Об алгоритме направленного сужения ограничений при решении задач многокритериальной оптимизации параметров лесозаготовительной техники Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ АЛГОРИТМЕ НАПРАВЛЕННОГО СУЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ЛЕСОЗАГОТОВИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Д.Г. ШИМКОВИЧ, профессор кафедры теории и конструирования машин

Для решения широкого круга задач многокритериальной оптимизации параметров лесозаготовительных машин и оборудования весьма эффективным оказалось использование алгоритма направленного сужения ограничений, изложенного в работе [1] и реализованного в пакете программ Optimum. В данной статье описываются некоторые усовершенствования указанного алгоритма, его геометрическая интерпретация и расчетный пример, иллюстрирующий сходимость к рациональным значениям параметров.

Задача многокритериальной оптимизации ставится в следующем виде [1, 2]. Пусть имеется некоторый объект проектирования. Неварьируемые при проектировании параметры объекта будем называть фиксированными. Через а,,а2,...,а„ обозначим совокупность

п варьируемых параметров объекта, которые также будем называть параметрами проектирования. Данные параметры рассматриваются как декартовы координаты некоторой точки Л = (ос,, ос 2,..., ос „ ) «-мерного пространства

проектирования; точка А определяет некоторый вариант объекта. На значения параметров проектирования наложены параметрические ограничения вида

ос* <а, < а*\ i = 1,2,..и, (1)

где а*, ос** - некоторые числа.

На совокупность параметров проектируемого объекта могут накладываться также функциональные ограничения, записываемые в виде

f;<f1(A)</;,,j=i,2,...,nf, (2)

где /Дл) - некоторые функции точки А

пространства проектирования; f*, fj* - некоторые числа; nf - число ограничений.

Для выражения целей проектирования, сравнения между собой вариантов и отбора наиболее рациональных решений должны быть указаны критерии - некоторые функции Фк(А), к-\,2,...,пк точек пространства проектирования, характеризующие контролируемые свойства проектируемого объекта; пк - число используемых

критериев. Далее принято, что критерии выбраны таким образом, что их меньшим значениям соответствует более высокое качество объекта, т.е. рассматривается задача совокупной минимизации системы критериев. На критерии Фл {А) при проектировании накладываются критериальные ограничения вида

Ф*М^ФГ- & = 1, 2,пк, (3) где Ф" - некоторые числа, с помощью которых устанавливают предельные значения критериев, характеризующие уровень требований, предъявляемых к объекту проектирования. Величины Фк(А) также рассматриваются как координаты пк -мерного декарто-вого пространства критериев.

Для вычисления функций /. {А) и

Фк{А) должна быть сформирована математическая модель объекта проектирования. Значения величин а*, а**, /*, /**, Ф*, входящих в ограничения (1-3) задаются в начале оптимизации и могут уточняться в процессе решения задачи. Ограничения (1-

3) определяют допустимую область изменения варьируемых параметров, в которой должен осуществляться поиск оптимального варианта.

Ввиду априорной неопределенности понятия оптимального варианта в многокритериальных задачах, обусловленной проти-

воречивым характером изменения критериев, когда одни из них могут возрастать, а другие - убывать, указанная формулировка задачи оптимизации (1-3) должна быть дополнена методами отбора решений и методами поиска рациональных вариантов.

Для выделения «лучших» решений в многокритериальных задачах используется принцип предпочтения Парето: точка А' считается лучше точки А", если для всех критериев выполняются неравенства ф*И<ф,И, к -1, 2,пк, причем, хотя бы для одного из критериев имеет место строгое неравенство. Данный принцип в общем случае дает не единственный оптимальный вариант, а целое множество А

решений, называемое паретовским. Принципа Парето в общем случае недостаточно для выделения единственного варианта, принимаемого в качестве оптимального, в связи с чем приходится идти на компромисс между критериями; при этом используются два основных способа:

1) неформализуемый способ: с помощью ЛПР - лица, принимающего решение; несмотря на неизбежную долю субъективизма данный способ принятия решения в настоящее время является наиболее надежным, обладает при достаточных компетентности и опыте ЛПР наименьшей долей риска, поскольку при этом подробно анализируются значения всех частных критериев, а также критериев, не вошедших явно в формулировку задачи оптимизации;

2) формализуемый способ: единственное решение определяется из условия минимума на множестве допустимых или паретовских точек некоторого критерия Ф, называемого обобщенным или сверткой частных критериев

ф(л) = /(ф„ф,...........Ф„Д (4)

где Ф, =ХкФк(А)/ф11,. * = 1,2,..., л, - нор-

мализованные значения частных критериев Ф*; Хк - задаваемые относительные веса

«к

(приоритет) критериев, ФА0 -

к-\

нормирующие множители для приведения критериев ФА к безразмерному виду; часто ФА0 принимают из условия Фло = шахФ4.

Конкретный способ свертки критериев выбирается в соответствии с одним из принципов построения компромиссов в теории принятия решений. Наиболее часто используются следующие принципы [3, 4]:

1) аддитивный (принцип справедливой уступки)

Ф11)=]ГФ,; (5)

к=1

2) мультипликативный (принцип относительной уступки)

фр)=П(ф./ф.»)**; <6>

к= 1

3) принцип минимакса

Ф(3)= max {Ф*}; (7)

fc — 1, 2..., fifc

4) принцип минимакса для уступок по всем критериям

ф(4)= max {ДФ*}, (8)

К — 1, J, ftfc

где величина АФ^. = Ф* - min Ф^. называется

уступкой по £-му критерию; используются также принципы [4] - равномерности, выделения главного критерия, Гурвица, Ходжа-Лемана, Гермейера и др.

Основное достоинство указанных принципов в том, что они позволяют свести многокритериальную задачу к однокритериальной; однако при этом характерны следующие принципиальные недостатки: 1) неопределенность и субъективизм в выборе значений весов критериев; 2) неопределенность в выборе конкретного принципа построения компромиссов между критериями; оптимальные варианты в общем случае будут различными по различным принципам построения компромиссов; 3) отсутствие непосредственного анализа значений частных критериев в процессе оптимизации; 4) необходимость исследования обобщенного критерия на наличие глобального экстремума.

В отмеченном выше пакете программ Optimum используется подход, основанный на сочетании указанных методов отбора ре-

шений - основу процесса оптимизации составляет итерационный диалог ЛИР с ЭВМ, а формализуемые методы принятия решения применяются для автоматизации формирования (сужения) ограничений (1), (3) последующего шага расчета; одновременно, оптимальные варианты, получаемые по различным принципам построения компромиссов используются в качестве рекомендаций ЛПР для отбора решений. Указанный подход позволяет существенно повысить производительность процесса оптимизации.

Алгоритм автоматизированного формирования (сужения) параметрических и критериальных ограничений следующий [1]. Пусть на данном шага итерационного процесса оптимизации получена совокупность оптимальных вариантов А^р\ из условия минимума нескольких сверток критериев на паретовском множестве решений А , где

г = 1, 2, ..., R, R - число используемых принципов построения компромиссов между критериями, отражающих различные (оптимистические и пессимистические) точки зрения на отбор вариантов, например, принципы (5-8). Указанные решения A^Jt используются для формирования в их окрестности параметрических ограничений следующего шага процесса оптимизации по соотношениям (рис. 1, а)

а* = afa - Да,, а~ = oc,max + Да,-,

i = 1,2,.I/, (9)

in^x''}, а,тах = тах{ос[) - мини-

1,2.R г=1, 2,..., R

мальное и, соответственно, максимальное значения г-го параметра проектирования а,- на множестве A(0rJt, Да,- =вДа** -а*), еА <1 - задаваемый коэффициент, определяющий степень сужения или расширения формируемых ограничений; из опыта расчетов целесообразно принимать ъА =

0,1...0,3; а*, а** - значения параметрических ограничений предыдущего шага расчета. Как видно из (9) и рис. 1, а происхо-

где a,mm = mm

r=1, 2 R

дит сдвиг и сужение ограничении ОС, , ОС, относительно значений а*, а,” предыдущего шага, т.е. автоматически производится направленный поиск рациональной области изменения варьируемых параметров.

Использование нескольких различных принципов построения компромиссов при формировании параметрических ограничений позволяет учесть различные точки зрения на отбор оптимального варианта, что снижает долю субъективизма, вносимую выбором весовых коэффициентов при расчете сверток критериев. Одновременно, как отмечалось выше, получаемое множество вариантов {а.^, }, оптимальных по используемым принципам, можно рассматривать как необязательные рекомендации ЛПР для принятия решения при отборе оптимального варианта.

Использовать решения А^] для формирования (сужения) критериальных ограничений в общем случае нецелесообразно, поскольку данные варианты могут оказаться нерациональными по отдельным критериям; для этих целей применяется расширение минимальных значений критериев ттФк(<4)

на паретовском множестве точек А до некоторых значений Ф^ по следующим соотношениям (см. также рис. 1,6):

ФГ=ФГ+АФ*>* = 1»2,...,ил> (Ю)

где ФГ = min !ф,(Л,)} - минимальное

¿—1, 2,Аfр

значение к-го критерия на множестве паре-товских точек А^е А Nр - число паре-

товских точек; АФ^ = е^(ф™х -ф^“) -

приращение для Ф^ по отношению к Ф™п;

ФГ1“ = тах {ф, (Л,)} - максимальное

К ¿=1,2...N, к П

значение ¿-го критерия на множестве паре-товских точек; eF - коэффициент, определяющий степень сужения или расширения формируемых ограничений по отношению

к ФГ” .

аг

ал

а.

аг

ап __+

ССл

★

ап

п/ ГЧ ¿iu.il

ССт ОС і ССі 1

а-.

аі

«і

Рис. 1

Указанные соотношения (9-10) приводились ранее в [1], где коэффициент ер предлагалось принимать равным 0,5...0,8; при этом относительное сужение ограничений осуществлялось одинаково для всех критериев независи-

мо от их значимости. Практика последующих расчетов показала, что данный недостаток можно преодолеть используя в качестве в р. следующую функцию, учитывающую значимость критериев при сужении ограничений

Ер (х):

<п>

где Л. = Хк - удельный вес ¿-го критерия, для которого определяется Ер ; X - \/пк -средний вес критериев, ё = (1 + Бтш)/2 “

среднее значение є

К ’

задаваемое

минимальное значение бр ; в случае одно-критериальной задачи полагается гр = єтт; из опыта расчетов целесообразно прини-мать = 0,1...0,2. Значения функции в зависимости от веса критериев и их числа приведены на рис. 2.

Рис. 2

Как видно, для значимых критериев (Хк —> 1) сужение ограничений максимально

(Ер близко к етт) с тем, чтобы на следующей итерации получить более рациональные варианты по данным критериям; при малом весе критерия (Хк —> 0) сужение минимально (е^. близко к 1) с тем, чтобы не терялись «хорошие» решения по более значимым критериям.

Помимо этого, если при расчетах оказалось, что N = 1, то в соотношениях (10)

целесообразно Ф™“ присваивать Ф" - значение ограничения к-го критерия предыдущего шага оптимизации - это предупреждает зацикливание итерационного процесса сужения ограничений в случае, если паре-товское множество на данном этапе расчета оказалось состоящим из одной точки. Если для отдельных критериев величина Ф” не должна меняться, то она снабжается в опи-

сании задачи оптимизации признаком «М> -неварьируемое критериальное ограничение и в (10) для него полагается Ф~ = Ф“.

Функциональные ограничения (2) определяются преимущественно физическими или другими условиями функционирования проектируемого объекта и, как правило, не варьируются.

Естественно, что сложность процессов отбора решений и формализации всех требований к проектируемому объекту не может исключить анализа проектировщиком получаемых результатов, поэтому изложенный алгоритм целесообразно применять в диалоговом режиме, обеспечивая при необходимости возможность корректировки формируемых ограничений. Данный подход необходимо рассматривать не как безусловный способ получения единственного решения, а как эффективную помощь проектировщику для ускорения процесса формирования ограничений и отбора решений при оптимизации.

В качестве примера использования алгоритма рассмотрим задачу оптимизации параметров коробчатого сечения, описание которой приведено на рис. 3.

Фиксированными параметрами задачи являются моменты Мх, Му, Т, силы ,

<2у , N. действующие в сечении и коэффициент запаса прочности. В состав варьируемых параметров входят геометрические размеры сечения и предел текучести материала балки, что позволяет одновременно производить выбор наиболее рациональной марки стали по критериям минимума массы (пло-

В число критериев также включены ограничения по прочности - критерий Ф2 =тахаэкв/[с]<1, где тахаэкв - максимальное эквивалентное напряжение на контуре сечения; [от]- допускаемое напряжение, и по местной устойчивости стенок и полок балки - критерий Ф3 = шах/21 < 0,8-0,9, где

плахту - наибольшее из значений коэффициентов местной устойчивости, рассчитанных для каждой из полок и стенок сечения. Применение данных критериев позволяет контролировать степень использования несущей способности сечения в процессе диалоговой оптимизации. Ограничения для этих критериев носят нормативный характер, поэтому не должны варьироваться при оптимизации, что отмечено индексом «М> в описании задачи. Функциональных ограничений в рассматриваемой задаче нет, поскольку ограничения по прочности и местной устойчивости использованы в качестве критериев. Расчетные соотношения для вычисления критериев основаны на формулах сопротивления мате-

щади сечения А - критерий Ф,) и относительной стоимости массы т балки единичной длины - критерий Ф2 = С = С0(ат)/и,

где С0 - относительная стоимость единицы массы материала; ст - предел текучести материала. Значения стт и С0 для основных малоуглеродистых и низколегированных сталей, используемых для сварных коробчатых балок, приведены в табл. 1. При расчетах применялась интерполяция для С0 по данным табл. 1.

риалов и здесь для краткости не приводятся; их можно найти, например, в [5].

Пример расчета первой итерации для данной задачи приведен в табл. 2.

Значения всех силовых факторов, кроме изгибающего момента Мх, в данном

примере приняты равными нулю для возможности сравнения с известным точным соотношением Ык = 1/3, при котором имеет место минимум площади коробчатого сечения в случае действия только одного изгибающего момента Мх и при одинаковой толщине стенок и полок, принятой в расчете равной 5 мм. Материал сечения - сталь. Неизвестные заранее параметрические ограничения для Ъ и И заданы в достаточно широких пределах 50 мм < Ь <300 мм, 100 мм < И < 400 мм. Диапазон варьирования предела текучести выбран по табл. 1 с некоторым запасом 230 < ат < 420, МПа. Начальные ограничения для критериев Ф1з Ф2, также неизвестные заранее, приняты Ф1 < 70 см , Ф2 < 70.

Таблица 1

Марка стали ВстЗсп 09Г2С 15ХСНД юхснд

стт, Мпа 240 330 350 400

С0, 1/кг 1,0 1,15 1,31 1,69

М*

х

ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ КОРОБЧАТОГО СЕЧЕНИЯ

N запаса

ФИКСИРОВАННЫЕ ПАРАМЕТРЫ:

Мх Му Т N Ох Оу

кН*м кН*м кН*м кН кН кН

ВАРЬИРУЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ ( 5 ) :

Ь Ь 6П 6С стт

мм мм мм мм МПа

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ:НЕТ (использованы как критерии); КРИТЕРИИ ( 4 ) :

1. Ф1 = Площадь сечения А [см**2]

2. Ф2 = Стоимость материала С

3. фз = Условие прочности ст = тахстэкв/[с] -

4. Ф4 = Коэффициент местной устойчивости шах п3 <

Рис. 3

< Ф1**

< Ф2* *

< ФЗ* * =1, 0

< Ф4** II о ч 8

Ы’

' К'

Веса критериев, необходимые в данном методе для автоматического формирования ограничений, приняты близкими для основных критериев Ф, и Ф2 (45 % и 35 %) и существенно меньшими (по 10 %) для критериев Ф3, Ф 4,

играющих информационную роль. Неизбежная субъективность в выборе весов критериев частично компенсируется, как отмечалось выше, использованием различных принципов построения компромиссов между критериями.

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ КОРОНЧАТОГО СЕЧЕНИЯ

Таблица 2

ФИКСИРОВАННЫЕ ПАРАМЕТРЫ :

Моменты в сечении [кН*м]: Мх = 100.00 Му = 0.00 Т = 0.00

Силы в сечении [кН] : Ох = 0.00 Оу = 0.00 N = 0.00

Коэффициент запаса 1Я_запаса = 1.40

ТАБЛИЦА ОГРАНИЧЕНИЙ : *

параметрические ограничения { 5 ) : для: Ь 11 с1_палки с1_стенки Б1дта_Т

мл мл мм мл МПа

А* : 50.00 100.00 5.00 5.00 230.00

А**: 300.00 400.00 5.00 5.00 420.00

критериальные ограничения ( 4 ) : для: А С 31дта_ Ы_устойч

см**2 -

Ф**: 70.00 70.00 1.00 0.80

число расчетных точек =

число точек, попавших в допустимую область =

число паретовских точек =

ТАБЛИЦА ПАРЕТСВСКИХ ТОЧЕК______________________

X Ф 1 І Ф 2 І Ф 3 і Ф 4

А С Sigma N устойч

СМ**2 - - -

28 44.78 41 43.33 47 0.58 42 0.41

41 50.48 22 47.72 25 0.60 28 0.42

22 51.34 7 50.66 19 0.67 22 0.43

42 51.73 42 55.55 7 0.69 25 0.51

19 56.97 47 59.94 42 0.76 41 0.58

25 57.91 19 60.07 22 0.84 19 0.65

7 62.13 28 60.54 28 0.94 7 0.65

47 63.61 25 65.87 41 0.95 47 0.69

1-й расчет критериев

50

КООРДИНАТЫ ПАРЕТОВСКИХ ТОЧЕК:

Ь h d полки d стенки Sigma Т

мм мм мм мм МПа

А 28 104.69 353.13 5.00 5.00 402.19 ★

А 41 194.53 320.31 5.00 5.00 322.03 ★

А 22 151.56 371.88 5.00 5.00 342.81 ★

А 42 132.03 395.31 5.00 5.00 369.53 *

А 19 245.31 334.38 5.00 5.00 366.56 *

А 25 198.44 390.63 5.00 5.00 378.44 ■к

А 7 268.75 362.50 5.00 5.00 301.25 ■к

А 47 288.28 357.81 5.00 5.00 345.78 к

НАЗНАЧЕННЫЕ ВЕСА КРИТЕРИЕВ, в % :

веса: 45.00 35.00 10.00 10.00

ПЕН ОТБОРЕ РЕПЕНИЙ МЗЖЕГЕ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ОПТИМАЛЬНЫЕ ВАРИАНТЫ ИЗ УСЛОЕИЙ:

1. min суммы нормализованных критериев : А 22

2. min произведения степеней критериев : А 41

3. min максимального из нормализов. критериев (минимакса): А 28

4. min максимальной из уступок нормализованных критериев : А 41

Расчетные точки в сформированной области изменения варьируемых параметров генерировались по ЛПг-последовательности метода Соболя-Статникова [2]. Форма представления результатов в виде упорядоченной по возрастанию критериев таблицы паретовских точек аналогична используемой в методе Соболя-Статникова; значения ин-

декса і в данной таблице соответствуют номерам расчетных точек Д..

Из полученного множества паретовских точек, совпавшего в данном случае (табл.

2) с множеством допустимых точек, выделяется подмножество оптимальных вариантов из условия минимума обобщенных критериев, формируемых по формулам (5-8). Данные

варианты - точки Ап, Л4!, А28 (табл. 2), представляются в форме необязательных рекомендаций для анализа и отбора решений.

Значения критерия Ф3 (табл. 2) показывают, что прочностные свойства сечений для полученных вариантов не исчерпаны и реше-

ния могут быть улучшены в последующих итерациях процесса оптимизации. На основе полученных данных первого расчета критериев в программе формируются по соотношениям (9-11) новые параметрические и критериальные ограничения и расчет повторяется.

Ь, мм

А, см

Рис. 4

Графическое представление результатов расчетов и процесса автоматического формирования ограничений в пространстве параметров Ь, к и основных критериев Ф, =А, Ф2 ~ С дано на рис. 4. В данном примере расчеты производились без «ручной» коррекции. Первоначальные ограничения показаны штрих-пунктирными линиями, автоматически сформированные по рассматриваемому алгоритму - пунктирными. Получаемые оптимальные варианты по различным принципам отмечены на рис. 4 соответствующими затемненными значками.

Как видно, уже вторая-третья итерации по изложенному алгоритму приводят в область рациональных значений параметров Ь, И, соответствующих в данном случае известному точному соотношению Ь/И = 1/3 и наиболее рациональным при принятой значимости критериев маркам сталей с а_ = 320.. .370 Мпа. Полученный оптимальный вариант (черный кружок на рис. 4 - четвертая итерация) при практически одинаковой площади сечения с лучшим вариантом из первого расчета (точка Л28

табл. 2) и равном запасе местной устойчивости имеет почти в 1,5 раза меньшую стоимость.

Рассмотренный пример, а также решение других задач оптимизации, представленных в пакете Optimum, показывает, что в подавляющем большинстве случаев предложенный алгоритм сужения ограничений позволяет производить многокритериальную оптимизацию практически в автоматическом режиме, существенно ускоряя поиск рациональных вариантов.

Литература

1. Шимкович Д.Г. Пакет программ многокритериального оптимального проектирования лесозаготовительных машин и механизмов // Научн. тр. / МГУЛ. - Вып. 271.- 1995.-С. 43-56.

2. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. - М.: Наука, 1981. - 110 с.

3. Быков В.П. Методическое обеспечение САПР в машиностроении. - Л.: Машиностроение, 1989. -255 с.

4. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. - М. : Мир, 1990. -208 с.

5. Шимкович Д.Г. Расчет и проектирование металлоконструкций лесных машин. Ч. I, П. -М.:МЛТИ, 1992.-Ч.1-60 с-Ч.П-88 с.

УСЛОВИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ РЕКЛАМЫ |

В ЖУРНАЛЕ «ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК» |

Объявления и реклама публикуются в черно-белом исполнении. |

Материалы принимаются в напечатанном виде через 2 интервала.

Вы должны представить готовый оригинал-макет вашей рекламы или по вашему заказу редактор и художник разработают оригинальную рекламу, товарный знак или другую символику.

По вопросам размещения рекламы обращаться в редакцию.

Тел. (095) 588-57-62, 588-54-15.