q)ds = 1(1 - Eq (-Tf1*)) .
o
Поэтому для t G [0, Т] мы имеем
Е (х (Gmt)) < qV'llJHL sup х(П(г))-(1 — Eq(—ятд))
Eg ( — Vtq) ,, ,,
Е ( ' г!тд) - sup х(ВД)-(1 Eg(
1 — Ед (—V1 q) te[-h,T ] V
+ |И- sup х(П(*))^(1 — Eg(—Vtq)) te[-h,T] П
sup х(П( )).
V te[-h,T ]
Из последней оценки получаем неравенство
sup х (G(Q)(t)) ^^^ sup х(П(1)). (3.14)
te[o,T] V te[-h,T]
G
sup х ^(П)(з)) = sup х (^П)(*)) ^ sup х (G(Q)(t)). (3.15)
se[-h,o] te[T-h,T] te[o,T]
Учитывая оценки (3.14) и (3.15), мы имеем
sup х (Gmt)) ^^^ sup х(П(*)),
te[-h,T] V te[-h,T]
или, что тоже самое
<р (G(п)) ^ М-^П).
Из последней оценки и неравенств (3.11), (3.13) следует, что
р(П) = 0.
В работе [10] было показано, что на промежутке [0,Т] :
mod с (S oVp (П)) = 0, для мультиоператора G из (3.9), мы также получаем
mod с (<5(П^ = 0.
G,
mod с (G(^) = 0,
из которого окончательно, в силу (3.12), получим, что
mod с (П) = 0.
П
ство. □
Теперь мы можем доказать главный результат работы. Теорема 3.3. При выполнении условий (А), (А1), ( F1) — ( F4), если
-< 1, (3.16)
где к = max{||а|| —, Н^Ноо} , функции а и ^ из условий (F3) и (F4) соответственно, г] -константа из условия (А1), задача, (1.1) —(1.2) имеет решения.
зо
Доказательство. Возьмем произвольное х € С([-Ъ,Т];Е) и у € С(х), тогда для ф € Т^(х) мы имеем для Ь € [0,Т] следующую оценку:
-д(ь)(1 + д(Т))-1 Г(Т - з) 1-1Т(Т - з)ф(з)йз + - з) 1-1Т(1 - з)ф(з)йз ио ио
гТ
Е ^
Е
^ W-Q(*)\\ ||(/ - - (Т)))-1\\ (т -8)я-1Т(т - 3И s)(1 + \\xa\\c)d3
^S\\с)
10
+ (t - s)9-1 \\T(i - в )\\a(s)(1 + \\xe\\c)ds
rT
1 -t-vT^ l (Т - s)"1E™-(Т - *)Х*)(1 + \\xllс{[-н,ПЕ))
+ / (t - s)q-1Eg,g(-v(t - S)>(S)(1 + \\x||ca-h,TbE))ds
^ 1 ^ЫГ^ \HI ~(1 + "x" с ME)) 1 (1 - Eq (-г/Т*)) + \M| «(1 + \\x || с {[-h,T];E)) 1 (1 - Eq (-vtq))
_ W W "(1 + \\xW C([-h,T];E)) ^ ~ (1 + \\x\\C([-h,T]; E))'
^ 4 11 "сц-'<-,ТЬЕ)' ^
Заметим, что в силу определения мультиоператора С, последняя оценка справедлива также для Ь € [-Ъ, 0], Теперь, если мы возьмем
к * т^т.
1 - к г]-1
то неравенство ||х||с(—ь,Туе) ^ К влечет оценку ^(х)!!^^^.Е) ^ К. Таким образом, мультиоператор С преобразует замкнутый шар Дк(0) С С([-Ъ, Т];Е) в себя. По теореме 2,1 С имеет неподвижную точку, которая в силу теоремы 3,1 есть интегральное решение задачи (1.1)—(1.2). □
0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Афанасова .\!.('.. Петросян Г.Г., О краевой задаче для функционально-дифференциального включения дробного порядка с общим начальным, условием в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 63:9, 3-15 (2019).
2. Петросян Г.Г., Афанасова .\!.('.. О задаче Коши для дифференциального включения дробного порядка, с нелинейным граничным условием // Вестник Воронежского государственного университета. Серия Физика. Математика. 1, 135-151 (2017).
3. М. Afanasova, Y. Ch. Liou, V. Obukhoskii, G. Petrosvan, On controllability for a system governed by a fractional-order semAlinear functional differential inclusion in a Banach space // Journal of Nonlinear and Convex Analysis. 20:9, 1919-1935 (2019).
4. J. Appell, B. Lopez, K. Sadarangani, Existence and uniqueness of solutions for a nonlinear fractional initial value problem involving Caputo derivatives //J- Nonlinear Var. Anal. 2, 25-33 (2018).
5. I. Benedetti, V. Obukhovskii, V. Taddei, On generalized boundary value problems for a class of fractional differential inclusions // Fract. Calc. Appl. Anal. 20, 1424-1446 (2017).
6. K.-J. Engel, R. Nagel, A Short Course on Operator Semigroups. Universitext, Springer, New York (2006).
7. R. Gorenflo, A.A. Kilbas, F. Mainardi, S.V. Rogosin, Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (2014).
8. R. Hilfer, Applications of Fractional Calculus in Physics. World Scientific, Singapore (2000).
9. M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Walter de Gruvter, Berlin, New-York (2001).
10. M. Kamenskii, V. Obukhovskii, G. Petrosvan, J.C. Yao, On semilinear fractional order differential inclusions in Banach spaces // Fixed Point Theory. 18:1, 269-292 (2017).
11. M. Kamenskii, V. Obukhovskii, G. Petrosvan, J.C. Yao, Boundary value problems for semilinear differential inclusions of fractional order in a Banach space / / Applicable Analysis. 97:4, 571-591 (2018).
12. M. Kamenskii, V. Obukhovskii, G. Petrosvan, J.C. Yao, On approximate solutions for a class of semilinear fractional-order differential equations in Banach spaces // Fixed Point Theory Appl. 28:4, 1-28 (2017).
13. M. Kamenskii, V. Obukhovskii, G. Petrosvan, J.C. Yao, Existence and Approximation of Solutions to Nonlocal Boundary Value Problems for Fractional Differential Inclusions // Fixed Point Theory and Applications. 2, (2019).
14. T.D. Ke, N.V. Loi, V. Obukhovskii, Decay solutions for a class of fractional differential variational inequalities // Fract. Calc. Appl. Anal. 18, 531-553 (2015).
15. T.D. Ke, V. Obukhovskii, N.C. Wong, J.C. Yao, On a class of fractional order differential inclusions with infinite delays // Applicable Anal. 92, 115-137 (2013).
16. A.A. Kilbas, II.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier Science B.V., North-Holland Mathematics Studies, Amsterdam (2006).
17. F. Mainardi, S. Rionero, T. Ruggeri, On the initial value problem for the fractional diffusion-wave equation // Waves and Stability in Continuous Media. World Scientific. Singapore. 246-251 (1994).
18. V. Obukhovskii, B. Gelman, Multivalued Maps and Differential Inclusions. Elements of Theory and Applications. World Scientific, Singapore (2020).
19. I. Podlubnv, Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego (1999).
20. V.E. Tarasov, Fractional Dynamics. Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media, Springer, London, New York (2010).
21. Z. Zhang, B. Liu, Existence of mild solutions for fractional evolution equations // Fixed Point Theory. 15, 325-334 (2014).
22. Y. Zhou, F. Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations // Comput. Math. Appl. 59, 1063-1077 (2010).
23. Y. Zhou, Fractional Evolution Equations and Inclusions: Analysis and Control. Elsevier Academic Press, London (2016).
Гарик Гагикович Петросян,
Воронежский государственный университет инженерных технологий,
пр. Революции, 19,
394036, г. Воронеж, Россия
E-mail: garikpetrosyan@yandex.ru
