ОБ АНАЛОГЕ ТЕОРЕМЕ ВИЕТА В РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Республики Таджикистан и 60-летию Таджикского технического Университета им. М.С. Осими. -2016. -Душанбе: ТТУ. -С. 129-131.

4. Т.М. Алидодов. Методика определения и расчета внутреннего напряжения в активном слое

гетероструктур GaInAsP\InP/ Т.М. Алидодов, Х.Х. Муминов/ Известия АН РТ, 2018, №3(1972), С. 36-41.

5. Алидодов, Т.М. Расчёт внутреннего напряжений в многослойных гетероструктурах на основе

GaInAsP/InP/ Т.М. Алидодов, Х.Ш. Абдулов, Х.Х. Муминов // Известия АН РТ. -2018. -№1(170).-С. 4956.

6. Nelson R.J. Calculated Auger rates and temperature dependence of threshold for semiconductor lasers emitting at

1.3 and 1.55 ^m/R.J. Nelson, N.K. Dutta// Jap. I. App.Phis. 1983, 54, 8, P.2923-2929.

УДК 51(075.3)

ОБ АНАЛОГЕ ТЕОРЕМЕ ВИЕТА В РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

МАХКАМОВ М.

кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебра и теория числе Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни, г. Душанбе, [email protected]

В статье доказывается, что дополняя к формулам Виета еще и разность корней, также можно легко решать такие уравнения Также устанавливается, что квадрат разности корней и дискриминант приведенного квадратного уравнения равны между собой. Приведенный здесь способ решения квадратных уравнений является новым и в литературе не встречается.

Ключевые слова: Теорема Виета, аналогия, корни квадратного уравнения, разность корней, коэффициенты, дискриминант приведенного квадратного уравнения, наименьшая разность.

ON THE ANALOGUE OF THE VIETA THEOREM IN THE SOLUTION OF A QUADRATIVE EQUATION

MAKHKAMOVM.

Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor of the Department of Algebra and Number Theory of the Tajik State Pedagogical University of named after S. Aini,E-mail: mahkamov_m51@,mail.ru

The article proves that by adding the root difference to the Vieta formulas, it is also possible to easily solve such equations. It is also established that the square of the difference of the roots and the discriminant of the reduced quadratic equation are equal to each other. The method of solving quadratic equations given here is new and is not found in the literature.

Keywords: Vieta's theorem, analogy, the square root of the equation, the root difference, the coefficients, the discriminates of the given square equation, the smallest difference.

Мукаддима. Известно, что для нахождения корней приведенного квадратного уравнения v" - ;.> V = существует много методов их решения, и часто прибегают к результату теоремы Виета -i^ + х2 = —pnx±-x2 = —q.

Далее в этой заметке мы покажем, что дополняя к формулам Виета еще и разность корней, также можно легко решить такие уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение

ах 2 + Ьх + с = 0

Решение этого уравнения будем искать с использованием разности его корней в дополнении к теореме Виета. С этой целью делим обе части этого уравнения на коэффициент .". = - и получим

В уравнение (1) обозначив - = р, - — q получаем следующее приведенное квадратное

а а

уравнение

х2 + рх + q = 0 (2)

Имеют места следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть х1гх2 - корни приведенного квадратного уравнения (2). Тогда имеет место равенство

т.е., квадрат разности корней х±!х2 и дискриминант приведенного квадратного уравнения равны .

Доказательство. Обозначив т = х1— х2 и используя теоремой Виета, построим систему уравнений

гх.

х2 = т,

= -V, ( х2 = ц.

Для определения значение т прибавляем первому уравнению второе и вычтя из первого уравнения второе будем иметь следующую систему

Подставляя значения х±,х2 в третье уравнение системы, находим (т — р)(т р) = —4(7.

Отсюда — р2 = или т2 = р2 — 4q. Тогда т = ±^р2 — 4д .

Значит т' = — х2}2 = р- — Aq т.е. квадрат разности корней х1гх2 и дискриминант приведенного квадратного уравнения, равны. Таким образом, корни квадратного уравнения можно найти по формулам

=т(т-р) =

-р + т

Х2 = ~т(т + Р) =

-р—т

(3)

(4)

Из объединения формул (3) и (4) следует, что для нахождения корней приведенного квадратного уравнения справедливо

X;

-р+т

(5)

-1,2 2

Если вместо т поставить его значение х±—хг, то получаем общеизвестную формулу нахождения корней приведенного квадратного уравнения

х,

-45

(6)

1.2 2

Из формулы (6) видно, что сначала вычисляется наименьший корень, затем наибольший. Для нахождения разности корней приведенного квадратного уравнения достаточно использовать одного из выражений

т = ^'р2 — 4(7 или т = —\'р2 — 4(7 .

Теперь можно показать, что если х± и х2 являются корнями уравнения х- рх + ц = О,

то имеет место соотношение

12 _ /■„ „ Л2

С^-^)2 = (I - х^ + (х - х2)2 Пусть х1 и х2 являются корнями (х — х±~)2 + (х — х2У = т2.

Справедливо следующее утверждение.

уравнения х - + рх + ц = 0. Обозначим

Теорема 2. Если (л* — х^2 + {х — х^2 = тг, то и х2 являются корнями уравнения

Доказательство. Обозначив через ш разность корней уравнения, получим следющее равенство:

(х - х.^2 + (х - х2У = т2. (8)

Если поставить значения хъ х2ит системы (3) в равенстве (8), то будем имееть

Выполнив некоторые выкладки в (9), получим:

... _ ..,,_.,■..._ .,, _ ,-_::;.■._ : V — — :_::■■; — - = ■;--_-;

4 4

2х2 + 2рх + - ^р2 + 4(7 = 0. (10)

Подставляя (8) в (10), окончательно будем иметь: 2х: + 2рх + \ (р2 - 4ч) -\р2 + 4ч = 0;

.1 у ■ - ~;.) ■■ - I.; = ^ или -,■- _ _ - -

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Если в квадратном уравнении х~ + рх + q = 0 выполнено условие (х — х^- + (х — х2)'=(х1 — х2У, то х1 и х2 будут корнями этого уравнения.

Доказательство. Покажем, что если х1 и х2 являются корнями уравнения (2), то имеет место равенство

(х-х±)2 + (х-х2У=(х±-х2У. (11)

Производя некоторые преобразования в (11), получим: х ] ] х 2х-^х^ ] х ^ -7 ] х-л^

2х ~ " 2 л х^ 2хх ^ ] 2.x ;

.

Разложим левую часть на множителии будем иметь:

;

(х — хь) (г — х2) = 0.

Отсюда следует, что х = хъх = х2.

Теорема доказана.

Мы показали, что если х±и хг суть корнями квадратного уравнения х^ +рх + ц = 0, то квадрат разности корней равен (х - Хд)" + (х — х2):. То есть, (х — д^)2 + (х — х2)2=(х1 — х2):.

Если в равенстве (11) х± и х2 есть корнями квадратного уравнения, то имеют места следующие тождества:

прих = х1: (х1 — х^2 + (х1 — х2)2=(х1 — х2)2 или (х1 — х2)2=(х1 — х2):;

прих = х.2: (х2 -х.^)2 + (х2 - х2)2=(х1- х^2 или (х2 - х1)2=(х1 - х2)2; Пример. Решим квадратное уравнение (х — 21)" + (х — 12) -=81. Решение. Определим разность корней х± — х2:

Так как разность корней равна 81, то кортами уравнение являются х1 = 21 и х2 = 12. Открывая скобок в левой части искомого уравнения, получим: хг - ЗЗх + 252 = 0.

Чтобы убедиться в этом, решаем уравнение общеизвестным способом и обнаружим, что найденные корни являются решением искомого уравнения.

Находим дискриминант уравнении и определим корней уравнения: О = р2 - 4? = (-33)2 - 4 ■ 252 = 1009 - 1008 =81;

_ -(-33) ±^"31 _ 33+9

Отсюда^ — 21 и хг — 12.

Считаем, что при решении уравнений вида (8) необходимо проверить условие v_ - '.'■ = ::■■: и если это условие выполняется, то необходимость решать уравнение отпадает.

Так как в школьном курсе математики решение квадратных уравнений занимает важное место, то будет полезным использовать данный приём параллельно с другими известными способами.

Заметим, что приведенный нами способ решения квадратных уравнений в литературе не встречается, во всяком случае нам не известно, и думаем, что этот приём является новым. Поэтому надеемся, что наши коллеги обращают внимание на этот приём и используют его при решении квадратных уравнений и вообще, при решении задач, приводимые к квадратным уравнениям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Макарычев Ю.Н. Алгебра: Учебник для 8 класса. Под редакцией С.А.Теляковского. / Ю.Н.Макарычев -М.: Просвещение, 2014. 271 с.

2. Махкамов М. 36 приёма решения квадратного уравнения (на тадж. языке). / М. Махкамов -Душанбе: Маориф, 2021. 180 с.

3. Махкамов М. Методы решения задач по алгебры (на тадж. яз.). / М. Махкамов -Душанбе: Маориф, 2021. -1040 с.

УДК 549.454.2:553.689.2(575.3) РЕНТГЕНОФАЗНЫЙ АНАЛИЗ ФЛЮОРИТА И КОЭФФИЦИЕНТ ЕГО АДСОРБЦИИ ПРИ ТЕМПЕРАТУРАХ 303 - 328К

ЗАРИПОВ ДЖАМШЕД АБДУСАЛОМОВИЧ,

Кандидат технических наук, и.о. доцента Энергетический факультет, кафедра «Теплотехника и теплоэнергетика» Таджикского технического университета имени академикаМ.С. Осими г. Душанбе, ул. Академиков Раджабовых 10А, тел.: (+992) 919623326, E-mail: jz - 1972 @ mail.ru; ЗИКИЛОЕВ ШУХРАТ ТАГОЙХОНОВИЧ, Старший преподаватель кафедры «Математика и информатика» Педагогический колледж имени Хосияат Махсумовой Государственного педагогического университет им. С. Айни Душанбе, ул. Айни 363, Тел: (+992) 918203020, [email protected]. СА ФАРОВ МАХМАДАЛИ МАХМАДИЕВИЧ, Заслуженный деятель науки и техники Таджикистана, д.т.н., профессор Энергетического факультета кафедры «Теплотехника и теплоэнергетика» Технического технического университета имени академика М. С. Осими Душанбе, ул. Академиков Раджабовых 10А Тел: (+992) 931631585 Электронная почта: mahmadlalist.ru

В данной статье исследуется коэффициент адсорбции порошка флюорита при различных температурах и для уточнения структуры флюорита провели рентгенофазовый анализ вещества.