Об аналитическом подходе к выбору центроид в плоском зубчатом зацеплении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.134

doi: 10.18698/0536-1044-2019-3-40-50

Об аналитическом подходе к выбору центроид

On the Analytical Approach to the Selection of a Centroid in a Flat Gearing

M.L. Ioffe

USA, New-York

Теория зубчатых зацеплений, в частности кинематика, насчитывает большую историю, в которую вписаны имена таких великих математиков, как Л. Эйлер, Х. Гюйгенс и П.Л. Чебышев. Эта теория достаточно подробно изложена во многих работах. Однако в ней недостаточно внимания уделено просто формулируемому, но сложно решаемому вопросу выбора уравнений кривых, описывающих центроиды в плоском зубчатом зацеплении, при которых движение передается с постоянным отношением угловых скоростей. Методы анализа плоского зубчатого зацепления основаны на положении о существовании центра зацепления — точки, в которой скорости звеньев равны и через которую проходит общая нормаль к центроидам, т. е. на теореме Виллиса. В основу настоящей работы положено утверждение о том, что проекции скоростей общей точки на общую нормаль одинаковы. Представлен вывод уравнений, которым должны удовлетворять уравнения кривых, чтобы выполнялось условие постоянства угловых скоростей. В общем случае необходимо, чтобы три неизвестные функции отвечали четырем ограничениям: обе кривые имеют общую точку (два ограничения), в этой точке нормали к кривым параллельны, проекции скоростей общей точки на нормаль одинаковы и определяются угловыми скоростями звеньев. В качестве примера рассмотрены наиболее распространенные формы кривых: эвольвента, эпи- и гипоциклоиды. Показано, что для эвольвенты все ограничения выполняются, в то время как при использовании эпи- и гипоциклоид передача вращения с постоянным передаточным отношением невозможна. Описан вариант, когда задана форма лишь одной кривой, а форма другой вычисляется исходя из условия постоянства передаточного отношения. Для примера выведены уравнения, где в качестве первой кривой выбраны гипоциклоида и прямая.

Ключевые слова: плоское зубчатое зацепление, центроида, передаточное отношение, эвольвента, эпициклоида, гипоциклоида

The theory of gearing, and kinematics in particular, has a long history, in which the names of great mathematicians such as Euler, Huygens, Chebyshev are inscribed. This theory is described in detail in many works, yet insufficient attention is paid to the simply formulated, but difficult to solve problem of selecting equations of curves describing centroids in a flat gearing, in which motion is transmitted with a constant ratio of angular velocities. The existing methods for analyzing the flat gearing are based on the premise about the existence of a center of engagement, the point at which the velocities of the links are equal, and through which the common normal of the centroid passes, that is, on the Willis theorem. This work is based on the assertion that the projections of the velocities of the common point on the common normal are the same. The paper presents the derivation

М.Л. Иоффе

США, Нью-Йорк

of equations that the equations of curves must satisfy in order to fulfil the condition of constancy of the angular velocities. In general, it is necessary that three unknown functions satisfy four constraints: both curves have a common point (two restrictions), the normals to the curves are parallel at this point, the projections of velocities of the common point on the normal are identical and determined by the angular velocities of the links. As an example, the most common forms of curves are considered: the involute, the epicycloid, and the hypocycloid. It is shown that for the involute all the constraints are satisfied, while the transmission of rotation with a constant gear ratio is impossible when using the epicycloid and the hypocycloid. A variant is considered where the form of only one curve is given, and the form of the second curve is calculated proceeding from the condition of constancy of the gear ratio. As an example, equations are derived where the hypocycloid and the straight line are chosen as the first curve.

Keywords: flat gearing, centroid, gear ratio, involute, epicycloid, hypocycloid

Проектированию зубчатых колес (ЗК) и анализу кривых зацепления, обеспечивающих оптимальные с разных точек зрения параметры зубчатых передач, посвящено большое количество работ [1-9]. Однако в них недостаточно внимания уделено вопросу выбора уравнений кривых, описывающих центроиды в плоском зубчатом зацеплении, при которых движение передается с постоянным отношением угловых скоростей [10-12].

Цель работы— анализ вопроса выбора кривых зацепления плоских ЗК, обеспечивающих постоянство передаточного отношения.

Рассмотрим задачу передачи вращения от оси О1 к параллельной ей оси О2 (рис. 1).

В точках О1 и О2 расположены центры вращения ЗК 1 и ЗК 2. Окружности с центрами в этих точках радиусами Я1 и Я2 являются геометрическими местами мгновенных центров вращения в системах координат первого ЗК и второго ЗК соответственно, точка Р—мгновен-ным центром вращения в относительном движении звеньев. На первом ЗК и втором ЗК имеются кривые М1 и М2. Если эти кривые— эвольвенты, то каждая из них начинается на соответствующей окружности с центрами в точках О1 и О2 и радиусами п и Г2.

В общей точке двух кривых К общая нормаль п-п является общей касательной окружностей эвольвент. С первым ЗК свяжем подвижную декартову систему координат Оху 1, которая расположена так, что ее начало находится в точке О1, ось О1Х в начальный момент направлена вдоль прямой О1О2, а ось О^^ертикаль-но вверх. Для второго ЗК введем подвижную декартову систему координат О2Х2У2 с началом в точке О2, осью О2Х в начальный момент, направленной вдоль прямой О1О2, и осью О2У, направленной вертикально вверх.

Вращение между осями передается путем перекатывания кривой М1, закрепленной на первом ЗК по кривой М2, закрепленной на втором ЗК. Условие передачи вращения состоит в том, что в точке касания кривых проекции скоростей на общую нормаль должны быть равны. В системах координат, связанных с ЗК с началом координат на осях вращения, уравнения кривых имеют вид

^ =(х1(ф1), У1(ф0);

И2 =(((ф2), У2 (ф2 ) ) , где ф1, ф2— параметры, определяющие формы кривых.

В основе теории плоских зацеплений лежит теорема зацепления (теорема Виллиса) [13]. В современной трактовке эта теорема звучит так: общая нормаль к профилям, проведенная в точке их касания, проходит через полюс зацепления. Полюсом зацепления называется точка, лежащая на прямой, соединяющей центры ЗК (точки О1 и О2), и делящая отрезок О1О2 в отношении, обратно пропорциональном угловым скоростям первого ЗК (см. рис. 1).

Рис. 1. Передача вращения с помощью центроид

Эта теорема следует из трех утверждений:

1) проекции линейных скоростей общей точки центроид на общую нормаль равны;

2) скорости точек пересечения общей нормали с осью 0102 отличаются от проекций скоростей общей точки на векторы, перпендикулярные общей нормали;

3) так как проекции скоростей точки пересечения на общую нормаль равны между собой, а обе скорости направлены перпендикулярно прямой 0102, равны и сами скорости, т. е. ю1Я1 =ю2 Я2, где ю1 и ю2—угловые скорости первого и второго ЗК.

Таким образом, предполагается, что значения угловых скоростей известны, или, что равносильно, известно передаточное отношение. Откажемся от этого предположения.

Рассмотрим случай, когда оба ЗК вращаются с постоянными угловыми скоростями ю1 и ю2, причем первая может принимать произвольное значение, а вторая зависит от геометрии системы и первой угловой скорости. Тогда в неподвижной системе координат уравнения кривых имеют вид

Rl(фl, г) = ((ф0, у^фО)

' С08 Ю1г вШ Ю1г

- вт Ю1г С08 Ю1г R2 (ф2 , г) = (0102 ,0) + (((Ф2), /2 (ф2) ) X

' совю2г втю2гЛ -втю2г созю2г

X

где г — время, отсчитываемое от начала движения.

Единичные векторы нормали к кривым в подвижной и неподвижной системах координат определяются следующими уравнениями:

1

п

X -

V

гХ

йх^фО

П1 =

йф1

(ф1) йх^фО йф1 йф1

1

йу1(ф1) йф1

dxl(фl) )2 + Гйу 1(ф1^2

гХ

V ^ йф1 ) ^ йф1 й/1 (ф1) йх1(ф1) V совЮ^ БШЮ^ ^

йф1

йф1

- вт ю1г сов ю1г

П2

X -

V

гХ

йХ2 (ф2 ) йф2

й/2 (ф2 ) йф2

й/2(ф1) йХ2 (ф2 )

йф2

йф2 1

П,

йХ2 (ф2 ) йф,

йу,(ф,) йф2 _

X -

V

йу2(ф1) йх2(ф2) V сов Ю2г БШ Ю2г

йф2

йф2

-втю2г совю2г

где п[ , п, — векторы нормали к кривым в подвижных, связанных с ЗК системах координат; п1, п2 — векторы нормали к кривым в неподвижной системе координат.

При вращении ЗК с угловой скоростью ш вектор линейной скорости точки с координатами х(ф), у(ф) в связанной системе координат имеет вид

= ю(-у(ф), х(ф)),

где ф — параметр, определяющий положение точки на кривой.

Проекция скорости на нормаль определяется выражением

ю

V

гХ

йх(ф) йф

Х

у(ф)йу(ф) + х(ф)

йф

или

где * (ф) = -

ю

йх(ф) йф

йу(ф) йф _

йф

йу(ф) йф

йх(ф)

йф _ ?

(х(ф)2 +у(ф)2),

v • П = —Ю* (ф), 2

йх(ф) йф

йу(ф) йф

йф

(х(ф)2 + у(ф)2).

Таким образом, проекции скорости на нормаль для первого и второго ЗК имеют вид

vi • ni =-

Ю1

V

гХ

dxi (ф1)

dyi (ф1)

dф1

((фО2 + У1(ф1)2 )=1 roiF(ф1); dфl '2

v2 •n2 =-

ГО2

V

гХ

dX2 (ф2 ) dф2

^К2(ф2) dф2

т. е.

(xi (ф1), yi (ф1))

' cosOiit sinroit

л

= (0i02,0) + (х2(ф2), У2(ф2)) i

- sin roit cos roit

' cosro2t sinro2tл - sin ro2t cos ro2t

V

гХ

dxi (ф1 ) dф1

dy 1(ф1) dф1

x -

dy 1(ф1) dxi (ф!)

dф1

dфi

V

' cos roit sin roit - sin roit cos roit

Х

л

dX2 (ф2 ) dф2

dy2(ф2) dф2

2

x --

dy2 (ф1) dx2 (ф2 ) Y cos ro2t sin O^t

dф2 dф2

roi

V

- sin ro2t cos ro2t

Х

(i)

dxi (ф! ) dфi

+

dy 1(ф1) _ dф1

x— (xl(фl)2 + У1(ф1)2 ) = dф1 v '

ГО2

V

dx2 (ф2 ) dф2

dy2(ф2) dф2

Х-— (x2 (ф2 )2 + y2 (ф2 )2 ). dф2

Второе уравнение системы (1), отражающее равенство единичных касательных векторов кривых, очевидно, можно представить в эквивалентном виде

dxi^i) dyi(ф!) .

cos ro1t —--sin ro1t

dф1

dф1

Х

Х

dx2^i) . . , dy2(фl)

sin ro2t + —-cos ro2t

_ dф2

dф2

(х2(ф2 )2 + У2 (ф2)2 ) = 1 »2^(ф2). dф2 '2

При обкатке ЗК, когда кривая М1 движется,

обкатывая кривую М2, должны выполняться

следующие равенства:

^(фь г) = И2(ф2,г);

п1(ф1, г) = п2 (ф2, г);

Vl • П1 = v2 • П2,

Х

dxi (ф1 ^ . , dy 1(ф1)

-sin ro1t + —-cos ro1t

dф1 dф1

dx2 (ф1) , dy2(фl) .

-cos ro2t —--sin ro2t

dф2 dф2

Х

При заданных уравнениях кривых М1 и М2 и постоянных угловых скоростях ЗК должны существовать две функции времени ф1(^), ф2(£) и постоянный параметр ro2, при которых четыре уравнения (1) справедливы для любого t.

В общем случае такая задача неразрешима. Исследуем, как можно применить эти уравнения для двух самых распространенных на практике кривых—эвольвенты и циклоиды.

Рассмотрим случай эвольвенты для построения сопрягаемых кривых на ЗК. Уравнения эвольвент имеют вид [14]

x1 = R1 [cos^ + а1) + ф1 sin(ф1 + а1)];

yi = Ri [ш(ф! + ai) - ф! cos(фl + ai)];

x2 = R2 [cos^2 +a2) + ф2sin(ф2 +a2)];

y2 = R2 [ш(ф2 + a2) - ф2 COs(ф2 + a2)] ,

где R1, R2 — параметры, определяющие соответствующие радиусы окружностей, разверткой которых получаются эвольвенты; a1, a2— параметры положения начальных точек эвольвент на этих окружностях.

Для эвольвент уравнения (1) записываются следующим образом:

(R1 [cos^ + a1) + ф1 sin^ + a1)], R1Х

x[sin(ф1 + a1) -ф1 cos(ф1 + а1)])Х

f cosroit sinroit ^ - sin roit cos roit

Х

= (Oi02,0) +

+ (R2 [cos(ф2 +a2 ) + ф2 sin(ф2 +a2)], R2 Х x[sin (ф2 + a2 )-ф2 cos (ф2 +a2 )])x

( cosOi2t sinOi2t ^ X

- sin ro2t cos ro2t

—— (-Я1ф1 sin (ф1 + a1), Я1ф1 cos (ф1 + a1 ))x

Я1Ф1

( cos ro1t sin ro1t

x

- sin ro1t cos ro1t

1

R2 ф2

x

x(-R2 ф2 sin (ф2 +a2 ), Я2ф2 cos (ф2 +«2 ))XX

( cos ro2t sin ro2tл X . ;

ч - sin ro2t cos ro2t y

RT~ [1+ф2 ] ) = Rr~ [1+ф2 ]).

R^1 ^ф1 J/ R2ф2 йф2

Упрощая, получаем (R1 [cos(ф1 + a1) + ф1sin(ф1 + a1)], R1 x x [sin(ф1 + a1) - ф1 cos^ + a1)]) x ( cosroit sinOi1t^

x . = (0102,0) +

ч - sin 0i1t cos ro1ty + ( R2 [о^(ф2 +«2) + ф2 sin(ф2 +«2)], R2 x x[sin^2 +«2) -ф2 COs(ф2 + «2 )])x ( cos 0i2t sin0i2tл

x . ;

ч - sin 0i2t cos 0i2t y

(-sin(ф1 + «1 + ro1t), cos(ф1 + «1 + ro1t)) =

= ((Ь(ф2 +«2 +Tt), cos(ф2 +«2 + T));

RT = -R2 Ю2.

Согласно третьему уравнению системы (2), угловая скорость второго ЗК при постоянной угловой скорости первого ЗК также будет неизменной, а их отношение обратно пропорционально параметрам эвольвент R1, R2. Из второго уравнения системы (2) следует, что

(2)

ф2 + «2 + rn2t = ф1 + «1 + rn1t.

(3)

Первое векторное уравнение системы (2) преобразуем к виду

R1 cos (ф1 + «1 + ro1t) + R^ sin (ф1 + «1 + ro1t) = = O1O2 + R2 cos(ф2 + «2 + ®2t) + + R2ф2Sin (ф2 +«2 +Tt);

R1 sin (ф1 + «1 +ro1t )-R^ cos (ф1 + «1 + ro1t) = = R2 sin(ф2 +«2 +Tt)-R2ф2 cos(ф2 +«2 + Tzt).

Из этого уравнения с учетом выражения (3) получаем

( -R2 )cos(ф! + ai +roii) + + (Rlфl - R2Ф2 )sin (ф1 + a1 + ю^) = О1О2; (R1 — R2 )sin (ф1 + a1 +ro1t ) —

- (1Ф1 — R2ф2) cos (ф1 + a1 + ) = 0; R1 — R2 = О1О2 cos(ф1 + a1 +ro1t); (RlФl — R2ф2) = О1О2 sin (ф1 + a1 + ю^);

ф1(^) = arccos R[ R — a1 —ro1t;

O1O2

ф2 (t) = -1 R2

RlФl - O1O2J1 -

R1 - R2 O1O2

R1

=Rф1

O1O2

1 -

R1 - R2

я, V { О1О2

Таким образом, наряду с определением угловой скорости ю2 =-(Я1/Я2)ю1 получены неизвестные функции ф1(г), ф2(г). Тем самым для эвольвенты задача решена полностью.

Рассмотрим случай использования гипо- и эпициклоид для построения сопрягаемых кривых на ЗК [14]. На рис. 2 показаны две неподвижные точки О1, О2, в которых расположены оси вращения ЗК 1 и ЗК 2.

В этих точках проведены окружности радиусами Я и Я,. Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, т. е. окружности касаются друг друга. Система координат ОХУ расположена так, что ее начало находится в точке О1, ось О1Х направлена вдоль прямой О1О2, ось О^ направлена вверх. Внутри первой окружности находится окружность радиусом г, центр которой расположен на прямой О1О2, и которая касается двух больших

1 2

Рис. 2. Использование гипо- и эпициклоид для построения центроид

окружностей. Первая из сопрягаемых кривых— гипоциклоида образуется при качении этой окружности вдоль первой окружности радиусом Ri, вторая—эпициклоида—при ее качении вдоль второй окружности радиусом R2.

Уравнения гипоциклоиды и соответствующие величины в системе координат OiXY имеют следующий вид [14]: r

xg (ф) = (R1 - r )cos-ф1 + r cos ф1;

R1 - r

r

yg (ф) = (R1 - r)sin-ф1 - r sin ф1;

R1 - r

(xg(ф), yg(ф)) = (Ri -r, r)x

x

( r r ^ cos-ф1 sin-ф1

R1 - r R1 - r

cos ф1 - sin ф1

xg (ф)2 + yg (ф)2 = (Ri - r)2 + r2 +

R

+ 2(R1 - r)r cos-ф1;

R1 - r

Ri

—(xg (ф)2 + yg (ф)2) = -2Rir sin— - ф!; dф R1 - r

dxg(ф) f . r

= -r I sin-ф1 +sin ф1 I;

Ri - r J

dф

dyg (ф) dф V R1 - r

'dxg (ф) Л2 f dyg (ф) Л2 ,

1,1 1 = 2r21 1 - cos-

= r | cos-ф1 - cos ф1 I;

(4)

, +I -

dф J V dф

i

Ri

R1 - r

ф!

F (ф) = ■

V

гХ

dx^) dф

dy(ф) dф

x — (x(cp)2 + у(ф)2 ); dфv '

F (ф!) = -

-in - Ri 2R1 sin-ф1

R1 - r

21 1 - cos———— ф1 R1 - r

D . 0,5Ri

= -R1 sin-ф1.

R1 - r

(xe (ф), ye (ф)) = (R2 + r, r )x

cos-ф2 sin-

R2 + r R2 + r

ф2

V cos ф2 - sin ф2 J

[xe (ф)]2 +[ye (ф)]2 = (R2 + r)2 + r2 -R2

- 2(R2 + r )r cos-ф2;

R2 + r

d(xe (ф)2 + ye (ф)2 ) = 2R2r si^--^2— ф2 ; dфv ' R2 +r

dxe (ф) f . r Л

—--= r | sin-ф2 - sin ф2 I;

dф V R2 + r J

dye (ф) f r Л

— = r | cos-ф2 - cos ф2 I;

dф V R2 + r J

dxe (ф) 1 ,Г dye (ф) 1 - 2 L R2

- + —- = 2r21 1 - cos-<

dф J _ dф J V R2 + r

F (ф2) =

R2

2R2r sin-ф2

R2 + r

2r21 1 - cos-

R2

R2 + r

ф2

= R2 cos-ф1.

R2 + r

Уравнения (1) в случае гипо- и эпициклоид записываются как (Ri -r, r)х

Г Г r ^ , r > cosI-ф1 +rn1t I sin(-ф1 +ro1t)

I Ri - r ) Ri - r

cos^-ro1t) - sin^-ro1t)

= (Ri + R2,0) + (R2 + r, r)х

- cos I-ф2 -ro2t I sin I-ф2 -ro2t

R2 + r J V R2 + r J

cos^2 -ro2t) - sin^2 -ro2t)

Уравнения эпициклоиды и соответствующие величины в системе координат O2XY имеют следующий вид:

r

xe (ф) = -(R2 + r) cos-ф2 + r cos ф2 ;

R2 + r

r

ye (ф) = (R2 + r) sin-ф2 - r sin ф2;

R2 + r

—-ф1 +ro1t I + sin(ф1 -ro1t) |x

1 - r J ;J

xVcosф2-®2tJ-cos(2 -®2t)) = = -1|cos V^——ф1 + ro1tJJ - cos(1 -ro1t))x ф2-®2t||-sin(2 -ro>2t));

(5)

R2 + r

f 0,5Ri Л f 0,5R2 Л -2R1cos |-ф1 I ro1 = 2R2cos I-ф2 I ro2;

V Ri - r J V R2 + r J

x

x

Упростим второе уравнение системы (5) " 0,5(2r - R1)

sin

R1 - r

-ф1 +

0,5(2r + R2) +-ф2 + rn1t - T2t

= 0;

(6)

Я, + г

Первое уравнение системы (5), в котором приравнены два вектора, можно представить в виде пары скалярных уравнений

(R1 - r)

cos

R1 - r

ф1 + ro1t I + r cos^ - ro1t) =

= R1 + R2 - (R2 + r) cos

R2 + r

ф2 -Tit I +

+ rcos^2 -T2t);

(7)

(R1 - r)

sin

= (R2 + r) sin

R1 - r r

R2 + r

ф1 +ro1t j - r sin^ -ro1t) = ф2 -®2t I - r sin^2 -ffl2t).

В начальный момент времени г = 0 все углы равны нулю и уравнения (5), которым должны удовлетворять уравнения кривых, указанные в выражениях (1), справедливы при угловой скорости

R1

ю2 =--ю1.

R2

(8)

R1

-ф1 =■

R2

-ф2.

R1 - r R2 + r Из соотношения (9) следует, что

ф (R2 + r )R1 ф ф2 = -Г^фь

(9)

(10)

(R1 - r)R2

Подставляя выражение (10) в уравнение (6), получаем

sin

r (R2 - R1) - R1R2 . R1 + R2 .

ф1 +—--ro1t

(R1 - r )R2 R2

Из формулы (11) находим

(R1 - r )(R1 + R2)

ф1 =■

ro1t.

= 0. (11)

(12)

Рассмотрим третье из уравнений системы (5). Очевидно, что оно справедливо для всех значений углов ф1 и ф2 при условии выполнения равенства

г (Я, - Я1) - ЯЯ, Нетрудно показать, что при выборе функций ф2(г), ф1(г) и параметра ю2 по формулам (10), (12) и (8) уравнения (7) будут неверными.

Таким образом, при использовании в качестве сопрягаемых кривых гипо- и эпициклоид невозможно достигнуть постоянной скорости ведомого ЗК.

Рассмотрим случай, когда известна лишь форма одной кривой

R1 =((ф1), у^фО).

Форма одной из кривых может быть произвольной [15], а форма другой определяется формой первой кривой и параметрами R1, R2, ю1, ю2.

В неподвижной системе координат при вращении первого и второго ЗК с угловыми скоростями ю1 и ю2 предполагаемая точка первой кривой, вступающая в контакт с точкой второй кривой, описывается уравнением

. .( cos ro1t sin ro1tЛ

R1^1,t) = (1 (ф1), у^фО) . =

^ - sin ro1t cos ro1t y

= ( 71).

Радиус-вектор точки второй кривой в неподвижной системе координат с центром в точке O2 можно записать в следующем виде:

R2 =(X1,71)-(0102,0) = = (( -O1O2, 71 ) = (X2,72),

где O1O2 = R + R2.

Первая точка вращается вокруг оси О1 с угловой скоростью Ю1, вторая вокруг оси О2 с угловой скоростью ю2. Их линейные скорости определяются выражениями

v1 =Ю1 (71, X1);

v2 =Ю2 (72,X2);

v1 - v2 =(С0272 - Ю7Ь -Ю2X2 + 0>1X1 ) = = ((Ю2-о>1 )71, -(С02-®1 )X1 +Ю2О1О2).

Пусть n = (nx, ny) является вектором общей нормали к кривым М1 и М2. Тогда проекции скоростей первого и второго ЗК на этот вектор должны быть одинаковыми, т. е.

(n • (v1 - v 2)) = 0.

Из этого равенства следует, что

n = 1 ( -СX1 -Ю2О1О2, (Ю2 -Ю1 )71);

k = д/[(®2 - Ю1)X1 - Ю2О1О2 ]2 +[(Ю2 - Ю1 )71 ]2; (13) kn = (Ю2 - Ю1)(X1,71) - (Ю2О1О2, 0).

Из последнего равенства получаем к f ГО2

(Xi, Yi)-

-n :

0i02,0 I. (14)

ю2 - ю1 ^ ю2 - Ю1

Таким образом, прямая, проведенная через общую точку в направлении общей нормали, делит расстояние между осями в отношении, обратно пропорциональном угловым скоростям. Это утверждение представляет содержание основной теоремы зацепления (теорема Виллиса).

Из равенства (14) следует, что расстояние от точки О1 до точки пересечения общей нормали

Ri =-

ГО2

-0А.

ю2 — ю1

Выражения (13) показывают, что в общей точке вектор нормали к первой кривой есть функция координат этой же точки. Если исходить из этого, угол ф1(г), определяющий координаты точки кривой М1 в подвижной системе координат, в которой получено уравнение кривой М1, является решением уравнения, основанного на том, что векторы кп и Цх1 (ф1 )/dф1, dy1 (ф1 )/dф1) ортогональны.

Вектор кп в подвижной системе координат описывается уравнениями

- (ro20i02,0)

кп = (ГО2-Юl)(Xl(фl), yi(ф1))-f cos ro1t - sin ro1tЛ sin ro1t cos ro1t J

кп = ((ro2 -ro^x^) -ro20102 cosro1t, (ro2 -

- roi)yi (ф!) + ro20i02 sinroit).

Таким образом, условия ортогональности векторов кп и (dx1(ф1)/dф1, dy1(ф1)/dф1) можно представить в виде

dxi (ф!),

dф1

-[(ГО2 - roi )xi (ф!) - ro20i02 cos roit ] +

+ Г(го2 -roi)У1(ф1) + ro20i02 sin roit 1=0;

dф1

-f- (xl(фl)2 + yi (ф! )2 ) = dф1 v '

fdXl(фl) dyi^i) . = 2R11-cos ro1t —--sin ro1t

(15)

dф1

dф1

Ri(t) = (xi(ф!(t)), yiMt)))x f cos ro1t sin ro1t |f cos ro2t - sin ro2tЛ

x

- sin ro1t cos ro1t

sin ro2t cos ro2t

- (0i02,0)

f cos ro2t - sin ro2tЛ sin ro2t cos ro2t

(16)

x

R2(t) = (xi(ф1 (t)), Уl(фl(t)))x f cos(ro1 - ro2 )t sin(ro1 - ro2)tЛ - sin(ro1 - ro2)t cos(ro1 - ro2)t

- 0102 (cosro2t, - sinro2t).

Вектор касательной к кривой описывается выражением

dR2 (t) = dфl (t) f dxi (ф1 (t)) dyi (ф1 (t))4

x

I - I

dt dt V dф1 dф1 J

f cos(ro1 - ro2 )t sin(ro1 - ro2)t Л v - sin(ro1 - ro2 )t cos(ro1 - ro2)t J

+ (roi -ro2)(xi(ф1 (t)), yi(ф1 (t))x

f - sin(ro1 - ro2)t cos(ro1 - ro2 )t Л - cos(ro1 -ro2)t - sin(ro1 - ro2 )t y

-ro20102 (-sinro2t, - cosro2t).

В неподвижной системе координат этот вектор определяется выражением

x

dR2 (t) = dфl (t) f dxi (ф1 (t)) dyi (ф1 (t))4

dt

dt

dф1

dф1

x

x

f cos ro1t sin ro1t

Л

+

- sin ro1t cos ro1t ^ + (roi -ro2)(-Yi, Xi) + ro20i02(0,1).

(17)

Если решение уравнения (15) известно, т. е. известна функция ф1(г), то вторая кривая в системе координат, связанной со вторым ЗК, определяется уравнениями

В формуле (17) первый член является вектором, пропорциональным вектору, касательному к первой кривой в общей точке, т. е. ортогонален вектору нормали кп. Используя формулу (13), легко проверить, что сумма второго и третьего членов также ортогональна вектору нормали кп. Таким образом, вектор п является общей нормалью к первой, заданной кривой, и ко второй, построенной в соответствии с выражением (16).

Рассмотрим два примера. В первом примере в качестве первой кривой выберем гипоциклоиду. Согласно формуле (4):

dxg (ф)

—--= -rI sin-ф1 +sinф1 |;

dф ^ R1 - r

dyg(ф) ( r

-= r I cos-ф1 - cosф1 |;

dф ^ R1 - r

- (xg (ф)2 + yg (ф)2) = -2R1r sin ~~~ ф1. dф R1 - r

Для определения неизвестной функции ф^) следует решить уравнение ортогональности (15), которое в данном случае имеет вид

. R1

sin-ф1 =

R1 - r

„ . (0,5R1 I (r-0,5R1 = 2sinI-ф1 | cos I-ф1 +ro1t)

^ - г ) V Я - г

Во втором примере в качестве первой кривой используем прямую, заданную уравнением

у = х tg а- а,

где а —угол наклона прямой к оси абсцисс. Соответствующие функции имеют вид

х(ф) = ф;

у(ф) = фtg а- а; йх (ф)

dф

dy(ф) dф

= 1; = tg «;

—(x 2(ф) + y 2(ф) )=— (ф2 +ф2tg2«-2фRltg2 «) = dфy ' —ф v '

= 21 ф—^-R1tg2« |.

cos «

Для определения неизвестной функции ф1 (t) следует решить уравнение ортогональности (15), которое в этом случае записывается как

ф—1--R1tg2« = R1(cosro1t - tg «sinro1t). (18)

cos2«

Решение уравнения (18) имеет вид ф^) = R1 cos2 «(cos ro1t - tg « sin ro1t) + R1 sin2 «.

В неподвижной системе координат кривая М1 описывается уравнениями

R1 (t) = (ф1^), tg «ф^) - R1tg «)x ( cos ro1t sin ro1tЛ

x . ;

ч - sin ro1t cos ro1t y x1 (t) = R1 cos2 (ro1t + «) + + R1tg « sin « cos(ro1t + «) + R1tg « sin ro1t; y1 (t) = R1 cos(ro1t + «) sin(ro1t + «) + + R1tg « sin « sin(ro1t + «) - R1tg « cos ro1t.

Если ввести переменную фф = o1t, то уравнения кривой преобразуются следующим образом:

Х1 (фф) = R1 cos2 (фф + «) +

+ R1tg « sin « cos(фФ + «) + R1tg « sin фф;

У1 (фф) = R1 cos(фф + «) sin^ + «) +

+ R1tg « sin « sin^ + «) - R1tg « cos фф.

Вторая кривая в собственной системе координат будет иметь вид

R2(t) = (ф1<(-), tg«ф1 (t)-R1tg«)x

( cos(ro1 - ю2 )t sin(ro1 - ю2 )t I x -

ч - sin(ro1 - ю2 )t cos(ro1 - ю2 )t y

- 0102(cosro2t, - sinro2t). Выводы

1. Получены уравнения, которым должны удовлетворять центроиды, чтобы выполнялось условие постоянства угловых скоростей.

2. Показано, что эвольвента полностью отвечает условиям, необходимым для передачи вращения с постоянным передаточным отношением.

3. Установлено, что при использовании в качестве сопрягаемых кривых гипо- и эпициклоид невозможно достигнуть постоянного передаточного отношения.

4. Для варианта, когда задана лишь форма первой кривой, получены уравнения, определяющие форму второй кривой, обеспечивающей условие постоянства передаточного отношения.

5. Выведены уравнения, где в качестве первой кривой выбраны гипоциклоида и прямая.

Литература

[1] Litvin F.L., Fuentes A. Gear Geometry and Applied Theory. Cambridge, Cambridge Universi-

ty Press, 2004. 800 p.

[2] Stadtfeld H.J. Handbook of Bevel and Hypoid Gears. Calculation Manufacturing Optimiza-

tion. NY, Rochester Institute of Technology, 1993. 251 p.

[3] Colbourne J.R. The Geometry of Involute Gears. Berlin, Springer-Verlag, 1987. 526 p.

[4] Panchuk K.L., Lyashkov A.A., Varepo L.G. Mathematical model of forming screw profiles of

compressor machines and pumps. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, 2017, vol. 87, iss. 8, no. art. 082035, doi: 10.1088/1755-1315/87/8/082035

[5] Rattan S.S. Theory of Machines. Tata McGraw Hill Education Private Limited, 2009.

[6] Norton R.L. Design of Machinery. McGraw Hill Education, 2011. 879 p.

[7] Buckingham E. Analytical Mechanics of Gears. McGraw-Hill Book Co., 1949. 546 p.

[8] Coy J.J., Townsend D.P., Zaretsky E.V. Gearing. NASA Scientific and Technical Information

Branch, NASA-RP-1152, 1985, AVSCOM Technical Report 84-C-15, 66 p.

[9] Sclater N. Gears: devices, drives and mechanisms. Mechanisms and Mechanical Devices

Sourcebook. New York, McGraw Hill, 2011, pp. 131-178.

[10] Бабичев Д.Т., Волков А.Э. История развития теории зубчатых передач. Вестник научно-технического развития, 2015, № 5(93), с. 25-42.

[11] Radzevich S.P. Dudley's Handbook of practical gear design and manufacture. CRC Press,

2016. 629 p.

[12] Чебышев П.Л. Избранные труды. Москва, Изд-во АН СССР, 1955. 926 с.

[13] Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений. Москва, Наука, 1968. 584 с.

[14] Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (справочное руководство). Москва, Физматгиз, 1960. 293 с.

[15] Кудрявцев В.Н. Зубчатые передачи. Москва, Ленинград, Машгиз, 1957. 263 с.

References

[1] Litvin F.L., Fuentes A. Gear Geometry and Applied Theory. Cambridge, Cambridge Universi-

ty Press, 2004. 800 p.

[2] Stadtfeld H.J. Handbook of Bevel and Hypoid Gears. Calculation Manufacturing Optimiza-

tion. NY, Rochester Institute of Technology, 1993. 251 p.

[3] Colbourne J.R. The Geometry of Involute Gears. Berlin, Springer-Verlag, 1987. 526 p.

[4] Panchuk K.L., Lyashkov A.A., Varepo L.G. Mathematical model of forming screw profiles of

compressor machines and pumps. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science,

2017, vol. 87, iss. 8, no. art. 082035, doi: 10.1088/1755-1315/87/8/082035

[5] Rattan S.S. Theory of Machines. Tata McGraw Hill Education Private Limited, 2009.

[6] Norton R.L. Design of Machinery. McGraw Hill Education, 2011. 879 p.

[7] Buckingham E. Analytical Mechanics of Gears. McGraw-Hill Book Co., 1949. 546 p.

[8] Coy J.J., Townsend D.P., Zaretsky E.V. Gearing. NASA Scientific and Technical Information

Branch, NASA-RP-1152, 1985, AVSCOM Technical Report 84-C-15, 66 p.

[9] Sclater N. Gears: devices, drives and mechanisms. Mechanisms and Mechanical Devices

Sourcebook. New York, McGraw Hill, 2011, pp. 131-178.

[10] Babichev D.T., Volkov A.E. History of the development of the gears theory. Vestnik nauch-no-tekhnicheskogo razvitiya, 2015, no. 5(93), pp. 25-42.

[11] Radzevich S.P. Dudley's Handbook of practical gear design and manufacture. CRC Press, 2016. 629 p.

[12] Chebyshev P.L. Izbrannyye trudy [Selected Works]. Moscow, AN SSSR publ., 1955. 926 p.

[13] Litvin F.L. Teoriya zubchatykh zatsepleniy [Theory of gearing]. Moscow, Nauka publ., 1968. 584 p.

[14] Savelov A.A. Ploskiye krivyye. Sistematika, svoystva, primeneniya (spravochnoye rukovod-stvo) [Flat curves. Systematics, properties, applications (reference manual)]. Moscow, Fiz-matgiz publ., 1960. 293 p.

[15] Kudryavtsev V.N. Zubchatyye peredachi [Gears]. Moscow, Leningrad, Mashgiz publ., 1957. 263 p.

Статья поступила в редакцию 08.11.2018

Информация об авторе

ИОФФЕ Марк Львович — кандидат технических наук (США, Нью-Йорк, 2-я Авеню, д. 444, e-mail: ioffe.mark@gmail.com).

Information about the author

IOFFE Mark Lvovich — Candidate of Science (USA, New York, 2nd Ave., Bldg. 444, e-mail: ioffe.mark@gmail.com).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Иоффе М.Л. Об аналитическом подходе к выбору центроид в плоском зубчатом зацеплении. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2019, № 3, с. 40-50, doi: 10.18698/0536-1044-2019-3-40-50

Please cite this article in English as: Ioffe M.L. On the Analytical Approach to the Selection of a Centroid in a Flat Gearing. Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2019, no. 3, pp. 40-50, doi: 10.18698/0536-1044-2019-3-40-50

В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышло в свет учебное пособие И.Н. Алиева

«Термодинамика и электродинамика сплошных сред»

Рассмотрены различные аспекты механики поляризованных и проводящих сплошных тел и сред с учетом магнитных, электрических и тепловых эффектов. Изложение ведется в рамках общего подхода, базирующегося на термо- и электромеханическом вариационных принципах, которые позволяют находить условия равновесия, что невозможно с помощью принципов Гиббса и Планка. Полученные результаты применены к теории неравновесных процессов при выводе определяющих соотношений, необходимых для замыкания систем термоэлектромагнитодинамических уравнений. Пособие снабжено большим количеством задач, часть из них дополняет соответствующие главы, а часть является кратким изложением проведенных научных исследований.

Содержание учебного пособия соответствует курсу лекций, которые автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Для студентов и аспирантов технических университетов и вузов, преподавателей высшей школы, научных сотрудников, занимающихся техникой и физикой сплошных сред.

По вопросам приобретения обращайтесь:

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.

Теп.: +7 499 263-60-45, факс: +7 499 261-45-97;

press@bmstu.ru; www.baumanpress.ru